第四章 研究結果
第三節 林師第二階段的研究結果
以下分別說明林師在第二階段中，教學內容與安排、主要概念的教學實作以 及實作中呈現的 SCK 的研究結果，並且，整合三階段的結果進行三階段的分析。
一、 教學內容與安排
林師第二階段的觀察單元為貝氏定理，共有 3 堂課。「教學內容與安排」
分為 37 個片段。在「片段的安排」中，全體活動共出現 36 次，個人活動 為 1 次。在「內容」的部分，則是「機率」出現 35 次。
表 4.10：林師前導階段與 第一階段出現的 SCK 樣 貌
表 4.11 為個人整理教學活動編碼統計的結果(各堂課的細項發生次數
相加的時候再用什麼?機率的乘法原理。好，比如說A1∩ B等於這個乘 這個嘛【指 P(A1)× P(B|A1)】(…)都靠乘法原理、乘法原理、乘法原 理，這樣把它全部加起來就答案了。實際要用的時候就是我剛剛所強 調的，畫樹狀圖。所以我們實際在用所有分割原理的時候就是看樹狀 圖了。這邊樹狀圖是重要的輔助工具。課本這一段沒有把樹狀圖這個 列出來，我是覺得說，ㄜ…應該很注重這邊，因為樹狀圖是很重要的。
S3：直接畫樹狀圖的意思和圓餅圖…
林師：是一樣的，完全相同。可是要…哪一個比較好用呢?樹狀圖比較 好用吧!樹狀圖用得很順對不對?所以呢，事實上你可以不用理會這種 圖 。 你 可 以 不 用 理 會 他 ， 你 就 用 樹 狀 圖 畫 就 好 了 (…) 。 (A1, 20110525, 二)
在上段教學中，林師除了利用樹狀圖與文氏圖的表徵，解釋分割原理的想法，
他也選擇樹狀圖作為解釋分割原理的表徵(實際在用所有分割原理的時候就是看 樹 狀 圖 了 ) 。 這 不 只 呈 現 類 似 「 解 釋 每 個 表 徵 與 程 序 (describe/explain each representation or procedure)」 (Sleep, 2009, p. 187)的 SCK，也展現林師挑選表徵 以傳達數學想法的 SCK (explaining a mathematical idea by selecting appropriate examples and representations) (Charalambous, 2008, p. 43)。然而，面對學生的提問 時，他則是和學生強調樹狀圖的使用。對此，林師表示：
其實我…我在這邊的話…我不會特別去…強調分割，我不會說特別去 強調這些分割乃至這些符號，這些東西，因為覺得這些對…對學生來
圖 4.12：介紹分割原理與樹狀圖
講是一個…很大的那種…很挑戰的一種理解，像那個東西滿挑戰的。
如果要看到那個，看懂課本那個符號是對有興趣的學生，然後呢…它 可以從那個樹狀圖這種操作裡面，然後反過來去看分割啊!那為什麼強 調樹狀圖，因為…對…絕對百分之 99 以上的高中生，你用那個…貝 氏 定 理 哪 種 什 麼 分 之 什 麼 ， 那 種 東 西 的 話 是… 無 法 接 受 的 ! 對 吧!(B1, 20110 1 , 二)
從訪談中可以發現，林師強調樹狀圖重要性的原因和前兩個階段不同。在前兩 個階段中，他以數學的角度出發，強調「唯一性定理」、數學歸納法「起頭」與
「接續」的重要或關鍵。但是強調樹狀圖則是以學生為出發點，預測學生可能 的困境，因此，林師使用「樹狀圖解釋分割原理的想法」的 SCK 可能受到林師 KCS 的影響。
接著，林師說明課本的例題(原題：設袋中有 2 紅球、3 白球、4 黑球，從中 任取一球，取後放回，並追加一球同色的球，再取一球，求第二次取得紅球的 條件下，第一次取得紅球的機率)，以轉為一個「局外人」的情境介紹貝氏定理，
以下為相關教學影片轉譯：
林師：然後呢…我們來問一個情境。就是說剛剛完這個動作的時候呢，
剛剛完這個動作的時候，剛好 S 就，又尿急了，去上廁所了。OK?然 後呢，他等他解放回來之後就發現，ㄟ~我拿到紅球耶!我們最後拿到 紅球了，我們最後拿到紅球了，所以 S 就知道說我們最後拿到紅球了。
這時候 S 就那請問第一次是紅球的機率是多少呢?然後這過程當中他 完全不曉得第一次拿到什麼球嘛!對其他人來講多少過程是從我們進 行對不對?可是對 S 來講，他不曉得第一次拿到什麼球，對這個局外 人來講的話呢，他只知道說第二次拿到紅球。那在只知道第二次拿到 紅球，而不曉得第一次什麼過程當中，請問第一次是紅球的條件機率 (…)請問，第一次，他要反推。在第二次拿到紅球這個資訊之下，要 問那麼在第一次拿到紅球的機率應該是多少呢?
