本研究乃以九十九年度四年級學生為研究對象，依據美國 NAEP2003 數學 評量架構，配合我國九年一貫數學領域中數與計算之能力指標，設計三份經定 錨設計之不同試卷、在研究對象四年級、五年級、六年級等三個時間點進行施 測，探討研究對象在四年級、五年級、六年級的數學能力在數與計算概念的了 解、程序性知識、問題解決三種類型能力之變化情形。本章將陳述研究動機與 研究目的，再依據研究動機與目的說明本研究中重要名詞的定義。
第一節 研究動機
數學的學習注重循序累進的邏輯結構，因此，過去國內外數學教材的演 進，概遵循此邏輯結構，以保證數學教育的穩定性。在我國國民小學的數學教 材中，「數與量」在國民教育的數學課程中具有極重要的地位，其主要概念的形 成及演算能力的培養均奠基於國小階段（教育部，2003）。
雖然近年來，臺灣在國際大型測驗中，數學科表現十分亮眼，但教學現場 可發現仍有一大部分的學生在面對數學時感到害怕、焦慮，且隨著年級升高、
數學內容加深加廣，此焦慮現象越嚴重，最後演變成排斥數學甚至放棄數學一 科。審視數學科學習的過程，從基礎的認識數字、了解數值，進入到基礎演算 再提升複雜程度到加、減、乘、除混合運算，繼而進入文字題，也就是所謂的 應用題後，學生在學習的過程中，能力呈現何種變化？是否出現學習迷思？困 境為何？教學者如何適時察覺這些問題，提出正確方式引導學生繼續有興趣、
有效的學習，這些疑問在傳統一次式紙筆測驗中無法看出答案，需經由一次次 的追蹤、觀察、分析，才能真正瞭解學生能力變化，並提出分析解釋，繼而達 到增進學習成效之結果。
既然一次施測的橫斷式（cross-section）研究無法得知學生能力成長情況，
長期追蹤研究就成為極佳的研究方式。只是長期追蹤研究耗時耗力，資料蒐集 並不容易，因此國內在教育方面的長期追蹤研究較少學者著墨。而長期追蹤研 究亦屬於縱貫研究（longitudinal study）的一種，縱貫研究在教育的領域中，是 一種較常使用的研究方式，意思是研究者在一段時間內對同一群受試者進行一 次以上的重複觀察或施測，藉以瞭解受試者在這段時間內能力的發展或變化。
縱貫研究可以用來研究單一對象或某一群受試者能力的發展、身心的成長、動 作技能隨時間精熟的變化情形（張憲庭，2010）。以往的研究者因為蒐集資料 不容易，以致在探討學生學業成就的影響因素時，都僅侷限在單一時間點上，
而無法研究包含一段時間或多個時間點的研究（余民寧、趙珮晴、許嘉家，2009；
巫有鎰，2007；林俊瑩，2007；林俊瑩、黃毅志，2008）。
由於縱貫研究仍須橫跨數個時間點做資料的蒐集，因此國內縱貫研究文獻 亦不多，主要有針對幼兒在科學活動的動手做研究、影響數學學習的焦慮與動 機、中學生學業成就成長之研究（侯雅齡，2008；王金香，2010；張憲庭，2010），
另外有王正信的數學解題及整合認知能力之縱貫研究（王正信，2001）、謝佩 宜運用潛在類別分析國小六年級機率概念的縱貫研究（謝佩宜，2007）還有黃 秀玉針對國小低年級整數加減概念（黃秀玉，2008）及張育綾針對國小五年級 四則運算的縱貫研究（張育綾，2008）。這些教學先進的研究中，多以一學期、
兩個時間點進行施測研究；針對研究對象進行長達三年、施測三次且是用不同 試卷進行垂直等化分析的研究，目前無人著墨。
綜合以上所述，本研究以99年度四年級學童為研究的對象，自編三份數與 計算測驗試題為研究工具，以長期追蹤方式觀察同一批學生，針對其某一特定 數學能力的成長或變化，探討研究對象在四年級、五年級、六年級數與計算能 力成長情形，之後並將蒐集的資料以Amos 、SPSS軟體分別進行潛在成長模式
（latent growth curve model,簡稱LGM）分析及成長類型分類，期望研究結果的 分析解釋能提供教學者授課及學生學習時的有利線索，讓教學者依據學生能力
成長變化情況選擇適合的教學技巧及補救教學方式，以利師生共同克服數學學 習困境。
第二節 研究目的
本研究根據九年一貫數學領域五大主題中「數與量」主題所擷取之「數與 計算」相關能力指標，以 NAEP2003 數學評量架構為基礎，編製三份試卷，試 題間採用定錨測驗及垂直等化設計，對同一群學生，分別在四年級期末、五年 級期末、六年級期中三個不同時間點進行施測，藉以探討此一群學生的數與計 算能力在四年級到六年級間的變化情形。本研究目的如下：
壹、瞭解學生數與計算「概念的了解」能力潛在成長模式驗證及隨時間改變情 形。
貳、瞭解學生數與計算「程序性知識」能力潛在成長模式驗證及隨時間改變情 形。
參、瞭解學生數與計算「問題解決」能力潛在成長模式驗證及隨時間改變情形。
肆、探究學生數與計算三類型能力的成長類型分類情形。
第三節 名詞釋義
為了讓本研究中所使用的重要名詞更加清楚明確，茲針對數與計算、
NAEP 數學能力三類型、學生背景等相關名詞進行定義。
壹、數與計算
九年一貫將數學領域區分為：「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、
「連結」等五大主題。其中「數與量」在國民教育的數學課程中具有最重要的 位置，其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段(教育部，
2003)。由於在國小階段數與量的範圍較大，因此又區分為「數與計算」、「量與
實測」兩個子題，本研究是針對「數與計算」單一能力所設計之研究，故本研 究中所稱之「數與計算」乃指依據九年一貫課程綱要分類的第一主題所區分出 的第一子題，並配合數與計算能力指標之分年細目，統整各個版本相關於數與 計算之單元所編製之試題。。
貳、NAEP 數學能力三類型
本研究中所指的數學能力三類型是依據NAEP2003數學評量架構，將學生 在數與計算中的能力區分為概念的了解、程序性知識、問題解決三種類型，其 內容說明如下：
一、 概念的了解：指的是學生能辨認、歸類、比較、對照或整合相 關概念及原理原則。
二、 程序性知識：指的是學生能在情境中選擇應用正確的程序或能 證明程序的正確性。
三、 問題解決：學生能使用策略、資料、模式來規劃解決問題，或 是能在心情境中擴展、推理並判斷結果的合理性和正確性。