本章第一小節中，個人以第四章的研究結果與相關研究文獻對話，對重要研 究結果做引伸性的討論。第二小節則是提出對未來中學數學教師 MKT 相關研究 的建議。
第一節 林師與吳師 SCK 的討論
以下透過討論林師與吳師較為突顯的 SCK 特質、SCK 與不確定性以及 SCK 和 KCS、KCT 間的關係，並與研究文獻相互印證。
一、 林師與吳師 SCK 的主要特質
Ball 等人(2008)所提出 SCK 的特徵包含，解釋算式的意義、詮釋不同解法、
有效地選擇、製造或者使用數學表徵、解釋與辯證別人的數學想法以及回應學生 關於「why」的問題。它也包含使用解壓縮後的數學知識進行教學，鬆綁這些知 識可以讓數學內容的特性變得讓學生可見與可學習的，這些都是數學教師所特有 的數學知識。而 Sleep (2009)提出 SCK 的面向(p. 187)中，「認定核心的想法、實 作與技巧」以及「認定數學教學活動中可供學習的機會」，則是較不同於 Ball 等 人所提的 SCK 面向。我們從林師的研究結果可以發現大多具有上述 SCK 的特質，
而吳師則是因為較少與學生有教學上的互動，使得「解釋與辯證別人的數學想法」、
「回應學生關於 why 的問題」以及「認定教學活動中可供學習的機會」這些 SCK 的特質較少顯現。
然而，兩位個案教師也顯現出一些不同於 Ball 等人(2008)SCK 的內涵與特
質。首先，以 Ball 等人的觀點，「正確的使用數學符號和語言」這類知識較偏向 CCK 的領域。不過，本研究的結果可以發現，在某些數學教學的情境中它也能 顯現教師的 SCK。例如，吳師說明條件機率符號所代表的數學意義，林師強調 數學歸納法證明中語言的使用，甚至，當使用非數學符號時也能注意到數學的嚴 謹性。個人認為，由於 Ball 等人的 MKT 架構是在國小數學教學的脈絡下所發展 出來的，因此，它所牽涉的數學語言與符號較為單純，相對的，高中數學所包含 的語言與符號則複雜許多，所以比較能夠突顯數學教師的 SCK。再者，兩位個 案教師在教學中也都展現出特有的數學想法與推理。例如，林師以特殊假設餘式 的技巧導出 Lagrange 插值多項式的形式，以「局外人」觀點說明貝氏定理；吳 師則以向量的內積說明矩陣乘法的特性，並且，搭配外積的概念導出三階反方陣 的公式。這種特有的數學想法與推理展現了不同於文獻中 SCK 的特性。第三，
個人也發現兩位個案教師的某些 SCK 具有 HCK 的特性。例如，林師強調唯一性 定理的重要性、關注除法原理的數學價值以及在教學中連接些許微積分的概念，
提供了學生更寬廣的視野(亦即將數學想法延伸至更寬廣的數學視野)；吳師則是 理解以向量說明矩陣乘法和三階反方陣公式不具發展性。這些應該為教師所特有 的數學知識(亦即 SCK)，然而，它卻含有部分 HCK 的元素，而這些元素不一定 會直接(或經常)展現於課堂教學之中，必須搭配訪談才能掌握得到。
另一方面，林師在前導階段的訪談中，曾指出除法原理的價值以及展現對
「唯一性定理」欣賞(appreciation)；在數學歸納法的教學中則表示，某些例題適 合用數學歸納法證明，有些則是用其他方法更有「感覺」。這些的數學想法不只 存於林師的心中，也影響他的教學實作，使得他的數學教學有些教學價值 (pedagogical value) (Bishop, Seah, & Chin, 2003)的味道。此外，林師有時候會開放 學生發表意見，或者，藉由試探性的提問引發學生解釋。在這些教學中，他需要 理解學生那些解釋或者辯證為可接受的數學解釋(例如，學生直接使用除法原理 說明餘式的唯一性)。他也曾與學生討論不同解法的數學意義(例如，使用「數學
歸納法」與「因式分解」來證明“𝑛3+ 2𝑛永遠都是 3 的倍數”，藉此傳達兩種 數學想法的差異)。在這些教學事件中，這不只展現林師 SCK 的樣貌，同時也含 有類似社會數學規範(sociomathematical norms) (Yackel & Cobb, 1996)的想法。最 後，在林師的教學中，不只要回應學生「為什麼」的問題，也要回應學生「what」、
「how」以及「can」等問題，而提出和回答這些問題也都能夠展現出教師的 SCK。
