第四章 研究結果
第二節 林師第一階段的研究結果
以下分別說明林師第一階段中的教學內容與安排、主要概念的教學實作與想 法以及實作中呈現的 SCK。
林師前導 SCK 的樣貌
明確的說明算式可以成立或有意義 認定與解釋核心概念與程序
數學概念的前後連接 特殊的組織與理解方式
使用符號與語言時會注意其嚴謹性
為數學想法挑選例子(可分為預先設計以及即興的選擇) 即興的說明某些數學概念或想法(即興的 SCK)
強調數學的關鍵或者重要性(可能帶有部分 HCK 特性) 解釋學生的看法(有時出現即興的 SCK)
圖形連接數學想法
回應學生「how」的問題(即興的 SCK，可能影響 KCT) 表4.6：林師前導階段SCK的樣貌
一、 教學內容與安排
在數學歸納法單元的教學中，林師提供一個故事的情境(小和尚問老師傅什
圖 4.9：數學歸納法，
歸納
圖 4.8：數學歸納法，
實驗與觀察 候呢，2 × 2 + 3 × 22這樣等於多少?這等於 4 再加多少?12，16。ㄟ~
好像就是那個…2 的次方對不對?可是小心，你只有看兩項，太少太少 了，要多看一些。我們必須多看一些， 𝑛 = 3 的時候多少?(…)那 320 分解變多少? 5…等於多少?5 乘 64，等於26。來有沒有看到?有沒有看 出規則?
S：我知道4 × 25。
林師：各位有沒有看出規則?你可以先看一些比較特殊的部份，這裡有 兩個地方比較特殊比較容易看出形狀，是哪兩個?
S：3 × 24。
林師：𝑛 = 3 的時候，是3 × 24。 𝑛 = 5 的時候是什麼? 5 × 26是不是 這樣?(…)那我們現在有百分之 99.99 的信心，這個猜測是對的!等於多 少? 𝑛 × 2𝑛+1，∀n ∈ N都成立，是不是這樣?所以呢應該是這樣，完整 的數學歸納法的活動應該怎麼樣?一個觀察、實驗、觀察歸納過程。實 驗、觀察、歸納過程。那這個猜測之後然後再用那個數學歸納法形式 骨牌原理完成證明，ok(…) (A1, 20110222, 一)
由以上教學片段可發現，林師不會直接給學生歸納的結果，而是經由實驗，
先發現所整理出來的式子與 2 的冪數相關，再引領學生歸納出一般項的形式。
這正符合他所謂的完整數學歸納法的過程(實驗、觀察以及歸納)。個人認為，這 段教學牽涉到，他認定與解釋核心概念與程序，因此這應該是林師 SCK 的一種 樣貌。
三、 實作中呈現的 SCK
(一)
與 SCK 對應的部分細項
以下，個人先呈現「教學活動中數學領域的知識」與「偕同學生的數學使用」
各項編碼的結果(見表 4.8 與 4.9，各節課詳細的發生次數請參見附錄二(6) )。接 著，個人選取其中 7 個細項，說明林師在這些細項所對應的教學事件中，呈現的 SCK 樣貌。
教學活動中數學領域知識(第一階段) 次數 百分比 次數(支線)
符號的使用 2 1.0% 0
數學術語 37 18.0% 3
數學描述 30 14.6% 0
數學解釋
42
20.4%6
數學辯證 11 5.3% 0
表達數學想法的一般語言 21 10.2% 2 為數學想法挑選數字、實例或者脈絡 12 5.8% 2 挑選模型或操作物以表徵數學想法 11 5.3% 0 在符號、具體圖像、圖表等物之間做連結 7 3.4% 0 計算錯誤或其它計算上程序性的疏失 3 1.5% 0
多重模型 2 1.0% 0
多觀點 14 6.8% 0
表 4.8：林師第一階段「教 學活動中數學領域知識」
編碼統計表
1. 「數學術語」
以發現他對數學語言的要求，這是林師 SCK 的呈現。
2. 「挑選模型或操作物以表徵數學想法」與「在符號、具體圖像、圖 表等物之間做連結」
在數學歸納法的教學中，林師除了以河內塔模型作為引入數學概念，在講解 某些例題時，他也使用表格與圖形實驗、觀察與歸納數學想法。如以下教學片段 與截圖(圖 4.10 與圖 4.11)：
林師：請問各位當 𝑛 為正整數的時候，這個2𝑛跟𝑛2，2𝑛跟𝑛2哪一個大 哪一個小?
