國小學童數與計算潛在成長模式與 成長類型之研究
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(2) 摘. 要. 本研究擬以國小 99 學年度四年級學生為研究對象，依據美國 NAEP2003 數學評量架構，配合我國九年一貫課程綱要數學領域中數與計算之能力指標， 設計三份經定錨設計之不同試卷，在研究對象四年級、五年級、六年級等三個 時 間 點 進 行 施 測 ， 探 討 研 究 對 象 數 與 計 算 「 概 念 的 了 解 」（ concept understanding）、「程序性知識」（procedure knowledge）、「問題解決」（problem solving）三種能力之潛在成長模式（latent growth model）變化情形並分析此三 種潛在成長模式之成長類型。本研究發現如下： 一、學生數與計算「概念的了解」能力潛在直線成長模式與觀察資料整體適配 度理想，TLI 為.953， IFI 為.857， CFI 為.952，標準化殘差均方根 SRMR 為.034。 二、學生數與計算「程序性知識」能力潛在直線成長模式與觀察資料整體適配 度十分理想，TLI 為.980， IFI 為.939， CFI 為.980，標準化殘差均方根 SRMR 為.016。 三、學生數與計算「問題解決」能力潛在直線成長模式與觀察資料整體適配度 十分理想。TLI 為.988， IFI 為.981， CFI 為.987，標準化殘差均方根 SRMR 為.048。 四、學生數與計算「概念的了解」成長類型可分為「低起始穩定成長型」 、「高 起始停滯型」。 五、學生數與計算「程序性知識」成長類型可分為「高起始穩定成長型」 、「高 起始負成長型」、「低起始穩定成長型」。 六、學生數與計算「問題解決」成長類型可分為「低起始不穩定型」、「高起 始穩定成長型」、「低起始穩定成長型」、「高起始負成長型」。 關鍵詞：數與計算、NAEP2003、縱貫研究、潛在成長模式、成長類型 關鍵詞. I.
(3) Exploring the Latent Growth Model and Developmental Trajectories in Numerical Operation for Elementary School Students A b s t r a c t The purpose of this study is to investigate the longitudinal trends and the categories in numerical operation based on the NAEP 2003 assessment framework for 4th to 6th graders. Three tests with anchor items design are developed based on both the competence indicators of grade 1-9 curriculum in Math and the NAEP 2003 assessment framework, concept understanding, procedure knowledge ,and problem solving. The latent growth model is applied to analyze the longitudinal data and the cluster analysis is used to explore the categories of developmental trajectories. The results are listed as follows: 1) In concept understanding of numerical operation, the values of selected indexes generally suggest reasonable overall model fit: TLI=.953, IFI=.857, CFI=.952 and SRMR=.034. 2) In procedure knowledge of numerical operation, the values of selected indexes generally suggest reasonable overall model fit: TLI=.980, IFI=.939, CFI=.980, and SRMR=.016。 3) In problem solving of numerical operation, the values of selected indexes generally suggest reasonable overall model fit: TLI=.988, IFI=.981, CFI=.987,and SRMR=.048。 4) The categories of developmental trajectories in concept understanding of numerical operation include “low initial status, stable growth rate”,and “high initial status, static growth rate”. 5) The categories of developmental trajectories in procedure knowledge of numerical operation include “high initial status, stable growth rate”, “high initial status, negative growth rate”, “low initial status, stable growth rate”. 6) The categories of developmental trajectories in problem solving of numerical operation include “low initial status, not stable growth rate”, “high initial status, slow growth rate” “low initial status, stable growth rate”, and “high initial status, negative growth rate”. keywords：Numerical operation, NAEP2003, longitudinal study, latent growth model, categories of developmental trajectories. II.
(4) 目. 錄. 第一章 緒 論 ............................................................. 1 第一節 研究動機 ...................................................... 1 第二節 研究目的 ...................................................... 4 第三節 名詞釋義 ...................................................... 5 第二章 文獻探討 ......................................................... 6 第一節 數與計算 ...................................................... 6 第二節 NAEP 數學評量架構 ............................................ 16 第三節 縱貫研究 ..................................................... 21 第四節 潛在成長模式 ................................................. 27 第三章 研究方法 ......................................................... 31 第一節 研究流程及架構 ............................................... 31 第二節 研究對象 ..................................................... 38 第三節 研究工具 ..................................................... 40 第四節 資料處理 ..................................................... 48 第四章 結果與討論 ....................................................... 第一節 數與計算概念的了解能力潛在成長模式驗證及隨時間改變情形 ....... 第二節 數與計算程序性知識能力潛在成長模式驗證及隨時間改變情形 ....... 第三節 數與計算問題解決能力潛在成長模式驗證及隨時間改變情形 .......... 52 52 56 59. 第四節 數與計算能力成長類型分析 ..................................... 62 第五章 結論與建議 ....................................................... 74 第一節 結論 ......................................................... 74 第二節 建議 ........................................................ 77 參考文獻 .......................................................... 一、中文部分 .................................................... 二、英文部分 .................................................... 附錄一 ........................................................... 78 78 81 83. 附錄二 ......................................................... 85 附錄三 ......................................................... 87 附錄四 ........................................................ 90. III.
(5) 表目錄 表 2-1-1 九年一貫數學領域四年級數與計算能力指標分年細目 ............................... 7 表 2-1-2 九年一貫數學領域五年級數與計算能力指標分年細目 ............................... 7 表 2-1-3 表 2-1-4 表 2-1-5 表 2-1-6. 九年一貫數學領域六年級數與計算能力指標分年細目 ............................... 8 四年級數與計算教材分析 ............................................................................... 9 五年級數與計算教材分析 ............................................................................. 10 六年級數與計算教材分析 ............................................................................. 12. 表 2-1-7 數與計算相關文獻及簡述 ............................................................................. 13 表 2-2-1 NAEP 相關文獻及簡述................................................................................... 19 表 2-3-1 縱貫研究相關文獻及簡述 ............................................................................. 22 表 2-4-1 潛在成長模式相關文獻及簡述 ..................................................................... 27 表 3-2-1 本研究三年有效樣本統計表 ......................................................................... 38 表 3-2-2 男、女生樣本統計表 ..................................................................................... 38 表 3-3-1 四年級命題卡（部分） ................................................................................. 40 表 3-3-2 五年級命題卡（部分） ................................................................................. 41 表 3-3-3 表 3-3-4 表 3-3-5 表 3-3-6. 六年級命題卡（部分） ................................................................................. 42 四年級自編試卷個別試題信度分析 ............................................................. 43 五年級自編試卷個別試題信度分析 ............................................................. 44 六年級自編試卷個別試題信度分析 ............................................................. 45. 表 3-4-1 表 3-4-2 表 4-1-1 表 4-1-2. 四、五、六年級試題對應 NAEP 數學能力三類型分佈............................. 48 試題與評量架構表 ......................................................................................... 49 數與計算「概念的了解」能力不同時間點之平均數與標準差 ................. 52 數與計算「概念的了解」能力潛在直線成長模式整體適合度考驗結果. ........................................................................................................................ 53 表 4-1-3 數與計算「概念的了解」能力之潛在成長模式的參數估計結果 ............. 54 表 4-2-1 數與計算「程序性知識」能力不同時間點之平均數與標準差 ................. 56 表 4-2-2 數與計算「程序性知識」能力潛在直線成長模式整體適合度考驗結果 ........................................................................................................................ 56 表 4-2-3 數與計算「程序性知識」能力之潛在成長模式的參數估計結果 ............. 57 表 4-3-1 數與計算「問題解決」能力不同時間點之平均數與標準差 ..................... 59 表 4-3-2 數與計算「問題解決」能力潛在直線成長模式整體適合度考驗結果 ..... 59 表 4-3-3 數與計算「問題解決」能力之潛在成長模式的參數估計結果 ................. 60 表 4-4-1 各集群學生在數與計算「概念的了解」能力三個施測點初次分析之平均 數描述統計摘要表 ........................................................................................ 63 表 4-4-2 數與計算「概念的了解」能力初次分析之集群分配表 ............................. 65 表 4-4-3 各集群學生在數與計算「概念的了解」能力三個施測點第二次分析之平 IV.
(6) 均數描述統計摘要表 .................................................................................... 65 表 4-4-4 數與計算「概念的了解」能力第二次分析之集群分配表 ......................... 66 表 4-4-5 各集群學生在數與計算「程序性知識」能力三個施測點初次分析之平均 數描述統計摘要表 ........................................................................................ 67 表 4-4-6 數與計算「程序性知識」能力初次分析之集群分配表 ............................. 69 表 4-4-7 各集群學生在數與計算「程序性知識」能力三個施測點第二次分析之平 均數描述統計摘要表 .................................................................................... 69 表 4-4-8 數與計算「程序性知識」能力第二次分析之集群分配表 ......................... 71 表 4-4-9 各集群學生在數與計算「問題解決」能力三個施測點之平均數描述統計 摘要表 ............................................................................................................ 72 表 4-4-10 數與計算「問題解決」能力集群分配表 ................................................... 73. V.
