數感融入分數教學之研究（以國小五年級為例）

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國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育系

在職進修教學碩士學位班碩士學位論文

指導教授：陳鉪逸教授

數感融入分數教學之研究

（以國小五年級學生為例）

研究生：游智信撰

中華民國九十五年六月

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摘要

本研究主要目的在探討將數感融入國小五年級數學科分數教學的實踐情形及其成效。研究者以 John A. Van De Walle 在其著作「中小學數學科教材教法」中所提及的分數數感（2001）概念，將分數比較大小的教學活動，設計成四個融入數感的單元教學活動。分別為「真分數與假分數的比較」、「分子通分的比較」、「真分數分子分母同加一個定數的比較」、「假真分數分子分母同加一個定數的比較」等四個活動進行研究。實驗組的教學以數感融入為主，並以 CAI 所設計的內容進行。研究者以所任教學校五年級兩個班的學生，分別做為實驗組與控制組，實驗組進行數感融入分數的實驗教學，控制組於相同時間內以正常方式進行教學。在實驗教學前，兩組學生施以分數基本能力測驗，以 t 檢定來檢測實驗組與控制組成績的差異性；在實驗教學後，再對兩組學生施以分數比較大小能力之成就測驗，再次以 t 檢定來檢測實驗組與控制組成績的差異性；最後對兩組高、中、低能力學生及參與實驗教學教師進行訪談，以探討數感融入分數教學的實踐情形及可行性。研究結果如下：一、在實驗教學前，實驗組與控制組分數的前測成績沒有顯著性差異，兩個班級因此可以視同在同一個背景條件下進行實驗研究。二、在實驗教學後，實驗組與控制組分數的後測成績經過分析結果發現：兩組平均相差 17.87，顯著性.000＜.05，有顯著性差異。因此實驗組在進行數感融入分數實驗教學後，在分數比較大小的學習成就顯著優於控制組。三、經對學生訪談後發現，實驗組學生與控制組學生對於數感融入分數比較大小的教學方式，都比較喜歡，學生認為在數感的加強後，比較分數大小比較不會採用繁雜的計算。四、經對學生訪談後發現，實驗組學生與控制組學生認同 CAI 的教學方式，都認為學習時比較感興趣，較能把握重點，學習成效較佳。五、訪問參與實驗教學教師後，他認為數感融入數學科的教法，可行性高。比較能引發學生學習興趣，學習成果也會較佳。根據研究結果，本研究對國小分數教材教法、數感教學及未來研究方向提出一些建議。關鍵字：數感、學習單、電腦輔助教學

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Abstract

The purpose of this research is aimed for practice and effect of integrating number sense in fraction in practice instruction of fifth grade.

Four units integrated with number sense were designed, according to the number sense of fraction selected from John A. Van De Walle〝 Third and fourth grade mathematical instruction〞, and teaching activity of

magnitude of fraction. (2001) They are individually〝 contrast with proper and improper fraction〞，〝contrast with numerator into a common

denominator〞,〝the result of proper fraction is bigger when the same number is added to numerator and denominator〞,〝 the result of improper fraction is smaller when the same number is added to numerator and denominator〞. The teaching in experimental group is mainly integrated in number sense, and practiced by CIA method.

Two classes of students were divided into experimental group and control one. Experimental group practice teaching with number sense integrated in fraction, while control group practice the normal teaching. Basic evaluation of fraction was made before experimental instruction started. And then went on with statistics analysis by independent “t” sample to identify the difference between the two groups. Then an achievement evaluation of magnitude was executed with the same analysis. Eventually, teachers, along with two groups of three achievement levels from high to low students were interviewed, to discuss the effect and practice when number sense was integrated in fraction.The major findings were summarized as the followings:

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didn’t reach to distinguish results. It is to say, two classes are in the same experiment circumstances.

2.After-test shows distinguish results of the two groups,17.87was found between the two groups, the patency is.000＜.05. In this results, experimental group has great advantages in studying achievement of magnitude of fraction was discovered.

3. Both groups prefer this teaching method, agree with less calculation is made.

4. Both groups show more interests in CAI teaching method, it arises more motivation and better effect.

5. There is necessity in integration number sense in mathematical instruction. With various thinking resulted from different teaching methods, more interests resulted from learning activity, better studying effect are caused more than traditional solution.

Finally, according to the research results, this research will propose some instrumental commentaries for the education of fraction and number sense in elementary schools and upcoming research.

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中文摘要……… Ⅰ 英文摘要……… Ⅱ 目次……… Ⅳ 表次……… Ⅵ 圖次……… Ⅷ 第一章緒論……… 1 第一節研究動機……… 1 第二節研究目的與待答問題……… 3 第三節研究方法與步驟……… 4 第四節研究範圍與限制……… 5 第五節名詞解釋……… 5 第二章文獻探討……… 8 第一節數感的意義……… 8 第二節數感教學……… 14 第三節分數數感……… 22 第四節數感的相關研究……… 24 第五節數感與教學的相關研究……… 28 第六節電腦輔助教學……… 32 第三章研究方法……… 42 第一節研究架構及流程……… 42 第二節研究對象……… 45 第三節研究工具與方法……… 46 第四節實驗組與控制組教學變因控制……… 54 第五節數感教學設計……… 56 第六節資料分析與處理……… 68 第四章研究結果分析……… 71 第一節實驗組與控制組前、後測結果分析……… 71

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第二節學生訪談資料整理分析……… 86 第三節教師訪談資料整理分析……… 105 第五章結論與建議……… 109 第一節結論……… 109 第二節建議……… 113 參考文獻……… 117 一、中文部分……… 117 二、英文部分……… 119 附錄……… 121 附錄一分數基本能力測驗試卷（前測）……… 121 附錄二分數大小比較能力測驗試卷（後測）……… 122 附錄三 CAI 腳本……… 124 附錄四實驗教學活動單元一學習單……… 136 附錄五實驗教學活動單元二學習單……… 137 附錄六實驗教學活動單元三學習單……… 138 附錄七實驗教學活動單元四學習單……… 139

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表次

表 3-3-1 「擴分與約分」教學單元內容分析表……… 47 表 3-3-2 九年一貫正式綱要與暫行綱要關於分數的能力指標… 48 表 3-3-3 分數基本能力測驗之內容細目表……… 49 表 3-3-4 前測試題信度分析……… 50 表 3-3-5 分數比較大小能力測驗之內容細目表……… 52 表 3-3-6 後測試題信度分析……… 53 表 3-4-1 教學實驗之處理……… 54 表 4-1-1 前測獨立樣本 t 檢定之各項結果……… 72 表 4-1-2 後測獨立樣本 t 檢定之各項結果……… 73 表 4-1-3 測驗目標一獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 74 表 4-1-4 測驗目標二獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 75 表 4-1-5 測驗目標三獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 75 表 4-1-6 測驗目標四獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 76 表 4-1-7 測驗目標五獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 77 表 4-1-8 測驗目標六獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 78 表 4-1-9 測驗目標七獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 79 表 4-1-10 測驗目標八獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 79 表 4-1-11 測驗目標九獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 80 表 4-1-12 測驗目標十獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 81 表 4-1-13 測驗目標十一獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 82 表 4-1-14 測驗目標十二獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 83 表 4-1-15 測驗目標十三獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 83 表 4-1-16 測驗目標十四獨立樣本 t 檢定之各項數值……… 84 表 4-2-1 試題 19 高能力訪談記錄……… 87 表 4-2-2 試題 19 中能力訪談記錄……… 88 表 4-2-3 試題 19 低能力訪談記錄……… 89 表 4-2-4 試題 28 高能力訪談記錄……… 90

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表 4-2-5 試題 28 中能力訪談記錄……… 91 表 4-2-6 試題 28 低能力訪談記錄……… 92 表 4-2-7 試題 12 高能力訪談記錄……… 94 表 4-2-8 試題 12 中能力訪談記錄……… 95 表 4-2-9 試題 12 低能力訪談記錄……… 96 表 4-2-10 試題 10 高能力訪談記錄……… 97 表 4-2-11 試題 10 中能力訪談記錄……… 98 表 4-2-12 試題 10 低能力訪談記錄……… 99 表 4-2-13 四個測驗目標的解題與猜題情形……… 100 表 4-2-14 實驗組低中高能力對教學方式的訪談記錄……… 101 表 4-2-15 控制組低中高能力對 CAI 教學方式的訪談記錄……… 103

