第四章 研究結果
第四節 吳師三階段的研究結果
第四節 吳師三階段的研究結果
以下將會說明，另一位個案吳師三階段研究的教學內容與安排、主要概念的 教學實作與想法以及實作中呈現的 SCK。
一、 教學內容與安排
吳師三個階段的觀察單元分別為條件機率(6堂)、矩陣乘法(5堂)以及反方陣 (3堂)，共有14堂課，分為136個片段。在三階段的教學中，吳師均以講述為主，
林師 SCK 的樣貌
明確的說明算式可以成立或有意義 認定與解釋核心概念與程序
數學概念的前後連接(影響 KCT) 特殊的組織與理解方式
使用符號與語言時會注意其嚴謹性
為數學想法挑選例子(可分為預先設計以及即興的選擇) 認定有用的數學實作機會
強調數學的關鍵或者重要性(可能帶有部分 HCK 特性) 解釋學生的看法(有時出現即興的 SCK)
辨認與評價例題是否合適說明某些數學概念 圖形連接數學想法(某些部分可能受 KCS 影響)
回應學生「how」、「what」、「can」以及「why」的問題(即興的 SCK，可能影 響 KCT)
即興的說明某些數學概念或想法(即興的 SCK) 填補 IMK 相關的知識
表4.19：林師三階段SCK 的樣貌
因此「片段的安排」都是以全體活動的方式呈現。
以編碼出現的次數來看，「教師操作例題」與「學生操作例題」占教學活動 的大部分(見表4.20，各節課詳細的發生次數請參見附錄二(8)、(9)以及(10) )。不 過若以時間分析，吳師「介紹主要工作或概念」則是占教學活動最多的33.4%。
概念的教學實作與想法。
(一) 條件機率
在介紹條件機率時，吳師先以擲骰子為例，先讓學生求出擲一公正骰子，出 現六點的機率。接著，讓學生思考如果「已知為偶數點，出現六點的機率為多少？」
藉此逐漸引出條件機率的定義。以下為相關教學片段轉譯：
S： 13。
吳師：不需要另外教吧!對不對?而且可能，沒有被我教之前妳就會了 (…)那現在條件機率呢~它有個條件，我們是寫成這樣【寫上 P(B|A)】，
寫成這樣齁【寫上 B A⁄ 】~我讓妳把它想成這樣。只不過我們通常不 寫斜的，這個寫斜的、寫直的、快一點、慢一點是不是有時候斜的會 寫成直的，直的會寫成斜的(…)所以誰是條件?這邊是已知條件【指 A】，
有沒有問題?所以這邊已知條件是誰?A 是誰?偶數點，對不對?那 B 是 誰?B 是出現 6 點。可能妳會不會想【寫上 n(B)
n(A)】?ㄟ~如果古典機率我 們是不是這樣定?但是我打個問號，我們看一下驗證對不對!這邊 A 是 不是 2、4、6?對不對【寫上 B = {6}】?所以~滿有一點道理的齁!
(A2, 20110214, 前)
針對吳師提出的例子(已知偶數點，出現 6 的機率)，學生大多能給出正確 的答案。然而，吳師先用看似合理的定義方式(P(B|A) =n(B)n(A))，接著，他使 用第二個例子(3 的倍數，它現在問妳出現的點數是偶數的機率)，讓學生發 現原先定義的矛盾，點出分子為 n(A ∩ B)並呈現出正確的條件機率定義，
以下為相關教學片段轉譯：
S： 12。
吳師：所以我如果套公式，就做出 32。但是我寫公式的話妳如果想硬 套這樣的公式是不是就錯了?所以公式不應該是它，改哪裡呢?有沒有
注意到這兩個分母都是誰?所以分母是不是不要改?因此妳看我要擦掉 誰?擦掉這個式子，那上面到底是誰的個數?因為我已經告訴妳是 3 的 倍數了嘛!然後現在要求妳是偶數。是 3 的倍數又是偶數，沒有選擇只 能是 6 了嘛!對不對?6 是 3 的倍數又是偶數，寫成集合的話我們會用 什麼方法?什麼且什麼，交集嘛!所以這邊是不是要A ∩ B【寫上 n(A∩B)n(A) 】 (…) (A2, 20110214, 前)
對於這樣的引入方式，吳師認為：
就是說條件機率，嗯…對學生來講這種數學、數學語句對她來講可能 不是那麼清楚。她常常弄不清楚是在什麼條件下在求、求這個機率。(…) 我比較希望她能分辨的清楚啦!那第二個就是條件機率的…它的等於 說這樣的一個定義、這樣定出來的它的定出來它的機率，希望能夠去 了解它這樣定義的意義嘛!就是一般來講，我們所謂 define 的部份啦!
