數與計算能力成長類型分析

研究者發現，在學生數與計算「概念的了解」能力、數與計算「程序性知 識」能力、數與計算「問題解決」能力以潛在成長模式驗證此能力隨時間變化 而改變的情形是呈現直線成長的趨勢，且分析結果在基本適合標準考驗、整體 適合標準考驗、內在結構適合度考驗結果皆顯示研究者建構的潛在成長趨勢模 式與蒐集資料的整體適配度皆尚稱理想，但研究者也發現分析結果中，學生在 第一個施測點接受施測時，數學能力即有顯著差異，且個別學生數學能力的變 化亦存在顯著差異，再者，數與計算三類型能力在「成長率」的共變數分別為 -.742、-.940、-.341，在「成長率」相關值為-.982、-.980、-.718，因此研究者初 步認為學生數與計算「概念的了解」能力、數與計算「程序性知識」能力、數 與計算「問題解決」能力起始點能力較低的學生，其能力成長速率較快，而此 三類能力起始點較高的學生，可能受到天花板效應的影響，能力成長速率較緩 慢。但是所有參與研究的學生當中，能力改變的情形究竟可以分為哪些情形？

有多少人會有更高的成長率？有多少人已經出現學習上的困難？又有多少人會 受天花板效應限制？為了釐清上述問題，研究者將長期追蹤資料研究之成長模 式驗證結果予以分群，利用 k-means 分析法找出最適集群數後根據分類結果作 進一步的探討，以下將分別說明「概念的了解」、「程序性知識」和「問題解決」

之潛在成長類型分群。

壹、數與計算「概念的了解」能力潛在成長類型分析

研究者先將數與計算「概念的了解」能力實證資料實際一個一個分析，

發現約包含四種類型，再從 k-means 分析結果檢驗，資料分成四群時，集群之 中心平均結果是達到收斂的，結果如表 4-4-1（表中 A 表示數與計算「概念的了

解」能力）。研究者再將表 4-4-1 的描述性統計結果中的各集群平均數繪製成圖 4-4-1 的折線圖並命名，這樣更能掌握各集群之變化狀態。由圖 4-4-1 配合表 4-4-1 的描述性統計結果可明顯看出，A 集群 1 起始點能力低，四到五年級能力成長 緩和，但五到六年級成長迅速，可見此群學生雖在施測一開始能力不是最佳，

但隨學習經驗增加，能力成長情況極佳學習效果最為良好；A 集群 2 起始點能 力為四群中最高，四到五年級、五到六年級能力皆呈現緩和成長趨勢，表示此 群學生雖可能受天花板效應限制，但隨著學習經驗累積，數學能力仍慢慢成長 中；A 集群 3 起始點為最低，但四到五年級能力穩定成長，五到六年級更是加 速成長，可以推測此群學生雖起始能力較低，但只要運用正確的教學策略及方 法，仍可讓起始能力較低的學生達到極佳的學習成效；A 集群 4 起始點能力高，

四到五年級能力成長緩慢，五到六年級更是出現負成長情況，推測此群學生起 始能力雖頗高，但在數學學習上可能已出現困難。

由前述說明，根據各集群特徵命名：A 集群 1 為「中起始穩定成長型」、

A 集群 2 為「高起始緩成長型」、A 集群 3 為「低起始穩定成長型」、A 集群 4

為「高起始負成長型」。

表 4-4-1 各集群學生在數與計算「概念的了解」能力三個施測點 初次分析之平均數描述統計摘要表

集 群

1 2 3 4

Atimes1 -.145 .900 -.679 .586

Atimes2 .166 1.342 -.370 .926

Atimes3 .190 1.823 .668 .768

圖 4-4-1 各集群學生在數與計算「概念的了解」能力三個施測點初次分析之 成長率描述統計折線圖

再依表 4-4-2 的資料來看，在數與計算「概念的了解」能力潛在成長類型 分群中，A 集群 1「中起始穩定成長型」的人數有 56 人，佔全部比例的 16.9﹪，

A 集群 2「高起始緩成長型」人數最多，有 115 人，佔全部比例的 34.6﹪，A 集群 3「低起始穩定成長型」則有 54 人，佔全部比例的 16.3﹪，A 集群 4「高 起始負成長型」的人數也很多，有 107 人，佔全部比例的 32.2﹪，依此分群結 果推測在數與計算「概念的了解」能力上，有不少起始點能力不錯的學生可能 已經出現學習困難，教學者可以針對蒐集的資料探討教學策略並調整教或進行 補救教學學方式。