(7) 圖 目 錄 圖 2-2-1 NAEP 1996~2003 數學評量架構 ............................................................... 16 圖 3-1-1 研究流程圖 ..................................................................................................... 32 圖 3-1-2 圖 3-1-3 圖 3-1-4 圖 3-1-5. 「概念的了解」研究架構 ............................................................................. 33 「程序性知識」研究架構 ............................................................................. 33 「問題解決」研究架構 ................................................................................. 34 本研究架構之學童數與計算「概念的了解」潛在直線成長模式 ............. 35. 圖 3-1-6 圖 3-1-7 圖 3-4-1 圖 4-1-1. 本研究架構之學童數與計算「程序性知識」潛在直線成長模式 ............. 36 本研究架構之學童數與計算「問題解決」潛在直線成長模式 ................. 37 評量架構模式示意圖 ..................................................................................... 49 數與計算「概念的了解」能力潛在直線成長模式 ..................................... 55. 圖 4-2-1 數與計算「程序性知識」能力潛在直線成長模式 ..................................... 58 圖 4-3-1 數與計算「問題解決」能力潛在直線成長模式 ......................................... 61 圖 4-4-1 各集群學生在數與計算「概念的了解」能力三個施測點初次分析之成長 率描述統計折線圖 ........................................................................................ 64 圖 4-4-2 各集群學生在數與計算「概念的了解」能力三個施測點第二次分析之成 長率描述統計折線圖 .................................................................................... 66 圖 4-4-3 各集群學生在數與計算「程序性知識」能力三個施測點初次分析之成長 率描述統計折線圖 ........................................................................................ 68 圖 4-4-4 各集群學生在數與計算「程序性知識」能力三個施測點第二次分析之成 長率描述統計折線圖 .................................................................................... 70 圖 4-4-5 各集群學生在數與計算「問題解決」能力三個施測點之成長率描述統計 折線圖 ............................................................................................................ 72. VI.
(8) 第一章 緒 論 本研究乃以九十九年度四年級學生為研究對象，依據美國 NAEP2003 數學 評量架構，配合我國九年一貫數學領域中數與計算之能力指標，設計三份經定 錨設計之不同試卷、在研究對象四年級、五年級、六年級等三個時間點進行施 測，探討研究對象在四年級、五年級、六年級的數學能力在數與計算概念的了 解、程序性知識、問題解決三種類型能力之變化情形。本章將陳述研究動機與 研究目的，再依據研究動機與目的說明本研究中重要名詞的定義。. 第一節 研究動機 數學的學習注重循序累進的邏輯結構，因此，過去國內外數學教材的演 進，概遵循此邏輯結構，以保證數學教育的穩定性。在我國國民小學的數學教 材中， 「數與量」在國民教育的數學課程中具有極重要的地位，其主要概念的形 成及演算能力的培養均奠基於國小階段（教育部，2003）。 雖然近年來，臺灣在國際大型測驗中，數學科表現十分亮眼，但教學現場 可發現仍有一大部分的學生在面對數學時感到害怕、焦慮，且隨著年級升高、 數學內容加深加廣，此焦慮現象越嚴重，最後演變成排斥數學甚至放棄數學一 科。審視數學科學習的過程，從基礎的認識數字、了解數值，進入到基礎演算 再提升複雜程度到加、減、乘、除混合運算，繼而進入文字題，也就是所謂的 應用題後，學生在學習的過程中，能力呈現何種變化？是否出現學習迷思？困 境為何？教學者如何適時察覺這些問題，提出正確方式引導學生繼續有興趣、 有效的學習，這些疑問在傳統一次式紙筆測驗中無法看出答案，需經由一次次 的追蹤、觀察、分析，才能真正瞭解學生能力變化，並提出分析解釋，繼而達 到增進學習成效之結果。 既然一次施測的橫斷式（cross-section）研究無法得知學生能力成長情況， 1.
(9) 長期追蹤研究就成為極佳的研究方式。只是長期追蹤研究耗時耗力，資料蒐集 並不容易，因此國內在教育方面的長期追蹤研究較少學者著墨。而長期追蹤研 究亦屬於縱貫研究（longitudinal study）的一種，縱貫研究在教育的領域中，是 一種較常使用的研究方式，意思是研究者在一段時間內對同一群受試者進行一 次以上的重複觀察或施測，藉以瞭解受試者在這段時間內能力的發展或變化。 縱貫研究可以用來研究單一對象或某一群受試者能力的發展、身心的成長、動 作技能隨時間精熟的變化情形（張憲庭，2010）。以往的研究者因為蒐集資料 不容易，以致在探討學生學業成就的影響因素時，都僅侷限在單一時間點上， 而無法研究包含一段時間或多個時間點的研究（余民寧、趙珮晴、許嘉家，2009； 巫有鎰，2007；林俊瑩，2007；林俊瑩、黃毅志，2008）。 由於縱貫研究仍須橫跨數個時間點做資料的蒐集，因此國內縱貫研究文獻 亦不多，主要有針對幼兒在科學活動的動手做研究、影響數學學習的焦慮與動 機、中學生學業成就成長之研究（侯雅齡，2008；王金香，2010；張憲庭，2010）， 另外有王正信的數學解題及整合認知能力之縱貫研究（王正信，2001）、謝佩 宜運用潛在類別分析國小六年級機率概念的縱貫研究（謝佩宜，2007）還有黃 秀玉針對國小低年級整數加減概念（黃秀玉，2008）及張育綾針對國小五年級 四則運算的縱貫研究（張育綾，2008）。這些教學先進的研究中，多以一學期、 兩個時間點進行施測研究；針對研究對象進行長達三年、施測三次且是用不同 試卷進行垂直等化分析的研究，目前無人著墨。 綜合以上所述，本研究以99年度四年級學童為研究的對象，自編三份數與 計算測驗試題為研究工具，以長期追蹤方式觀察同一批學生，針對其某一特定 數學能力的成長或變化，探討研究對象在四年級、五年級、六年級數與計算能 力成長情形，之後並將蒐集的資料以Amos 、SPSS軟體分別進行潛在成長模式 （latent growth curve model,簡稱LGM）分析及成長類型分類，期望研究結果的 分析解釋能提供教學者授課及學生學習時的有利線索，讓教學者依據學生能力 2.
(10) 成長變化情況選擇適合的教學技巧及補救教學方式，以利師生共同克服數學學 習困境。. 3.
(11) 第二節 研究目的 本研究根據九年一貫數學領域五大主題中「數與量」主題所擷取之「數與 計算」相關能力指標，以 NAEP2003 數學評量架構為基礎，編製三份試卷，試 題間採用定錨測驗及垂直等化設計，對同一群學生，分別在四年級期末、五年 級期末、六年級期中三個不同時間點進行施測，藉以探討此一群學生的數與計 算能力在四年級到六年級間的變化情形。本研究目的如下： 壹、瞭解學生數與計算「概念的了解」能力潛在成長模式驗證及隨時間改變情 形。 貳、瞭解學生數與計算「程序性知識」能力潛在成長模式驗證及隨時間改變情 形。 參、瞭解學生數與計算「問題解決」能力潛在成長模式驗證及隨時間改變情形。 肆、探究學生數與計算三類型能力的成長類型分類情形。. 4.
(12) 第三節 名詞釋義 為了讓本研究中所使用的重要名詞更加清楚明確，茲針對數與計算、 NAEP 數學能力三類型、學生背景等相關名詞進行定義。 壹、數與計算 九年一貫將數學領域區分為： 「數與量」 、 「幾何」 、 「代數」 、 「統計與機率」、 「連結」等五大主題。其中「數與量」在國民教育的數學課程中具有最重要的 位置，其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段(教育部， 2003)。由於在國小階段數與量的範圍較大，因此又區分為「數與計算」 、 「量與 實測」兩個子題，本研究是針對「數與計算」單一能力所設計之研究，故本研 究中所稱之「數與計算」乃指依據九年一貫課程綱要分類的第一主題所區分出 的第一子題，並配合數與計算能力指標之分年細目，統整各個版本相關於數與 計算之單元所編製之試題。。 貳、NAEP 數學能力三類型 本研究中所指的數學能力三類型是依據NAEP2003數學評量架構，將學生 在數與計算中的能力區分為概念的了解、程序性知識、問題解決三種類型，其 內容說明如下： 一、. 概念的了解：指的是學生能辨認、歸類、比較、對照或整合相. 關概念及原理原則。 二、. 程序性知識：指的是學生能在情境中選擇應用正確的程序或能. 證明程序的正確性。 三、. 問題解決：學生能使用策略、資料、模式來規劃解決問題，或. 是能在心情境中擴展、推理並判斷結果的合理性和正確性。. 5.
