兩位資深高中數學教師專門內容知識之嵌入式設計的混合方法研究

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：. 金鈐. 博士. 兩位資深高中數學教師專門內容知識之嵌入式設計的混合方法研究. 研究生：林培棠. 中華民國一○一年六月.

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(3) 致謝. 在這兩年研究所求學的過程中，雖然有些辛苦，但也相當充實，相當感謝一路上支持我與陪伴我的人。. 首先，要感謝我的指導教授─金鈐老師。謝謝他這兩年來的指導，也謝謝他從不吝於分享他的知識與觀點，更感謝他不厭其煩地為我批閱論文，給我許多思考的方向，讓我從中成長。感謝蔡文煥、林碧珍兩位教授，提供許多寶貴的意見，讓我的論文結構能更加完善，也感謝您們的鼓勵與肯定。. 感謝兩位個案教師的協助，讓我可以順利完成教學影片的拍攝。兩位老師總是相當親切，除了分享您們的專業知識外，也給我許多未來教書上的建議，非常感謝您們。祝福您們事事順心、平安快樂。. 也感謝計劃中的夥伴，益安學長、惠儒學姊、勇吉學長、湘媛學姊以及振甫。謝謝你們在我書寫論文時給的鼓勵與協助。特別是益安學長，在這兩年中時常給我肯定與鼓勵，並且分享你的看法，點出我思考不完善的部分。. 感謝怡君，在寫作的這段期間總是陪伴著我，並且給予精神的支持，辛苦妳了。最後，我要感謝我的家人，謝謝他們在這兩年對我的體諒，在半夜時，我總是在客廳有如遊魂般地徘徊，思考寫作的內容，常常因為這樣嚇到你們，真的很抱歉。謝謝你們給我支持與鼓勵，你們是我能寫完論文的最大動力，我愛你們，希望我們家能一直熱熱鬧鬧、平安健康。.

(4) 中文摘要本研究結合質性取向的個案研究與錄影分析的量化數據，形成一個嵌入式設計的混合研究(embedded design of mixed-methods research)，用以探究兩位資深高中數學教師(林師與吳師)專門內容知識(specialized content knowledge)可能的內涵與特質以及它與內容與教學的知識(knowledge of content and teaching，簡稱 KCT)、內容與學生的知識(knowledge of content and student ，簡稱 KCS)間的關係。在為期一年的研究中，作者進入兩位個案教師的教學現場，透過課堂教學觀察與訪談，探索兩位個案教師和學生之間的互動與 SCK 呈現的情形。在錄影分析系統的部分，則是引用 Learning Mathematics to Teaching (2006)所發展的 Mathematical Quality of Instruction (MQI)登錄系統。個人首先修改系統的編碼，以符合兩位個案教師實際的數學教學特質，接著，進行教學影片分析，最後，商請另一位獨立登錄者協助信度的檢測。依據蒐集準則的質性與量化資料，並借助 Ball, Thames 與 Phelps (2008)的 MKT 架構，本文描述兩位資深高中數學教師 SCK 可能樣貌以及它與 KCT、KCS 間的關係。本研究結果顯示，兩位個案教師除了具有 MKT 原始定義的 SCK 特性外，也顯現其他 SCK 的內涵與特質，例如含有近似於 HCK 的特徵。其次，某些事件中教學的「不確定性(uncertainties)」會喚起林師即興的(improvisational)SCK，它的顯現與林師具有的數學知識相關，也反應了這些教學事件「不確定性」的程度。此外，兩位個案教師的 SCK 也會影響其教學的安排與教學的評價(亦即 KCT)，是影響他們教學決策的原因之一，而 KCS 也會影響兩位個案教師 SCK 呈現的方式與時機。最後，根據研究結果，本文指出即興 SCK 與「不確定性」的關係，可以作為未來進一步探究高中數學教學中的「不確定性」。希望，本研究的結果可以用來幫助在職高中數學教師，進一步了解自己在教學中所需數學知識的內涵與影響的因素，以發展高中數學教師的 SCK。關鍵詞：質性研究、個案研究、混合方法研究、MQI、MKT、SCK.

(5) Abstract This study combines qualitative case study data with quantitative video analysis as an embedded design of mixed-methods research to explore two experienced senior high school mathematics teachers’ specialized content knowledge (SCK). Using systematic classroom observations and the follow-up interviews, this research explores the explicit and implicit aspects of the SCK that the two teacher cases reveal. For encoding the videos, I used Mathematical Quality of Instruction (MQI) developed by Learning Mathematics to Teaching (2006).. First, I modified the MQI coding. system to adapt to the classroom teaching of two cases. Second, I analyzed the video tapes by using the adapted codes. Last, the coding results were mostly supported from another independent coder to establish acceptable inter-coder reliability. The study results properly describe two teacher cases’ SCK as well as its relationship with their KCT and KCS. The results also show that the two teachers not only have the characteristics of SCK of the original definition in MKT study, but also show other SCK types, for example it also embodied some characteristics similar to HCK. Moreover, "uncertainties” in teaching will evoke some improvisational aspects of SCK. In addition, the two teachers’ SCK clearly affected the arrangement of their teaching and evaluation of teaching (i.e. KCT). KCS also affected the manner and timing of their SCK. As a whole, the research results of the present study clearly point out the inherent relationship. between. the. "uncertainties". of. classroom. teaching. and. the. improvisational aspects of SCK. It is assumed that the results of this study might be used to help in-service high school mathematics teachers to understand more about the required mathematical knowledge in teaching and to develop their own SCK.. Keyword: Qualitative study、Case study、Mixed-methods research、MQI、MKT、 SCK..

(6) 目錄目次.................................................................................................................................I 附錄目次……………………………………………………………………………..III 圖目次………………………………………………………………………………...V 表目次………………………………………………………………………………VII. 目次. 第一章緒論……………………………………………………………..1 第一節研究背景與動機……………………………………………………………..1 第二節研究問題與目的……………………………………………………………..6. 第二章文獻探討………………………………………………………..7 第一節數學教師的專業……………………………………………………………..7 第二節數學教師的教學相關知識…………………………………………………..9. 第三章研究方法………………………………………………………29 第一節研究的參與者和場域………………………………………………………29 第二節嵌入式設計的混合方法研究………………………………………………32 第三節研究設計……………………………………………………………………44 第四節研究限制……………………………………………………………………77. 第四章研究結果………………………………………………………81 I.

(7) 第一節林師前導階段的研究結果…………………………………………………81 第二節林師第一階段的研究結果………………………………………………..112 第三節林師第二階段的研究結果………………………………………………..130 第四節吳師三階段的研究結果…………………………………………………..153 第五節兩個案的整理與對照……………………………………………………..177. 第五章討論與建議…………………………………………………..184 第一節林師與吳師 SCK 的討論…………………………………………………184 第二節接續研究的建議…………………………………………………………..192. 附註……………………………………………………………………195 參考文獻………………………………………………………………197. II.

