第二節 第二節
第二節 數感教學 數感教學 數感教學 數感教學
一一
一一、、、、數感教學策略數感教學策略數感教學策略數感教學策略
如果數感真正是一種思考方法或能力，就必須能讓數感的能力可以普 及到學習數學的所有層面。然後再以計畫來引導兒童瞭解數字的意義；在 課程上，宜先安排數感能力的培養，並藉由探索有意義的計算方法，而非 授予學生死記的運算規則；宜鼓勵學生自行想出、使用解題的良好策略，
並陳述其使用某種計算方法的理由，來建立學生的數感，而非只要求學生 得到答案(Sowder & Schappelle, 1994)。以下提出幾位學者，對於發展 學生數感所提出的教學課程意見：
Trafton 與 Hartman(1997)曾進行一項發展兒童數感的教學研究計畫
，他們的教學理念大致如下：
（一）兒童的數與計算的知識是在漸進的歷程中發展出來的。這是一個 整學年都在發生的歷程，這個歷程應不斷受到教師們的注意，學 生在這個歷程中將有許多的機會發展出健全的理解與成熟的策 略。
（二）在教學過程中，可以自由地、規律地使用各種運算方式與不同的 大小數字。例如，各種運算(包括乘除法)的問題都可以很規律地 出現；有些問題可能涉及到二位數的減法運算，但下一個出現的 問題則可能只須要用到加法運算。
（三）兒童自己發明出來的演算方法可以被特別強調。這些演算方法對 兒童而言是自然的，與兒童的直覺與數字感的發展有密切的關連
。
（四）當兒童在他們的作業中使用了某些策略，這些策略可能會受到強 調。因此，整個教學過程中，教師並沒有教導兒童所有解題策略
。當兒童自然使用了某些策略，教師會與兒童討論這些策略，並 鼓勵他們將這些策略運用到其它的情境問題中。
（五）利用輔助教具。例如各種塑膠積木，可以用來做為幫助學生找出 答案並進行驗證的工具。就協助兒童發展數字感而言，每一種輔 助工具都具有其獨特的作用，對兒童則以對他們最有意義的方式 來使用這些教具。
（六）雖然標準的紙筆演算方法經常被提到並被當成是一種思考方法來 加以討論，但紙筆計算在整個學年都沒有特別加以強調。標準的 紙筆演算方法只是兒童在學習數感與計算策略的過程中，自然學 到的一種方法。教師與兒童都將演算方法視為是發現答案的一種 方法而非最佳的方法。
Howden(1989)認為年幼學生天生具有的好奇心，使得低年級的教室，
具有豐富的發展數感環境。教師可使用具體的事物來幫助學生探索數字的 概念，例：組合(composition)、分解(decomposition)、歸類(grouping) 或產生相同數字的各種方法等。
此外，藉由認識月歷的活動，有助於教導學生數字的順序；藉由適當 的排列物體，可使學生發現數字的奇數、偶數特徵及數字的因數(factor) 與倍數(multiple)關係。然而，僅僅完成上述的活動是不夠的，還要學生 紀錄所發現的結果，並說出對數字關係的基本認識與瞭解。另外還可藉著 以下的教學策略來發展學生的數感：
（一）「不可思議的方程式」的教學策略
利用學生的興趣，使其依照自己的方式來表達數字，每天學生表達 出「今天是這個月的哪一天？」，進行一種「不可思議的方程式」的教 學策略，當學生學習到較大的數字與加法的演算，這些概念皆可使用在 他們的方程式裡。
（二）利用「計算器」輔助發展數感的教學策略
計算器是發展數感的優良工具，因為它允許學生自由地去探索相關
的數字。例如：在計算器上簡單的連續加、減某一數字，則有助於學生 發展數字的順序(order)概念。此外，「壞了某個按鍵的問題(Broken-key problem)」則提供進一步探索位值、組合、分解及數字演算特徵的最佳 機會。
（三）利用「測量活動」培養數感的教學活動
當問題解決、推理、數感與數學概念的瞭解，漸漸被視為學習數學 的重要成分時，傳統測量這些成分的方式，也應該有所改變。評價數感 技術的進步已經超越傳統的紙筆測驗評估方式，取而代之的應多多採用 以下質的評量方式：
1.觀察：當學生個別地在小團體中學習時。
2.傾聽：當學生在小團體的學習情境中，讓學生以口語描述並寫下自 己的想法。
3.發問：老師向學生發問，以瞭解學生數感的發展情形。
Hope(1989)在對於培養學生數感的研究發現，如果發展數感可視為學 校數學計畫的一個重要目標，教師必須先在班級中創造適當的學習氣氛，
然後再藉著有意義與有目的的三項活動，來發展數感。茲分述如下：
（一）利用生活情境的計算培養數感
在學校裡學生計算，常常遠離了日常生活情境，計算通常只是為了 計算本身，而很少將計算的結果應用到實際的問題。在校外的情境中，
並非如在校內的學習一致：「為計算而計算」，相反地，常常是為了解決 問題或完成實際的工作而計算。因此，以計算來發展學生的數感時，我 們必須注意：
