數學物件與多重表徵

一、APOS 理論

約於1982 年，Dubinsky 由研究泛函分析轉換至研究學生學習數學時的心 智活動，當時即受到Piaget 所提出的反思抽象（reflective abstraction）吸引，反 思抽象可分為以下兩個部分，分別為：反思（reflection）、重構（reconstruct and reorganization）。學生藉由反思操作的過程，將此操作的過程提升到較高階的認 知狀態，再進一步重構此操作的過程，使其成為可以被其他操作運用的內容

（Arnon et al.，2014）。

APOS 理論將 Piaget 所提出的反思抽象（reflective abstraction）進一步延伸

到中學與大學各類的數學領域，此理論假設學生處理數學問題時，將在心智中

（encapsulate）為物件，同時也建構出對應的數學概念（Dubinsky &

McDonald，2001）。

（Arnon et al.，2014）。

基模（schema）包含動作（actions）、過程（processes）與物件（objects），

彼此在心智中相互連結形成架構。APOS 理論以動作、過程、物件與基模表徵 數學實體（mathematical entities），其中基模類似 Tall 與 Vinner（1981）所提出 的概念心像（concept image）。當學生建構數學概念時，將於動作、過程、物件 與基模間前後來回，學習的過程並非單向序列，研究者可運用APOS 理論比較 學生成功習得數學概念或失敗的情況，透過分析學生心智結構中的動作、過 程、物件與基模，將相關的數學概念進行起源分解（genetic decomposition），藉

由此可知，APOS 理論假設數學概念來自學生在心智中建構與此概念有關

表徵（representation）的典型定義為「用來代表其他事物的事物」（Duval，

1995）。在比較狹義的觀點，我們可視表徵（representation）為心智內部的概念 以某種具體化的形式呈現於外部，在此定義下，表徵可以被觀察（Lesh、Post

& Behr，1987）。

Bruner（1997）指出人類認識外在環境的方式，主要可分為以下三種管 道，依發展順序分別為：行動性的動作系統、影像性的圖形系統、象徵性的符 號系統。與此對應，人類可藉由這三種系統表徵（represent）各領域的知識，

分別為：動作表徵、圖形表徵、符號表徵。教材呈現的先後順序會影響學生掌 握此概念的難易，教材應配合心智發展順序由具體到抽象呈現。在本研究的橢 圓概念教學影片中，研究者依動作表徵（說明木匠如何繪製橢圓）、圖形表徵

（說明橢圓圖形的幾何要素）、符號表徵（說明橢圓的方程式）的順序，由具體 到抽象地呈現橢圓的概念。

Heddens（1986）指出表徵（representation）可由具體到抽象分為以下四個 階段，分別為：具體階段（concrete level）、半具體階段（semiconcrete level）、

半抽象階段（semiabstract level）、抽象階段（abstract level）。半具體階段例如以 照片表徵實物，看起來與所表徵的內容相似；半抽象階段例如以方塊表徵房

（manipulatable models）、使用圖形或表格的圖表表徵（pictures or diagrams-static figural models）、口語表徵（spoken languages）、用於書寫的符號表徵

（written symbols）。閆東、高學明（2011）將(a b )² a²2ab b 的五種表徵²

與四塊小長方形兩者面積的關係；以口語表徵為例：以口語的方式描述

2 2 2

(a b ) a 2ab b ；以符號表徵為例：引導學生依乘法規則展開 (a b a b )(  。 )

圖2-1 五種表徵（representation）類型（Lesh、Post & Behr，1987）

左台益、蔡志仁（2001）指出與橢圓概念相關的表徵（representation）可 分為以下五種類型，分別為：語意表徵，指以口語描述與橢圓有關的情境；圖 形表徵，指橢圓的幾何形狀以及與構圖有關的圖形，此為橢圓的核心表徵形 式；軌跡表徵，指以代數符號表示橢圓的軌跡，例如PF₁PF₂ 2a；方程表 徵，指所有橢圓的方程式；結構表徵，指橢圓中的結構關係，例如半長軸長、

半短軸長與焦點到中心的距離三者之間的關係。綜上所述，橢圓以圖形表徵為 核心，圖形表徵包含橢圓的幾何形狀與構圖過程，本研究將橢圓概念教學影片 是否包含動態繪圖納入自變項中，進一步探究圖形表徵對學習的影響。