(8) 附錄目次附錄一：教學影片與訪談轉譯稿……………………………………204 附錄一(1)：林師 2010 年 10 月 13 日教學影片轉譯…………….…….…………....204 附錄一(2)：林師 2011 年 02 月 19 日教學影片轉譯……………….….……………214 附錄一(3)：林師 2011 年 05 月 25 日教學影片轉譯…………………..……………224 附錄一(4)：吳師 2011 年 02 月 14 日教學影片轉譯………………….….…………236 附錄一(5)：林師 2011 年 01 月 28 日前導階段總結性訪談轉譯……….….………245 附錄一(6)：林師 2011 年 09 月 02 日第一階段總結性訪談轉譯………….….……248 附錄一(7)：林師 2011 年 09 月 19 日第二階段總結性訪談轉譯………….….……251 附錄一(8)：吳師 2011 年 08 月 04 日前導階段總結性訪談轉譯………….….……255. 附錄二：錄影分析系統資料…………………………………………..260 附錄二(1)：LMT(2006)的 MQI 系統…………………………………….…..…......260 附錄二(2)：本研究的錄影分析系統與 MQI 系統的比較…………….……..……268 附錄二(3)：錄影分析系統登錄單………………………..…………….…..………272 附錄二(4)：錄影分析系統登錄單劃記範例……………..…………….…..………275 附錄二(5)：林師前導階段登錄結果總表……………..……………….…..………278 附錄二(6)：林師第一階段登錄結果總表……………..……………….…..………281 附錄二(7)：林師第二階段登錄結果總表……………..……………….…..………284 附錄二(8)：吳師前導階段登錄結果總表……………..……………….…..………287 附錄二(9)：吳師第一階段登錄結果總表……………..……………….…..………290 附錄二(10)：吳師第二階段登錄結果總表……………..………….….…..………293. 附錄三：相關參考資料影本…………………………………………..296. III.

(9) 附錄三(1)：Lagrange 插值多項式的引入(康熹文化)…………………..…..…......296 附錄三(2)：Lagrange 插值多項式的引入(龍騰文化)…………………..…..…......299 附錄三(3)：Lagrange 插值多項式的引入(南一書局)…………………..…..…......301 附錄三(4)：後退的數學歸納法(徐道寧，1980)………………………..…..…......304. IV.

(10) 圖目次  圖編碼說明：第一碼為章節序號. 圖 2.1：發展於脈絡的教師知識(引自 Fennema & Franke, 1992, p. 162)……..…..14 圖 2.2：對主題概念性理解模式(引自 Ma,1999, p. 25)……………………………16 圖 2.3：MKT 領域架構圖(引自 Ball 等人, 2008, p. 403)…………………..……….20 圖 2.4：數學目標中 MKT 的呈現(引自 Sleep, 2009, p. 222)………………………25 圖 3.1：錄影資訊的編碼循環模型(引自 Jacobs et al. ,1999, p. 719)……….……...43 圖 3.2：挑選操作物以表徵數學想法……………………….……………………….61 圖 3.3：挑選模型以表徵數學想法………………………………………………….62 圖 3.4：多重模型……………………………………………..………………………62 圖 3.5：圖像、符號間的連結…………………………………………………………63 圖 3.6：河內塔(一)………………………………………………………………..….67 圖 3.7：河內塔(二)………………………………………………………………..….67 圖 4.1：Lagrange 插值多項式的起始例………..…….………………………………87 圖 4.2：Lagrange 插值多項式的講解……………..….………………………………88 圖 4.3：Lagrange 插值多項式的展現………………………………………………...89 圖 4.4：中國剩餘定理與「連環套」的連接……………………………………..…90 圖 4.5：唯一性的說明……………………………………….……………………….91 圖 4.6：用手比擬係數多項式…………………………………………………….…97 圖 4.7：特殊書寫模型……………………………………………………………....109 圖 4.8：數學歸納法，實驗與觀察…………………………………….…………..115 圖 4.9：數學歸納法，歸納………………………………………………………..115 圖 4.10：使用表格觀察數的大小…………………………………………………..119 圖 4.11：用圖形表示增長速度的模糊…………………………………………….119. V.

(11) 圖 4.12：介紹分割原理與樹狀圖…………………………………………………..132 圖 4.13：「挑選模型或操作物以表徵數學想法」、「在符號、具體圖像、圖表等物之間做連結」與「多重模型」一起顯現…………….………………….…136 圖 4.14：林師推估比率的板書…………………………..……………………..…137 圖 4.15：林師的解法(一)……………………………………………………………140 圖 4.16：林師的解法(二)…………………………………………………………..141 圖 4.17：矩陣乘法的引入……………………………………………………….….161 圖 4.18：利用向量內積表示矩陣…………………………………………………..162 圖 4.19：高斯消去法與增廣矩陣……………………………………….………….163 圖 4.20：吳師使用的矩陣符號………………………………………….…………166 圖 4.21：吳師「為數學想法挑選數字、實例或者脈絡」………….………..…..168 圖 4.22：樹狀圖的表徵與條件機率乘法原理的連接………………………….....169 圖 4.23：使用表格連接矩陣……………………………………………………….170 圖 4.24：三階反方陣的公式解(一)………………………………………………..171 圖 4.25：三階反方陣的公式解(二)………………………………………………..172 圖 4.26：三階反方陣的公式解(三)………………………………………………..172 圖 5.1：林師不確定性與 SCK 關係圖…………………………………………..….189 圖 5.2：吳師不確定性與 SCK 關係圖………………………………………...…..190. VI.

(12) 表目次  表編碼說明：第一碼為章節序號. 表 2.1：數學教學的任務 (引自 Ball 等人，2008, p. 400)………………..……….22 表 3.1：混合方法設計的類型(修改自 Creswell & Clark, 2007, p. 82)….……..…..35 表 3.2：資料項目的代碼……………………………………………………….……51 表 3.3：(C1,20101015，前)課堂登錄結果的一部份……………….……………….55 表 3.4：𝑖 × 𝑖 項 Kappa 統計表………………………………………………………71 表 3.5：教學活動 kappa 統計表(引自(. 課堂登錄的結果)………….73. 1. 表 3.6：林師「教學的內容與安排」各類別的 K 值………………………………74 表 3.7：吳師「教學的內容與安排」各類別的 K 值………………………………74 表 3.8：吳師「數學解釋」K 值(引自( C1. 課堂登錄的結果)…….……..75. 表 3.9：林師「教學活動中數學領域的知識」各類別的 K 值……………………75 表 3.10：吳師「教學活動中數學領域的知識」各類別的 K 值…………………..76 表 3.11：林師「偕同學生的數學使用」的 K 值結果……………………………..77 表 3.12：吳師「偕同學生的數學使用」的 K 值結果……………………………..77 表 4.1：林師前導階段「教學活動」編碼統計表……………………………………..82 表 4.2：林師前導階段「教學活動中數學領域知識」編碼統計表……………….93 表 4.3：林師前導階段「偕同學生的數學使用」編碼統計表…………………….94 表 4.4：林師前導階段闡述數學的方式統計表……...…………………………….100 表 4.5：林師前導階段引發學生回應中教師回應的分布…………………………106 表 4.6：林師前導階段 SCK 的樣貌……………………………………………….112 表 4.7：林師第一階段「教學活動」編碼統計表………………….………………113 表 4.8：林師第一階段「教學活動中數學領域知識」編碼統計表………………116 表 4.9：林師第一階段「偕同學生的數學使用」編碼統計表……………………117. VII.