(13) 第二章 文獻探討 本章針對研究相關之數與計算、NAEP2003 數學評量架構、長期追蹤研究、 潛在成長模式研究等理論進行探討分析，第一節說明九年一貫「數與計算」的 教材分析及數與計算的理論；第二節探討 NAEP 數學評量架構；第三節就長期 追蹤研究的文獻作探討；第四節介紹潛在成長模式及其文獻。. 第一節 數與計算 傳統數學教學上，常把觀念與演算截然二分。然數學運算或計算並不只是 機械式計算操作而已。所謂能熟練數學的運算或計算，係指在能夠理解數學概 念或演算規則的情況下，所進行的純熟操作。這種透過理解並能將觀念與計算 結合的能力，才是演算能力。某類型數學問題演算的純熟，常能同時促使新舊 數學觀念的連結與落實。演算亦是學童獲得新數學經驗的方法，新的經驗將會 再形成學生下一階段新主題學習所需的具體經驗這種能力能讓學童對數字的內 在邏輯有較流暢的感覺，而這種流暢感覺的回饋，則更能增強學童的自信心。 相反的，沒有效率、容易造成錯誤的演算法，卻會加深學習的沮喪感，使學童 逐漸放棄學習 (教育部，2003)。 九年一貫課程數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一 為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年 級在第二階段（四至五年級） 。本研究追蹤研究對象四到六年級數與計算能力變 化，因此涵蓋了第二及第三階段，其第二階段目標為：能熟練非負整數的四則與 混合計算，培養流暢的數字感；第三階段目標為：能熟練小數與分數的四則計算、 能利用常用數量關係，解決日常生活的問題。另將數學內容分為數與量、幾何、 代數、統計與機率、連結等五大主題。要達到上述之目標，皆立足於「數」與「計. 6.
(14) 算」的基礎上，因此本研究即是針對數學內容第一主題「數與量」當中的「數與 計算」子題進行研究。以下為本研究中四年級（表 2-1-1） 、五年級（表 2-1-2） 、 六年級（表 2-1-3）所應用之到能力指標分年細目： 表 2-1-1 九年一貫數學領域四年級數與計算能力指標分年細目 （引自教育部，2003） 第二階段（四、五年級） 四年級數與計算能力指標 4-n-01 4-n-02 4-n-03. 4-n-04. 對照指標. 能透過位值概念，延伸整數的認識到大數（含「億」 、 「兆」之位名） ， N-2-01. 並作位值單位的換算。 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。. N-2-02. 能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法（包括連乘、. N-2-03. 連除、乘除混合） 。. A-2-01. 能作整數四則混合計算（兩步驟）。. N-2-03 A-2-01. 4-n-05 4-n-06 4-n-07. 4-n-08 4-n-09. 能用四捨五入的方法，對大數在指定位數取概數，並做加、減之估 N-2-05. 算。 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-06. 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並 進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。. N-2-07. 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數. N-2-08. 與小數的互換。. N-2-13. 能認識二、三位小數與百分位、千分位的位名，並作比較。. N-2-10 N-2-06. 4-n-10. 能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。. N-2-10 N-2-13. 4-n-11. 能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中 N-2-10. 的問題。. 表 2-1-2 九年一貫數學領域五年級數與計算能力指標分年細目 7.
(15) 五年級數與計算能力指標. 對照指標 N-2-03 A-2-01 N-2-03 A-2-01. 5-n-01. 能在具體情境中，解決三步驟問題。. 5-n-02. 能熟練整數四則混合計算。. 5-n-03. 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。. N-2-04. 5-n-04. 能用約分、擴分處理等值分數的換算。. N-2-08. 5-n-05. 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。. N-2-09. 5-n-06. 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-06. 5-n-07. 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-2-11. 5-n-08 5-n-09 5-n-10 5-n-11. 能認識多位小數，並作比較與加、減的計算，以及解決生活中的問 題。 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。 能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數，並做加、減、乘、 除之估算。. N-2-10 N-2-12 N-2-05 N-2-06 N-2-13. 能將分數、小數標記在數線上。. 表 2-1-3 九年一貫數學領域六年級數與計算能力指標分年細目 第三階段（六、七年級） 六年級數與計算能力指標 6-n-01 6-n-02. 能認識質數、合數，並作質因數的分解（質數＜20，質因數＜10， 被分解數＜100） 。 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最 大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。. 對照指標 N-3-01 N-3-02. 6-n-03. 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-3-03. 6-n-04. 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。. N-3-04. 6-n-05. 能作分數的兩步驟四則混合計算。. N-3-11 A-3-01. 6-n-06. 能理解等量公理。 （同 6-a-01）. A-3-02. 6-n-07. 能認識比和比值，並解決生活中的問題。. N-3-05. 8.
(16) 在九年一貫實施後，數學科教科書採開放各校自行選用，各出版商可針對 教育部頒行之課程綱要編製教科書，因此研究者將市面上可見之四種版本教科 書有關數與計算單元整理分析於下表： 表 2-1-4 四年級數與計算教材分析 能力指標. 康軒版. 南一版. 翰林版. 部編版. 4-n-01. 能透過位值概念，延 伸整數的認識到大數 （含「億」、「兆」之 位名） ，並作位值單位 的換算。. 第七冊（一） 一億以內的 數 第八冊（一） 認識大數. 能熟練整數加、減、 乘、除的直式計算。. 第七冊（一） 一億以內的 數 第八冊（十） 一億以上的 數 第七冊（一） 一億以內的 數 第七冊（二） 乘法 第七冊（四） 除法 第八冊（十） 一億以上的 數. 第七冊（一） 一億以內的 數 第八冊（一） 認識大數. 4-n-02. 第七冊（一） 一億以內的 數 第八冊（五） 數的十進位 結構 第七冊（一） 一億以內的 數 第七冊（三） 整數的乘法 第七冊（五） 整數的除法 第八冊（一） 乘法和除法 第八冊（五） 數的十進位 結構. 第七冊（一） 一億以內的 數 第七冊（二） 乘除運算 第八冊（一） 認識大數. 第七冊（一） 一億以內的 數 第七冊（四） 乘法 第七冊（六） 除法 第八冊（一） 認識大數 第八冊（二） 乘法 第八冊（四） 除法. 4-n-03. 能在具體情境中，解 決兩步驟問題，並學 習併式的記法（包括 連乘、連除、乘除混 合）。. 第七冊（七） 第七冊（七） 第七冊（五） 整 數 的 四 則 整數四則 先乘除後加 運算 減 第八冊（七） 整數四則關 係. 4-n-04. 能作整數四則混合計 算（兩步驟） 。. 第八冊（二） 第七冊（七） 第七冊（五） 整 數 四 則 混 整數四則 先乘除後加 合計算 減 第八冊（七） 整數四則關 係. 第七冊（三） 整數四則運 算 第七冊（四） 乘法 第七冊（六） 除法 第八冊（二） 乘法 第八冊（四） 除法 第七冊（三） 整數四則運 算 第七冊（四） 乘法 第七冊（六） 除法. 9.
(17) 4-n-05. 4-n-06. 4-n-07. 4-n-08. 4-n-09. 4-n-10. 4-n-11. 第八冊（二） 乘法 第八冊（四） 除法 能 用 四 捨 五 入 的 方 第八冊（九） 第八冊（二） 第八冊（二） 第八冊（一） 法，對大數在指定位 概數 概數 公里與概數 認識大數 數取概數，並做加、 第八冊（二） 減之估算。 乘法 第八冊（四） 除法 能在平分情境中，理 第八冊（十） 第七冊（六） 第八冊（三） 第八冊（八） 解分數之「整數相除」 小 數 除 法 與 分數 等值分數 分數 的意涵。 分數 能認識真分數、假分 第七冊（九） 第七冊（六） 第七冊（四） 第七冊（七） 數與帶分數，熟練假 分數 分數 假 分 數 與 帶 分數 分數與帶分數的互 第七冊（九） 分數 第八冊（八） 換，並進行同分母分 分 數 的 加 減 第七冊（八） 分數 數的比較、加、減與 和整數倍 分數的運算 非帶分數的整數倍的 計算。 能理解等值分數，進 第八冊（七） 第七冊（六） 第八冊（三） 第八冊（八） 行簡單異分母分數的 等值分數 分數 等值分數 分數 比較，並用來做簡單 第八冊（十） 第八冊（九） 分數與小數的互換。 小 數 除 法 與 整 數 、 小 數 分數 除以整數 能認識二、三位小數 第七冊（十） 第七冊（十） 第八冊（五） 第七冊（八） 與百分位、千分位的 小數 小數 二位小數 小數 位名，並作比較。 第八冊（五） 第八冊（八） 第八冊（九） 數的十進位 三位小數 小數 結構 能用直式處理整數除 第八冊（十） 第八冊（九） 第八冊（八） 第八冊（九） 以整數，商為三位小 小 數 除 法 與 整 數 、 小 數 三位小數 小數 數的計算。 分數 除以整數 能用直式處理二、三 第八冊（四） 第八冊（三） 第八冊（五） 第七冊（八） 位小數加、減與整數 小數的計算 小數的加減 二位小數 小數 倍的計算，並解決生 第八冊（十） 第八冊（七） 第八冊（八） 第八冊（九） 活中的問題。 小 數 除 法 與 小 數 乘 以 整 三位小數 小數 分數 數 附註：第七冊（一）表示第七冊第一單元，以此類推；本表為研究者自行整理. 表 2-1-5 五年級數與計算教材分析 能力指標 5-n-01. 能在具體情境中，解. 康軒版. 南一版. 翰林版. 部編版. 第九冊（二） 第九冊（一） 第九冊（七） 第九冊（八） 10.
