數學認識

早在西元前五百年，Herodotus、Thucydides 與 Aeschylus、Euripides 與 Aristophanes 的遊戲，就以測量留存於世（Boyer，1968，頁 91）。而首次數學 作為直接的證據，是為西元前四百年的哲人Socrates、Plato 與 Aristotle 的著作。

當中Plato 大半所寫，與約 Aristotle 半數的工作，多已用來作為當時領導者統 領的圭臬，故易能被保留延續至今。然更早在希臘三哲盛起之前，以Pythagoras 為首著名的畢氏學派（Pythagoreans），以萬物即是數流傳，當時對西方教育的 貢獻已深具規模：畢氏學派數學家Archytas 建立以算數、幾何、音樂與天文作 四藝為主要博雅教育，添加語法、修辭與Zeno 的辯證後則稱為七藝，這樣的 教育模式延續了近兩千年，故可說數學家，特別當時亦是哲學家，給了傳統西 方教育大多方向，此外因教導當時的諸多領導者，運用有利大眾公平的計算測 量，得以建造與維護公義，影響當時文化、社會甚鉅。哲人Socrates 即採用 Zeno 的辯證，開放他的學生運用自然哲學探討2+2 為何等於 2×2 的問題，結果發現

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其實數學早已解決了此基本問題（Boyer，1968，頁 92），而 Plato（1957）的 宇宙觀中表示，正四面體為火，正八面體為空氣，正二十面體為水，還有正立 方體為地球。（剩下的正規固體，十二面體，作為一個整體用於宇宙，它最接 近於一個球體的形狀）。五元素組成宇宙間所有物質，考慮當時的歷史文化背 景，這部分極可能是受畢氏學派影響後而引出的想法。亦如當時Plato 並提出 世界靈魂（The world soul）的概念，而靈魂組成包含存在、齊一與不在，靈魂 於世界中是按照調和區間（Harmonic Interval），如 1、2、4、8 或 1、3、9、27 作為劃分比例，將三種組成依比例置入。

數學在人類集體靈魂與思考上，理性上不可或缺，數學工作的建立讓文化 更快速全體發展，哲學家Black（1933）就提到數學的自然展現，尤其在建立 科學知識上面看到，實驗科學家主要進行實驗或現象的發現，而將這樣的發現 運用自洽的形式寫下則的則屬數學工作，以上建立科學知識的過程如圖2-3-1 所示。當中屬於數學工作部分，在進行時一開始會有許多不同論述，且許些論 述極有可能是相互矛盾的，一個成功的數學研究，即為運用數學洞察

（Mathematical insight）消除當中的數學矛盾，而建立完整可解釋並可推論的 理論。對數學而言，研究中展現過程與內部結構是具有相當的重要性，這樣的 展示可讓人看到內部結構，得以判斷以免除不必要的假設，透過展示，亦可認 識到不同數學分支對於不同結構下的模擬及不同的思考路徑。認識論上的數學 基礎是建立在面對數學相關問題時，實難以書寫包含所有論點，但大抵分成方

圖2-3-1 科學探查示意圖(Coombs 等，頁 3)

世界 模型

資料 預測

實驗

抽象化

解釋

模式化 推導

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法與結果均不同的三支：其一是以Whitehead 與 Russell（1913）為主的邏輯說

（Logicism），以此出發者主要在處理矛盾的問題，如命題敘述上面；其二是以 Hilbert（1902）為主的形式說（Formalism），他延續過往幾何公設的想法，認 為數學是以形式生成下的產物，由公設、性質、假說、定理而構成；其三則是 以Brouwer 為主的直覺說（Intuitionism）（Dalen，2013），認為數學為人類聰慧 中自然產生，是為自由思想下的重要活動，其開放想像，尤其在處理數學建構 的問題上，如拓樸構造等。

而在科學認識活動中，直覺是一種客觀存在著的思維方式（赵振威，2000，

頁193），如古希臘數學家Archimedes 在浴缸發現浮力原理的瞬間；Gauss 證明 算術定理，對於這種突然他寫到是上帝的恩賜；發現四元數的數學家Hamilton 則是在步行過橋的過程，就突然思路接通而來到人間；法國著名數學家

Descartes 有著解析幾何之父的美譽，而談起直覺他的感受是「既非過度想像誤 導的判斷，而是一種專注心靈的感知，既清楚且分明，讓我們對理解的事物無 從懷疑；或者換成另一種說法，直覺是穩健、專注心靈的自明感知，完全由理 性之光流衍而出。（轉引自Kline，2004，頁 298）」；德國著名哲學家Kant（1929）

就將算數、幾何的公設等，以綜合（Synthetic）之先驗（Priori）判斷的來敘說，

而這一種古老形式的直觀，以作為超唯心主義（Transcendental idealism）的論 據。而直觀說也讓一般被認定義後的名詞，甚至單位集等，可以透過直觀而有 更多的發展，並產生創造的成分。

十七世紀數學家Pascal（2004）提到幾何是人們對真理表現最出色的範例，

幾何說明了發現未知真理的藝術。Pascal 認為「心靈自有理性，理性卻不知道；

理性是迂迴的方法，不知真理的人才靠理性發現真理。（轉引自Kline，2004，

頁299）」將真理歸於心靈。而幾乎所有文明均會尋求真理，前述西元前五世紀 畢氏學派或希臘三哲提出之宇宙觀，即是當時文化對宇宙真理的探尋與叩問，

而畢氏學派認為，數學是現象的本質，包含人的所有物都是物質的「存在單位」

所組成，而組合對應到不同的幾何，而自然界的種種，包含音樂與行星運行等 都也可化約成如圖2-3-2 的 1+2+3+4 的數字關係，主要表 4 類，並象徵神聖數 字10，全部意涵合稱為 Tetractys，就如 Plato（1930）強調的火、風、地、水