(13) 表 4.10：林師前導階段與第一階段出現的 SCK 樣貌…………………………..130 表 4.11：林師第二階段「教學活動」編碼統計表…………….…………….131 表 4.12：林師第二階段「教學活動中數學領域的知識」編碼統計表…………135 表 4.13：林師第二階段「偕同學生的數學使用」編碼統計表…………………135 表 4.14：林師三階段「教學活動」編碼統計表…………………………………..146 表 4.15：林師三階段「教學活動中數學領域知識」編碼統計表………………..147 表 4.16：林師三階段「偕同學的數學使用」編碼統計表………………………….147 表 4.17：林師三階段闡述數學的方式…………………………………………….149 表 4.18：林師三階段「支線」中教師回應的比例分配………………………….152 表 4.19：林師三階段 SCK 的樣貌…………………………………………………153 表 4.20：吳師三階段「教學活動」編碼統計表…………………………………..154 表 4.21：吳師三階段「教學活動中數學領域知識」編碼統計表……………….165 表 4.22：吳師三階段「偕同學生的數學使用」編碼統計表…………………….165 表 4.23：吳師三階段闡述數學的方式……………………………………………..167 表 4.24：吳師三階段 SCK 的樣貌………………………………………………….177 表 4.25：兩個案 SCK 的整理………………………………………..…………….178 表 4.26：「不確定性」相關編碼的比較……………………………..……………..180 表 4.27：林師與吳師「闡述數學的方式」的比較…………………………….…181. VIII.

(14) 第一章緒論. 第一章緒論本章有兩個小節，第一節敘述本研究的背景與動機，包括教師的專業與相關教師知識的研究。第二節則是提出了本研究問題與目的。. 第一節研究背景與動機. 一、教師的專業. 「師」在字義上有以下兩個不同的解釋：一個為具有專門技藝的人，另一個則為教授學問、知識的人。前者包括，律師、醫師、廚師…等，而後者則包括了教師、導師(引自，《重編國語辭典修訂本》【網路版】，民 86)。Carr-Saunder (1933, p.3-4) 指出，專業 (profession) 是指一群人在從事一種需要專門技術之職業 (occupation)，是一種需要特殊智力來培養和養成的職業。以廚師來說，他們對於食材的挑選、烹調時的火候以及手法，若是和一般民眾相比，有著屬於他們的專門技藝，甚至是，對料理都有著比普羅大眾更為執著的態度。醫師、律師和一般人的差異也是如此，因為，他們具備了在特定領域的知識、技能，他們具有屬於自己的專業。然而，教師除了為教授學問、知識的人，我們是否可以稱教師是具有專門技藝的人?換句話說，教師是否具有自己的專業呢?. Etzioni (1969)認為教育人員經過短期訓練、有較低的社會地位、知識分化尚不嚴謹、自主性較低，所以只是「半專業」(semi-profession)。然而，正如聯合國教科文組織(UNESCO) (1966)「關於教師地位之建立議案」，他們認為教學必須被視為專業，並在 2001 年 10 月第八屆「世界教師日」（World Teachers. Day）提出「有高素質的教師才有高品質的教育」口號（qualified teachers for 1.

(15) 第一章緒論. quality education）。影響教育品質的因素固然繁多，但是影響教育品質的關鍵仍是在學校裡實際負責教學任務的「教師」。換句話說，優秀的教師雖然不是達成高品質教育的充分條件，但是卻是一個「必要條件」 (饒見維，2003)。Blackman (1989, p. 3)認為，教師的首要角色是「人」，而且是「專業人員(professionals)」。當我們把教師視為專業人員時，並非表示目前的教師已經具有專業水準和專業地位，而是表示教師應朝著這個理想努力，才能往專業化(professionalization)的目標邁進 (饒見維)。何福田和羅瑞玉(民 81)曾指出專業化的七種基本條件：專業知能、專業訓練、專業組織、專業倫理、專業自主、專業服務以及專業成長。教師的專業化是高品質教學的重要的途徑，也是確保教師權利得以充分發揮的必要作法。其中，專業知能是專業化的首要條件，亦即構成專業化的標準必先根植於一套完整的知識系統(何福田和羅瑞玉，民 81)。教師若能具有更豐富且專精的專業知識和技能，才能提供給學生更多的學習機會(陳美玉，民 88)。然而，教師應該具有那些專業知識呢？. 二、教師知識的研究. 筆者一直以來對於教職有著憧憬，也相當幸運的能取得教師證書。然而，依照台灣目前取得正式教師資格除了修滿教育學分、實習以及通過教師檢定外，還須通過各校或者地區學校聯合舉辦的教師甄選。而甄選的內容大多包括了：專業科目以及教育科目的筆試、試教以及口試。從獲得正式教師資格的過程中，我們不難發現其中包含了不同面向的知識，就如 Znaniecki (1965, p. 24)所說，每個人無論擔任何種社會角色，都必須具備合格的擔任該角色必不可少的知識。然而，擔任合格的教師角色必不可缺少是「什麼樣的」和「多少的」知識，人們並無共識(范良火，2003)。. 2.

(16) 第一章緒論. 從歷史上來看，人們對於教師需要「什麼」知識是不斷在變動的。Shulman (1986)檢視了 1875 年的教師檢定，發現測驗中約有 90%~95%的是關於內容 (content)或教師所教的學科。此時的人們認為，教師所需的知識即為他們所要教授的知識或內容，也就是學科方面的知識，雖然，關於教學方法的知識也相當重要，但是它是教師能力的第二角色。然而，美國 National Longitudinal Study of Mathematical Abilities (全國數學能力縱向研究，簡稱，NLSMA)以及 Eisenberg 分別在 1972 年與 1977 年研究教師大學數學課程修習數目和學生學習之間的關係，所得的結果都無顯著相關。自 1980 年代開始，美國的教師評鑑(teacher education) 開始著重於對於教學之能力的評量 (assessment) ，以及教學效能 (teaching effectiveness)的展現。在這時期的評量內容多為一般教學法和教學技巧的知識，而忽略了學科知識(subject matter knowledge)，Shulman (1986)因而提出了迷失典範(missing paradigm)的看法。. 為了融合學科知識和教學知識，Shulman 在 1986 定義了教師知識基礎的三個類別：學科內容知識(subject matter content knowledge，簡稱 SMK)、教學內容知識(pedagogical content knowledge，簡稱 PCK)、課程知識(curricular knowledge，簡稱 CK)。其中，PCK 為一種特殊的內容知識，它具體化(embody)了內容與可教性(teachability)的密切相關之面向，是一種用於教學的學科知識。它為最有用的表徵形式、最有力的類比、圖示、例子、解釋，並考量不同學生背景可能的迷思，使得學科內容能夠讓其他人了解的知識(Shulman, 1986, p. 9)。. PCK 呈現「教學專業」的一種關鍵知識，並且，吸引了學者對於 PCK 的注意與研究。例如 Marks (1990)提出了 PCK 的四個成分：學生的理解、學科的教學目的、教學媒體以及教學過程。除了內容知識外，Fennema & Franke (1992)將 PCK 分為兩種類別：關於學生的知識(knowledge of student)與表徵的知識 (knowledge of representation)。Ma (1999)則是認為，教師該具有基礎數學的深奧 3.

(17) 第一章緒論. 理解(profound understanding of fundamental mathematics，簡稱 PUFM)，小學教師的數學知識該擁有深度(depth)、廣度(breadth)以及透徹度(thoroughness)。而范良火(2003)則是將 PCK 再劃分為課程知識(PCrK)、教學內容知識(PCnk)以及教學方法知識(PIK)。. 這些研究雖然一再點出教師可能擁有的知識，卻沒有闡述這些知識對於教學實作(teaching practice)的重要性。因此，想要理解數學教學任務中所需的知識，必須進入實際的數學教學現場觀察與研究。依照這樣的理念，Ball (2001)提出了「用於教學的數學知識」(mathematical knowledge for teaching，簡稱 MKT)的概念，表示數學教學任務中所需施行的數學知識。她認為教師所需的不單單只是知道數學，他們也需要有能力在教學時使用數學知識。Ball, Thames, 與 Phelps ( 2008)提出 MKT 的理論架構，提供了教學用的數學知識的一個基本輪廓與方向。 Ball 等人將 MKT 分為，一般內容知識(common content knowledge，簡稱 CCK)、專門內容知識(specialized content knowledge ，簡稱 SCK)、內容與學生的知識 (knowledge of content and student，簡稱 KCS)、內容與教學的知識(knowledge of content and teaching，簡稱 KCT)、眼界內容知識(horizon content knowledge，簡稱 HCK)、內容與課程知識(knowledge of content and curriculum ，簡稱 KCC)。. 三、研究動機. 筆者的國、高中數學有不錯成績，也對數學教學感興趣，加上一直以來對於教書的憧憬，因而決定往數學教師的生涯發展。然而，當自己的角色由學生轉換為數學教師時，許多思考與心態必須跟著轉換。當角色為學生時，很多數學內容即使不瞭解，但是，也能藉由固定的程序或者技巧得到正確答案。但是，身為一位數學教師，除了理解所教的內容，也要擁有教學內容以外的數學知識與教學知. 4.