(18) 決三步驟問題。 5-n-02. 能熟練整數四則混合 計算。. 5-n-03. 能理解因數、倍數、 公因數與公倍數。. 5-n-04. 能用約分、擴分處理 等值分數的換算。. 5-n-05. 5-n-06. 5-n-07. 5-n-08. 5-n-09. 5-n-10. 5-n-11. 5-n-12. 整 數 四 則計 算 第九冊（二） 整 數 四 則計 算 第九冊（四） 因數與倍數 第九冊（六） 異 分 母 分數 的加減 第九冊（六） 異 分 母 分數 的加減. 數的妙算 第九冊（一） 數的妙算 第九冊（二） 因數和倍數. 認識運算規 律 第九冊（七） 認識運算規 律 第九冊（一） 公倍數與公 因數 第九冊（二） 擴分與約分. 多步驟問題 第九冊（一） 整數與計算 規則 第九冊（三） 倍數與因數. 第九冊（四） 第九冊（四） 擴分、約分 分數 和通分 能用通分作簡單異分 第九冊（四） 第九冊（二） 第九冊（四） 母分數的比較與加 擴 分 、 約 分 擴分與約分 分數 減。 和通分 第九冊（六） 異分母分數 的加減 能在測量情境中，理 第九冊（一） 第十冊（六） 第九冊（四） 解分數之「整數相除」 小數與分數 比率 分數 的意涵。 能理解乘數為分數的 第十冊（一） 第十冊（五） 第十冊（一） 第十冊（三） 意義及計算方法，並 分數乘法 分數的乘法 分數的乘法 分數 解決生活中的問題。 能認識多位小數，並 第九冊（一） 第十冊（二） 第九冊（三） 第九冊（七） 作比較與加、減的計 小數與分數 小數的加減 數線與小數 小數 算，以及解決生活中 第九冊（八） 的問題。 多步驟問題 能用直式處理乘數是 第十冊（三） 第十冊（七） 第十冊（三） 第十冊（五） 小數的計算，並解決 小 數 乘 法與 小數的乘法 小數的乘法 小數 生活中的問題。 估算 能 用 四 捨 五 入 的 方 第十冊（三） 第九冊（十） 第九冊（三） 法，對小數在指定位 小 數 乘 法與 估算 數線與小數 第十冊（二） 第十冊（六） 數取概數，並做加、 估算 減、乘、除之估算。 小數的加減 比率 第十冊（七） 小數的乘法 能將分數、小數標記 第九冊（一） 第九冊（四） 第九冊（三） 第九冊（四） 在數線上。 小數與分數 擴 分 、 約 分 數線與小數 分數 和通分 第九冊（七） 第十冊（二） 小數 小數的加減 能認識比率及其應用 第十冊（六） 第十冊（八） 第十冊（八） （ 含 「 百 分 率 」、 比 率 與 百分 百分率 比率與百分 「折」 ）。 率 率 附註：第九冊（二）表示第九冊第二單元，以此類推；本表為研究者自行整理. 11.
(19) 表 2-1-6 六年級數與計算教材分析. 6-n-01. 6-n-02. 6-n-03. 能力指標. 康軒版. 能認識質數、合數， 並作質因數的分解 （質數＜20，質因數 ＜ 10 ， 被 分 解 數 ＜ 100） 。 能認識兩數的最大公 因數、最小公倍數與 兩數互質的意義，理 解最大公因數、最小 公倍數的計算方式， 並能將分數約成最簡 分數。 能理解除數為分數的 意義及計算方法，並 解決生活中的問題。. 第 十 一 冊 （ 一 ） 最大 公 因 數 與最 小公倍數. 第 十 一 冊 第 十 一 冊 第 十 一 冊 （一）最大 （一）質因 （一）質數 公 因 數 和 最 數分解 和質因數 小公倍數. 第 十 一 冊 （ 一 ） 最大 公 因 數 與最 小公倍數 第 十 一 冊 （ 二 ） 分數 除法 第 十 一 冊 （ 一 ） 最大 公 因 數 與最 小公倍數 第 十 一 冊 （ 二 ） 分數 除法 第 十 二 冊 （ 二 ） 分數 與 小 數 的四 則計算 第 十 一 冊 （ 四 ） 小數 除法. 第 十 一 冊 （一）最大 公因數和最 小公倍數 第 十 一 冊 （二）分數 的除法 第 十 一 冊 （二）分數 的除法. 6-n-04. 能用直式處理除數為 小數的計算，並解決 生活中的問題。. 6-n-05. 能作分數的兩步驟四 則混合計算。. 6-n-06. 能理解等量公理。 （同 6-a-01）. 6-n-07. 能認識比和比值，並 解決生活中的問題。. 南一版. 翰林版. 第 十 一 冊 （二）最大 公因數與最 小公倍數. 部編版. 第 十 一 冊 （二）最大 公因數及最 小公倍數. 第 十 一 冊 第十冊（三） （ 六 ） 分 數 分數 的除法 第 十 一 冊 （三）分數 的除法. 第 十 一 冊 第 十 一 冊 （三）小數 （四）小數 的除 的除法 法. 第十冊（五） 小數 第 十 一 冊 （七）小數 的除法 第 十 二 冊 第 十 二 冊 第 十 二 冊 第 十 二 冊 （ 二 ） 分數 （ 五 ） 四 則 （ 一 ） 分 數 （ 四 ） 四 則 與 小 數 的四 混合運算 的四則運算 運算規律 則計算 第 十 二 冊 第 十 一 冊 第 十 二 冊 第 十 二 冊 （ 五 ） 列式 （ 十 ） 等 量 （ 五 ） 怎 樣 （ 六 ） 等 量 與解題 公理 解題 公理 第 十 一 冊 第 十 一 冊 第 十 二 冊 第 十 一 冊 （ 八 ） 比與 （ 五 ） 比 和 （ 二 ） 比 與 （ 四 ） 比 、 比值 比值 比值 比值與正比. 附註：第十一冊（一）表示第十一冊第一單元，以此類推；本表為研究者自行整理. 12.
(20) 「數與計算」在九年一貫數學領域的教材中與測量屬同一數學內容，國內 單獨研究數與計算的文獻並不多，有國小三年級數與計算擬題教學課程的教學 設計與反思（吳佳慧，2006） 、遊戲導入五年級異能力學童數與計算概念之研究 （林德宗，2007）、國小四年級數學擬題教學及親子擬題之研究—以數與計算 為例（郭賢忠，2007）、使用電腦遊戲模式學習國小數學之探究--以數與計算 單元為例（劭明宏，2007），還有認知負荷取向電腦化動態評量效度議題探討： 以三年級數與計算為例（洪于婷，2009）和圖畫書融入國小一年級數學教學之 行動研究-以數與計算單元為例（劉郁亭，2011）分別簡述如下： 表 2-1-7 數與計算相關文獻及簡述 論文名稱及作者. 主要論述或研究結果. 國小三年級數與計算擬題教. 本研究旨在探討國小三年級在數學領域中「數與計算」部分. 學課程的教學設計與反思. 實施擬題教學的情況，以「教師佈題」 、 「討論辯證」 、 「解題. （吳佳慧，2006）. 活動」、「擬題活動」交錯循環進行。 研究發現：1.實驗班學生有「乘法」 、 「有餘數的除法」 、 「乘 和除」 、 「兩步驟的四則運算」和「小數的加減」五個單元在 教師進行擬題教學後與其他沒有進行擬題教學的班級有顯 著的差別。 2.學生在教師進行擬題教學之後「數學溝通」能 力有顯現出來。3.進行擬題教學的教學者會遇到課程配合與 教學技巧上的兩個挑戰。. 遊戲導入五年級異能力學童. 本研究旨在探究遊戲導入國小五年級異能力學童數與計算. 數與計算概念之研究（林德. 之教學研究。. 宗，2007）. 研究結果顯示，透過遊戲教學能引起學生學習動機，分組 教學更能發揮因材施教的效果。對於影響學習成效的指標： 同儕相處應對、數學概念釐清、運算解題熟練、學習態度改 善…等，也經由遊戲的過程逐步提升。家長認為學生可以藉 學習動機的增加，提升計算能力，減低數學恐懼，成績有明 顯進步。. 國小四年級數學擬題教學及. 本研究旨在探討擬題教學活動融入國小四年級數學課程，以. 親子擬題之研究—以數與計. 數與計算課程內容實施擬題教學之情況。. 算為例（郭賢忠，2007）. 本研究之結果：擬題教學可以提昇學生擬題能力、增進學生 數學學習態度、有助於學生數學的學習；親子擬題能促進親. 13.