1.確定學生在學校裡，所學到的計算不可偏離日常生活中實際的計算 問題。
2.依情境來選擇計算的程序。
3.計算常可以被簡化。
4.情境有助於評鑑計算結果的合理性。
5.必須解釋計算的結果。
（二）利用測量方式來培養數感
在測量任何相關的事件，不論是一維、二維或是三維空間裡的事物
，永遠不能不用數量。數感確實是人們日常生活情境中不可或缺的能力
。不論以目測、估測或實測方式來測量，都可以成為學生訓練數感的學 習機會，以測驗來發展學生的數感時，必須瞭解到以下幾點 ：
1.測量有其目的。
2.視情境之需要而選擇不同的測量工具。
3.依照測量的目的來決定測量的精確性。
4.從日常生活中的測量知識來產生測量感(measurement sense)。
5.測量單位常常是內隱的(implicit)。
（三）利用估計活動來發展數感
除了實際使用數字之外，產生合理的估計也能促進兒童的數感，因 此老師應該強調以下的估計觀念：
1.估計包含了數量比較。
2.一個計算的答案，能以許多方式來估計。
3.估計的精確度，端視其用途而定。
二 二 二
二、、、、培養數培養數培養數培養數感的方法與途徑感的方法與途徑感的方法與途徑感的方法與途徑
杜宜展（1998）在國小數感教學之理論探究中提到，發展國小學生數 感的方法有以下幾個要點；
（一）教學活動中建立積極數學的學習氣氛
如果發展數感被列為是學校數學教學計畫的一個目標，教師必須能 在班級教學活動中創造適當的學習氣氛(climate)(Hope, 1989)。
要建立學生的數感能力，可先藉由有計畫性的從日常生活經驗開始
，例如，請孩子去購物，來協助兒童瞭解數字的大小、演算數字與認識 數字間的關係。當兒童在數字及數字間的關係感到有信心之後，他們就 能在學校或學校以外與數字有關的情境中，發展出良好對數感熟練掌控 與運用的能力。他們會以較積極的態度來處理有關數的問題，且得到較 好的效果。有些學生自己發展成長的能力較弱，老師在每天的數學課中
，應有計畫地加入數感教學的主題，培養其對數字的自信心，此計畫的 內容可以包括(Thornton & Tucker, 1989)：
1.知覺到發展數感的重要。
2.安排積極的學習氣氛，以增加學生對數字的瞭解與應用。
3.設計能刺激發展數感的情境。
當老師們在思考改進或發展班級數學學習氣氛時，應考慮以下幾點
：
1.應能使學生願意去探究自己熟悉的數學概念。
2.能引導學生會以各種不同的方法來處理用數字表示的情境，接受與 鼓勵學生所做的各種不同反應，是使其思考更具彈性與在估計時經 驗到成功的催化劑 (catalyst)。
3.使用合作學習方式，使學生們有機會傾聽其他同學對於數字的看法
，讓他們學習到多樣化處理問題或應付情境的方法。
4.在一種可被接受與無威脅性的氣氛下，讓學生們能對數字做詳盡分 析的判斷。
5.當學生擁有數感之後，對於社會學、科學與閱讀等領域會更有興趣
，讓學生明白擁有良好數感在生活中的好處，讓學生感覺到需要努 力增強對數字的判斷能力。
（二）藉由教師的發問來刺激發展學生的數感
習慣使用數字與演算的推論並用於處理問題解決以外，有些學生可
能需要更多的幫助。老師可採用發問方式來引導學生對數字思考，幫助 學生發展擬定解決問題的良好計畫。例如老師可以用發問以下的問題引 導學生：
1.我們將會得到什麼類型的數字？
2.在些答案中最大的數字是多少？
3.你能猜猜看答案是多少？
老師提出的問題與學生的討論結果，能在解決問題的情境下，創造 出一種用數感溝通的環境。儘管學生們可能擁有這些解決問題的情境，
但在老師的引導下，可能是幫助他們成功地與適時地應用他們的技巧所 必須的一個良好方式(Dougherty & Crites, 1989)。
（三）藉由學生的發問來發展數感
鼓勵兒童懷著對數字的結果感到懷疑的習慣，尤其在他們發現原因 時，不要吝嗇給予支持。班級氣氛(classroom climate)是非常重要的
，當兒童被鼓勵去摸索(poke around)數字，去瞭解不同的答案與數字 間的關係，就能強化兒童的數感。
數學問題的屬性大部分各不相同，所以此問題的可以有其他向度 (dimensions)能繼續去研究，原有的問題則成為其他許多相關問題的種 子。以此種方式來對學生發問，師生之間都會受到鼓勵而向前繼續研究 下去，並藉由自己的愛好追究精神來勇往直前。
數學問題的屬性大部分各不相同，所以此問題的可以有其他向度 (dimensions)能繼續去研究，原有的問題則成為其他許多相關問題的種 子。以此種方式來對學生發問，師生之間都會受到鼓勵而向前繼續研究 下去，並藉由自己的愛好追究精神來勇往直前。