S：不一定。
林師：不一定，但是 𝑛 很大的時候。
S：2n。
林師：所以我們確定 𝑛 夠大的時候呢，這個一定大於這個。但是，這 個夠大呢，在不夠的時候，什麼叫不夠大? (…)是不是可以看到 𝑛 從 5 開始， 𝑛 從 5 開始確定就，這個就比這個大了，是不是這樣?ok?要怎 麼證明這個事情，對所以有的大於等於 5 的正整數，2n > n2這個怎麼 證明?
S：畫圖。
林師：畫圖，好這是一個提議，然後呢還有什麼?可不可以這樣想，這 樣想嚴格嗎? (…)那剛剛很自然的同學就說用畫圖來看。那還是同樣的 數學的特質就是說，希望儘量沒有漏洞，儘量減少模糊地帶。如果你 看喔，我們在畫圖的時候我們頂多呢，比如說要你用畫圖來看好了。
譬如說畫了2𝑥的函數是這樣長的，這邊跑得很快，譬如說這邊跑的很 快。很陡峭，衝得很快!阿這邊呢，𝑥2是那個…爬的速度就比較慢，
然後這邊呢，衝得很快，你會說這邊衝得很快，這邊衝的比較慢。你 這個講法還是跟我這邊的講法是一致的嘛!對不對?還是用到速度，增 長速度來看嘛!阿總之呢，以數學的挑剔標準都是有毛病可挑的。(…) 好，那我們就想說，以我們目前的程度，以我們目前所學的數學知識，
要嚴謹不會被挑毛病的話呢，就是大概只有剩下什麼?只有剩下數學 歸納法。只有用圖形來看，可能就要用到什麼?微積分的一些知識了。
如果你想用一些圖形來證明，可能要用一些微積分知識才比較嚴謹。
好，所以目前的話我們就用數學歸納法。 (A1, 20110224, 一)
在這段教學中，林師使用表格讓學生觀察2𝑛跟𝑛2的相互增長情形，幫助學生觀 察「當𝑛 > 5時，2𝑛開始大於𝑛2」。這種教學的手法，近似於「決定如何展現表徵 或者作紀錄的方式，幫助學生涉入帶有意圖的數學(determining how to deploy representations and/or make records in ways that help students engage with the intended mathematics)」 (Sleep, 2009, p. 209)，這是林師KCT的展現。然而，當學
圖 4.10：
使用表格觀察數的大小
圖 4.11：用圖形表示增長速度的模糊
生提出用圖形觀察時，林師表示用圖形說明是「模糊」而且「不嚴謹」，近似於
「連接了表徵與模型所蘊含的意義(linking representations and models to their underlying meaning)」(Charalambous, 2008, p. 43)，此為SCK的展現。
此外林師也指出，必須藉由微積分的相關知識才能用「增長速度」來說明。
他了解現階段的教學只能使用數學歸納法，但是，在教學中仍提及一些微積分的 面向，提供了學生更寬廣的視線。這類似Ball和Bass (2009, p. 6) 所提及的HCK 其中的一個特性，「它涉入那些可能不包含於課程之中數學的面向，並且對孩童 當下的學習可能是沒有幫助的。但是，它闡明與賦予一個更寬廣重要性可以領會 的 感 覺 ， 雖 然 它 可 能 只 顯 現 其 中 的 一 部 份 (It engages those aspects of the mathematics that, while perhaps not contained in the curriculum, are nonetheless useful to pupils’ present learning, that illuminate and confer a comprehensible sense of the larger significance of what may be only partially revealed in the mathematics of the moment)」。因此個人認為，有一部分的林師SCK可能伴隨著某些HCK的特 性。
3. 「多觀點」與「比較」
由於，林師認為在「實驗、觀察與歸納」後，數學歸納法並非唯一的證明方 式。因此，在本階段的教學中，他也使用不同觀點進行證明。以下為相關教學片 段轉譯：
林師：例題 9 是要證明不管 𝑛 是哪一個正整數，𝑛3+ 2𝑛永遠都是 3 的倍數，𝑛 = 1 的時候，檢查有沒有成立(…)那其實呢為什麼我這題這 樣處理呢?其實我要講的是這一題我不喜歡用數學歸納法，這題有非 常漂亮的作法。我是覺得說…當然數學歸納法是一個做法啦!用數學歸 納法是一個證明的方式，可是這一題呢，例題 9。例題 9 跟例題 10 都 一樣，我們都可以不用數學歸納法就證出來了!