(18) 第一章緒論. 識。經過數學系的洗禮以及在高中教學實習的經驗後，個人更進一步了解到教師知識的重要以及清楚自己專業知識的不足。因此，對於教師的教學相關知識更感興趣。. 在參與研究計畫中，藉由文獻的探討、課堂觀察與研究小組的討論，讓個人對於教師知識有了新的視野。然而，在所閱讀的文獻中，大多以研究美國小學教師的知識為主，相較之下，探究國內高中數學教師相關文獻則是相當有限。其次，由於高中數學課程內容與結構比較抽象、複雜，因此，高中數學教師對於所教內容應該需要更高層次的理解，這應該遠多於也深於一般人擁有的數學知識。這種教學所需的特有數學知識，應該較偏向於 Ball 等人(2008)MKT 中的專門內容知識(亦即 SCK)，而這也是他們認為教師專業知識中最重要的部分之一。由於，曾名秀(2011)與陳亭瑋(2011)是以 MKT 的架構，探究高中資深數學教師於教學時呈現的知識，她們的研究比較缺乏對 SCK 細部的分析。因此，筆者想更進一步了解高中數學教師所展現 SCK 的樣貌(包括內含與特質)。當然，個人並非認為 MKT 其他領域的知識不重要，只是，若能先探究其中一個比較主要且特殊的領域(亦即 SCK)，或許較能釐清 SCK 在台灣高中數學教師教學上所扮演的角色。此外，研究發現，專家教師的知識比新手教師更有結構且富有連通性(Leinhardt & Smith, 1985)，而且，對數學知識的流暢性所展現的能力也不同(Leinhardt, 1989)。換句話說，專家教師知識結構較為穩固且豐富，教學的穩定性也較佳，因此，本研究選取資深高中數學教師為研究個案。. 另一方面，陳亭瑋(2011)與曾名秀(2011)研究的個案資深高中教師所展現 MKT 的樣貌顯示，包含 SCK 在內領域的知識具有外顯和內隱特性。然而，什麼樣的情形導致個案資深教師會在當下的教學中，顯現其內隱的 SCK 並未詳細說明。因此，個人除了想理解資深高中數學教師外顯的 SCK，也想探究教師在教學中顯現內隱 SCK 的因素。為了能較為準確地掌握高中資深數學教師細部 SCK 5.

(19) 第一章緒論. 的樣貌，筆者選取兩位資深高中數學教師作為個案，其中一位為主要探究對象，另一位則為輔助個案。最後，陳亭瑋與曾名秀在個別的研究中也指出，MKT 領域知識具有互相影響的特性。由於，SCK、KCS 與 KCT 是 Ball 等人相關文獻中較多討論的領域，因此，個人也想探討 SCK 與 KCS、KCT 的關係關係為何？. 第二節研究問題與目的. 在本研究中，個人定義的 SCK (亦即，專門內容知識)為，教師專有的數學知識，它能與其他人具有的數學知識區別，是針對教學使用的數學知識；而外顯 SCK 是指，教師在教學現場中運用到的專門內容知識；內隱 SCK 則表示，教師隱含於教學中的專門內容知識，它可能需要透過訪談或某些特定教學情境才會展現出來；KCT 是指，教師對教學內容安排、數學教學的評價以及使用數學教學技巧的知識；KCS 是指，教師能預估學生學習數學可能面臨的情況，以及了解他們使用數學語句所代表之意義的知識。根據前一節的研究背景與動機，本研究的主要目的為：探究資深高中數學教師 SCK 可能的細部樣貌(內容與特質)以及它與 KCT、KCS 間的關係。相對應的研究問題有：. 1.. 資深高中數學教師教學中展現 SCK 的內容與特質為何?. 2.. 什麼樣的情境下，會使資深高中數學教師的內隱 SCK 轉變為外顯的 SCK？. 3.. 資深高中數學教師 SCK 與 KCS、KCT 的關係為何?. 6.

(20) 第二章文獻探討. 第二章文獻探討本章共分為兩節，首先探討數學教師的專業，接著，分析不同學者對數學教師教學相關知識的觀點。. 第一節數學教師的專業. profession 這個字源於拉丁文(pro-贊同，fession 前進) (中國教育協會與中國師範教育協會，2004)，意旨持續不斷的終生學習。而根據劍橋英文辭典【網路版】(Cambridge dictionaries online, 2011)的解釋，profession 是指任何需要特別訓練或特殊技能的工作型態，經常是受尊敬的工作，因為它需要高水準的教育(any type of work which needs special training or a particular skill, often one which is respected because it involves a high level of education)。Noddings (1992)認為，要理解專業必須先區分「專業素養(professionalism)」與「專業化(professionalization)」。前者意旨，個人或者群組堅持高標準的實作，基於建立專業的觀點，提出用以認可某一專業的標準與技術。後者則是職業(occupation)為了建立自己的專業而企求改變。然而，要如何才能稱得上專業？ Noddings 指出專業含有篩選與規章 (selection and regulation)、專門知識(specialized knowledge)、利他主義與服務精神 (altruism or service)、殊榮與地位的分級(privilege and status hierarchies)、協會 (collegiality)以及自主性(autonomy)等六種特徵。. 首先，「篩選與規章」意旨教師要有類似其他專業的控管制度與培訓制度，很多人認為這些管理是種束縛，事實上，這是專業化的第一步驟(Sykes, 1986)。這些控管變為專業地位的一個測試或測量，推動這些控管可以將群體的成員轉向專業化。其中，透過檢定(certification)可以建立專業組織的策略，提供給其中的 7.

(21) 第二章文獻探討. 成員支持、認可與領導的地位。然而，定義與描述教師的專門知識是面對教師專業化最困難的問題。因為，數學教師不單需要知道學科的內容，也要具備「如何教」的相關知識。因此，數學教師所做的並非以專業數學家的姿態去定義或者創造數學，而是和學生很像的，創造或者建構數學(Noddings, 1992)。. 第三個是「利他主義與服務」，它們經常被定義為專家運用理論的知識以解決委託人(client)的問題(Argyris & Schon, 1974)。教學該是一種道德的職業，比起其他專業，教學更要承擔道德上的責任(Sichel, 1988)。數學教師可能需要更注意自己教學時的道德表現。為了教學，教師可能需要培養與學生間的信任關係並且給予更多關心。第四個則是「分級制度」，教師的分級可以提供升遷機制，激勵並且刺激教師的自我成長與精進。我國教育部(民 89)曾提出「高級中等以下學校及幼稚園教師分級及審定辦法（草案）」，將教師分為初級教師、中堅教師、專家教師以及顧問教師等四級。然而，國內目前仍朝落實教師分級方向努力之中，相關分級制度辦法與申請資格尚未有明確的規定。第五個則是「協會」，意旨教師可以透過教學研究會或者教師會，利用合作的關係精進教師專業。最後，Noddings 將自主權分為專業(profession)、專業子群(professional subgroup)以及個人專業 (individual profession)等三個面向。專業表示教師能自我準備並管理個人行為。專業子群如同「數學部門(mathematics department)」，意旨教學進度和內容能由教師們掌控。個人專業則表示，個人在專業人員與委託人(professional-client)的關係中具有主要的掌控權。以教師來說，他們應該具有選擇課程教材、教學方法以及評價學生的掌控權。然而，陳美玉(民 85)認為，國內教師權力不彰，參與各項專業決定未被確保，正是教師專業概念尚未落實的表徵。. 我國教育部中教司委託中華民國師範教育學會，於民國 94 年發表的「各師資類科教師專業表現之標準訂定計畫」曾指出，高中教師專業表現標準的向度可. 8.