只是，這些 SCK 經常是隱性的，必須在特殊的情境中才可能顯現出來。例如，
回應學生即興的提問(“如果最多三次的函數，然後給我 5 個條件那會怎麼樣 啊？”、 “數學歸納法可不可以往前推？)，也可能是臨時加入的數學內容(碎 形幾何基本概念)，這些情境中都引發林師隱性的 SCK。
二、 SCK 與不確定性
根據本研究的結果，個人將林師所展現的 SCK 約略分為兩大類。一種是他 預定呈現的數學知識或想法，較偏向於他在「一般性(regularities)」(Ball and Bass, 2000)實作中所展現的 SCK。例如，數學歸納法與貝氏定理的觀察單元中，林師 有一套較為固定的數學想法或者特有的理解方式。這些想法無論在教學或是訪談 中，都不會有太大差異或者變動。除了一般性的 SCK 之外，教學中也可以發現 某些「不確定性」，個人甚至認為，這些不確定性也具有程度之分。林師在教學 中經常使用事實性提問來引導學生回應，由於，他不可能完全預測學生回應的內 容，因此，在這種教學策略下常會伴隨著「對學生數學思考的不確定性」。不過，
針對這些類型的提問他大多有預定的答案與想法。個人認為這樣的教學實作的不 確定性比較低，伴隨著顯現的 SCK 也較偏向於一般性。此外，學生有時候發表 的觀點或者解法與林師接下來的教學重疊，他也會調整自己的教學內容與學生的 發表連接。同樣的，林師無法預測「哪位學生」或者「什麼時候」提出與他相似 的觀點，不過這些內容是他預訂呈現的數學知識，所以個人認為，這也是不確定 性程度較低的實作，伴隨的 SCK 也較偏向一般性。
然而，學生有時會自發性的提問或者發表看法，而這些問題與看法很多並 非為林師預定呈現的數學內容或者想法。因此，個人認為這類由學生發動的教學 事件所隱含的不確定性高於由林師領導的教學事件。因應這些非預定呈現的數學 內容，他有時展現一種即興的 SCK(亦即林師第二種類型的 SCK)。此即興的 SCK 和 Ainley 與 Luntley (2007) 所 提 出 的 「 專 注 依 賴 知 識 (attention-dependent knowledge)」有些相似。專注依賴知識是指教師在「當下(in the moment)」的課 堂教學中情境所顯現的知識，是一種高度脈絡化的命題知識(highly contextualized propositional knowledge)，它經常在回應孩童活動實例中顯現，讓教師有效的回 應課堂中的問題，而這些問題不能藉由學科或教育學知識的基礎所預測。他們推 測，有經驗教師的專注依賴知識不只照料學生想法，也能指出學生想法所含有的 意圖，而它與學科知識和教育學知識也具有互動的關係。不過，他們較少著墨於 教師數學知識和不確定性間的關係與影響，也較難分辨這些不確定性的層級。
Ainley 與 Luntley (2007) 主要 是 利 用 認 知 的問題 /認 知 的 機 會 (cognitive problems/cognitive opportunities)、概念的/非概念的(conceptual/non-conceptual)、
反應/回應(reaction/response)以及審問/注意(interrogating/noting)這四大類編碼來 分析教師專注依賴知識。其中，「認知的問題」意旨，教師發表學生於教學中展 現不同的數學想法，而「認知的機會」則是教師嘗試擴展學生的想法。本研究的
「支線」除了包含這兩類的教學事件，它也包括學生即興的提問，代表著教學中 的突發事件，是一個較為全面性的編碼。教師為了因應這些事件，當下可能會有 不同的行動。Ainley 和 Luntley 將這些行動分為，用熟悉的策略「反應」與用新 方法「回應」這些教學事件，並以訪談評斷教師在教學中是否做了「概念的選擇 (conceptual choice)」(亦即概念的/非概念的)。然而，此編碼系統只顯現有或沒有 的關係，應該可以再進一步細分。本研究雖然沒有探討和「反應」相關的編碼，
不過為了因應教師不同的回應方式。個人將教師回應的方式分為，「教師立即回 應」、「教師延緩回應」以及「教師迴避回應」，以分析教師這些情境中的行動。