S7：就直接用剛剛那個算式啊!
林師：對啊!就直接用那個算式，因為我現在多了一個額外的資訊，我 現在拿到紅球了(…)(A1, 20110525, 二)
在局外人的情境中，他試圖讓學生了解第二次取得紅球的機率與第一次的取球有 關，並且，引導他們從條件機率的公式與樹狀圖求出「第二次取得紅球的條件下，
第一次取得紅球的機率」。對於這樣的局外人情境，在訪談中林師表示：
我現在所有的了解就是…ㄜ…一種就是這樣嘛!我現在講的可能不是 貝氏定理精神，只是我個人的所理解的意見(…)我這邊我上課的時 候…應該有那個錄影的時候也有看到吧!我不是跟學生講一個局外人 情境?(…)我都用這種方式來解釋，我自己也是這樣理解的。我是利用 來說服我自己然後也是用這種方式來說服我的學生。就是說那個…在 做個過程(…)整個過程都結束了，可是對他來講，對那個局外人來講 還是隨機的(…) (B1, 20120106, 總)
個人認為，林師教學中使用「局外人」的情境，不只是一種教學技巧的展現，事 實上，它也是林師特有的數學理解，這是他為了解釋貝氏定理而編織的情境。同 時利用這個情境施教，這類似於「產生例子或脈絡，以描述或解釋概念、原理、
表徵以及程序(generating examples/contexts of when it is used/applied)」(Sleep, 2009, P. 187)，因此，這應該屬於他SCK的展現。
三、 實作中呈現的 SCK
(一)
與 SCK 對應的部分細項
以下，個人先呈現「教學活動中數學領域的知識」與「偕同學生的數學使用」
各項編碼的結果(見表 4.12 與 4.13，各節課詳細的發生次數請參見附錄二(7) )。
接著，個人選取其中 5 個細項，說明林師在這些細項所對應的教學事件中，呈 現的 SCK 樣貌。
表4.13：林師第二階段「偕同學生的數學使用」編碼統計表
作例題時，常使用樹狀圖來輔助說明並且與數學符號連接，並且配合例題的情境。
這使得本階段「挑選模型或操作物以表徵數學想法」、「在符號、具體圖像、圖表 等物之間做連結」與「多重模型」三類細項出現(如圖4.13)的比例較前兩個階段 高。
個人認為，林師挑選樹狀圖以解釋分割原理與貝氏定理(實際在用所有分割 原理的時候就是看樹狀圖了)，這是他對分割原理與樹狀圖的連結與理解，是SCK 的展現。另一方面，林師會預知學生學習可能發生的困難(KCS)，而在教學時強 調樹狀圖的使用，這顯示林師的KCS可能影響這部分SCK的呈現。此外，本研究 中，「調度模型或操作物以表徵數學想法」與「挑選模型或操作物以表徵數學想 法」是一起出現的，不同的是，「挑選模型或操作物以表徵數學想法」較著重於 林師了解樹狀圖與分割原理的關係；「調度模型或操作物以表徵數學想法」則是 強調其教學中樹狀圖的應用，較偏向KCT的展現。
2. 「討論數學想法或特殊的教學工作」
此階段中，林師除了給學生發表的機會，也設計了一些特殊的教學活動。他 從與統計相關的研習中，設計一份問卷調查，讓學生體驗分割原理在現實生活中
圖4.13：「挑選模型或 操作物以表徵數學想 法」、「在符號、具體圖 像、圖表等物之間做連 結」與「多重模型」