那 對 學 生 當 然 不 是 這 樣 講 ， 但 要 讓 她 這 個 東 西 是 很 清 楚 的 。
(B2, 20110804, 前)
從訪談中可以發現，吳師預期學生學習可能面對的困難(亦即 KCS)，因此，在介 紹條件機率時，他選擇例子試圖讓她們了解條件機率的意義，並且，從例子引入 條件機率的定義。這種特殊的數學推理是吳師 SCK 的展現，然而，這樣展現的 方式似乎與他的 KCS 相關。
吳師介紹完古典機率的條件機率後，帶領學生進行相關的例題演練。接著，
用例題帶出機率空間中條件機率的定義，並且和第一個定義比較，以下為相關教 學片段轉譯：
吳師：好~這裡我要講一個什麼東西呢~我們條件機率的公式是不是這 樣【寫上 P(B|A) =n(A∩B)n(A) 】?我簡單的花一點的時間，把公式為什麼 會是這樣講出來了是不是?那我現在告訴妳這個公式可以改成【寫上
=P(A∩B)P(A) 】，為什麼?我現在問妳，我從這邊選一個人，她體重過重的機
率多少?叫做百分之 40 嘛【寫上P(A) =10040 !比例百分之 40 是不是機 率也就是百分之 40，如果我隨機抽，每個人被抽到的機會一樣(…)那
這個為什麼可以變作它呢?是因為我如果，這樣是不是就變成P(A)了?
這個【指n(A)】除以n(S)的時候，這是不是就P(A ∩ B)了?那上下都除 以n(S)，這個答案會不會改變?會不會改變?不會，所以我的公式是不 是可以寫 n 也可以寫 P?寫成 A 發生的這個樣本空間的數目，也可以寫 成它的機率，有沒有問題?沒有問題~好!那這邊我們要講條件機率它真 正重要，或者講它有用的，或者在做題目的時候這個公式，我反而不 太去用這個或這個【指 P(B|A) =n(A∩B)n(A) 】。那也就是我說今天我希望 妳學會和真正重要公式的應用，反而是從這個公式的變形，它可以變 什麼?變這個有時候功用更大【寫上 P(A∩B)P(A) ⟺ P(B|A)P(A) = P(A ∩ B) 】
(A2, 20110214, 前)
吳師利用「同除以n(S)」，帶出另一種條件機率的公式。針對兩種條件機率的公 式，吳師依據其功用，選擇後者(P(B|A) =P(A∩B)P(A) )作為主要解題的工具。這近似 於「選擇可用的定義(choosing and developing workable definition)」 (Charalambous, 2008, p. 43)，這是 SCK 的展現。然而，依據團隊討論的共識，在古典機率中可 以互推這兩種公式。但是，若是每一個事件出現的機會不均等，這樣的推導方式 可能就有瑕疵。對此，吳師表示：
對，會有一點這樣的問題，沒有錯，邏輯上是有問題的。但是，這個 解釋也很難解釋【指 𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐵) 】，同樣很難解釋，那這個機率是怎麼出 來的【指 𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐵) 】？對不對？這個機率是怎麼出來的？你不是古典機 率出來的，不是從計數出來的，這個怎麼出來？這個怎麼出來？那以 高中來講，高中不管怎麼樣，課程都是以古典機率這樣的一個假設進 來，計算這些東西。你不是從機率空間阿，這樣嚴謹的模式來，所以 假如以嚴謹的模式來，就像你機會不均等，老實講應該更嚴謹是從這 邊來切入【指 𝑃(𝐴∩𝐵)𝑃(𝐵) 】(…)沒有錯，我會同意這個在建構基礎理論的 時候這個其實是，不那麼嚴謹的，我是可以接受挑戰的。那接受挑戰 的時候，大概要從這邊來。但從這邊來的時候，機率從定義上，包括 這裡的定義就不應該是古典機率【指𝑃(𝐵) 】。那它如果是古典機率就