若我們將Lesh、Post 與 Behr（1987）所提出的五種表徵（representation）

視為外部表徵（external representation），則我們可以進一步將學生認知系統中 用於組織或管理外部表徵的相關心智組態視為內部表徵（internal

representation）；在此定義下，內部表徵無法直接被觀察，教師或研究者必須藉 情境表徵

符號表徵 操作表徵

口語表徵 圖表表徵

由觀察學生的言論或行為（即外部表徵），推論其內部表徵的狀態（Goldin &

Kaput，1996）。

Goldin（1998）指出人們心智中與內部表徵（internal representation）有關 的系統可分為以下五種類型，分別為：口語／句法系統（verbal/syntactic systems），此系統與學生處理語言的能力有關；意象系統（imagistic systems），

此系統包含數個非語言且非符號的子系統，其中與數學學習較有關的為視覺與 空間系統、聽覺與節奏系統、觸覺與運動感覺系統；數學的正式符號化系統

（formal notational systems of mathematics），數學符號是一種高度結構化的系 統，與此對應的認知結構被視為一種獨立的內部表徵系統；計劃，監控與管理 系統（a system of planning, monitoring and executive control），此系統與學生規劃 策略的能力有關，在數學學習中，此系統可以引導學生解題；情感表徵系統（a system of affective representation），此系統與學生體會樂趣、產生積極的自我概 念的能力有關。

我們可藉由外部表徵（external representation）討論數學概念，也可藉由內 部表徵（internal representation）所提供的框架，描述學生的概念建構與解題歷 程。內部表徵與外部表徵之間的交互作用具有雙向性，人們可藉由外部表徵將 內部表徵外在具體化，也可藉由操作概念的外部表徵，在心智中建構與此概念 有關的內部表徵；在較為自動化的階段，外部物理結構與內部心智結構，兩者 的關係近似共振，雙向性的交互作用可以同時發生（Goldin & Kaput，1996）。

Kaput（1989）認為數學意義的來源主要有以下兩種，分別為：擴展

（referential extension）、固化（consolidation）。擴展可以再細分為二，分別為：

數學中不同的表徵類型之間的轉譯、數學表徵與非數學表徵（例如物理）之間

號相關的轉換、反思抽象（reflective abstraction）。由此可知，數學概念可能來

（Lesh、Post & Behr，1987）。由此可知，教師如何引導學生將數學概念在相同 的表徵之內轉換，或在不同的表徵之間轉譯，是教學設計中非常重要的考量，

本研究的橢圓概念教學影片包含不同的表徵類型，並透過實驗進一步比較不同 的圖形表徵對學習的影響。

National Council of Teachers of Mathematics（2000）將學生學習或運用數學 的過程分為以下五種類型，分別為：解題、推理與證明、溝通、連結、表徵

（representation），並進一步提出對應的過程標準（process standards），表徵的 過程標準指出學生應使用各種表徵去組織、紀錄或溝通數學概念；學生應選 擇、運用或轉譯不同的數學表徵以解決問題；學生應運用表徵建模並解釋物 理、社會或數學中的現象。由此可知，在數學學習中，教師如何引導學生運用

不同的表徵是重要議題。當教師建立且運用表徵之間明確的連結並鼓勵學生以 不同的表徵討論概念或解決問題時，有助於加深學生對數學概念或程序步驟的 理解，當學生越能靈活地運用各種表徵時，就越能體會數學是一個統一且連貫 的學科。National Council of Teachers of Mathematics（2014）指出教師可藉由以 下六種教學策略，協助學生發展與表徵相關的能力，分別為：設計適合的任 learning、2011 年所著的 Applying the science of learning、2014 年所著的 The cambridge handbook of multimedia learning 之中與本研究有關的內容，以及其他 相關的文獻整理於本節。

伴隨著科技的發展，E 化學習（e-learning）快速成長，學生透過搜尋引擎

（例如Google）或社群平台（例如 YouTube 與 Facebook）可獲得大量的多媒體 學習資源，多媒體學習資源定義為包含圖片（pictures）和語文（words）的教 學素材，其中圖片包含靜態圖表（static）或動畫影片（dynamic），語文包含口 語內容（spoken）或書面文字（printed）（Clark & Mayer，2008）。多媒體學習 認知理論由以下三個面向探討教師如何有效運用多媒體素材促進學習成效，分