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圖次

圖 2-1-1 數感主要構成元素之關係圖……… 13 圖 3-1-1 研究架構圖……… 43 圖 3-1-2 研究流程……… 44 圖 3-5-1 同分母的真分數與假分數比較動畫製作圖樣………… 59 圖 3-5-2 異分母的真分數與假分數比較動畫製作圖樣………… 60 圖 3-5-3 分子相同的比較動畫製作圖樣……… 61 圖 3-5-4 分子不同的分子通分比較動畫製作圖樣……… 62 圖 3-5-5 兩個真分數分子分母差相同比較的電腦動畫製作圖樣 64 圖 3-5-6 三個真分數分子分母差相同比較的電腦動畫製作圖樣 65 圖 3-5-7 兩個假分數分子分母差相同比較的電腦動畫製作圖樣 67 圖 3-5-8 三個假分數分子分母差相同比較的電腦動畫製作圖樣 67

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第一章

緒論

本研究主要是在研究數感融入分數教學的實踐情形及學習成效。本章就研究動機及研究目的作陳述，並對相關名詞做釋義。最後對本研究的研究範圍及研究限制做敘述。

第一節

研究動機

法國數學家兼心理學家 Stanislas Dehaene（1997）在其所著的 The Number Sense：How The Mind Creates Mathematics 一書中指出：數字支配了我們的生活。的確如此，人們日常生活中的食、衣、住、行、育、樂等，如：三餐食物的熱量、開車時的行車速度或是彩券中的得獎號碼等等，太多的事物都必須依賴數字來描述、記錄，甚至是做為人與人之間的溝通溝通。因此，可以說我們是生活在數字之中。人們大多數從小就接觸數字，年幼學習力強，所以兒童在數字的學習，應該很快就能融入數的學習情境之中。但事實並非如此，數學是大部分學生比較最不喜歡接近的學科之一。 Ekenstam（1977）指出其中的原因：「當對於數字的意義缺乏瞭解時，學習數學必然會產生無法克服的障礙。」兒童學習數學的過程中，如果對數字的理解缺乏，必然比較容易造成他們學數學的障礙。全美數學教師學會（National Council of Teachers of Matchematics〔NCTM〕，1989）的「學校數學課程與評量標準」（Curriculum and Evaluation Standards for School Matchematics）指出，對於數字與數學之間關係的直覺能力，可以幫助兒童判斷計算結果與答案的「合理性」（reasonableness），而這種直覺能力則與「數感」（number sense）有關。美國近幾年來的數學課程改革重點在於強調數感。全美數學教師學會（NCTM ，2000）的「學校數學原則與標準」（Principles and Standards for School

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Matchematics）中指出，發展兒童的數感是數學課程的一個中心議題。在日本、澳洲與瑞典等工業國家的學校數學改革計畫中也都強調，必須要發展學生的數感（Reys, et al., 1999）。

然而，在傳統的數學教學似乎比較能使兒童獲得數學的形式知識，比較不容易發展出學生的數感能力（Markovits & Sowder, 1994）。為了協助兒童發展出良好的數感，教師們的確需要多瞭解一些教學策略，這些教學策略以能啟發學生對數學的興趣，進而產生數感能力。在九年一貫數學學習領域綱要諮詢意見—數與量基本理念篇中提到，數感的培養、使用數概念、運用四則運算解決生活中的問題，以估算策略及電算器或電腦解決繁雜的計算問題，也是數的學習內容。數感是數主題特別需要培養的能力，數感能力已被許多國家視為 21 世紀數學教育中重要教學主題之一。基本上，數感是對數字的一種直覺，它是一種概念，也需要多種能力的組合，所謂概念即是對數字與運算符號之意義的理解，所謂能力乃是指學習者能夠將新訊息與先前所獲得的經驗做邏輯性的連結，進而驅使學習者形成連結的能力。數感包含對數字與運算符號之意義的理解與運用能力，具備發展與運用參考點、比較數字大小、了解運算對數字的意義和影響能力，並發展不同的解題策略，判斷運算結果的合理性等等（2003）。可見國內對數感的日漸重視。國內已有一群人對學生數感做探討研究。黃金鐘教授及簡清華教授分別指導兩位研究生做數感表現之探討。吳明玲老師研究「國內國小二年級數感表現」（1993），在瞭解國小二年級學生數感之表現及類型，做為教師進行數學教學時之參考；王玉珍老師研究「國小三年級學生數感表現之個案詮釋」（1993），探討參與研究的國小三年級低、中、高能力學生的數感表現。支毅君教授也在行政院國家科學委員會補助專題報告中對「我國國小數感教學之研究」（1996）做探討，對國小三年級學生的數感程度作分析比較。侯淑芬老師研究「數感融入國小四年級數學科教學之研究」（1993），設

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計教學活動，以一班學生做實驗教學，並探討數感教學對學生數感能力以及數學學習表現之影響；並研究數感融入四年級數學科教學之可行性。研究者在日前的教學活動中，進行到分數的教學單元，在分數的比較大小上，剛好遇見一題數學題目：比較 9 8 與 8 9 的大小。學生的作法是通分， 9 8 = 72 64 、 8 9 = 72 81 ，∵ 72 81 ＞ 72 64 ，∴ 8 9 ＞ 9 8 。乍看之下似乎沒什麼大問題，但研究者思考後產生一個疑問，真需要通分才能知道結果嗎？一個比 1 大的數與一個比 1 小的數，一看就知道答案了，為何學生只會用傳統的計算去做解題，對於數字的反應力何以如此薄弱？

John A. Van De Walle 在其著作的中小學數學科教材教法（2001）中提到，兩個分數中哪一個比較大的能力是一種分數數感的觀點，這個能力是建構在分數的概念上，不是在運算技能或符號習慣上。他提出四個分數比較的概念想法：（一）較多相同大小的部分（分母相同）；（二）相同數目的部分但不同大小的分割（分子相同）；（三）比一半或一個整體多或少；（四）與一半和一個整體的距離。研究者想就分數的比較大小，教導學生運用數感的能力，設計一些可行的教學活動，例如以電腦輔助教學（CAI）的模式，進行加強學生數感能力的教學，來研究學生是否能因此在分數比較大小上的能力有所提升，進而引發更廣泛的數學學習興趣。

第二節

研究目的與待答問題

研究者從平日的教學中，針對所發覺之現象，產生了對數感能力教學策略研究的動機。本研究有幾項研究之目的：一、探討數感融入五年級學生數學科分數比較大小的教學活動之可行性。二、進行實驗教學，探討數感教學活動對學生數感能力及分數比較大小學習表現之影響。

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三、以 CAI 教學方式設計數感融入分數比較大小所進行之教學活動，是否較能引發學生學習興趣，增加學習效能。根據上述之研究動機與研究目的，本研究有下列幾項待答問題：一、數感融入分數比較大小的教學活動設計，其教學（以國小五年級為例）之實踐歷程如何？二、數感教學對於學生數學學習成效為何？三、數感教學對於引發學生數學其他單元之學習興趣影響為何？四、透過CAI教學方式，提升學生數感之教學策略，所發展之數感教學課程於融入分數比較大小單元，其教學之可行性為何？

第三節

研究方法與步

研究方法與步驟

研究方法與步

驟

本研究以 CAI 作為數感教學活動設計的教學策略，主要將分數比較大小的單元，除基本的分母通分外，再行設計以下四個教學活動：一、我的能湊成一大塊。內容說明：能以 1 為參考點，做多寡分辨。如： 9 8 與 8 9 二、我一小塊比你大。內容說明：能以分子通分方式比較大小三、大家都少 3 塊，誰剩的比較大。內容說明：真分數分子分母同加一個相同的數，越加其值越大，例： 14 11 ＜ 34 31 四、大家都多 3 塊，誰的比較大。內容說明：假分數分子分母同加一個相同的數，越加其值越小，例： 14 17 ＞ 34 37 以上述四個教學活動進行實驗教學，採用實驗組與控制組進行教學效果之探討。進行量的結果分析，比較兩組學生在分數比較大小之學習成效，以訪談方式探討學生對於教學歷程想法及對其數感能力是否有所提升。