(21) 子共學，增進親子互動、讓家長更瞭解學校課程；教學者省 思發現教學模式改變為擬題去協助學生學習是可行的，且符 合九年一貫以「學生為主」之精神。 使用電腦遊戲模式學習國小. 旨在探討電腦遊戲融入國小三、四年級數學科「數與計算」. 數學之探究--以數與計算單. 單元之學習活動。研究方式以數學科前測與後測驗證學習成. 元為例（劭明宏，2007）. 效，以及「數學科興趣量表」，了解學習者使用電腦遊戲學 習後，對數學科之學習興趣之影響。在「質」的研究方面以 「半結構訪談」綱要，佐以電腦學習問卷以觀察學習者對於 使用電腦遊戲學習的觀感。藉以評估電腦遊戲模式學習數學 的可行性，提供其他地區或學校未來推動國民小學資訊融入 數學科自主學習及發展相關教學活動之參考。. 認知負荷取向電腦化動態評. 本研究以認知負荷觀點發展國小三年級學生電腦化數與計. 量效度議題探討：以三年級. 算動態評量系統，研究中根據洪碧霞等人（2008）所提出運. 數與計算為例（洪于婷，. 算種類、表徵轉換及除法加權三項有效預測數與計算試題難. 2009）. 度參數的認知成分，設計認知負荷循序累增的四個單元作為 DASN 的介入內涵，包含線上數與計算流暢性遊戲和對應的 數學解題評量兩活動，以數學能力三次測驗的斜率作為客觀 效標變項，討論 DASN 介入效益。實驗結果顯示，實驗組學 生呈現明顯的數學能力成長，控制組學生數學能力成長斜率 顯著小於實驗組。同時，資源班學生在 DASN 的歷程評量也 呈現顯著成長，但尚未能類推到數學能力上。本研究所研發 DASN 的介入設計可作為數學補救教學的應用資源，該介入 系統的發展理念可同時提供教育部攜手計畫數學補救教學 資源發展的參考。. 圖畫書融入國小一年級數學. 本研究旨在探討圖畫書融入國小一年級數學教學之行動研. 教學之行動研究-以數與計. 究-以數與計算單元為例之活動設計與教學歷程，並且瞭解. 算單元為例（劉郁亭，2011）. 以圖畫書融入數學教學對教師及學生學習的影響。 研究的發現： 一、圖畫書選擇考量適合課程需求並參酌優良圖畫書標 準。教學設計從學生生活經驗為基礎，從圖畫書引起動機、 結合角色扮演、數學文獻的批判與編修，引用數學概念的情 境脈絡-文字擬題，循序漸進啟發學生在不同數學概念之間 做連結。 二、圖畫書融入數與計算教學可以提升學生學習動機， 激發創造力，還有助於認知學習，養成數學思考之習慣。 三、透過行動教學之實踐反思，適當融入課程架構的數 學概念，提升教師課程規劃設計、批判及教學反省能力。另 14.
(22) 發展數與計算的策略，透過擬題活動進行數學溝通，提升解 題能力。. 15.
(23) 第二節 NAEP 數學評量架構 NAEP 於 1996 年、2000 年及 2003 年的數學教育成就評量，提出以數學 內容（mathematical montent strands）、數學能力（mathematical abilities）、數 學力（mathematical power）三個向度的評量架構（NAGB，2002）。數學內容 包含五個領域：「數的概念、性質與運算」（number sense, properties, and operations）、「測量」 （measurement）、「幾何與空間觀念」 （geometry and spatial sense）、「資料分析、統計與機率」（data analysis, statistics, and probability）、 「代數與函數」（algebra and functions）。數學能力分為三種類型：概念的了解、 程 序 性 知 識 、 問 題 解 決 。 而 數 學 力 則 區 分 為 推 理 （ reasoning ） 、 連 結 （connections）、溝通（communication）。NAEP 2003 數學評量架構如圖 2-2-1 所示（NAGB，2002）：. 圖 2-2-1. NAEP 1996~2003 數學評量架構. 資料來源：“Framework for the 1996, 2000, and 2003 Mathematics Assessments,” by National Assessment Governing Board, 2002, Mathematics framework for the 2003 national assessment of educational progress, p.11. 16.
(24) NAEP 2003 數學評量架構分成數學內容、數學能力、數學力三個向度，在數 學能力部分區分為三種類型：概念的了解、程序性知識、問題解決，分別敘述如 下（張素珍、李佩瑾、郭伯臣、林佳樺，2011，p.54）： （一） 概念的了解是指： 1、 能辨認、歸類、產生概念的例子及非例子。 2、 能使用相關的模式、圖表、操作方法，及改變概念的表現方式。 3、 辨認和應用原理原則。 4、 能知道及運用事實及定義。 5、 能比較對照、整合相關概念及原理原則，擴展原概念及原理原則。 6、 能辨認、解釋及應用來表示概念的符號及術語。 7、 能詮釋在數學情境下相關概念的假設和關係。 （二） 程序性知識是指： 1、 正確的選擇和應用程序。 2、 使用具體的模式或象徵性的方法證明程序的正確性。 3、 擴展或修正程序以處理問題情境中原有的因素。 （三） 問題解決是指： 1、 能以確認及規劃解決問題。 2、 決定資料的充分性及一致性。 3、 能使用策略、資料、模式及相關的數學。 4、 產生、擴展或修正程序。 5、 在新的情境中能推理。 6、 判斷結果的合理性及正確性。 NAEP 2003 數學評量架構在數學力的部分區分為：推理、連結、及溝通， 分別敘述如下： （一） 推理是指： 17.
(25) 1、 能認知數學的基本內容。 2、 能進行探究與數學臆測。 3、 發展對數學論證的評價，選擇使用不同的推理和證明方法。 （二） 連結是指： 1、 能理解和進行數學概念之間的連結。 2、 能了解數學概念是環環相扣的體系。 3、 能在數學領域外辨認和使用數學。 （三） 溝通是指： 1、 能透過溝通強化數學思維。 2、 能和他人溝通數學思維，能分析和評估他人的數學思維和策略。 3、 能使用數學語言表達數學概念。 NAEP2003 的數學評量架構中，數學內容的五大分類為： 「數學的概念、性 質與運算」、 「測量」、 「幾何與空間概念」、 「資料分析統計與機率」、「代數與函 數」，對應至我國九年一貫數學內容分類： 「數與量」、「幾何」、 「代數」 、「統計 與機率」、 「連結」等五大主題是相符合的，且 NAEP2003 的第一、二類為「數 學的概念、性質與運算」及「測量」兩項，此分類方式與本研究將九年一貫數 學內容第一類「數與量」區分為「數與計算」 、「量與實測」之分類法相同。因 此本研究決定採用 NAEP2003 數學評量架構為研究基準，並針對 NAEP2003 數 學評量架構中數學內容之第一項「數學的概念、性質與運算」也就是九年一貫 數學領域中「數與計算」能力，探討學生數與計算的能力在概念的了解、程序 性知識、問題解決三種能力類型在四到六年級三個不同時間點的能力發展變化 之情形。 國內學者以 NAEP 作為研究的文獻尚著墨不多，閱讀方面有以 NAEP 架構 分別研究四、五年級及高年級學童的閱讀理解測驗（黃婉玲，2010；林怡君， 18.
