數學教師的教學相關知識

本節以介紹不同研究者對數學教學相關知識的觀點，並且，提出個人對數學 教師教學相關知識的立場。

一、 與教學相關的知識

(一) Shulman 的觀點

Shulman (1986)檢視美國過去教師檢定考試項目，發現檢定的標準大多以學 科知識為重心，相較之下，教學理論與教學法的相關內容所占有的比率較低。自 1980 年代開始，美國的教師評鑑開始著重於對於教學之能力的評量、著重教學 效能(teaching effectiveness)的展現。此時期的評量內容大多為一般教學法和教學 技巧上的知識，而忽略了學科的知識。對此，Shulman 提出了迷失的典範(missing paradigm)，意旨課堂中失去教學、提問以及供給解釋的「內容」。也就是說，教 師知識的來源是什麼?教師如何決定要教些什麼、要如何的表徵、如何處理學生 的迷思概念?需要什麼樣的新知識？那些舊知識是需要回收或者一起合併為一個 新知識的基礎？他認為這些與教學相關的知識應該被重視。

Shulman (1986)將教學將學中的內容知識分為 SMK、PCK 以及 CK 三個類別 (categories)。SMK 關聯教師心中(mind)知識的組織與多寡。以 Schwab (1978)的 觀點來看，學科結構包含實質(substantial)結構與句法(syntactic)結構。前者表示 用不同方法組織概念與原則並且和事實(facts)合併。後者表示辨認對或錯，有效 或無效的方法，也就是說，它提供規則(rule)決定哪一個聲稱(claim)具有較好的根 據(warrant)。Shulman 指出，在理論與實作中，教師不只必須有能力為學生定義 公認的(accepted)事實，也要解釋為什麼這樣是被認為有根據的、為什麼它是值 得了解的以及它是如何關聯至其它論點(proposition)。也就是說，教師不只需要 理解「事情是如此」(something is so)，也必須進一步理解「為什麼」事情是如此。

此外，教師也需要理解為什麼這個概念為一個主題的中心，這些都是與教師的 SMK 相關。

PCK 則為一種特別形式的內容知識，它超越(go beyond)學科知識，是一種為 了教學的學科知識。它收錄教學內容與可教性(teachability)間密切關係的面向，

因此，PCK 包含了教師對於學科主題內容知識的教學想法的表徵之最有用的形 式，包含了教學中最有力的類比、圖示、例子、解釋以及演示。PCK 也包含了 教師要理解什麼樣的特殊主題會使學習變得容易或困難，以及不同背景下學生的 先備觀念(preconceptions)與迷思觀念(misconception)。若學生這些先備觀念為迷 思觀念，它們通常為何？教師需要有效地重組學生理解的策略之知識，這種對學 科的教學理解應該為教育學知識(pedagogical knowledge))的中心。

第三個類別的內容知識為 CK，它包含橫向(lateral)與縱向(vertical)兩種課程 知識。橫向的課程知識表示教師連繫不同學科中相關課程或主題內容的能力。縱 向的課程知識是指教師要熟悉過去與將來，在同一個學科一直被教與將要被教的 主題與議題。Shulman 在 1987 年修改教師知識的分類，提出 7 種類別的教師知 識基礎，除了上述三個內容知識外，還包含一般的教育學知識(general pedagogical knowledge)、關於學習者以及他們特徵的知識(knowledge of learners and their characteristics)、教育脈絡的知識(knowledge of educational context)以及關於教育 目標、目的以及價值和它們的哲學與歷史基礎的知識(knowledge of educational ends, purpose, and values, and their philosophical and historical grounds)。

Shulman (1987)認為教學如同推理(reasoning)和領會(comprehension)、如同轉 化(transformation) 以及省思 (reflection)¹， 這些教學的特質形成 一種教學推理 (pedagogical reasoning)，並且分為領會、轉化、教學(instruction)、評量(evaluation)、