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本研究先就分數比較大小的四個數感教學活動，做 CAI 腳本之設計，以動畫設計方式引發學生學習興趣；對實驗組與控制組進行分數基本能力的學前測驗。接下來開始對實驗組進行實驗教學，控制組以教科書內容方式教學，完成實驗教學後再施以學後測驗。以前、後測之成績，比較兩組之學習成效，並進行訪談，彙整學習心得及實驗教學之可行性。

第四節

研究範圍與限制

本研究以彰化縣和美鎮和仁國民小學兩班五年級學生為對象，其中一班進行實驗研究，另一班為控制組。基於時間、行政、及教師配合意願上之考量，參與研究之學校、班級、與教師並非隨機取樣，故研究結果所得之推論範圍較小。參與研究的班級：實驗組為五年三班，班級人數 36 人，授課教師為張意宗老師；控制組為五年四班，班級人數 36 人，授課教師為江姵珊老師。本研究之研究對象所使用之教材為南一版九年一貫課程國小第十冊數學課本，研究者以第四單元約分與擴分中之分數比較大小進行數感教學。數感的涵義廣大，沒有人可以界定其一個正確的範疇。故本研究僅限於研究者所設計之四個單元教學活動設計做探討，而且僅對於分數大小之比較，不能以此說是學生全部數感能力之表現。

第五節

名詞解釋

為使名詞意義更為明確，便於討論，以下就國小五年級學生及數學課程、數感、數感教學、CAI、傳統數學教學等本研究所常用的名詞釋意及界定如下：一一一一、、、、國小五年級學生及數學課程國小五年級學生及數學課程國小五年級學生及數學課程國小五年級學生及數學課程本研究之國小五年級學生係指九十學年度入學實施九年一貫課程之

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國小五年級學生。數學課程是指依九年一貫暫行綱要（教育部，2001）所編製的五年級數學課程。

二二二

二、、、、數感數感數感數感（（（Number Sence（Number SenceNumber SenceNumber Sence））））

數感是人們對於數及其運算的一般理解和感受。在人們的學習和生活實踐中，經常要和各種各樣的數打交道，經常有意識地將一些現象與數量建立起聯繫，如：「看！這套房子的面積真大啊，有 200 平方米吧！」，「今天的天氣太冷了，大概只有 5 度吧！」，「你的身高肯定有一米八」，像這種把實際問題與數聯繫起來，就是一種數感。數感是一種主動地、自覺地理解數，運用數的態度和意識。數感就是會「數學地」思考。數學使人眼中看到的世界有了量化的意味，當我們遇到可能與數學有關的具體問題時，就能自然地、有意識地與數學聯繫起來，或者試圖進一步用數學的觀點和方法來處理解決。如一個學生去文具店買練習本、鉛筆、橡皮等學習用品，就要考慮購買每種文具的數量、單價，應帶多少錢等。對這些問題的思考過程就是一個「數學化」的過程，學生在這個過程中可以逐步地學會用數學思考的方法理解和解決現實中的問題。我們沒有必要，也不可能讓每個人都成為數學家，但應當使每一個公民都具有數感，會「數學地」思考問題。教學中讓學生在現實的情境中看出數學問題，用數學的方法理解和解決實際問題，引導學生「數學地思考」，這才是數學素養的重要標誌，所以說，數感是人的一種基本的數學素養。綜合以上上所述，「數感」就是一種主動地、自覺地理解和運用數的態度與意識，是人的一種基本數學素養。它是建立明確的數概念和有效地進行計算等數學活動的基礎，是將數學與現實問題建立聯繫的橋樑。

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三三三三、、、、數感教學數感教學數感教學數感教學數感教學是指運用適當的教學方法或活動，來建立學生數感的教學活動。在課程上可藉由探索關於數的計算方面，其有意義的計算方法，而非死記規則；並鼓勵學生陳述其使用計算方法的理由，而非只要求學生得到答案，來建立數感。四四四

四、、、、CAICAICAICAI（（（電腦輔助教學（電腦輔助教學電腦輔助教學電腦輔助教學））））

電腦輔助教學（computer assisted instruction，簡稱 CAI）是指利用電腦來幫助老師教學和協助學生學習。其有兩種方式：一種是利用電腦「完全取代」老師進行教學，被稱為獨立型 CAI（教學不需老師）；另一種是利用電腦「輔助」老師教學，被稱為輔助型 CAI（教學需要老師）。本研究採用的是屬於輔助型 CAI。五五五、五、、、傳統數學教學傳統數學教學傳統數學教學傳統數學教學在傳統的教室中，教師代表了在數學上無所不知的來源。教師典型地直接講解教科書上的概念及解題步驟，甚至較具的操作也由老師確切地告訴他們，以一種指定的方式來學數學、算數學。在這種環境下，學生的注意力並需集中在老師身上，而不是在數學的原理上。久而久之，學生的數學就成為一種由老師制式而成的方式，而非自己形成的想法。兒童拒絕嘗試一開始就沒有被解釋的問題，甚至不期待去解決問題，除非老師可以給予他們一個解題的方法。傳統的數學教學系統鼓勵規則學習，而對實際地做數學卻僅僅提供了一點點的機會。

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第二章

文獻探討

本研究的目的主要為探討數感融入教學的實驗研究，本章就數感的意義、數感教學、分數的數感、數感的相關研究、數感與教學的相關研究及電腦輔助教學六個節次做文獻探討。

第一節

數感的意義

數感是近十幾年來數學學習中常常出現的議題，本節就數感的意義及數感的特徵與構成要素作說明，分述如下：一一一一、、、、數感的意義數感的意義數感的意義數感的意義很多數學教育學者與數學教師對數感的重要性都非常重視，也有許多學者與教育家嘗試對「數感」做嚴密的定義。但是這些定義目前仍被全面接受（Thompson & Rathmell, 1989）。例如：Hope（1989）認為數感的定義可以定為如下所述：（一）數感可以是一種對數字及其使用與解釋的「感覺」。（二）數感是計算時對正確程度的「了解」。（三）數感是使用數字支持論證的「常識」。（四）數感是產生合理估計、偵測算術錯誤、選擇最有效的計算程序、與辦識數字組型的「能力」。而 Kastner（1989）則以三個命題來說明數感： (一)具有數感的人會有能力與信心來決定答案的合理性。 (二)越能將數學與感官經驗世界聯結起來的人，他就越能做好決策。 (三)一個可以將抽象視為是由具體而有意義的經驗類化而來的人，他就能順利的掌握數學的抽象特徵。

Resnick (1987)在「教育與學習如何思考(Education and Learning to Think)」一書中，曾用高階思考的特徵來描述數感。他曾提到數感無法被

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明確的定義，然而他則提及要列出幾個數感的重要特徵卻是容易的，當我們這樣做時，我們會注意到雖然無法明白地定義它，但當數感發生時我們可以辨識出來。他對數感有重要的幾點想法：（一）數感是非算則化的。（二）數感是複雜的。（三）數感通常會產生多重的解法，每一種都有成本和效益，而不是僅有單一解法。（四）數感包含細微差異的判斷和解釋。（五）數感包含多重標準的應用。（六）數感通常包含不確定性。（七）數感包含思考歷程的自我調整。（八）數感包含賦予意義。（九）數感是可努力的。 Sower（1992a）綜合其他學者對數感所提論點，也對數感提出了定義，其定義如下：（一）數感是一種有良好的概念組織網路，使人能連結數字和運算特性的關係。（二）數感是一種可供辨認的能力，這種能力是在比較數字時，使用數字的大小、相對和絕對大小來做質與量的判斷；並且能辨認計算的不合理性，能運用非標準化的策略來進行心算和估算。（三）數感能運用多種變化及創新的數字形式來解決問題。國內楊德清教授將數感解釋為：個人對數字、運算、以及數字和運算所產生之情境的一般性理解。具有數字常識能力者能夠以靈活與彈性的方法對數學作判斷以及發展解題策略以處理數字和運算之問題。（楊德清， 1997；楊德清，1998； Reys & Yang, 1998）。