(26) 2010） 。 數學方面的研究有曾明義（2008）以 NAEP2007 評量架構建置一套國小學 童的數學成就評量工具。曾明義將臺灣近年數學學習過程分成四個階段：民國 67～89 年為強調使用教具的數學課程時代、民國 85～92 年為強調知識建構的 數學課程時代、民國 90 年起為強調能力培養的數學課程時代、民國 94 年起為 強調計算能力的數學課程時代，由此可以明顯看出九年一貫正式綱要實行後數 學科轉而更加重視演算能力。而 NAEP2007 的評量架構是以低複雜性、中複雜 性、高複雜性的數學評量方式，並以 25﹪、50﹪、25﹪的比例組合成一份試卷。 曾明義的研究也發現臺灣九年一貫數學領域四年級的能力指標所包含的學生數 學能力與 NAEP 四年級的數學評量架構所建構出的學生數學內涵是一致的。 以下茲就上述 NAEP 相關文獻簡述內容及研究結果： 表 2-2-1 NAEP 相關文獻及簡述 論文名稱與作者. 主要論述或研究結果. NAEP2007 評量架構在台灣. 本研究旨在發展一套以 NAEP2007 評量架構來建構出一套. 國小學童之數學成就評量發. 良好的數學成就評量工具的模式，提供給教師、學校行政人. 展模式之應用（曾明義，. 員及數學教育相關研究做為參考之依據。. 2008）. 本評量工具主要是以 NAEP2007 的評量架構的五個數學內 涵的標準（即數字概念與運算、測量、幾何、資料分析與機 率、代數）為縱軸，及數學的複雜性（即低階複雜性、中階 複雜性與高階複雜性）為橫軸來擬定雙向細目表，進一步地 編製初步評量工具。本研究採取分層比例隨機抽樣為樣本選 取方式，以台北市十二個行政區，共收集四年級及五年級的 學童樣本共 636 人，其中四年級 319 人；五年級 317 人進行 正式施測，針對正式題本進行難易度、鑑別度、信度、效度 及試題特徵曲線的分析得知，NAEP2007 評量架構應用在台 灣國小學童之數學成就評量發展的模式是可行的。. 以 NAEP 架構建置國小高年. 本測驗係參考 NAEP2009 閱讀評量架構，編製適合國小. 級閱讀理解測驗（林怡君，. 五、六年級一般學童使用的閱讀理解測驗。研究結果如下：. 2010）. 測驗內容與閱讀理解直接相關、測驗符合單向度假定，且對 不同年級和性別的學童未測到不同構念、測驗試題具階層關 19.
(27) 係、本測驗與測相同特質之測驗（中文閱讀理解測驗）的相 關高（聚斂憑證），但與學童國語文及數學學期成績之相關 未達顯著差異（區辨憑證未獲支持）、六年級表現優於五年 級；女生表現優於男生；語文能力高的學童表現優於語文能 力低的學童、兩週再測信度理想、試題能穩定區隔受試者之 閱讀理解估計值、受試者能穩定區隔試題難度之估計值、評 分者在開放題的給分上相關高且嚴苛度接近。 以 NAEP 架構建置國小四、. 本測驗試題之編製參照 NAEP (2009)閱讀評量架構發展一份. 五年級閱讀理解測驗（黃琬. 適合評量國小四、五年級一般學童的閱讀理解測驗，並建立. 玲，2010）. 其信、效度的憑證。研究結果：閱讀理解測驗具有良好的信 度、效度，不同年級、性別及不同語文能力學童在本測驗的 表現有顯著差異。. 以 NAEP 數學評量中數學能. 本研究根據 NAEP 的數學評量架構，編製一份六年級數學. 力架構進行國小六年級的幾. 「幾何」測驗，利用實證資料比較 HO-IRT、MIRT 和 UIRT. 何測驗編製與分析(孫長蓀，. 三種模式對數學能力值的估計是否有差異，以作為數學評量. 2011). 模式的參考。此份測驗信度是 0.82，測驗結果以 HO-IRT、 MIRT 和 UIRT 三 種 模 式 進 行 分 析 和 比 較 ， 分 析 結 果 HO-IRT 估計出來的能力與答對題數有高相關。因此透過實 證方式證實 HO-IRT 模式可以提供較多訊息，估計效果較 佳。. 20.
(28) 第三節 縱貫研究 就前所述，以往一次施測的橫斷式（cross-section）研究不易得知學生能力 成長情況，長期追蹤研究就成為極佳的研究方式。只是長期追蹤研究耗時耗力， 資料蒐集並不容易，國內在醫學界為了追蹤病患情況有較多文獻可循，但在教 育方面的長期追蹤研究文獻則較少學者著墨。而長期追蹤研究亦屬於縱貫研究 （longitudinal study）的一種，在教育的領域中，這是一種較常使用的研究方式， 意為研究者在一段時間內對同一群受試者進行一次以上的重複觀察或施測，藉 以瞭解受試者在這段時間內能力的發展或變化。縱貫研究可以用來研究單一對 象或某一群受試者能力的發展、身心的成長、動作技能隨時間精熟的變化情形 （張憲庭，2010）。以往的研究者因為蒐集資料不容易，以致在探討學生學業 成就的影響因素時，都僅侷限在單一時間點上，而無法研究包含一段時間或多 個時間點的研究(余民寧、趙珮晴、許嘉家，2009；巫有鎰，2007；林俊瑩，2007； 林俊瑩、黃毅志，2008)。 縱貫研究仍須橫跨數個時間點做資料的蒐集，因此國內縱貫研究文獻亦不 多，主要有針對幼兒在科學活動的動手做研究、影響數學學習的焦慮與動機、 中學生學業成就成長之研究（侯雅齡，2008；王金香，2010；張憲庭，2010）， 另外有數學解題及整合認知能力之縱貫研究（王正信，2001）、運用潛在類別 分析國小六年級機率概念的縱貫研究（謝佩宜，2007）還有針對國小低年級整 數加減概念（黃秀玉，2008）及針對國小五年級四則運算的縱貫研究（張育綾， 2008）。這些教學先進的研究中，多以一學期、兩個時間點進行施測研究；針 對研究對象進行長達三年、施測三次且是用不同試卷進行等化分析的研究，目 前無人著墨。因此本研究試圖以長期追蹤方式觀察同一批學生，並針對其「數 與計算」特定數學能力的成長或變化作研究，希望能提供教學現場的教學者有 利線索再依據學生能力成長或變化，選擇最適當的教學技巧及補救教學方式，. 21.
(29) 幫助師生共同克服數學科學習困境，提升數與計算的能力。 表 2-3-1 縱貫研究相關文獻及簡述 論文名稱與作者. 主要論述或研究結果. 國小二年級學童正整數乘法. 本研究的目的在深入探討國小二年級學童正整數乘法問. 問題解題活動類型之縱貫研. 題解題活動的類型和在不同時間的變化過程。不同學習能. 究（許美華，2000）. 力的學童及同一學習能力的學童，在同一階段使用的解題 活動類型都不盡相同。學童解決乘法問題的錯誤類型有多 單位數、少單位數、加法、減法、二數顛倒、空白與其他 七種。研究結果也發現不同類型的乘法問題（等組型、直 積型與比較型三種）與不同大小的數字範圍（一位數乘以 一位數、一位數乘以二位數與二位數乘以一位數）對學童 的解題活動會造成影響。. 國小學童數學解題及整合認. 本研究旨在運用實作評量的方式，透過縱貫研究來探討學. 知能力之縱貫研究（王正. 生的數學解題與整合認知能力之發展情形及相關性，進而. 信，2001）. 探討不同性別及不同學習動機學童在數學解題與整合認 知能力的發展上是否有顯著差異。研究結果如下： 1. 學童三次施測之數學解題及整合認知能力有顯著之進 步。 2. 不同數學解題能力、不同整合認知能力學童三次施測之 數學解題及整合認知能力發展情形有顯著差異。 3. 不同性別學童三次施測之數學解題及整合認知能力發 展情形無顯著差異。 4. 不同學習動機學童三次施測之數學解題及整合認知能 力發展情形有顯著差異。 5. 數學解題能力和整合認知能力具有即時性相關及半年 間長期性相關。. 國小低年級學童在整數加減. 本研究以國小低年級學童共計 413 人為對象，「自編加減. 法概念之縱貫研究－模糊集. 法文字題解題測驗」為工具，結合模糊集群分析 (fuzzy. 群分析與次序理論的整合應. clustering) 與廣義多元計分次序理論 (generalized ordering. 用（黃秀玉，2008）. theory) ，以縱貫研究 (longitudinal research) 探討國小低 年級學童在整數加減法各類型文字題的解題表現、所隸屬 的集群，以及所有受試學童與各集群學童，在四個類別知 識結構跨時間的變化情形。 本研究之結果與結論： 一、學童在各類型之解題表現，均依未知數位置及數量運. 22.
(30) 作方向不同，而呈現差異現象。 二、學童在各類別之解題表現，第二年均優於第一年。 三、兩次施測，學童解題能力，在 17 個類型和四個類別 均呈現顯著之進步。 四、兩次施測，學童在四個類別之分群數完全相同，但隸 屬於不同群學童，其知識結構各有其特殊性。 五、第一年在改變類各類型均達精熟之學童，其大多數第 二年在改變類各類型仍是達精熟。 六、不論第一年學童在合併類各類型精熟與否，第二年其 大多數學童在合併類各類型均能達精熟。 七、在比較類中，第一年於比較量和差異量未知各類型均 達精熟。 八、第一年於等化類各類型均達精熟之學童，其大多數第 二年亦在等化類各類型均達精熟。 九、在改變、比較和等化三個類別，兩次施測各集群在人 數比例上均達顯著差異。 十、兩次施測結果，其人數及精熟度的次序階層關係呈現 差異現象，且其結果除了符合由易而難、由低階向高階發 展之外，也以各階層間的次序關係，清晰的呈現出受試樣 本知識結構的特性。 潛在類別分析在國小五年級. 本研究旨在應用潛在類別分析 (latent class) ，分別就國小. 學童四則運算規則之縱貫研. 五年級上、下學期學童，進行四則運算概念的縱貫研究. 究（張育綾，2008）. (longitudinal study) 。以自編「四則運算解題測驗」為研究 工具，依據四則運算的解題規則「由左到右依序運算」 、 「先 乘除，後加減」及「使用括號」等三大運算規則所設計而 成，分文字題與非文字題二部份，探究學童在四則運算概 念解題表現情形。此外，根據潛在類別分析的分群結果， 探討學童整數四則運算概念認知結構之變化情形。 研究結果如下： 一、前、後測四則運算中，學童整體的解題表現，以非文 字題部分比文字題部分佳。 二、前、後測學童三大運算規則的解題表現，文字題部分 以「使用括號」較不熟練，非文字題部分以「先乘除，後 加減」尚需加強。 三、國小五年級學童前、後測四則運算概念表現上，除了 文字題「由左到右依序運算」前測分數顯著高於後測分 數，其餘各項並未達顯著差異。 23.