省思以及新的領會(new comprehension)六個步驟。「領會」表示教師可以理解他 們所教的內容，如果可能的話，用不同的方法去理解。此外，教師對於目的(purpose)

1 為了語句的通順，本研究中的「省思」與「反思」與英文的 reflection 字義 相同。

的領會也是教學推理的中心之一。他認為教學應致力於達成教育目的，並且發展 學生在自由社會中所需的理解、技巧與價值。其次，教師除了自身對學科內容的 領會，他也該有能力使這些內容知識「轉化」為讓不同能力和背景的學生較易吸 收的形式。轉化可以分為準備(preparation)、表徵(representation)、教學的選擇 (instructional selection)以及適應學生特徵的教材(adaptation is the process of fitting the represented material to the characteristics of the students)四個項目。「準備」包含 教師本身對學科的理解、對教材的檢視以及關鍵性的解釋，針對這些內容教師知 道什麼樣的類比、隱喻、例子以及展示等表徵的形式，可以幫助建立教師領會和 學生間的橋梁。接著，「教學的選擇」包含選擇教學方法與教學策略，也包含選 擇不同形式的教學，例如協同教學、發現學習等。最後，再依學生的特性將教材 修改到合適特定學生的特質。

教學推理的第三個步驟為「教學」，它牽涉了不同可觀察的教學活動成果，

且包含許多關鍵性的教學法面向。例如，班級經營與組織、呈現清楚的解釋和生 動的描述、透過提問與探查和學生有效的互動、回答與反應、讚揚與評論。「評 量」則是包含了教師在教學互動時檢核學生的理解，也包含教師本身的教學和教 材的運用，這也帶領教師進行「反思」，也就是教師透過回顧教學與學習，並且 重建、再扮演、重現事件。最後，透過這些反思，教師形成「新的領會」。它包 含教學目的、教材、學生、教學以及自我教學的新理解。教學推理為一個循環的 過程，然而，它們之間的順序並非固定，有些時候某些步驟也可能不會發生。這 些推理取決於教師所擁有的知識，同時，透過教學推理，教師的知識也會重組，

也會變得更為的豐富。

(二) Fennema 與 Franke 的觀點

Fennema 與 Franke (1992) 檢視和整合數學教師知識的相關文獻，包含數學

知識、數學表徵的知識、教師的學生知識、教師之教學與決策的一般知識，以及 教師知識的框架與認知模型。其中，他們認為 Brown、Collins 與 Duguid (1989) 所提出的情境知識(situated knowledge)可以作為理解教師知識的架構，以及知道 它對教學行為與學生學習的衝擊。Brown 等人指出，情境知識可以因當下的情境 決定被彌補(retrieved)或者使用(used)，因此它可以為個人的(personal)並且為可轉 化的(transferable)。Brown 等人強調此知識依賴於學習的情境，因此，所有的知 識為情境的，並且是活動、脈絡以及文化的部分結果。這三部份不僅與知識相互 關連，也提供知識該彌補、詮釋或者使用的參照。Fennema 與 Franke 表示，數 學教師的情境知識與他們的數學知識、教學程序知是以及學生的知識相互作用。

它呈現動態的樣貌，並且隨著與課堂中特別的學習者成長與成熟。

在整合數學教師知識相關的文獻後，Fennema 與 Franke (1992, p. 162)提出

「發展於脈絡的教師知識(teachers’ knowledge：developing in context)」的架構圖 (見圖 2.1)。他們認為教師知識不再被視為一個孤立架構，它不能從學科知識、

教師對學生思考的理解以及信念中分離，而且這些知識無法跳脫其所在的脈絡與 情境。因此，他們將教師知識分為數學知識(knowledge of mathematics)、教育學 知識(pedagogical knowledge)、學習者對數學認知的知識(knowledge of learners’

cognitions in mathematics)以及脈絡下特別的知識(context specific knowledge)四類。

「數學知識」包含單元的概念、程序、解題過程的概念以及概念間連結的知識，

它也包含這些概念與程序如何運用於解不同問題的知識。「教育學知識」則是關 於教學程序的知識，包含計畫有效的教學策略、班級經營與動機的技巧。「學習 者對數學認知的知識」則是包含在特定的內容中學生如何思考與學習，它也包含 理解學生學習過程的困難與成就所在。此外，他們強調脈絡定義知識的構成要素 並且使信念進來發生作用。也就是說，所有知識都是在活動、脈絡或者文化下相 互作用的結果，並且合併教師的信念創造出一組獨特的知識，它能驅使課堂的行 為。