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綜合以上論點，發現數感之定義因對它下定義的人之不同，所下的定義內容也會因而不同，但各學派對數感定義之論點卻是大同小異。因此，研究者將數感定義為：「數感是人們對於數及其運算的一般理解和感受，這種理解和感受可以幫助人們用靈活的方法為解決複雜的數學問題提出有用的策略。」當我們遇到可能與數學有關的問題時，數感就能自然地、有意識地與數學聯繫起來，並試圖進一步用數學的觀點和方法來處理解決。二二二二、、、、數感的特徵與構成要素數感的特徵與構成要素數感的特徵與構成要素數感的特徵與構成要素 (一)數感的特徵 Sowder（1992b）根據其他研究者對數感所提出的論述，綜合列出具有數感能力的人，所具特徵大致如下幾點： 1.能幫助進行數的分解及合成，並能流暢地將數用不同的表徵來呈現，以及知道那一種表徵是較有用的。 2.能夠辨別數字的相對大小。 3.能夠處理數字的絕對大小。 4.會使用參考點（Benchmarks）。 5.能夠用有意義的方法去連結數、運算和相關符號。 6.能了解運算對數字的影響。 7.能夠發展有利的數字和運算屬性的策略來執行心算。 8.能夠靈活的使用數字來估算算式的答案，並能正確辨識估算的時間點。 9.能較容易瞭解數的意義。 NCTM（1989）在其所出版的「學校數學課程與評量標準」（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）中特別強調，

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具有良好數感的兒童應該擁有下列的特質： 1.對數字本身的基本意義具有良好的理解。 2.可以發展出數字之間多樣化的關係。 3.能認知數字之間的相對大小關係。 4.能瞭解運算對數字之相對影響。 5.能夠發展出參考點（Benchmarks）並應用在測量一般的物體及生活中的情境。（二）數感的構成要素國內學者楊德清（1997；2000）將數感的構成元素定義如下： 1.瞭解數字的基本意義：有意義化的瞭解數字系統（整數、分數、小數），它所代表的意義以及它的結構關係，包括數字型態與位值觀念。 2.具有比較數字大小的能力：認知一個數字的大小包括有能力去比較數字之大小以及排序數字。 3.運用參考點：參考點可以解釋為可依賴以作為檢驗其它數字之標準點。 4.瞭解運算對數字的意義及影響：認知運算對數字的影響即是瞭解運算在不同的數字系統下（包括整數與有理數）以及不同情境下所產生之影響。 5.發展不同的計算策略，包括心算、估算、與其它策略和知道數字與運算之結果的合理性：在不同的情境之下，作適當的抉擇，以決定什麼型態的答案是適當的（正確的或大概的），並據以決定哪一種計算工具是直接有效的且方便可得（如估算、心算或計算器等），進而運用此種工具以解決問題，並檢驗運算結果的合理性。 6.了解和應用數字的多重表達意義，包括具有分解與組合數字的能力

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：認知數字能夠以不同的型態去表達與呈現以便於數字的運算。它也包括能夠以彈性的方式適當的分解或組合數字以方便於執行運算。

Mclntosh, Reys & Reys（1992）從數字、運算以及情境這三個方向來探討構成具有數感能力的主要元素及其之間的關係。這三個方向所要探討之重點如下： 1.對數字的流暢性及知識：（1）能瞭解數的排序。（2）能瞭解數的多重表徵方式。（3）能瞭解數的相對大小和絕對大小。（4）運用參考點。 2.對運算的流暢性及知識：（1）能瞭解運算對數字的影響。（2）能瞭解數學中的性質。（3）能瞭解運算之間的關係。 3.將數字及運算的流暢性及知識運用到情境之中：（1）能瞭解問題的脈絡及必要的運算之間的關係。（2）能瞭解不同的解題策略。（3）能利用較有效率的表徵方式。（4）能清楚的查覺資料及結果的合理性。

McIntosh, B. Reys,R. Reys, Bana and Farrell 等（1997）從 McIntosh, B. Reys and B. Reys（1992）的三個主要方向中發展出更具客觀的數感測驗與題庫，並建立數感的六個主要構成元素：

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2.能瞭解數字的多重表徵方式。 3.認知運算對數字的意義及影響。 4.相等型式表徵的理解及使用。 5.能以彈性的運算方式發展計算策略。 6.能善用參考點。 Thompson 與 Rathmell（1989）將數感分為四種元素，四個元素的相互關係如圖 2-1-1，分述如下： 1.數的意義與關係的瞭解：這其中包含了正整數、小數與分數的瞭解；同時，也對於數的分解與結合的瞭解， 2.數的相對數量關係的瞭解：瞭解數的相對大小及可以比較其在數線上之相對位置。 3.運算對數的影響的瞭解：例如，知道一個正數除以另一個小於 1 的正數必然大於該正數（7 ÷ 0.9 必會大於 7）；而一個正數除以另一個大於 1 的正數時必然小於該正數（7 ÷ 1.2 必會小於 7）。 4.對日常生活中各種事物的數量，有一個人參照標準：亦即瞭解日常生活中，所遇到與數字有關的事物，其數之合理性與適切性。圖 2-1-1 數感主要構成元素之關係圖（引自 McIntosh 等人，1992）

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第二節

數感教學

一一一一、、、、數感教學策略數感教學策略數感教學策略數感教學策略如果數感真正是一種思考方法或能力，就必須能讓數感的能力可以普及到學習數學的所有層面。然後再以計畫來引導兒童瞭解數字的意義；在課程上，宜先安排數感能力的培養，並藉由探索有意義的計算方法，而非授予學生死記的運算規則；宜鼓勵學生自行想出、使用解題的良好策略，並陳述其使用某種計算方法的理由，來建立學生的數感，而非只要求學生得到答案(Sowder & Schappelle, 1994)。以下提出幾位學者，對於發展學生數感所提出的教學課程意見： Trafton 與 Hartman(1997)曾進行一項發展兒童數感的教學研究計畫，他們的教學理念大致如下：（一）兒童的數與計算的知識是在漸進的歷程中發展出來的。這是一個整學年都在發生的歷程，這個歷程應不斷受到教師們的注意，學生在這個歷程中將有許多的機會發展出健全的理解與成熟的策略。（二）在教學過程中，可以自由地、規律地使用各種運算方式與不同的大小數字。例如，各種運算(包括乘除法)的問題都可以很規律地出現；有些問題可能涉及到二位數的減法運算，但下一個出現的問題則可能只須要用到加法運算。（三）兒童自己發明出來的演算方法可以被特別強調。這些演算方法對兒童而言是自然的，與兒童的直覺與數字感的發展有密切的關連。（四）當兒童在他們的作業中使用了某些策略，這些策略可能會受到強調。因此，整個教學過程中，教師並沒有教導兒童所有解題策略。當兒童自然使用了某些策略，教師會與兒童討論這些策略，並鼓勵他們將這些策略運用到其它的情境問題中。

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（五）利用輔助教具。例如各種塑膠積木，可以用來做為幫助學生找出答案並進行驗證的工具。就協助兒童發展數字感而言，每一種輔助工具都具有其獨特的作用，對兒童則以對他們最有意義的方式來使用這些教具。（六）雖然標準的紙筆演算方法經常被提到並被當成是一種思考方法來加以討論，但紙筆計算在整個學年都沒有特別加以強調。標準的紙筆演算方法只是兒童在學習數感與計算策略的過程中，自然學到的一種方法。教師與兒童都將演算方法視為是發現答案的一種方法而非最佳的方法。 Howden(1989)認為年幼學生天生具有的好奇心，使得低年級的教室，具有豐富的發展數感環境。教師可使用具體的事物來幫助學生探索數字的概念，例：組合(composition)、分解(decomposition)、歸類(grouping) 或產生相同數字的各種方法等。此外，藉由認識月歷的活動，有助於教導學生數字的順序；藉由適當的排列物體，可使學生發現數字的奇數、偶數特徵及數字的因數(factor) 與倍數(multiple)關係。然而，僅僅完成上述的活動是不夠的，還要學生紀錄所發現的結果，並說出對數字關係的基本認識與瞭解。另外還可藉著以下的教學策略來發展學生的數感：（一）「不可思議的方程式」的教學策略利用學生的興趣，使其依照自己的方式來表達數字，每天學生表達出「今天是這個月的哪一天？」，進行一種「不可思議的方程式」的教學策略，當學生學習到較大的數字與加法的演算，這些概念皆可使用在他們的方程式裡。（二）利用「計算器」輔助發展數感的教學策略計算器是發展數感的優良工具，因為它允許學生自由地去探索相關

