第二章、 文獻探討
第四節、 橢圓的概念結構及教學影片的設計構念
Tall 與 Vinner（1981）指出學生在正式習得某一數學概念前，已有許多與 此概念有關的經驗，這些經驗以複雜的認知結構儲存在心智中，當學生思考某 一數學概念時，往往會觸發心智中與此概念有關的結構。我們將個體在心智中 所有與某一數學概念相關的認知結構稱為此概念的概念心像（concept image），
其中包括此概念的心智圖像（mental images）、性質（properties）、過程
（processes）。Vinner（1983）進一步指出心智圖像並非單指圖形表徵
（representation），而是涵蓋所有的視覺表徵，因此也包含符號。舉例來說，學 生與橢圓有關的概念心像可能包含圖形（心智圖像）、標準式（心智圖像）、點 到兩焦點距離和為定值（性質）、相關的代數運算（過程）。由此可知，概念心 像因人而異，對於同一個概念，不同的學生可能有不同的概念心像。
人們經常使用許多沒有經過正式定義的概念，其意涵往往來自經驗或情境 脈絡，若進一步精煉此意涵，則能發展出較為明確的描述方式。Tall 與 Vinner
（1981）將這些用來描述概念內涵的語文內容稱為概念定義（concept
definition），當學生嘗試描述自己的概念心像（concept image）時，可能發展出 屬於自己的概念定義（personal concept definition）；與此對照，正式的概念定義
（formal concept definition）指的是被整個數學界所接受的描述方式，Vinner
（1983）進一步指出學生並不熟悉這個由數學界所共同接受的體系。
Tall 與 Vinner（1981）指出學生的概念心像（concept image）可能與正式的 概念定義（formal concept definition）有很大的差異，甚至可能存在潛在的衝突 因子（potential conflict factor）。舉例來說，學生可能認為操場跑道的形狀是橢 圓，然而這並不符合橢圓的正式定義；或者學生一開始可能觀察到教科書中的 橢圓其長軸都落在x軸上或與x軸平行，此觀察成為橢圓概念心像中的一部 分，當學生以後遇到長軸落在 y 軸上或與 y 軸平行的橢圓時，可能就會造成認 知上的衝突。
Vinner（1983）認為若教師在學生具備足夠的概念心像（concept image）
前，就直接引入正式的概念定義（formal concept definition），並期望學生能藉 由此概念定義形成對應的概念心像（如圖2-3），這樣的教學方式是否有效仍有
圖2-3 學生由概念定義形成概念心像（較不符合真實情況）（Vinner，1983）
圖2-4 學生以概念定義回答問題（較不符合真實情況）（Vinner，1991）
圖2-5 學生以概念定義進行形式演繹（較不符合真實情況）（Vinner，1991）
概念定義
（concept definition）
概念心像
（concept image）
概念定義
（concept definition）
概念心像
（concept image）
輸出
（答案）
輸入
（數學問題）
概念定義
（concept definition）
概念心像
（concept image）
輸出
（答案）
輸入
（數學問題）
圖2-6 學生由概念心像產生想法後以概念定義進行形式演繹（較不符合真實情 況）（Vinner，1991）
圖2-7 學生以概念心像回答問題（較符合真實情況）（Vinner，1991）
Vinner（1991）指出人們在生活中使用語言時，並不是以單字的定義去理 解句子（因為生活中有很多經常使用的單字，自己其實無法馬上準確地說出該 字的定義，例如：橘色、快樂）。雖然學生在學習數學時，參閱定義非常重要，
概念定義
（concept definition）
概念心像
（concept image）
輸出
（答案）
輸入
（數學問題）
概念定義
（concept definition）
概念心像
（concept image）
輸出
（答案）
輸入
（數學問題）
但這並不符合平常思維習慣。Vinner（1991）進一步指出即使學生用心學習定 義，未必就能藉此了解概念，唯有當學生在心智中產生對應的概念心像