通，那這裡不用古典機率，才會去處理機會不均等的這樣子，我建構 整個機率定義來講，機率的定義不一樣。那你高中只提這樣的時候，
當然可以這樣解釋。它可以這樣解釋，它只能這樣解釋。不是說它可 以這樣解釋，而是它只能這樣解釋。他對這個東西的解釋就是古典機 率的理解，所以只能這樣。(B2, 20111227, 總)
吳師同意研究團隊所提出的瑕疵，並且展現他對條件機率更深一層的理解。然而，
他認為現階段的高中生還是比較適合透過古典機率的概念理解機率，因此，他強 調「只能」這樣向學生解釋。這種清楚現階段學生所學與未來更深一層的概念的 關係，這種對數學的理解應該是教師所特有的，因此，應該是屬於吳師的 SCK。
然而，它也含有一些近於 HCK 的特質。
在貝氏定理的部分，吳師並未直接介紹貝氏定理的概念，而是先利用機率的 乘法原來理解貝氏定理的相關問題(共兩題)。當例題結束後，吳師用生產 I-pad 的工廠以及施打疫苗的兩種情境，從事後機率的觀點引出貝氏定理，以下為相關 訪談轉譯：
貝氏定理我比較會從事後機率，我主要從事後機率去教，所以就會用 這樣的例子(…)我現在很少用分割這樣的觀念來講。這是可以把道理 講清楚沒錯，但是用樹狀圖一樣可以講清楚，用樹狀圖來的時候她會 比較清楚這中間的關係。那這時候就必須把你前面條件機率就要弄得 清楚，誰是已知條件、誰是我要求的，在這條件下要求的條件機率。
那我就不必太去區分說，誰是事情誰是事後等等。不然學生常常會是 搞不清楚，到貝氏定理的時候是從哪裡(…)我不太用這樣的東西【指 分割原理】，不太需要。理論上當然是需要做這個，但是這邊…好像去 談這個理論沒太多意思，弄這個東西影響學生。對理論的完整當然需 要這樣陳述，但是這個陳述基本上就看不懂了。因為這個東西叫做符 號帶給學生的困擾，就是這個符號或者對他來講這種數學語言是困擾 嘛!那我能夠幫他翻譯的時候就在這邊翻譯，不要造成我跟他溝通上的 困擾。(B2, 20110804, 前)
從上段的訪談可以知道，吳師貝氏定理的教學呈現了「認定與解釋核心概念與程 序」(我一定是循著這樣的一個思維下來，然後到回過去。所以它很明顯的一個
就是事後發生的，從後面去追蹤前面的源頭，他永遠是這樣的問題啊!)，這是他 SCK 的展現。然而，他也考量學生學習可能的困境，擔心學生不清楚分割原理 包含的數學語言以及符號 (亦即 KCS)。對他來說，分樹狀圖同樣能傳達貝氏定 理的想法，在總結訪談中，他曾指出：
你可以看所以有這些問題的樹狀圖吼，它都是從樹狀圖的尾巴這邊去 追究前面的過程的這樣的條件機率。也就是這個 B 條件下 A 的條件機 率，B 一定在後面，A 一定在前面，他解決的問題一定是這樣，對不 對，你從樹狀圖來講。所以他事前事後，我不一定從那個例子來講嘛。
你從這樣來講的時候，你樹狀圖為什麼這樣？一定是這個在前嘛，不 管我怎麼分類或是什麼，這個在前，這個在後嘛。我發生後的條件下，
你從這樣來講的時候，你樹狀圖為什麼這樣？一定是這個在前嘛，不 管我怎麼分類或是什麼，這個在前，這個在後嘛。我發生後的條件下，