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的基本元素就為4 種，

而據說當時畢氏的誓詞 即是：「我以靈魂本具、

大化之原的Tetractys³ 之名起誓…（轉引自 Kline，2004，頁 15）」，

誓詞映照出當時畢氏學 派的人物Philolaus 所說：

「若非有數及其本性，

我們無從理解世間存在 的任何一物。（轉引自 Kline，2004，頁 14）」。

而這延伸到後續的哲人們提到的數學與真實：Plato（1930）幾何的用處不僅是 生成，而是用來幫助人們給予好的想法，能分析心智去看到真實的存在；至於 Aristotle 則因數學的抽象性，而把數學看待為有效解釋物理世界事實的科目。

而Plato 與 Aristotle 對心靈、數學與真實的看法，也成為後世的人們，在看待 數學與真實的基礎。其一的真實為Plato 所認為，物質世界物體是不完美的，

而難以代表最終真理，理想世界存乎不變真理，故唯有透過理想世界的數學，

才能看到真實；其二的真實為Aristotle 關心物質世界的現實現象，透過超越這 個世界的數學工具，我們才可以統整並解釋我們所實際經歷。上述二者對真實 的初始，亦是促成數學發展非常重要的動力說，包含對理想（含心靈存有）求 真的純粹，以及是否能對物質準確有效的求實的應用；此外數學推理的正確過 程則為稱推理的真實（Leibniz，1898），有助前二者朝向更完美精煉。

以上求真與求實的情形，到十六至十八世紀基督宗教盛行下，追尋大自然 的數學定律更被認為是信仰虔誠的舉動，數學知識是上帝用於設計宇宙的真理，

成就以彰顯上帝作品的榮耀，而它與聖經一般不可侵犯（Kline，2004，頁 41），

3 Tetractys 原意為數字 4，畢氏學派用來指 1、2、3、4 構成，四數相加為 10，故 10 為理想數，

代表整個宇宙。當時畢氏學派在中心加入中央之火（Cetral fire），隔著中央之火的與地球相對 的，還有一個反地球（Counter-earth）

圖2-3-2 Tetractys（取自 Tetractys Institute，2012）

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人類即使不能如上帝這般透徹理解祂所造的，至少能謙卑地與祂接觸，且能透 過數學理解上的精進接近上帝的心意與祂的世界，而即使當時數學家對上帝的 虔誠與教廷同，卻不免產生與教廷有不同論點，如1543 年 Copernicus 所出版 的《天體運行論（On the revolutions of the heavenly spheres）》（可參考Copernicus，

1976），作者其實早在 1507 年就已完稿，卻遲遲等至死亡那年，將永不擔憂與 教廷相對才真正出版；亦或如完成行星運動三大定律的Kepler，前兩大定律書 寫於《新天文學（New astronomy）》（可參考 Kepler，1992），第三運動定律則 寫於《世界的和諧（The harmony of the world）》（可參考 Kepler，1997）中，

完整的提出每個行星都沿橢圓軌道繞太陽運動的看法，而即使他身為虔誠的教 徒，甚至在理論完成時更以此讚美上帝，卻仍因不同於當時基督教內所認同之 太陽中心，人是宇宙的中心的說法，差點因與基督教庭的人群意見相左，而放 棄了他的學說。以上這兩者的學說，均遲至十七世紀Galilei 發明望遠鏡觀測行 星後，因著實際所觀測到才被獲得認可，在數學的功用與預測利因著現象被證 實與凸顯後，數學知識作為宇宙真理的主張更大舉強化且被世人認同。

類似的工作延續到近代，影響近代物理的代表人物Einstein，不僅以廣義 相對論，提出關於空間宇宙的模型，當時在非歐幾何已經被認為是事實下，嘗 試運用黎曼幾何（Riemannian geometry）來解釋自己的宇宙論。他認為存在空 間為二維可延伸至無窮遠，上有可測量棒子的空間，相對也有另一個二維空間 的宇宙，一樣由杆組成的無數單位區間；為滿足有限宇宙的另一類似說法，為 具兩相對點的橢圓空間，其本身是為某種彎曲空間（Curved space），而橢圓宇 宙能被延伸成具中心對稱性的彎曲宇宙（Einsteint，1957）。而二維空間之所以 形成彎曲的原因，為如太陽等的重力作用與加速度等造成時空彎曲。而在1915 年就由天文學家Schwarzschild 提出在 Einstein 的理論下，受到重力密度超過臨 界值時的解情形（Schwarzschild，2003），而這即說明廣義相對論之於宇宙空間 產生的黑洞的情形，而這引發後續對於黑洞、白洞及蟲洞的研究。至於相對於 宇宙觀另一方的微觀世界，因著重能量觀點的理解，深受Planck（1901）所提 出量子光譜的概念性架構影響，Feynman（1949）就運用時空圖譜，現稱為費 曼圖（Feynman diagram），計算粒子碰撞當中能量的路徑與交互作用後轉換情

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形，並建立量子電動力學（Quantum electrodynamic，QED），整合量子觀點與 相對論。在經歷了多項修正，包含量子色動力學（Quantum Chromodynamics，

QCD）等規範場（Guage theory）提出，物質基本理論的標準模型（Standard Model）

建立，及符合規範對稱（Guage symmetry）等，而後發展成為現在的量子場論

建立，及符合規範對稱（Guage symmetry）等，而後發展成為現在的量子場論