（concept image）時，才能逐漸了解此概念的意涵。舉例來說，橢圓的定義為 在同一平面上所有到兩相異定點F1與F2的距離和為定值2a（2aF F1 2）的點 所構成的圖形。除非學生可以藉此定義構造出橢圓，否則橢圓的定義對學生來 說並沒有太大的意義，由此可知，橢圓的概念心像應包含以此定義畫出橢圓的 作圖過程。
綜上所述，本研究在包含動態繪圖的橢圓概念教學影片中，教師先藉由動 態繪圖描述木匠如何繪製橢圓（如圖2-8），並將此繪圖過程與橢圓的定義反覆 對照，藉此發展學生概念結構中構造橢圓的心智圖像（mental images）；接著藉 由動畫呈現橢圓的摺疊過程（如圖2-9），並加入適當的視覺提示，介紹橢圓圖 形中的性質與關係（內容包括對稱、長軸、短軸、中心、頂點），藉此建構學生 概念結構中橢圓結構內的元素及其關係。在包含教學者手勢不含動態繪圖的橢 圓概念教學影片中，教師保持相同的口語內容，以橢圓的靜態圖片為素材並對 照橢圓的定義，配合手勢描述木匠如何繪製橢圓（如圖2-10）；接著教師仍保持 相同的口語內容，以橢圓的靜態圖片為素材，配合手勢解說橢圓的摺疊過程，
並以手勢引導學生的注意力，介紹橢圓圖形中的性質與關係（內容包括對稱、
長軸、短軸、中心、頂點）（如圖2-11）。在不含教學者手勢不含動態繪圖的橢 圓概念教學影片中，教師選用深綠色背景（與傳統黑板顏色相似）與白色字跡
（與粉筆顏色相似），以電腦手寫板錄製相同的書寫內容，且保持相同的口語內 容（如圖2-12、圖 2-13）。
圖2-8 藉由動態繪圖描述木匠如何繪製橢圓
圖2-9 藉由動畫呈現橢圓的摺疊過程
圖2-10 教師以橢圓的靜態圖片為素材並配合手勢描述木匠如何繪製橢圓
圖2-11 教師以橢圓的靜態圖片為素材並配合手勢介紹橢圓的幾何元素
圖2-12 教師以橢圓的靜態圖片為素材描述木匠如何繪製橢圓
圖2-13 教師以橢圓的靜態圖片為素材介紹橢圓的幾何元素
教學影片的後半部分呈現橢圓的標準式（
2 2
2 2 1
x y
a b ）的演繹過程，藉此 建構學生概念結構中橢圓構造過程之代數式及推演過程。在包含教學者手勢的 橢圓概念教學影片中，教師將此演繹過程呈現於黑板，並以手勢引導學生注意 式子之間的移項與化簡（如圖2-14）。在不含教學者手勢的橢圓概念教學影片
中，教師選用深綠色背景（與傳統黑板顏色相似）與白色字跡（與粉筆顏色相 似），以電腦手寫板錄製相同的書寫內容，且保持相同的口語內容（如圖 2-15）。
圖2-14 教師將此演繹過程呈現於黑板，並以手勢引導學生注意力
圖2-15 教師以電腦手寫板錄製相同的演繹過程，且保持相同的口語內容
對應上述研究工具中的橢圓概念教學影片，本研究的前測問卷（如附錄 一）中，第1 題請學生嘗試在給定的方格紙中繪製橢圓的軌跡，檢測學生概念 結構中構造橢圓的心智圖像（mental images）。第 2-1 題請學生試著寫出至少四 個軌跡圖形上的點座標；第2-2 題請學生試著寫出動點 ( , )P x y 到兩焦點的距離 代數式；第2-3 題進一步請學生嘗試觀察PF1PF2 的值為何，藉由上述三題檢 測學生概念結構中橢圓的定義。第2-4 題請學生嘗試推導出橢圓的標準式，檢 測學生概念結構中橢圓構造過程之代數式及推演過程。
對應上述研究工具中的橢圓概念教學影片，本研究的後測問卷（如附錄 二）中，第1 題請學生嘗試描述木匠如何繪製橢圓，檢測學生概念結構中構造 橢圓的心智圖像（mental images）。第 2 題請學生試著寫出橢圓上的任一點與兩 焦點距離的關係，檢測學生概念結構中橢圓的定義。第3 題請學生嘗試在給定 的橢圓圖形中畫出橢圓的長軸、短軸、中心、頂點，檢測學生概念結構中橢圓 結構內的元素及其關係。第4 題請學生嘗試推導出橢圓的標準式，檢測學生概 念結構中橢圓構造過程之代數式及推演過程。第5 題為遷移題（transfer test），
題目中橢圓的長軸落在 y 軸上（在教學影片中橢圓的長軸落在x軸上）；第5-1 題請學生嘗試繪製橢圓的軌跡，檢測學生概念結構中構造橢圓的心智圖像；第 5-2 題請學生試著寫出該橢圓的長軸所在的直線方程式、短軸所在的直線方程 式、中心坐標、頂點坐標，檢測學生概念結構中橢圓結構內的元素及其關係；
第5-3 題請學生嘗試推導出橢圓的標準式，檢測學生概念結構中橢圓構造過程 之代數式及推演過程。