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的數字。例如：在計算器上簡單的連續加、減某一數字，則有助於學生發展數字的順序(order)概念。此外，「壞了某個按鍵的問題(Broken-key problem)」則提供進一步探索位值、組合、分解及數字演算特徵的最佳機會。（三）利用「測量活動」培養數感的教學活動當問題解決、推理、數感與數學概念的瞭解，漸漸被視為學習數學的重要成分時，傳統測量這些成分的方式，也應該有所改變。評價數感技術的進步已經超越傳統的紙筆測驗評估方式，取而代之的應多多採用以下質的評量方式： 1.觀察：當學生個別地在小團體中學習時。 2.傾聽：當學生在小團體的學習情境中，讓學生以口語描述並寫下自己的想法。 3.發問：老師向學生發問，以瞭解學生數感的發展情形。 Hope(1989)在對於培養學生數感的研究發現，如果發展數感可視為學校數學計畫的一個重要目標，教師必須先在班級中創造適當的學習氣氛，然後再藉著有意義與有目的的三項活動，來發展數感。茲分述如下：（一）利用生活情境的計算培養數感在學校裡學生計算，常常遠離了日常生活情境，計算通常只是為了計算本身，而很少將計算的結果應用到實際的問題。在校外的情境中，並非如在校內的學習一致：「為計算而計算」，相反地，常常是為了解決問題或完成實際的工作而計算。因此，以計算來發展學生的數感時，我們必須注意： 1.確定學生在學校裡，所學到的計算不可偏離日常生活中實際的計算問題。 2.依情境來選擇計算的程序。

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3.計算常可以被簡化。 4.情境有助於評鑑計算結果的合理性。 5.必須解釋計算的結果。（二）利用測量方式來培養數感在測量任何相關的事件，不論是一維、二維或是三維空間裡的事物，永遠不能不用數量。數感確實是人們日常生活情境中不可或缺的能力。不論以目測、估測或實測方式來測量，都可以成為學生訓練數感的學習機會，以測驗來發展學生的數感時，必須瞭解到以下幾點： 1.測量有其目的。 2.視情境之需要而選擇不同的測量工具。 3.依照測量的目的來決定測量的精確性。 4.從日常生活中的測量知識來產生測量感(measurement sense)。 5.測量單位常常是內隱的(implicit)。（三）利用估計活動來發展數感除了實際使用數字之外，產生合理的估計也能促進兒童的數感，因此老師應該強調以下的估計觀念： 1.估計包含了數量比較。 2.一個計算的答案，能以許多方式來估計。 3.估計的精確度，端視其用途而定。二二二二、、、、培養數培養數培養數培養數感的方法與途徑感的方法與途徑感的方法與途徑感的方法與途徑杜宜展（1998）在國小數感教學之理論探究中提到，發展國小學生數感的方法有以下幾個要點；（一）教學活動中建立積極數學的學習氣氛如果發展數感被列為是學校數學教學計畫的一個目標，教師必須能在班級教學活動中創造適當的學習氣氛(climate)(Hope, 1989)。

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要建立學生的數感能力，可先藉由有計畫性的從日常生活經驗開始，例如，請孩子去購物，來協助兒童瞭解數字的大小、演算數字與認識數字間的關係。當兒童在數字及數字間的關係感到有信心之後，他們就能在學校或學校以外與數字有關的情境中，發展出良好對數感熟練掌控與運用的能力。他們會以較積極的態度來處理有關數的問題，且得到較好的效果。有些學生自己發展成長的能力較弱，老師在每天的數學課中，應有計畫地加入數感教學的主題，培養其對數字的自信心，此計畫的內容可以包括(Thornton & Tucker, 1989)：

1.知覺到發展數感的重要。 2.安排積極的學習氣氛，以增加學生對數字的瞭解與應用。 3.設計能刺激發展數感的情境。當老師們在思考改進或發展班級數學學習氣氛時，應考慮以下幾點： 1.應能使學生願意去探究自己熟悉的數學概念。 2.能引導學生會以各種不同的方法來處理用數字表示的情境，接受與鼓勵學生所做的各種不同反應，是使其思考更具彈性與在估計時經驗到成功的催化劑 (catalyst)。 3.使用合作學習方式，使學生們有機會傾聽其他同學對於數字的看法，讓他們學習到多樣化處理問題或應付情境的方法。 4.在一種可被接受與無威脅性的氣氛下，讓學生們能對數字做詳盡分析的判斷。 5.當學生擁有數感之後，對於社會學、科學與閱讀等領域會更有興趣，讓學生明白擁有良好數感在生活中的好處，讓學生感覺到需要努力增強對數字的判斷能力。（二）藉由教師的發問來刺激發展學生的數感習慣使用數字與演算的推論並用於處理問題解決以外，有些學生可

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能需要更多的幫助。老師可採用發問方式來引導學生對數字思考，幫助學生發展擬定解決問題的良好計畫。例如老師可以用發問以下的問題引導學生： 1.我們將會得到什麼類型的數字？ 2.在些答案中最大的數字是多少？ 3.你能猜猜看答案是多少？老師提出的問題與學生的討論結果，能在解決問題的情境下，創造出一種用數感溝通的環境。儘管學生們可能擁有這些解決問題的情境，但在老師的引導下，可能是幫助他們成功地與適時地應用他們的技巧所必須的一個良好方式(Dougherty & Crites, 1989)。

（三）藉由學生的發問來發展數感鼓勵兒童懷著對數字的結果感到懷疑的習慣，尤其在他們發現原因時，不要吝嗇給予支持。班級氣氛(classroom climate)是非常重要的，當兒童被鼓勵去摸索(poke around)數字，去瞭解不同的答案與數字間的關係，就能強化兒童的數感。數學問題的屬性大部分各不相同，所以此問題的可以有其他向度 (dimensions)能繼續去研究，原有的問題則成為其他許多相關問題的種子。以此種方式來對學生發問，師生之間都會受到鼓勵而向前繼續研究下去，並藉由自己的愛好追究精神來勇往直前。 Bobis(1991)認為培養學生不斷地自問：「為什麼？」與「是什麼？」的態度，會鼓勵其對提出問題的合理性答案，此種自我監控或自我發問的態度，是協助學生發展並改善瞭解數字所必備的重要特質。大陸學者盧崇金（2005）對數感培養的途徑，提出下列幾項看法：（一）體驗生活，啟蒙數感數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫的科學，它源於生活，

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並優化生活。數學教學應緊密聯繫學生的實際生活，將抽象的數學建立在學生生動、豐富的生活背景上，促進學生主動學習，獲得發展。數感不是通過傳授而能得到培養，重要的是讓學生自己去感覺、發現，主動去探索，讓學生在學習中體會到數學就存在於周圍生活中，運用數學知識可以解釋現實中的數學現象，解決生活中的數學問題，感受到數學的樂趣和價值。（二）參與活動，發展數感 1.動手操作，發展數感兒童思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯繫，思維就得不到發展。動手操作活動就是關注知識的形成，是經驗不斷內化、提升的過程，也是學生主動發展的自由天地，所以注重動手操作的數學課堂將成為學生探索的樂園、創新的搖籃。數感的培養和發展，同樣離不開動手操作。 2.遊戲活動，發展數感學生在頭腦中一旦形成對數的意義的理解，就會有意識地運用它們來理解和認識有關的問題效果，逐步發展數感。興趣是學習最好的夥伴，在這個夥伴的帶動下，學生更能容易地主動地獲取知識。“玩 ”是孩子的天性，在枯燥的數學學習中加入遊戲的成分，最能引發學生的興趣，在輕鬆愉快的學習氛圍中，不知不覺就培養了學生的數感。 3.多寫日記，發展數感寫數學日記，就是鼓勵學生學會數學性的生活，讓孩子記錄生活中的數學問題，是培養學生數感的有效方法之一。如：教學完“元、角、分”之後，學生對於金錢的認識還很模糊，因此，我要求小朋友星期天跟爸爸媽媽一起上街購物。可以上超市，可以去菜場，要求把當天的支出、結餘記錄清楚，並幫爸爸媽媽算算帳。這就是一篇數學