圖 4.14：林師推估比率的板書
的應用。並且，在活動結束後，開放學生討論其他的設計方法。以下為相關教學 片段轉譯：
林師：這是一個有趣然後敏感而尷尬的問卷調查，那既然說，其實你 可以放心的回答。你如果有…你曾經小便，在游泳池中小便的話呢，
你也可以打圈嘛!為什麼呢?因為現在，現在那個…打圈還有另外一種 可能(…)如果你的出生月份一月份到七月份的話，那你就直接打圈就 好了，管你有沒有做那個，就是打圈。阿如果說你的出生月份不在 1 到 7 月，是 8 到 12 月，然後有在游泳池做那種事就打圈。沒有的話就 打叉，就這樣子。(…)我們這個調查的目的是要問，118 所有同學裡面 曾經在游泳池小便的人的比例多少呢，怎麼算出來呢?各位先想一想，
各 位 先 想 想 看 。 好 ， 那 這 個 我 們 明 天 上 課 的 時 候 再 說 (…)(A1, 20110526, 二)
在下堂課中，林師利用分割原理的想法，將問卷中「打圈」分為兩個部分。
一個為 1 到 7 月且打圈，另一個為 8 到 12 月且打圈。接著，他配合學生資 料卡與條件機率的乘法原理，推估出班上曾在游泳池小便的比例(見圖，
4.14)。
當林師推估出答案後，由學生的提問引發了額外的課堂師生討論，以下為相關教 學片段轉譯：
S2：如果調查的人不知道你不知道他出生的月份的話，你要怎麼辦?
林師：那這個時候呢就…這時候呢就只好就…假設那個出生月份…
真 的… 而 且 … 他 們 是 真 的 這 樣 操 作 。 當 然 這 是 比 較 粗 淺 的 操 作 方 式 (…) (B1, 20110 1 , 二)。個人認為，這種特殊教學工作的安排，應該屬於林師 KCT的展現。然而，從這個教學片段中，他掌握可供學生學習數學的機會，這與 Sleep (2009)所指出的，「認定有用的數學實作機會(identifying opportunities to work on mathematical practices)」(p. 187)相似，因此屬於其SCK的展現。此外，
個人也發現此教學片段中的「不確定性」。林師不單只是回應學生的提問與看法，
他也藉此開放學生討論，展現出即興的SCK。
3. 「支線」與「教師立即回應」
本階段共出現8次支線，包含5次為「教師立即回應」，以下為其中的一個教 學事件。當林師以例題介紹完貝氏定理後，學生針對他的寫法(見圖4.15)提出不 同的觀點，以下為相關教學片段轉譯：
S8：為什麼不能直接用方法數?
林師：什麼?
S8：為什麼不能直接用方法數，就是你2 × 3、3 × 2、4 × 2那是方法 數啊!分之第一次是紅球和第二次紅球的方法數，2 × 3。
林師：也可以，這樣做也可以啊!也可以啦!也可以啦!不過因為實際上 我們現在處理是什麼?我們在處理是那個…ㄜ…處理是不一定是古典 積率的情況。如果一般來處理不是古典機率的情況的話呢，你…不一
林師：也可以，這樣做也可以啊!也可以啦!也可以啦!不過因為實際上 我們現在處理是什麼?我們在處理是那個…ㄜ…處理是不一定是古典 積率的情況。如果一般來處理不是古典機率的情況的話呢，你…不一