(31) 四、根據潛在類別分析三大運算規則的分群結果，前、後 測文字題與非文字題部分其分群組數不同，且不同群的學 童在各規則下之認知結構有所不同。 五、將前、後測的三大運算規則的分群結果進行交叉比 對，發現學童對四則運算概念的認知結構有所轉變。 小數概念之潛在類別分析及. 本研究旨在探討國小高年級學童小數概念之認知結構，分. 其縱貫研究─以國小五年級. 析其潛在類別與改變情形。本研究發現如下：. 學童為例（洪藹鈺，2008）. 一、上學期以「小數符號結構」表現最好，「小數意義」 表現最差；下學期以「小數應用」表現最好， 「小數意義」 表現最差。 二、學童需加強之子概念分別為： 「小數與分數連結」 、 「小 數化聚」、 「小數符號辨識」、「小數單複名數轉換」 。 三、三大概念經半年時間學童解題表現皆有顯著進步，各 子概念進退步情形有所差異。 四、使用潛在類別分析法，前、後測各概念得到之分組數 不盡相同，且各組認知結構情形有所差異。 五、經半年時間，前、後測的潛在類別改變皆達顯著差異， 即前測之同一群學童在後測之認知結構上之改變不盡相 同。. 焦慮與動機影響數學學習之. 本研究主要目的是以文獻分析、問卷調查、潛在成長模式. 縱貫研究（王金香，2010）. 等方法探討數學焦慮、數學學習動機與數學學業成就等三 個變項的縱貫模式及因果結構模式。 研究一乃在估算數學焦慮、數學學習動機、數學學業成就 的潛在改變量模式及 數學焦慮、數學學習動機、數學學業成就兩兩之間的因果 結構模式。結果發現 1.數學焦慮縱貫模式上，符合「焦慮 遞增理論」 ；2.數學學習動機縱貫模式上，符合「動機先升 後降理論」 ；3.數學學業成就縱貫模式上，符合「成就先升 後降理論」； 4.數學焦慮與數學學習動機因果結構模式 上，符合「動機焦慮交互激發效果理論」 ；5.數學焦慮與數 學學業成就因果結構模式上，符合「焦慮成就交互抑制效 果理論」；6.數學學習動機與數學學業成就因果結構模式 上，符合「動機成就交互激發效果理論」。 研究二則依據研究一二變項因果結構統計驗證成立的三 套理論，建構出三變項因果結構六模式，並驗證有無中介 效果。結果顯示，1.前焦慮、中動機、後學業成就因果模 式上，符合「動機未完全中介前焦慮、後學業成就理論」； 24.
(32) 2. 前動機、中焦慮、後學業成就因果模式上，符合「焦慮 未完全中介前動機、後學業成就理論」 ；3.前焦慮、中學業 成就、後動機因果模式上，符合「學業成就未完全中介前 焦慮、後動機理論」 ；4.前學業成就、中焦慮、後動機因果 模式上，符合「焦慮未完全中介前學業成就、後動機理 論」；5. 前動機、中學業成就、後焦慮因果模式上，符合 「學業成就未完全中介前動機、後焦慮理論」 ；6.前學業成 就、中動機、後焦慮因果模式上，符合「動機未完全中介 前學業成就、後焦慮理論」。 除了上述結果外，研究也對數學焦慮、數學學習動機 與數學學業成就縱貫模式的趨勢與時間效果量，國三學生 轉折點界定，數學焦慮、數學學習動機與數學學業成就適 當模式產出及個別中介角色剖析有深入探討。 父母參與對青少年學習成長. 本研究主要在探討父母參與在家庭社經地位和子女學習. 軌跡的影響之貫時追蹤研. 成就之間所扮演的角色。. 究：以 TEPS 資料分析為例. 研究結果發現：1.就整體學習發展型態來看，臺灣青少年. （李敦仁，2010）. 學生學習成長軌跡的發展是一種非線性遞增減速的成長 曲線，年級愈高，學習成長速率愈慢；2.就個別學習成長 軌跡而言，學生間起始狀態與成長速率有個別差異現象， 進一步透過潛在成長混合模型的分析，發現學生學習成長 軌跡的發展型態並無類別上的差異；3.學生的起始能力會 影響學習成長速率的變化而產生馬太效應；4.隨著時間的 遞移，高起始能力組的學生，其學習成長速率高於低起始 能力組的學生，兩者的學習成就間差距會逐漸擴大而產生 扇形擴散效應；5.父母參與對子女學習成就表現有顯著正 向的短期立即效果與長期延宕效果，但波段與波段之間的 延宕效果則沒有顯著差異；6.在家庭社經地位對子女學習 成長軌跡的影響歷程中，父母參與扮演著部份中介而不調 節的影響效果。. 家庭文化資本與個人學習動. 本研究的目的主要在探討臺灣青少年學習成就的成長軌. 機對青少年學習成就影響之. 跡變化型態，以及家庭文化資本與個人學習動機對於學習. 貫時研究（林碧方，2011）. 成就成長軌跡的影響機制。本研究目的分為三個主要的研 究議題，首先，根據 Bourdieu（1977）的文化資本概念， 以及 Bandura（1977, 1986, 1997）與 McInerney 和 McInerney （1994）的學習動機觀點，探討這兩個重要解釋變數對於 各波學生學習成就的影響情形；再者，根據 Sternberg（1985, 1986, 1988）的智力三元論觀點探討學生學習成就的成長 25.
(33) 變化情形；最後，探討文化資本與學習動機對於學生學習 成就成長軌跡的交互作用效果。 研究結果發現：1.臺灣青少年的學習成就成長軌跡呈現非 線性的遞增漸緩的成長曲線；學生在學習成就的起始能力 與成長速率存在個別差異，且學生的起始能力與成長速率 具有正向的關係，顯示隨著時間的遞移，起始能力高與低 的學生，其能力的差距會逐漸擴大。2.文化資本與學習動 機對於學習成就成長軌跡的影響未具交互作用。3.文化資 本與學習動機對於學生學習成就的主要效果，在學習的早 期階段，存在正向的影響效果，但影響力會隨著時間而逐 漸降低。4.文化資本的豐富與不足會加劇學生學習成就的 差距，因而造成強者恆強、弱者恆弱的「馬太效應」現象。. 26.
(34) 第四節. 潛在成長模式. 潛在成長模式（latent growth curve model，簡稱LGM）的理論架構緣起於 結 構 方 程 模 式 （ structural equationmodels ， 簡 稱 SEM ） 之 驗 證 性 因 素 分 析 （confirmatory factor analysis, 簡稱CFA），主要用於縱貫研究資料的分析，亦 即分析重複測量的變數在不同時間點的變化情形（侯雅齡，2008）。傳統的縱 貫研究多是以同一份試卷作不同時間的重複測量來蒐集資料，但此種方式混雜 太多誤差，無法看出研究對象真正的能力改變量（Bollen & Curran,2006；Duncan, Duncan, Strycker, 2006） ，而潛在成長模式處理的是潛在變項，可以避免此問題。 在LGM的模式中，可以藉由起始點（ICEPT）參數、平均成長率（SLOPE）參 數的變異數統計檢定結果，了解受試者能力在開始的時間點是否有差異及受試 者是否隨時間改變能力也產生變化（侯雅齡，2008）。 潛在成長曲線模型對於縱貫研究資料的分析，除了使用在醫學、心理學、 生物學上，教育界近年也較常以此方式觀察分析學生學習成長狀況。在縱貫研 究裡，我們對於能觀察到的行為、態度、能力成長等，試圖了解其隨時間改變 而發生變化的情形（翁士傑，2007）。以下為近年來國內潛在成長模式相關文 獻簡述。 表 2-4-1 潛在成長模式相關文獻及簡述 論文名稱與作者. 主要論述或研究結果. 影響潛在成長曲線模型選擇. 本篇論文裡主要便探討了使用潛在成長曲線模型，當所蒐集. 之因子探討（翁士傑，2007）. 到的樣本數很小的情形下，根據檢定統計量的表現來識別模 式選擇的正確比率（檢定力）。 本研究所選用的模型仍為連續型變數的模型，但對於模擬研 究中所使用的影響因子設定六個影響因子：樣本數個數、截 距項的變異數、斜率項變異數、斜率項平均數、截距項與斜 率項的共變異數、觀察變項的個數。本研究使用過往學者 (Nevitt ＆ Hancock, 2004；Bentler ＆ Yuan, 2000)在文章中 27.