S4：分析…
用因式分解，將𝑛3+ 2𝑛 表示為三個連續正整數的乘積。林師詮釋不同的數學想 法，更進一步，林師還評價了數學歸納法的使用。在訪談中他表示：
那數學歸納法就提出一個很嚴謹的證明方式，證明有一個程序，這樣。
但是我們歸納…我們歸納出一些現象後，要怎麼證明這是對的呢?那不 一定要用數學歸納法，不一定要用數學歸納法。那有些時候用一些其 他的招式，譬如說在那個例子裡面，剛剛說的那個例子裡面。這個，
你用數學歸納法固然證出來了，可是有沒有發現，我們用另外兩招更 看出關鍵!但是這樣也沒辦法說數學歸納法看不出關鍵，這還是要看那 題而定啊! (B1, 20110 1 , 一)
我不是覺得數學歸納法不好。而是說…我寧可用一些其他比較適合的 例子說明，遞迴數列那邊…𝑎𝑛+1分之多少加 𝑎𝑛對不對?那事實上用數 學歸納法就很自然啊!就是…因為我一看這題…我們一看就是說…根 據我們以前學習經驗，我們應該有辦法可以看出這個是…一個比較容 易想到、解釋的方法，而且很親切、很熟悉、很有感覺的，那這時候 我們幹嘛用數學歸納法。用這個當例子來講數學歸納法我沒有辦法接 受，我受不了。我受不了用這個當例子。我寧可用一些…其他例子。
對! (B1, 20120106, 總)
也就是說，林師能辨認相同例子使用不同數學方法的差異。針對某些例題，可以 更合適說明數學歸納法，某些例題則是適合說明其他的數學想法。選擇適當的題 目與方法進行教學，並且能評價之間的差異，這應該是林師 SCK 的展現。
4. 「強調重要性」
除了強調實驗、觀察以及歸納的流程與想法之外，林師也重視「起頭」與「接 續」的觀念。在教學中，他分別用例子強調此觀念，以下為相關教學片段轉譯：
林師：那個…現在請看這個題目【寫上𝑓(𝑥) = −5𝑥4+ 50𝑥3− 175𝑥2+ 274𝑥 − 120】。現在請各位土法煉鋼齁，求𝑓(1)、𝑓(2)、𝑓(3)、𝑓(4)，
好你們算算看等於多少?(…)好，你們是不是得到說，這個等於 24【指 𝑓(1)】，這個等於 48【指 𝑓(2)】，72【指 𝑓(3)】、96【指 𝑓(4)】。這
個等於24 × 1、24 × 2、24 × 3、24 × 4，這個樣子。所以猜測，猜測，
實驗了 1、2、3、4 都滿足這個規律啊! 𝑓(𝑛) = 24𝑛 對所有正整數都要 成立。就做這個猜測，ok?這是合理猜測吧?
S：錯!一定錯!
林師：為什麼一定錯?
S：你這樣問一定有問題。
林師：對阿，我們看𝑓(5)等於多少(…) 𝑓(5) = 0 S：還是 24 的倍數啊!
林師：但是已經沒有滿足這個規則了，已經不是這個規則了(…)我是 這樣設計的啦【寫上 𝑓(𝑥) = 𝑥 −245 (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)(𝑥 − 4)】!
然後就整個…剛剛是整個乘 24 倍就這樣子，就整個乘 24 倍得到這個 結果。這樣設計出來的，那其實呢這樣的例子就是說，數學歸納法我 們不是說有兩個部份嗎?第一部份是，第一張骨牌要去檢查有沒有倒下，
這是第一部分嘛!第二部份是說，如果第 𝑘 張骨牌倒下去，那麼它倒下 去那一瞬間有沒有順便去壓倒第 𝑘 + 1 張，ok?那這兩個部份要確實去 驗證看對不對!(…)所以呢不管怎麼說都是要強調，數學歸納法的時候 呢，那個…那兩個部分都不可以缺少齁! (…) (A1, 20110224, 一)
這兩個特例分別說明「起頭」與「接續」缺一不可。其中，林師利用 Lagrange 插值多項式製造出特殊的例子，點出使用數學歸納法注意接續的問題，這是屬 於 SCK 的特性。此外，林師在總結性訪談中曾表示：就是說缺一不可嘛!數學歸
這兩個特例分別說明「起頭」與「接續」缺一不可。其中，林師利用 Lagrange 插值多項式製造出特殊的例子，點出使用數學歸納法注意接續的問題，這是屬 於 SCK 的特性。此外，林師在總結性訪談中曾表示：就是說缺一不可嘛!數學歸