表 4-4-2 數與計算「概念的了解」能力初次分析之集群分配表 集 群 名 稱 人數 整體比例

A 集群 1 中起始穩定成長型 56 16.9﹪

A 集群 2 高起始緩成長型 115 34.6﹪

A 集群 3 低起始穩定成長型 54 16.3﹪

A 集群 4 高起始負成長型 107 32.2﹪

合 計 332 100.0﹪

研究者依照數與計算「概念的了解」能力 k-means 初步分群結果，經與專 家仔細討論後，發現四組分群中，雖起始點略有不同，但部分成長類型呈現重 複現象，因此決定依初步結果合併成長類型相似之組別，再以 k-means 分成兩 組集群進行第二次分析，其結果如下。

表 4-4-3 各集群學生在數與計算「概念的了解」能力三個施測點第二次分析之 平均數描述統計摘要表

集 群

1 2

Atimes1 -.424 .762

Atimes2 -.104 1.150

Atimes3 1.029 1.449

合併初步分群的情況之後，在數與計算「概念的了解」能力上改分為兩 個群組，分別是 A 集群 1 與 A 集群 2，研究者仍依其群組特徵，將 A 群組 1 命 名為「低起始穩定成長型」、A 集群 2 命名為「高起始停滯型」。

圖 4-4-2 各集群學生在數與計算「概念的了解」能力三個施測點第二次分析之 成長率描述統計折線圖

再由表 4-4-4 之統計結果可以看出在數與計算「概念的了解」能力上，「低 起始穩定成長型」的學生有 111 人，佔全部比例的 33.4 ﹪，「高起始停滯型」

的學生則有 221 人，佔全部比例的 66.6﹪，由此可以推測在數與計算「概念的 了解」能力上受天花板效應限制的學生人數相當多。

表 4-4-4 數與計算「概念的了解」能力第二次分析之集群分配表 集 群 名 稱 人數 整體比例

A 集群 1 低起始穩定成長型 111 33.4﹪

A 集群 2 高起始停滯型 221 66.6﹪

合 計 332 100.0﹪

貳、數與計算「程序性知識」能力潛在成長類型分析

在此部分研究者亦利用 k-means 分類方法，將資料分成四群，集群之中心 平均結果達到收斂，結果如表 4-4-5（表中 B 表示數與計算「程序性知識」能力）。 研究者再將表 4-4-5 的描述性統計結果中的各集群平均數繪製成圖 4-4-3 的折線 圖再命名，這樣更能掌握各集群之變化狀態。由圖 4-4-3 並配合表 4-4-5 的描述 性統計結果可明顯看出，B 集群 1 起始點能力為四群中最高，四到五年級能力 成長緩慢，五到六年級更是出現負成長情況，推測此群學生起始能力雖最高，

但在數學學習上可能已出現困難；B 集群 2 起始點能力不高，但四到五年級能 力、五到六年級能力的成長狀況都極佳，可以推測此群學生雖起始能力較低，

只要能運用正確的教學策略及方法，仍可幫助起始能力較低的學生達到良好的 學習成效；B 集群 3 起始點為最低，四到五年級能力成長緩和，五到六年級成 長迅速，可見此群學生雖在施測一開始能力最低，配合正確的教學策略，隨學 習經驗增加，學生仍然會有良好的學習效果，能力成長情況亦佳；B 集群 4 起 始點能力次高，四到五年級能力、五到六年級能力幾乎沒有成長，表示此群學 生也可能受天花板效應限制，且學習上已出現瓶頸，能力成長呈現停滯狀態，