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日記。通過寫數學日記，讓學生充分體驗到元、角、分在生活中的重要性，理解元、角、分之間的進位關係，並且能用各種不同的方法解決生活中的問題，培養了學生的數感。（三）表達交流，優化數感在教學中為學生創設問題情境，讓學生在討論的過程中互相啟發、互相學習、互相借鑒，體會數可以用來做為溝通表示和交流資訊的方式，使學生在對數的交流有所感知時，拓展思維，豐富自己對數的認識，體會數學的價值，從而促進數感的形成。（四）解決問題，增強數感前蘇聯教育家贊科夫說過：只有當學生把所學知識與生活經驗聯結起來，知識才能掌握得更好，知識才能順利內化。因此，學生數感的培養要讓學生多多接觸現實世界、解決現實問題，將現實問題與數量關係連結在一起。要使學生學能從現實情境中找出問題，轉化成數學問題，選擇恰當的方法解決問題，對於解決問題後，其運算過程與結果的合理性能作出完美的解釋。這整個過程都缺不了數感，而經歷這過程的同時，也將使學生原有的數感能力得到了強化。由上述學者的論述可以看出，數學教育要培養學生的創新意識、思維意識，這就要關注和開發學生的問題意識，提出問題，是人的創新思維的開始，從這個意義上說，提出問題比解決問題更重要。我們常說：“做學問，先學問，只學答，非學問”但在傳統的以考試為目標的觀念影響之下，好奇心往往被好勝心所取代，學生的問題意識被壓抑。為了保護學生的問題意識，並積極鼓勵開發，在數學教學中，我們要多考慮創設情境，鼓勵學生敢於大膽提出問題，啟發學生多考慮一題多解，培養學生不惟書、不惟師的科學態度和問題意識。

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第三節

分數數感

分數可以說明為是一種部分和整體關係的表徵。分數的意義可以解釋為是整體或整體群組（稱為 1 個單位）等分割或等大小的幾個部分，其對整體所佔的比率。一個單位可以是一個個體物或一些物件的集合。也就是說，把整體看成一個單位時，這一個單位被計為「1」；而 1 的一部份就稱為是 1 的部分量，或 1 的幾分之幾。在分數的部分有特殊的名稱（分子、分母），可以說明這種大小的部分需要多少份才能做成 1 單位整體。例如：將 1 五等分，每一等分稱為 5 1 ，有三個 5 1 就稱為 5 3 ；此處的 5 1 稱為單位分數，又稱為單位量。要五份「 5 1 」才能做成 1 單位的整體。分數的分子說明考慮多少個部分，分母指出分子所計數的部分之種類或大小。例如：分數 7 4 中，分母 7 表示 1 單位之整體均分為七份，每一份是「 7 1 」；而分子 4 表示有 4 份「 7 1 」。

John A. Van De Walle 在其著作的「中小學數學科教材教法」（2001）第十二章第三節中，提到分數的數感。說明聚焦自分數部分是一個重要的開始，因為它能幫學生思考部分—整體的關係，以及分子分母之間相應的意義。而要培養分數的數感需要更多——它要學生有一些分數的直覺感；他們應該知道一個特殊的分數「大約」有多大；很輕易的知道兩個分數哪一個大。他將分數的數感分為四個部分：一一一一、、、、分數部分的靈活應用分數部分的靈活應用分數部分的靈活應用分數部分的靈活應用學生如果對數字有極強烈的認識，可能導致學習分數相關大小時有困難。在學生的學習經驗中，他們會認為「較大的數字」意即「多」；他們會把整數的大小概念轉換至分數概念上，例如：學生認為 7 比 4 多，所以 7 1 應該比 4 1 大（Mack, 1995）。因為先前整數概念的學習，可能轉化到分

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數概念的學習上，而導致錯誤概念的形成。因此瞭解分數的基本概念，幫助學生靈活思考分數部分，比強記規則還要重要。二二二二、、、、基準數基準數基準數基準數 0000、、、、 2 1 和和和和 111 1 真分數大小比較最重要的參考點或基準數就是 0、 2 1 和 1。對比 1 小的分數而言，簡單比較三個已知數的一些訊息即可。例如： 20 3 是小的，因為它接近 0； 4 3 在 2 1 和 1 之間；分數 10 9 相當接近 1。因為任何大於 1 的帶分數或假分數，都可以化成整數部分加上 0～1 之間的真分數，所以將這觀點活用我們可以知道： 7 3 3 是很接近 2 1 3 的。三三三三、、、、思考關於哪一個比較多思考關於哪一個比較多思考關於哪一個比較多思考關於哪一個比較多你或許學過一些比較分數大小的規則或比較分數大小的運算方式：比較分數的大小時，通常是找出共同的分母並做分子分母交叉相乘之結果來比大小，這些規則在解決計算式並得到正確答案，在對於比較分數大小的處理上可能是有效的。但這種方式可以不需要考慮分數本身所代表的意思，這是直接分子分母交叉相乘產生的特殊事實，就分數的比較意義相差甚遠。假如學生在考慮不同分數比較關係的學習活動之前，就先教這些交叉乘積比較方法及規則，他們將幾乎沒有機會可以去瞭解分數大小的數概念。John A. Van De Walle 提出分數比較的概念想法規律有下列四點：

（一）較多相同大小的部分的類型（即分母相同的比較）。例如：比較 8 3 和 8 5 的大小。在相同大小的部分中，擁有比較多份的數，就會比較大。

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（二）相同數目的部分但不同大小的分割類型（即分子相同的比較）。例如：比較 7 3 和 10 3 的大小。兩者擁有相同的份數，當分割的越大時，每一小份也比較大，所以結果也比較大。（三）比一半或一個整體多或少的類型。例如：比較 9 8 和 8 9 的大小。一個比 1 大，另一個比 1 小，結果是顯而易見的。（四）與一半或一個整體的距離的類型。例如：比較 4 3 和 10 9 的大小。 4 3 比 1 少了 4 1 ， 10 9 比 1 少了 10 1 ， 10 9 減少的較少，與 1 較接近，所以也較大。四四四四、、、、估算估算估算估算一個好的分數概念，在估算的目的上是比熟練紙筆計算有意義的，認識一個分數是否接近 0、 2 1 或 1 證明是相當有用的，數字可以是大約接近整體或接近一半，會較容易作加法。例如： 8 1 2 ＋ 9 4 大約和 2＋ 2 1 相等，有可能是用一個前端估算法處理達成的：處理全數，然後注意分數靠近一半的估計，做成判斷。

第四節

數感的相

數感的相關研究

數感的相

關研究

張文宜（2003）主要目的在發展數感電腦化多點計分題型的新式測驗（ CANST），一方面豐富數感的構念內涵和評量工具資源，另一方面補充描述國小中高年級學生數感表現概況，供數學教育研究和實務社群的參考。研究發現：（一）電腦化多點計分題型的發展，成功的鬆解一般人對電腦化測驗只能範限在選擇式題型的刻板印象，學生多數認為圖片與動畫對解題有幫助。綜合初步資料顯示，電腦的多媒體與動態化先天優勢，將可積極提昇數學