(22) 第二章文獻探討. 歸納為，學科專門知能、學科教學知能、專業發展知能、以及專業態度等四個向度。其中，學科專門知能是指學科專門領域內所應具備的知識，學科教學知能是指有關學科知識的教學知能。專業發展向度包含生涯規劃、進修研習及研究創新三項指標，專業態度的向度下包含教育信念、敬業精神和人際互動三項指標。在高中教師專業表現標準的向度中，與教師知識相關的面向就占其中兩個。然而，什麼是高中教師應具有的學科專門知能與學科教學知能，建議書中並未詳細說明。如同先前所述，專業標準要求要有高度的專門知識，而專業化所面臨最難的問題之一就是如何定義以及描述教師所需的知識，這種專門知識也是最為直接影響教師教學的展現。. Fennema 與 Franke (1992, p. 147)曾指出，沒有人會懷疑教師擁有什麼樣的知識是會影響教師在教室中所進行的教學，以及它也會影響到學生的學習。這種知道教學中所用的數學知識，超越出了一般人默許的(tacit)理解(Ball, 2001)。此外， Shulman 認為 Geogre Bernard Shaw 曾說過的「能者做，不能者教(He who can, does. He who cannot, teach)」(Shulman, 1986, p. 4)，應該修正為「能者做，理解者教(Those who can, do. Those who understand, teach.)」，也就是說，對學科真正理解的人，才能勝任教學的工作。由此可見，具備教學相關的知識是教學的必備條件，它在學生學習或者建構教學占有重要的地位。然而，教師教學需要具備哪些相關知識？以下分析幾位學者對於數學教學知識的觀點。. 第二節數學教師的教學相關知識. 本節以介紹不同研究者對數學教學相關知識的觀點，並且，提出個人對數學教師教學相關知識的立場。. 9.

(23) 第二章文獻探討. 一、與教學相關的知識. (一) Shulman 的觀點. Shulman (1986)檢視美國過去教師檢定考試項目，發現檢定的標準大多以學科知識為重心，相較之下，教學理論與教學法的相關內容所占有的比率較低。自 1980 年代開始，美國的教師評鑑開始著重於對於教學之能力的評量、著重教學效能(teaching effectiveness)的展現。此時期的評量內容大多為一般教學法和教學技巧上的知識，而忽略了學科的知識。對此，Shulman 提出了迷失的典範(missing paradigm)，意旨課堂中失去教學、提問以及供給解釋的「內容」。也就是說，教師知識的來源是什麼?教師如何決定要教些什麼、要如何的表徵、如何處理學生的迷思概念?需要什麼樣的新知識？那些舊知識是需要回收或者一起合併為一個新知識的基礎？他認為這些與教學相關的知識應該被重視。. Shulman (1986)將教學將學中的內容知識分為 SMK、PCK 以及 CK 三個類別 (categories)。SMK 關聯教師心中(mind)知識的組織與多寡。以 Schwab (1978)的觀點來看，學科結構包含實質(substantial)結構與句法(syntactic)結構。前者表示用不同方法組織概念與原則並且和事實(facts)合併。後者表示辨認對或錯，有效或無效的方法，也就是說，它提供規則(rule)決定哪一個聲稱(claim)具有較好的根據(warrant)。Shulman 指出，在理論與實作中，教師不只必須有能力為學生定義公認的(accepted)事實，也要解釋為什麼這樣是被認為有根據的、為什麼它是值得了解的以及它是如何關聯至其它論點(proposition)。也就是說，教師不只需要理解「事情是如此」(something is so)，也必須進一步理解「為什麼」事情是如此。此外，教師也需要理解為什麼這個概念為一個主題的中心，這些都是與教師的 SMK 相關。. 10.

(24) 第二章文獻探討. PCK 則為一種特別形式的內容知識，它超越(go beyond)學科知識，是一種為了教學的學科知識。它收錄教學內容與可教性(teachability)間密切關係的面向，因此，PCK 包含了教師對於學科主題內容知識的教學想法的表徵之最有用的形式，包含了教學中最有力的類比、圖示、例子、解釋以及演示。PCK 也包含了教師要理解什麼樣的特殊主題會使學習變得容易或困難，以及不同背景下學生的先備觀念(preconceptions)與迷思觀念(misconception)。若學生這些先備觀念為迷思觀念，它們通常為何？教師需要有效地重組學生理解的策略之知識，這種對學科的教學理解應該為教育學知識(pedagogical knowledge))的中心。. 第三個類別的內容知識為 CK，它包含橫向(lateral)與縱向(vertical)兩種課程知識。橫向的課程知識表示教師連繫不同學科中相關課程或主題內容的能力。縱向的課程知識是指教師要熟悉過去與將來，在同一個學科一直被教與將要被教的主題與議題。Shulman 在 1987 年修改教師知識的分類，提出 7 種類別的教師知識基礎，除了上述三個內容知識外，還包含一般的教育學知識(general pedagogical knowledge)、關於學習者以及他們特徵的知識(knowledge of learners and their characteristics)、教育脈絡的知識(knowledge of educational context)以及關於教育目標、目的以及價值和它們的哲學與歷史基礎的知識(knowledge of educational ends, purpose, and values, and their philosophical and historical grounds)。. Shulman (1987)認為教學如同推理(reasoning)和領會(comprehension)、如同轉化(transformation) 以及省思 (reflection) 1 ，這些教學的特質形成一種教學推理 (pedagogical reasoning)，並且分為領會、轉化、教學(instruction)、評量(evaluation)、省思以及新的領會(new comprehension)六個步驟。「領會」表示教師可以理解他們所教的內容，如果可能的話，用不同的方法去理解。此外，教師對於目的(purpose) 1. 為了語句的通順，本研究中的「省思」與「反思」與英文的 reflection 字義相同。 11.