Knowledge of mathematics

Pedagogical knowledge

Knowledge of learners’

cognitions in mathematics

Context specific knowledge

Beliefs

圖 2.1：發展於脈絡的教師知識(引自 Fennema & Franke, 1992, p. 162)

(三) Ma 的觀點

Ma (1999)比較 23 位美國小學教師與 72 位中小學教師的教學發現，面對相 同四個主題(減法的重組、多位數的乘法、分數的除法以及矩形的周長與面積)，

大多美國教師對於減法的重組和多位數乘法有完整運算能力，但是在分數的除法 以及矩形的周長與面積的教學單元則出現困難。相較於中國教師，四個主題都有 完整的運算能力與概念性的理解。Ma 在訪談時也察覺，中國教師能連接各主題 的相關概念，而美國教師則是較為薄弱。

針對這些數學知識的差異，她提出了知識包裹(knowledge packages)的想法，

其包含序列(sequence)、關鍵片段(key piece)以及概念結(concept knot)。「序列」可 以分為兩種類型，一種是位於知識包裹的中心，它可能是透過知識與技巧發展主 題(topic)的主要路徑。另一種則是環狀(circle)的序列，它連接了不同主題間的概 念，並支持其他的主題，這些序列變得更具數學意義且概念更為豐富。然而，知 識包裹中所包含的項目(items)並非都有相同的地位，在線性的或者環狀的序列中，

具有一些較為關鍵片段。Ma (1999)提到，大陸教師認為學生若在第一次介紹這 些關鍵片段即能透徹的理解，那麼在往後的學習就能事半功倍。概念結是知識包 裹中另一種關鍵片段，它是由關鍵片段與其他相關概念集結而成，如同概念叢 (cluster of concepts)，幫助學生發展概念結除了能讓他們學習事半功倍外，也能 重溫(revisit)或者加深概念的理解。

Ma (1999)認為，知識包裹中的程序性主題與概念性主題是互相交織的 (interwoven)。也就是說，若教師能重視概念性的理解並且試圖激發學生概念性 的學習，勢必不會忽略程序性的知識，事實上，這兩者是不可分開的。圖 2.2 為 引自 Ma 所提出教師對主題理解的模式，圖中的橢圓呈現知識包裹中呈現的知識 片段。其中，白色橢圓呈現程序性主題，淺灰色橢圓表示概念性主題，而深灰色 橢圓則表示基本原則，被虛線連接的則是對一般數學的基本態度。梯形顏色的深 淺代表概念性知識間不同的深度與廣度。

這些中國教師呈現對小學數學精密與連貫的圖像，他們認為小學數學並非為 單純數字的演算，它是基礎數學(fundamental mathematics)。Ma 認為這個基礎 (fundamental)包含基石(foundational)、初始(primary)以及入門(elementary)三個部 分。「基石」意旨，小學數學中包含許多往後高深數學所需的根基，如演算法和 幾何數學這個學科中的兩個主幹，從這兩個主幹延伸出去的分支很多，但是它們

這些中國教師呈現對小學數學精密與連貫的圖像，他們認為小學數學並非為 單純數字的演算，它是基礎數學(fundamental mathematics)。Ma 認為這個基礎 (fundamental)包含基石(foundational)、初始(primary)以及入門(elementary)三個部 分。「基石」意旨，小學數學中包含許多往後高深數學所需的根基，如演算法和 幾何數學這個學科中的兩個主幹，從這兩個主幹延伸出去的分支很多，但是它們