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評量的信、效度和真實友善形象。（二）不同年級學生的數感有顯著差異，女生的表現略優於男生，城鄉地區學生的數感表現差異在四年級並不明顯，但五、六年級的城市地區學生略優於鄉鎮地區，資優學生顯著優於常模；積極面對挑戰或較穩定自信的學生數感表現較佳，家中有電腦的學生數感表現略優於沒有的學生。黃莉雯（2004）在探討國小六年級男女學生數感能力與後設認知能力的現況，並探究國小六年級學生之數感能力、後設認知能力與性別三者之間的關係。研究發現：國小六年級學生在數感評定量表測驗之整體答題表現偏向高分群；國小六年級男女學生在數感評定量表各組成成分之分數上無顯著差異；國小六年級學生在後設認知量表各分量表上表現以「自我監控」最佳；國小六年級男女學生只有在後設認知「目標設定」分量表項目無顯著差異存在，其餘分量表均有顯著差異，而且女生的表現優於男生；後設認知中的各分量可預測學生不同的數感能力；高數感學生比低數感學生在數感解題的歷程中表現出較多的後設認知的行為，表現上也存在著相當的差異性。林姿貽（2004）在編製「國小第二階段（四、五年級）數感線上評量工具」，並探究已完成五年級數學學習的學生，其數感的發展情形。研究發現：（一）「國小第二階段數感線上評量工具」具有良好的信、效度。（二）國小第二階段數感主要包含五因素: 比較數字的相對大小，數與運算的多重表徵，運算結果之合理性的判斷，數與運算的關係，瞭解數字的基本意義；其中「數與運算的關係」為新產生的因素。由此可知，數感似乎隨著學生年齡的增長，產生了質變與量變。（三）第二階段數學學習之學生在數感各組成份間的發展具有顯著差異。（四）不同性別的學生，雖然在數感的比較數字的相對大小表現上，具有統計上之顯著差異，但其組間差異效果值並不大。（五）第二階段數學學習之學生數學學業成就與數感能力呈現正相關。蔡鳳秋（2004）在探討國小四年級學生解數感生活情境文字題時所使用之解題策略，以了解小四學生數感之表現；並探討高、中、低程度各兩位學

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生(共六位受訪者)在數感上表現的差異。研究發現：（一）透過生活情境文字題，可以鼓勵小四學生使用數感策略進行解題。（二）生活情境文字題的使用，較易誘發學生使用多元表徵方式進行解題。（三）部份小四學生並非完全不具備數感能力，可能尚未發展完備。（四）小四學生數感能力較不受傳統算則的影響。張慧貞（2004）主要在瞭解外籍配偶子女的數感表現情形，並進一步探討外籍與非外籍配偶子女在數感上表現的差異。研究發現：外籍配偶子女在數感測驗的表現優劣依序為了解整數的意義、比較整數的大小、了解整數運算的結果、發展不同的計算策略、合成與分解整數；外籍配偶子女數感測驗結果，在不同性別及母親不同國籍之間沒有顯著差異；體而言，外籍配偶子女數感測驗得分分布較偏向低分群的情形，而非外籍配偶子女數感測驗得分分布則偏向高分群的情形；外籍和非外籍配偶子女在整體數感測驗表現上有顯著性差異存在。李威進（2004）主要在編製「國小第一階段電腦化數感測驗」，並進一步以此測驗調查完成第一學習階段（國小一至三年級）之四年級學生數感的發展情形。研究發現：「國小第一階段數字數感」具有良好之信、效度；數感含有五大組成成分；國小四年級學生在數感各組成份間的發展上具有顯著性差異，且達到中效果值，表示有其實際上應用的價值；國小四年級不同性別之學生在數感各組成份發展上具有統計上顯著性差異，但因效果值偏低，因此在實際應用上的價值並不大。王菱玉（2003）主要在探討職前教師解數感問題時所使用之解題策略，以瞭解職前教師在數學學科知識---數感上的表現；以及探討數理系與非數理系學生在數感上表現的差異。研究發現：職前教師在數感問題的表現優劣依序為數字基本意義、參考點、數字大小、估算；有些職前教師並非完全不具備數感能力，但發展不純熟；多數的職前教師無法跳脫算則的規範；學習經驗影響職前教師的表現；數理教育系職前教師的表現優於非數理教育系職

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前教師。她並提出建議：在教師及師資培育課程方面，教師本身應加強數感能力，且師資培育課程應將數感納入數學課程中；在教學部分，勿侷限於公式的背誦及算則的強調；在未來研究方面，可考慮以現職教師作為樣本，以瞭解現職教師的數感能力。張盈盈（2003）主要在分析具珠心算能力之學生的數感能力，以提供教育工作者在課程設計及教學上之參考。其選取 12 名珠心算達段位以上之國小高年級學生，就研究者自編之數感試題進行訪談。研究結果顯示，珠心算段位學生相當缺乏數感能力，其中又以估算能力最為薄弱。黃靖淑（2002）希望了解國小四、五、六年級學生數字感發展的概況，同時藉由電腦化數量估算評量工具的發展，針對數量估算的構念及其關連議題進行初步實徵的探討。以自行研發的電腦化數量估算評量包含認知與態度兩層面，反應時間也同時納入初步探討。研究中發現我國學生普遍缺乏自然情境中數字關連的覺察和運作經驗。劉琪玲（2002）將數感動態評量融入現行學校的數學科教學中，以檢視其教學效益，並探討學生數感能力的改變情形。研究中發現：（一）數感動態評量具有教學效益：實驗組的後測成績明顯高於前測成績，且實驗組後測成績也明顯優於控制組後測成績。（二）學生在數感動態評量過程中，數感能力在量方面均有明顯進步。（三）學生在數感動態評量過程中，數感能力在質方面的改變：學生的概念變得強化，思考變得靈活，策略變得多元。許清陽（2001）主要在編製標準化之「國小高年級學生數感評定量表」，並進一步以此量表調查高年級學生數感的發展情形。以中南部縣市公立小學為量表編製研究對象，抽取進行電腦線上測驗，以建立量表之信、效度，並就測驗結果進行分析。研究發現：「國小高年級學生數感評定量表」的編製有不錯之信、效度；國小高年級學生在數感各組成成份間的發展上大都具有顯著性差異；國小高年級不同性別之學生在數感各組成成份發展上大都具有統計上之顯著性差異，但平均數差異很小；實施數學科建構式教學新課程

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和傳統教學舊課程之高年級學生在數感各組成成份發展上具有顯著性差異。由上述研究結果顯示，數感能力高低對於學生的學習表現有一定的影響力，數感也開始受教育學者的重視。

第五節

數感與教學的相關研究

一一一一、、、、國外研究國外研究國外研究國外研究 Plemons(引自杜宜展，1996)以兩所國小六個班級的 87 名幼幼班兒童研究對象進行數感教學準實驗研究。研究採取隨機分派與多重處理方式的區間設計，以了解數感教學組、直接教學組、非引導式探索組三組幼兒間之差異。研究發現在增進學生對「多」與「少」的數學概念理解上，數感教學組與非引導式教學組之間有顯著差異。 Markovits 和 Sowder(1994)以七年級學生為對象進行數感教學研究。在研究過程中，學生被教導數量大小、心算與計算估計，並提供機會探索數、數間的關係、數演算、發現規則、發明演算法。結果顯示，學生在教學後較可能選擇使用數感的策略，學生再組織與使用現有的知識，而非獲得新的知識結構。 Hopkins(1995)以五年級學生為對象，進行爆米花活動，讓學生實際去操作並計算出爆開的一百萬個玉米粒，引導學生了解較大數的意義。另外，也有一些特殊教育學者將數感教學實施在學習遲緩的兒童身上，結果成效良好。(Vacc, 1995; Stranger et al.,2000)

二二二二、、、國內研究、國內研究國內研究國內研究陳慶林（2004）主要在調查國小三年級學生數感的表現，並透過以建構式教學法所發展出的數感實驗教學活動後，探討學生數感改變之情形，