(25) 第二章文獻探討. 的領會也是教學推理的中心之一。他認為教學應致力於達成教育目的，並且發展學生在自由社會中所需的理解、技巧與價值。其次，教師除了自身對學科內容的領會，他也該有能力使這些內容知識「轉化」為讓不同能力和背景的學生較易吸收的形式。轉化可以分為準備(preparation)、表徵(representation)、教學的選擇 (instructional selection)以及適應學生特徵的教材(adaptation is the process of fitting the represented material to the characteristics of the students)四個項目。「準備」包含教師本身對學科的理解、對教材的檢視以及關鍵性的解釋，針對這些內容教師知道什麼樣的類比、隱喻、例子以及展示等表徵的形式，可以幫助建立教師領會和學生間的橋梁。接著，「教學的選擇」包含選擇教學方法與教學策略，也包含選擇不同形式的教學，例如協同教學、發現學習等。最後，再依學生的特性將教材修改到合適特定學生的特質。. 教學推理的第三個步驟為「教學」，它牽涉了不同可觀察的教學活動成果，且包含許多關鍵性的教學法面向。例如，班級經營與組織、呈現清楚的解釋和生動的描述、透過提問與探查和學生有效的互動、回答與反應、讚揚與評論。「評量」則是包含了教師在教學互動時檢核學生的理解，也包含教師本身的教學和教材的運用，這也帶領教師進行「反思」，也就是教師透過回顧教學與學習，並且重建、再扮演、重現事件。最後，透過這些反思，教師形成「新的領會」。它包含教學目的、教材、學生、教學以及自我教學的新理解。教學推理為一個循環的過程，然而，它們之間的順序並非固定，有些時候某些步驟也可能不會發生。這些推理取決於教師所擁有的知識，同時，透過教學推理，教師的知識也會重組，也會變得更為的豐富。. (二) Fennema 與 Franke 的觀點. Fennema 與 Franke (1992) 檢視和整合數學教師知識的相關文獻，包含數學 12.

(26) 第二章文獻探討. 知識、數學表徵的知識、教師的學生知識、教師之教學與決策的一般知識，以及教師知識的框架與認知模型。其中，他們認為 Brown、Collins 與 Duguid (1989) 所提出的情境知識(situated knowledge)可以作為理解教師知識的架構，以及知道它對教學行為與學生學習的衝擊。Brown 等人指出，情境知識可以因當下的情境決定被彌補(retrieved)或者使用(used)，因此它可以為個人的(personal)並且為可轉化的(transferable)。Brown 等人強調此知識依賴於學習的情境，因此，所有的知識為情境的，並且是活動、脈絡以及文化的部分結果。這三部份不僅與知識相互關連，也提供知識該彌補、詮釋或者使用的參照。Fennema 與 Franke 表示，數學教師的情境知識與他們的數學知識、教學程序知是以及學生的知識相互作用。它呈現動態的樣貌，並且隨著與課堂中特別的學習者成長與成熟。. 在整合數學教師知識相關的文獻後，Fennema 與 Franke (1992, p. 162)提出「發展於脈絡的教師知識(teachers’ knowledge：developing in context)」的架構圖 (見圖 2.1)。他們認為教師知識不再被視為一個孤立架構，它不能從學科知識、教師對學生思考的理解以及信念中分離，而且這些知識無法跳脫其所在的脈絡與情境。因此，他們將教師知識分為數學知識(knowledge of mathematics)、教育學知識(pedagogical knowledge)、學習者對數學認知的知識(knowledge of learners’ cognitions in mathematics)以及脈絡下特別的知識(context specific knowledge)四類。「數學知識」包含單元的概念、程序、解題過程的概念以及概念間連結的知識，它也包含這些概念與程序如何運用於解不同問題的知識。「教育學知識」則是關於教學程序的知識，包含計畫有效的教學策略、班級經營與動機的技巧。「學習者對數學認知的知識」則是包含在特定的內容中學生如何思考與學習，它也包含理解學生學習過程的困難與成就所在。此外，他們強調脈絡定義知識的構成要素並且使信念進來發生作用。也就是說，所有知識都是在活動、脈絡或者文化下相互作用的結果，並且合併教師的信念創造出一組獨特的知識，它能驅使課堂的行為。 13.

(27) 第二章文獻探討. Beliefs. Knowledge of mathematics. Context. Pedagogical knowledge. specific knowledge. Knowledge of learners’ cognitions in mathematics 圖 2.1：發展於脈絡的教師知識(引自 Fennema & Franke, 1992, p. 162). (三) Ma 的觀點. Ma (1999)比較 23 位美國小學教師與 72 位中小學教師的教學發現，面對相同四個主題(減法的重組、多位數的乘法、分數的除法以及矩形的周長與面積)，大多美國教師對於減法的重組和多位數乘法有完整運算能力，但是在分數的除法以及矩形的周長與面積的教學單元則出現困難。相較於中國教師，四個主題都有完整的運算能力與概念性的理解。Ma 在訪談時也察覺，中國教師能連接各主題的相關概念，而美國教師則是較為薄弱。. 14.

(28) 第二章文獻探討. 針對這些數學知識的差異，她提出了知識包裹(knowledge packages)的想法，其包含序列(sequence)、關鍵片段(key piece)以及概念結(concept knot)。「序列」可以分為兩種類型，一種是位於知識包裹的中心，它可能是透過知識與技巧發展主題(topic)的主要路徑。另一種則是環狀(circle)的序列，它連接了不同主題間的概念，並支持其他的主題，這些序列變得更具數學意義且概念更為豐富。然而，知識包裹中所包含的項目(items)並非都有相同的地位，在線性的或者環狀的序列中，具有一些較為關鍵片段。Ma (1999)提到，大陸教師認為學生若在第一次介紹這些關鍵片段即能透徹的理解，那麼在往後的學習就能事半功倍。概念結是知識包裹中另一種關鍵片段，它是由關鍵片段與其他相關概念集結而成，如同概念叢 (cluster of concepts)，幫助學生發展概念結除了能讓他們學習事半功倍外，也能重溫(revisit)或者加深概念的理解。. Ma (1999)認為，知識包裹中的程序性主題與概念性主題是互相交織的 (interwoven)。也就是說，若教師能重視概念性的理解並且試圖激發學生概念性的學習，勢必不會忽略程序性的知識，事實上，這兩者是不可分開的。圖 2.2 為引自 Ma 所提出教師對主題理解的模式，圖中的橢圓呈現知識包裹中呈現的知識片段。其中，白色橢圓呈現程序性主題，淺灰色橢圓表示概念性主題，而深灰色橢圓則表示基本原則，被虛線連接的則是對一般數學的基本態度。梯形顏色的深淺代表概念性知識間不同的深度與廣度。. 這些中國教師呈現對小學數學精密與連貫的圖像，他們認為小學數學並非為單純數字的演算，它是基礎數學(fundamental mathematics)。Ma 認為這個基礎 (fundamental)包含基石(foundational)、初始(primary)以及入門(elementary)三個部分。「基石」意旨，小學數學中包含許多往後高深數學所需的根基，如演算法和幾何數學這個學科中的兩個主幹，從這兩個主幹延伸出去的分支很多，但是它們在數學所扮演地位還是沒有改變。「初始」則是表示，小學數學包含許多重要的 15.

(29) 第二章文獻探討. 概念的初胚，如代數是利用方程式配合已知始求出未知的一種方法，結合律、分配律以及交換律很自然而然的根植於演算法中。最後，「入門」是指學生開始他們的數學學習。這些看似簡單的想法將會在學生學習數學的期間持續植入於學生的心智。也就是說，基礎帶領教師更理解小學數學，以及它強大的潛力。. Procedural Understanding. Conceptual Understanding. Structure of the subject 圖 2.2：對主題概念性理解模式(引自 Ma,1999, p. 25). 綜合以上想法，Ma (1999)認為教師必須擁有「基礎數學的深奧理解(profound understanding of fundamental mathematics)」(簡稱 PUFM)。也就是說，教師必須對數學知識具有深度(depth)、廣度(breadth)以及透徹性(thoroughness)。深度是指將知識連結更強而有力的概念之能力。廣度是指將概念連接至相似的概念或者較不強而有力的概念。舉例來說，將減法的拆解連接至加、減法這是屬於廣度，而連接至加、減法互為反運算為深度。透徹性是指深度和廣度的互相交織。此外， Ma 也點出具有 PUFM 教師的特色。第一個為連通性(connectedness)，意旨老師 16.