教學者應儘快察覺學生的學習迷思，進行補救教學。

由前述說明，根據各集群特徵命名：B 集群 1 為「高起始負成長型」、B 集群 2 為「中起始穩定成長型」、B 集群 3 為「低起始穩定成長型」、B 集群 4 為「高起始停滯型」。

表 4-4-5 各集群學生在數與計算「程序性知識」能力三個施測點初次分析之 平均數描述統計摘要表

集 群

1 2 3 4

Btimes1 1.262 .245 -.878 .607

Btimes2 1.818 1.014 -.233 .637

Btimes3 1.550 2.161 .930 .690

圖 4-4-3 各集群學生在數與計算「程序性知識」能力三個施測點初次分析之 成長率描述統計折線圖

再依表 4-4-6 的資料來看，B 集群 1「高起始負成長型」的人數最多，有 133 人，比例高達全部比例的 40.0﹪，B 集群 2「中起始穩定成長型」有 72 人，

佔全部比例的 21.7﹪，B 集群 3「低起始穩定成長型」則有 47 人，佔全部比例 的 14.2﹪，B 集群 4「高起始停滯型」的人數有 80 人，佔全部比例的 24.1﹪。

表 4-4-6 數與計算「程序性知識」能力初次分析之集群分配表 集 群 名 稱 人數 整體比例

B 集群 1 高起始負成長型 133 40.0﹪

B 集群 2 中起始穩定成長型 72 21.7﹪

B 集群 3 低起始穩定成長型 47 14.2﹪

B 集群 4 高起始停滯型 80 24.1﹪

合 計 332 100.0﹪

研究者依照數與計算「程序性知識」能力 k-means 初步分群結果，經與專 家進一步分析討論後，發現四組分群當中仍然出現成長類型重複的現象，因此 決定依初步結果合併成長類型相似情況之組別，第二次分析以 k-means 分成三 組進行，其結果如下。

表 4-4-7 各集群學生在數與計算「程序性知識」能力三個施測點第二次分析之 平均數描述統計摘要表

集 群

1 2 3

Btimes1 1.107 .834 -.329

Btimes2 1.579 1.495 -.017

Btimes3 2.140 .816 1.152

圖 4-4-4 各集群學生在數與計算「程序性知識」能力三個施測點第二次分析之 成長率描述統計折線圖

合併初步分群的情況之後，在數與計算「程序性知識」能力上改分為三 個群組，分別是 B 集群 1、B 集群 2 與 B 集群 3，研究者依其群組特徵，將 B 集群 1 命名為「高起始穩定成長型」、B 集群 2 命名為「高起始負成長型」、B 集群 3 命名為「低起始穩定成長型」。由表 4-4-8 可以看出在數與計算「程序 性知識」能力上，「高起始穩定成長型」的學生有 118 人，佔全部比例的 35.54

﹪，「高起始負成長型」的學生有 114 人，佔全部比例的 34.34﹪，「低起始穩 定成長型」的學生有 100 人，佔全部比例的 30.12﹪。由此可以推測在數與計算

「程序性知識」能力上，不論起始點能力高或低，都有將近 30﹪的學生呈現穩 定成長，另有約 30﹪的學生已出現學習困難，能力出現負成長值得注意。

表 4-4-8 數與計算「程序性知識」能力第二次分析之集群分配表 集 群 名 稱 人數 整體比例

B 集群 1 高起始穩定成長型 118 35.54﹪

B 集群 2 高起始負成長型 114 34.34﹪

B 集群 3 低起始穩定成長型 100 30.12﹪

合 計 332 100.0﹪

參、數與計算「問題解決」能力潛在成長類型分析

研究者再以 k-means 分類方法，將數與計算「問題解決」能力資料分成四

研究者再以 k-means 分類方法，將數與計算「問題解決」能力資料分成四