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並將研究結果提供作為日後我國數感課程發展之參考。研究結果發現數感教學前，國小三年級學生數感表現普遍不佳；數感教學後，國小三年級學生整體數感表現有顯著進步。並以建構式教學法所發展之數感實驗課程，對於學生數感概念之表現以及數感能力之養成是有成效的，因此將此實驗課程加諸在現行之國小三年級數學領域課程中是可行的。侯淑芬（2003）採準實驗設計，以一班四年級 34 名學生為實驗組，由研究者擔任教學者進行數感教學；另一班 33 名學生為控制組，由該班導師進行一般教學。教學期間，以教學錄影、錄音、學習單等方式收集有關教學實踐情形之資料並進行轉錄與分析。教學前後，則分別以「數感測驗」以及「數學成就測驗」對兩組學生進行施測，並以相依樣本 t 檢定以及單因子共變數分析來進行統計考驗。此外，另於教學前、中、後針對實驗組不同數感程度 7 名學生進行訪談，以探討學生數感能力之發展情形。研究結果發現實驗組的各項成績顯著地高於控制組，且接受訪談的學生在教學後其數感均有不錯的發展，尤其是在使用參考值解決心算和估算等問題上。吳明玲（2003）主要是調查國小二年級學生數感的表現，並透過數感教學活動後，探討學生數感改變的情形，分別以自編之數感紙筆測驗及教學活動來進行。數感紙筆測驗結果，在不同性別之間沒有顯著差異，但是和數學學習成就有顯著相關。五個數感向度中以「數的理解」和「數的大小比較」表現較好，「數與運算的關係」表現最差。學生接受數感教學活動之後，數感紙筆測驗以「數的合成分解」和「數與運算的關係」進步最為顯著。數學學習成就高低中分組學生，均有不同程度的進步，其中以中分組的學生進步最顯著。學生答題類型略有改變，顯示數感教學活動有助於學生數感的提昇。王玉珍（2003）從數感的要素：比較數字的大小、瞭解數的意義、熟悉數的多重表徵、明瞭數與運算的關係、運用參考點做合理的估算五方面

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來探討國小三年級低、中、高程度學生數感的表現。研究者選擇合適的數感教學活動，採「教師介入教學活動」和「異質分組」的方式，期待學生經由遊戲的方式和小組的討論，能更理解數字的意義，並能更彈性的處理數字，發展出良好的估算策略。研究發現：數學程度高的學生在數感活動教學前，未必每項明顯數感表現都領先；學生在教學前、後解決數學問題的策略明顯不同，證明數感的教學活動有助於數感的發展；小組的討論使學生們有機會傾聽其他同學對於數字的看法，對學生數感的學習遷移幫助很大；教師適時地介入，鼓勵、引導學生討論，引導學生做有意義的思考，有助於學生數感的學習；學生數感的發展會囿於學生本身抽象思考能力之發展，三年級學生仍處具體操作期，教學活動中宜多使用教具。林勇吉（2003）在探討電算器教學活動，對於兩位國小五年級個案學習數感能力的影響。其採用訪談的方法來蒐集這兩位個案的資料，將過程分為三個階段，第一階段是前測訪談，主要目的在於瞭解兩位個案在教學前缺乏哪些數感能力。第二階段是進行電算器教學活動教學，主要是針對兩位個案在前測所缺乏的數感能力進行教學。第三階段是後測訪談，主要用來確認兩位個案是否透過電算器教學活動後能夠學習到數感能力。研究結果發現，在前測訪談中，兩人皆缺乏估算、使用參考點、使用數字樣式與瞭解運算與數字間關係（乘法）之數感能力，而皆具備瞭解運算與數字間關係（除法）之數感能力。在電算器教學活動中，兩人皆可以透過教學活動學習到估算、使用參考點、使用數字樣式與瞭解運算與數字間關係（乘法）之數感能力。而在後測訪談中，顯示兩位個案在教學後皆具備使用數字樣式與瞭解運算與數字間關係（乘法）之數感能力，但是不具備估算與使用參考點之數感能力。綜觀兩人在研究的表現，電算器教學活動的確可以幫助他們學習數感能力，陳育聖（2003）探討六年級學生在電算器教學前數感能力為何、透過電算器教學活動學生數感的發展情形為何、以及在電算器教學後學生之數

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感改變情形為何？其採個案研究法，以立意取樣的方式選取兩位六年級學生接受三階段之晤談：前測訪談、針對前測所缺乏之數感能力進行教學，以及後測訪談以檢驗學習成效。研究發現：發現個案 A 在「運用參考點估算的能力」還是無法建立，而個案 B 則能順利建立數感相關之概念。林宜蒨（2002）主要在探討國小五年級學生數感的發展情形。在實施數感教學前、後，皆以許清陽編制之標準化「國小高年級學生數感評定量表」施測，以了解教學前、後學生的數感表現；並根據前測成績，以分層立意抽樣方式從中抽樣六名學生進行教學前、後的訪談，以了解抽樣學生經過一學期教學後的數感具備狀況。研究結果發現：學生在教學前、後兩次測驗中，在數感評定量表的成績表現，t 考驗的結果達到顯著性差異；經過一學期的數感學習後，六位抽樣學生的數感訪談情形皆有所差異。高分組學生的數感發展、表現良好，中分組學生對數感的發展則呈現較大幅度的成長，低分組學生對數感的發展則呈現小幅的成長；在過程導向的數感教學活動下，學生從中獲得肯定與喜悅。在不做紙筆計算的前提下，讓學生嘗試各種解題的方式。引導教學流程中，幫助學生經由思考與討論來發展數感。從這樣的教學流程中，學生們習得並發展了自身的數感。黃明章（2001）在探討國小六年級學生在數感教學前後的數字常識表現，並進一步探討建構式的教學活動在數感教學上的應用情形。研究結果發現：經過整學期的一系列數感教學後，六年級學生的數感能力在紙筆測驗上與訪談結果有顯著的進步，但是以中、高程度學生進步較多，低程度學生進步有限；採取建構主義的教學方式，學生可以經由小組討論、產生質疑、辯證的方式，造成認知上的衝突，重構自己的觀念，增進反省思考的能力，提昇多元的解決策略，對於數感的成長具有正面的意義。徐俊仁（2001）主要在瞭解目前國小六年級學生的數感，以及在研究者所設計之一系列數感教學活動下，是否可以提昇國小六年級學生的數感能力。藉由數感紙筆測驗，以瞭解教學前、後，學生在數感整體表現情形

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，並由所設計的數感問題，深入訪談國小六年級的學生，以瞭解教學前、後，學生回答數感訪談問題所使用的方法。結果顯示，教學後，30 位接受紙筆測驗的學生，在數感各部分的成績，均有普遍的成長，但以數字大小及估算兩方面的表現，成長較大。在數感的教學活動後，訪談結果顯示，學生用以判斷數字問題的架構，較以往成熟而完整，不再過度依賴算則運算，思考方式也較為彈性，更注重於數字本身的意義。所以學生的確在數感的能力方面，有顯著的成長。由上述研究結果顯示，數感融入數學科教學上，對於學生的學習有顯著的成效，也值得作進一步探討與研究。

第六節

電腦輔助教學

電腦輔助教學（

電腦輔助教學

（

（CAI

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）

近年來，國內各界致力於教育改革及提昇教育品質。學者專家紛紛謀求新的教育模式和方法，以改善學習環境。由於電腦的普及化，在教育上的運用逐漸增多，電腦輔助教學也因此孕育而生。本節就電腦輔助教學的意義與特點、電腦輔助教學的種類、電腦輔助教學與傳統教學及電腦輔助教學相關研究四個部分做敘述。一一一一、、、、電腦輔助教學的意義與特點電腦輔助教學的意義與特點電腦輔助教學的意義與特點電腦輔助教學的意義與特點

電腦輔助教學（Computer Assisted Instruction，以下簡稱CAI）不再以教師或傳統的教科書方式來實施教學單元，乃是改以電腦來呈現教材。它個人化(individualized)、互動式(interactive)的教學正可彌補傳統教學，單方面口述式教學之不足。選擇適當的媒體及教學方法不但可以激發學習興趣，亦可將教學目標及內容具體實現。。準此而言，此種教學環境必須以電腦為工具，且引導此環境之軟體，必須能表現出交談式或

數感融入分數教學之研究（以國小五年級為例）

國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育系

在職進修教學碩士學位班碩士學位論文

指導教授：陳鉪逸 教授

數感融入分數教學之研究

（以國小五年級學生為例）

研 究 生：游智信 撰

中 華 民 國 九 十 五 年 六 月

摘 要

目 次

表 次

圖 次

第一章

第一章

第一章

第一章

緒論

緒論

緒論

緒論

第一節

第一節

第一節

第一節

研究動機

研究動機

研究動機

研究動機

第二節

第二節

第二節