(30) 第二章文獻探討. 能做程序性和概念性的連接，從簡單連接至複雜，教師在反思時會預防學生可能的錯誤或不完整。第二個為多重觀點(multiple perspectives)，表示教師能理解不同解法的優缺點、以及給予不同的解釋。第三個為基本想法(basic ideas)，意旨簡單但是強力的基本概念。最後則是為縱向的整合(longitudinal coherence)，表示教師對知識有完整的了解，可以利用機會適時幫學生複習重要的概念。而這四個特色是互相相關的，其中連通性為具有 PUFM 教師的一般性特色。多重觀點、基本想法以及縱向的整合為連接的種類，並且帶領著不同面向有意義的數學理解深度、廣度以及透徹度。. (四) 范良火的觀點. 范良火(2003)認為討論知識時，必須注意其涉及到的三個成分。首先為認知者(the knower)，也就是知識的主體(知道的人)。再來為被知體(the known)，意指知識的客體(被認知的對象)。最後為知曉的過程(the knowing)，也就是主體與客體間的交互作用(怎樣認知)。他認為一個主體關於一個客體的知識是，認知者與被知體間交互作用或知曉過程的一種智力結果(mental result)。主體可以指一個人或一群人，而客體則可以是任何事物(例如：地方、事情、人、事物或者主體本身已經知道的知識)。交互作用則是指主體對於、關於或者用於客體的認識、觀察、經驗、反思、推理、思考以及類似的過程，而不是純粹的猜想、任意的想像或者無意義的幻想，他強調主體認識客體的過程是動態的。智力結果則是指，主體從交互作用中所獲得智力上的或者是認知上的成就，它包含了信念、記憶或者理解，非某種心理情緒、傾向或者意願。智力結果並非一定可以用語言表達，甚至不一定被認知者所意識到，也就是說，智力結果可以為顯性的，也可以是為隱性的。. 范良火(2003)認為「教師的知識」是指作為教師所知道的東西，它包含教師 17.

(31) 第二章文獻探討. 的信念(如，對教授某一特定內容，哪種策略是最為有效的)、記憶(如，一本教科書的結構指的是什麼)以及理解(如，怎麼運用某種教學法等)。他關注教師「知道某事、知道什麼以及知道怎樣」三種基本知識類型，這些知識可以是顯性也可以是隱性的。對於「教師的教學知識」他將其分為，教學的課程知識(PCrK)、教學的內容知識(PCnK)以及教學的方法知識(PIK)等類個部分。其中，PCrK 意旨關於包含技術在內的教學材料和資源的知識。PCnK 則是意旨關於表達數學概念和過程的知識，而 PIK 則表示關於教學策略和課堂組織模式的知識。. 范良火(2003)指出，教師知識的來源可能來自作為學習者的經驗、職前培訓經驗或者在職經驗。其中，在職培訓為 PCrK 最重要來源之一。教學經驗較少的教師認為，做為學生時的經驗和職前培訓對於發展自己關於技術的知識更為重要。在 PCnK 的部分，最重要的來源為教師的自身教學經驗與反思、和同事的日常交流。而對於 PIK 教師的自身教學經驗與反思、和同事的日常交流以及在職培訓，是提高教師其教學的方法知識的最重要來源。教學經驗不單能增強或鞏固教師原有正確的知識，更進一步，它能提供教師獲取或創造更多新知識的機會。. 二、 SCK 及其與 KCS、KCT 的關係. (一) Ball 和 Bass 等人的觀點. Ball 和 Bass (2000)認為 PCK 一種特殊知識，它將數學知識與學習者、學習以及教學法的知識捆綁了(bundles)在一起。PCK 也提幫助教師預見學生學習可能的困難，並且讓教師有可替代解釋以解決這些困難。然而，這些知識可能不能永遠使教師能夠應付複雜的實作中所需的彈性(flexibility)，儘管 PCK 提供教師一個明確預期的來源，但是實際的教學中，這些內容與教學動態持續的互動可能讓這. 18.

(32) 第二章文獻探討. 些預測失效，也就是說，PCK 並非萬能它並不足夠預期學生所有可能的思考、教學中主題可能會如何演變以及對於熟悉主題給予新的表徵或解釋的需求。當進行一個新的教學情境時，教師必須發揮對教學內容、學生學習以及教學法的思考。因此，Ball 等人強調用於實作中的 PCK，也就是他們想探究的「教學中有用的數學理解(pedagogically useful mathematical understanding，簡稱 PUMU )」。. 為了探究 PUMU，她們利用「核心數學教學活動的數學分析 (mathematical analysis of core activities of mathematics teaching)」試圖完成對課程的檢視以及探索有經驗教師的所知。核心活動包含，發現學生知道什麼、選擇數學想法的表徵、評價、選擇與修改教科書，以及引導產出性的討論。她們試圖認定教師活動所蘊含的數學資源，並且視教學為一種同時嵌入固有的一般性(regularities)與不確定性(uncertainties)的實作。以她們的觀點，準備一般性的教學實作是一種 PCK 的展現，其包含關於數學、學生以及教學法的知識。然而，教學所具有的不確定性，使得 PCK 無法為所有的實作準備。教學的不確定性有部分來自於，不可能知道學生在想什麼、教學知識本質必然的不完整以及數學知識本身故有的不定性 (indeterminacy) (Ball, 1996)。由於，教學實作建構於數學、學生以及教學法的交互作用下，因此，教師的工作伴隨些不確定性。也就是說，知道用於教學的數學必須考量實作中的一般性與不確定性，並且讓教師知道他們在實作所需解決的真實問題。因此，Ball 等人不只對「什麼為教師必須知道的知識感興趣」，她們對「教師如何運用這些知識」也相當關注(Cohen & Ball, 1999)，特別是在情境中教師知道些什麼(Lampert & Ball, 1999)。. 由於，教師的知識是壓縮、潤色過後的，為了使教師知識能成為實作中有用的知識，Ball 與 Bass (2000)認為教師該將自己原有的數學知識解構(deconstruct) 為較能讓學生易得到的(accessible)與可見的(visible)。Ball 等人稱為這個動作為解壓縮(decompression)，也就是說，教師必須有能力適時的從原本所成熟且壓縮的 19.

(33) 第二章文獻探討. 內容到退回到較原始、直接的狀態。其次，教師必續考量不同的發展教學軌跡，讓學生能操作與投入於數學活動中，她們稱這樣的工作為重組(decompose)，也就是數學任務的重組。此外，她們也指出教師必須要能鬆綁(unpack)經由學生壓縮後的數學知識，包含能看或傾聽不同人的觀點，知道學生可出現的錯誤或欣賞學生非正規的表示，教師需要鬆綁這特別的理解，這是專家知識的指標。. 承襲上述看法，Ball 與 Bass (2001)以 MKT 作為分析實作基礎的理論。MKT 意旨完成數學教學工作所需的數學知識，並且關注教學中的任務與其數學需求。由於，教學牽涉展現學生如何解題、回應學生的問題以及檢查學生的工作，這需要理解學校課程的內容。透過教學實作的分析，她們發展出一套 MKT 的測試性假設(Ball、Thames and Phelps, 2008)。此外，她們也從 LMT(Learning Mathematics to Teaching, 2006) 的計畫中，發展檢測教學中數學知識的工具，即為 MQI(mathematical quality of instruction)系統。最後，她們對 Shulman (1986)所發表的三種的內容知識進行更進一步的精煉，提出 MKT 的架構圖(見圖 2.3)。在左半邊的橢圓屬於 SMK，右邊則屬於 PCK，共可以分為六個領域(domain)，各領域的意涵說明如下(Ball 等人，2008)。圖 2.3：MKT 領域架構圖 (引自 Ball 等人， 2008, p. 403). 20.

(34) 第二章文獻探討. 1. 一般內容知識(common content knowledge，簡稱 CCK). 其呈現的數學知識與技巧在非數學教學的場合也能使用，是一種非教師專有的數學知識。它包含的特性有，教師需要知道他們所需要教的內容、能辨認學生給了錯誤的答案，或是教科書給了不正確的定義，也包含正確地使用數學詞彙以及符號。Ball 等人也強調，所謂「一般」並非指每個人都有這個知識，而是指它廣泛的被其他領域使用，而非數學教學所獨有。. 2. 專門內容知識(specialized content knowledge，簡稱 SCK). SCK 意旨教學所特有的數學知識與技巧，它包含尋找出學生錯誤的所在或評估非標準的方法可否一般化。在數學教學中，需要執行不同的的數學教學任務 (task) (如表 2.1)，這些任務需要專門的數學理解與推理，這類的數學知識是數學教師所需，而非其他職業所必備的。SCK 超越了給學生的數學知識，例如，教師需要理解不同運算方法的詮釋，而學生可能不需要清楚的分辨這些方法。教學牽涉到使用解壓縮後的數學知識，這可以較為直接地教學生，並且幫助他們發展理解。教師必須掌握住這些鬆綁的數學知識，因為教學牽涉讓這些特別的內容呈現給學生時是可見且可學習的。. 在教學任務中，回應學生「為什麼」的問題、有效地選擇、製造或者使用數學表徵，以及如何解釋與辯證別人的數學想法，這些都是數學教師專門內容知識 (亦即 SCK)，而它也是 Ball 等人最感興趣的內容知識。因為它提供了證據顯示教學需要一種專門而且「純(pure)」的數學知識，並未混合關於學生或者教學法的知識，它可以與 PCK 有所區別，而且，不是其他職業所需要或者使用的數學知識。. 21.

(35) 第二章文獻探討. 表 2.1：數學教學的任務(引自 Ball 等人，2008, p. 400) 呈現數學想法回應學生「為什麼」的問題利用例子來提出特殊的數學觀點辨認使用特殊表徵時所牽涉的內容連接表徵與潛在的概念以及連接表徵和其他表徵連接已教過的主題到更早以前的主題或是未來的主題對學生說明數學上的目標與目的來源評估以及採用教科書中數學的內容修改上課的內容使其教學內容更簡單或是更困難（常常要快速地）評估學生主張的可靠性評價或給予數學說明選擇與發展有用的定義使用數學上的想法與語言提出具有產出性的數學問題為了特殊目的選擇表徵. 3.. 內容與學生的知識(knowledge of content and student，簡稱 KCS). KCS 意旨知道關於學生與數學的知識，它包含預期學生可能的思考以及會發生什麼樣的困惑、能預測學生發現什麼樣的興趣與動機、當指派任務時，預期學生會感到困難或者容易，以及教師能夠聽並且詮釋學生不完全的思考。這些任務都需要特殊的數學理解以及熟悉學生的數學思考。而在一個教學事件中，也可能同時顯現教師的 SCK 與 KCS。例如，思考不同方法所代表的數學意義為 SCK 的展現，但是，了解學生學習的這些方法可能的迷思，或哪個方法可能會他們學習的困難則是 KCS 的展現。. 4.. 內容與教學的知識(knowledge of content and teaching，簡稱 KCT). 22.

(36) 第二章文獻探討. KCT 意旨知道關於教學和關於數學的知識，它包含選擇起始例以及什麼樣例子的使用可以讓學生有更深一層了解、評價表徵在教學上的優缺點以及認定什麼樣的不同方法或程序有教學上的影響、了解不同的譬喻或者題目設計的類型對教學的影響、以及針對學生的看法或提問是否該繼續追下去，抑或忽視、晚些再提起的教學決策。這些任務都需要特殊的數學理解與影響學生學習的教學議題理解。. 5.. 內容與課程的知識(knowledge of content and curriculum，簡稱 KCC). KCC 與 Shulman (1986)所提的課程知識雷同，然而，Ball 等人不確定這樣的知識是屬於 PCK 或者涵蓋了所有的知識，因此，暫時將其歸類至 PCK 領域。. 6.. 眼界內容知識(horizon content knowledge，簡稱 HCK). Ball 與 Bass (2009)認為 HCK 位於數學周邊視覺(peripheral vision)的中心，是一種更為廣大的數學景色(landscape)，它可能不直接呈現於教學之中，但是提供教師一種覺察(awareness)指引了教學實作。它理解廣大數學想法間的連通，這種理解給予教師一種周邊視覺，讓他知道現在位於何處，學生將來要朝哪個方向前進，意識到想法呈現或往後發展的結果。然而，它與 KCC 有些不同，因為它可能不在課程之中顯現。Ball 與 Bass (2009)指出，HCK 含有「知道環繞於當下教學中，數學環境的所在地(location)、主要學門(disciplinary)的想法與結構、關鍵的數學實作以及核心數學價值(values)與敏感度(sensibilities)」四個構成元素。然而，它是屬於 SMK 的一部份或者跨越其他類別她們尚未清楚(Ball et al., 2008, p. 403)，因此，暫時將其放置於 SMK 中。. 針對 MKT 的架構，她們提出三個特別的問題。首先，此架構與教學實作相. 23.

(37) 第二章文獻探討. 關，所以，它含有某些本質上的混亂，以及課堂教學與學習的變化性(variability)。因此，即使在同樣的情境下，不同教師可能展現不同類別的知識。例如，選擇例題以調查學生對數學的理解，選出可以顯現關鍵數學想法的例子需要 SCK，了解哪個例子對學生造成困難是 KCS 的展現，決定如何使用這些例子進行教學則為 KCT。其次，MKT 架構中各類別的知識看似為靜態的，然而，她們想要理解構成教學中決策的數學推理，以及不同類別知識如何在教學中發生作用，這需要被更有效地來描述。最後，她們也想要更清楚的理解，MKT 是因文化所特有，還是與教師風格相關。. 此外，Ball 等人(2008)也強調，要從一個類別中分辨出另一個內容知識，或者明確說明彼此間的邊界是有困難的，因為教師在情境脈絡中可能會整合所有的知識。對此，國內有相關研究結果。曾名秀(2011)曾指出，各類別知識的外顯與隱藏特性，有些類別的知識可能隱藏於教師的數學教學思維中。其次，各類別知識之間也可能的交互轉換與影響。例如，KCS 影響了教師 SCK 的呈現，或者 SCK 影響 KCT。. (二) Sleep 的研究. Sleep (2009) 試圖說明，數學教學實作中所認定與使用的數學目標 (mathematical proposing)，並且探索這些工作中所需的數學知識。「mathematical proposing」可以分為兩個主要部分，「清楚說明數學要點(mathematical point)2」以及「將這些教學導航(orient)至數學要點」。然而，因為教學活動複雜且 MKT 中各類別知識的分界相當模糊。Sleep 分別使用數學的濾鏡(mathematical lens)、學習者的濾鏡(learners’ lens)以及聚焦的濾鏡(focusing lens)進行課堂中數學領地 2. Sleep 所指的數學要點有些近似於 Ma 的知識包裹，不過，它增加了對數學領地的鬆綁，也包含清楚的說明教學活動中特別的數學想法。 24.