(35) 所提出的檢定統計量來對於潛在成長曲線模型在小樣本下 模式識別的檢定力表現。亦使用蒙地卡羅(Monte Carlo)模擬 方法，估算各種影響因子條件下的檢定力表現。 經由本研究的模擬發現，影響模式選擇檢定力的主要因子為 樣本數個數、截距項與斜率項的共變異數及觀察變項的個 數。而對於本研究的統計量與選模指標之檢定力而言，BIC 選模指標的表現最好，其次為 的表現較好，Adjusted-BIC 的表現最差。 探究以統計過程為基礎之統. 本研究旨在探究完整的統計過程教學對國小高年級統計思. 計 教 學 活 動 之 成 效 -- 利 用. 維的影響，並評估利用 CensusAtSchool 教學網站內容融入. CensusAtSchool 教學網站（林. 我國國小統計教育之可行性，以供教師、學校行政單位或數. 秀珍，2007）. 學教育相關研究作為參考之依據。 本研究工具的教案設計以直接擷取 CensusAtSchool 教學網 站資料翻譯成中文為主；評量的設計則以 Friel & Bright （1998）提出統計過程的四個步驟(1)形成問題，(2)搜集資 料，(3)分析資料，(4)形成和傳達結論為主要依據；再依統 計思維的意涵分為統計基本概念以及統計分析能力來編製 試題。本試題重複測量四次，測量結果利用結構方程模式軟 體 Amos 評估學童的潛在成長曲線，並進行量化分析。 研究結果顯示利用 CensusAtSchool 教學網站之內容進行教 學，可以提高學童對於統計課程的興趣，經由連貫的統計教 學過程可以提升學童的統計思維。. 影響臺灣學生自律學習的因. 本研究欲瞭解學生從國中到高中自律學習發展情況，以台灣. 素：TEPS 資料的縱貫性分析. 教育長期追蹤資料庫的 2939 追蹤樣本，進行潛在成長曲線. （趙珮晴，2009）. 模型分析，結果發現： （1）兩性學生從國中到高中的自律學習發展並無顯著差異。 （2）台灣學生從國中到高中的自律學習呈現遞增狀況。 （3）國中高自律學習的學生到高中的自律學習成長有限； 而國中低自律學習的學生到高中自律學習成長幅度較大。 （4）學生家庭社經地位越高、父母學校參與和接納的程度 越高，學生國中時期的自律學習情況會越好；但是學生家庭 社經地位越高、父母學校參與程度越高，對於學生國中到高 中自律學習成長有限，至於父母接納則無顯著影響關係 （5）國中自律學習良好的學生，有較良好的分析能力；但 是高中學生的自律學習無法有效預測其分析能力。依據上述 研究結果將提出相關結論與建議以供參考。. 中學生學業成就潛在成長模. 本研究旨在探討中學生學業成就之潛在成長模式，藉以分析 28.
(36) 式之研究（張憲庭，2010）. 家庭及學校因素影響中學生學業成就的初始狀態和成長速 率。統計分析方法包括因素分析、結構方程模式(structural equation modeling) 和 潛 在 成 長 模 式 (latent growth curve modeling)等方法，本研究主要的研究發現如下： 一、綜合分析能力之模式適配情形最佳。因此，本研究分析 中學生學業成就的潛在成長模式，以此能力為基礎。 二、家庭因素中的家長教養方式及家庭社經地位，對中學生 學業成就的初始狀態和成長速率，皆有顯著的影響力。 三、家庭因素中的家庭教育資源，對中學生學業成就的初始 狀態和成長速率，並無顯著的影響力。 四、整體而言，家庭因素對中學生學業成就的初始狀態的解 釋力為 21.4%，對成長速率的解釋力為 19.4%。 五、學校因素中的教學與輔導，對中學生學業成就的初始狀 態，並無顯著的影響力，但對於學業成就的成長速率，卻有 顯著的影響力。 六、學校因素中的學校投入，對中學生學業成就的初始狀 態，有顯著的影響力，但對於學業成就的成長速率，卻無顯 著的影響力。 七、學校因素中的班級互動，對中學生學業成就的初始狀態 和成長速率，皆有顯著的影響力。 八、學校因素中的學校教育環境和學校經營管理，對中學生 學業成就的初始狀態和成長速率，皆無顯著的影響力。 九、整體而言，學校因素對中學生學業成就的初始狀態的解 釋力為 4.9%，對成長速率的解釋力為 12.9%。 最後，依據上述研究發現，提出具體之建議，俾供中學生、 家長、學校單位、教育行政機關及未來研究之參考。. 學習動機與學習策略對動態. 本研究以嶺東科大數位媒體設計系二年級學生為研究樣. 學習成效之影響（巫俊采，. 本，針對 60 個有效固定研究樣本之四次學習動機與作業成. 2011）. 績，以潛在成長曲線模式(Latent Growth Curve Modeling, LGM)為研究方法，分析學習動機、學習策略與學習成效的 動 態 因 果 關 係 。 以 「 動 機 參 與 量 表 」 (Motivation and Engagement Scale – University/College, MES-UC)測量學習 動機。研究結果發現：1.學習成效非單一直線效果，會隨著 時間而變動，學習成效初始狀態與成長速率具負向關係。2. 適應性動機引發適應性與不適應性參與，三者成長趨勢一 致。3.焦慮、不參與及計畫隨時間皆有上升的趨勢。4.學習 動機因素對學習成效初始狀態及成長速率有不同的影響。5. 29.
(37) 不同學習策略具相同成長趨勢僅變化幅度有所差異。 對教學實務的建議：1. 教師應採取形成性評量，更能呈現 真實的學習成效。2.教師引發學習動機之外，更需追蹤學習 行為有效監控。3.教師應減緩學習者不適應動機，加強適應 性參與。4.教師可善用學習動機因素特性，促進學生達到有 效學習。5.學習評量具體考量認知、情意與技能三部份，並 給予時間彈性，可增進深度學習。. 另外，侯雅齡（2009）在「幼兒在動手做科學活動歷程之心流研究」中， 為了改善目前國內縱貫研究所採取的重複量數無法提供改變軌線、也無法進行 與變化軌線關連因素探討的缺失，因而採用潛在成長模式進行分析，了解幼兒 心流經驗的變化情形。此研究發現研究者本身提出的潛在直線成長模式與其觀 察資料整體適配度良好，幼兒的心流經驗隨活動參與時間增加呈現顯著的正向 變化。. 30.
(38) 第三章 研究方法 依據前述之研究動機、研究目的以及文獻探討，本章將在第一節提出本研 究的研究流程及架構、第二節介紹研究對象、第三節說明研究工具及其信效度、 第四節敘述資料處理分析及研究範圍與限制，依序說明如下。. 第一節 研究流程及架構 本研究依據教育部九年一貫數學課程綱要數與計算能力指標及分年細 目，參考 NAEP2003 數學評量架構，並以九十九年度四年級學生為研究對象， 自編三份經定錨設計之不同試卷，在研究對象四年級、五年級、六年級等三個 時間點進行施測，探討研究對象在這三個不同時間點數學能力在數與計算部分 隨著時間變化之情形。本研究流程如下：. 31.
(39) 數與計算、NAEP、 長期追蹤研究、潛在成長模式 文獻探討. 四年級教材分析. 五年級教材分析. 六年級教材分析. 依據四年級數與計算. 依據五年級數與計算. 依據六年級數與計算. 分年細目編製試題. 分年細目編製試題. 分年細目編製試題. 時間點一施測. 時間點二施測. 時間點三施測. 資料分析與整理. 資料分析與整理. 資料分析與整理. 研究結論與建議. 圖 3-1-1 研究流程圖 由圖 3-3-1 可瞭解研究者進行本研究前，先蒐集美國 NAEP 數學評量架構 相關報導與文獻、國內數與計算文獻以及長期追蹤和潛在成長模式相關文獻進 行比較分析和探討，再依據教育部 2003 九年一貫數學課程綱要、各審定版數學 課本進行四年級、五年級、六年級的施測試卷編製；在研究對象四年級期末、 五年級期末、六年級期中進行三個不同時間點的施測，並就施測後蒐集的樣本 進行資料整理，再針對概念的了解、程序性知識、問題解決三能力類型作分析， 探究此群學生三年來數與計算能力變化發展情形，最後做出研究結論。國內的. 32.
(40) 縱貫研究，多是以同一份試卷在兩個不同時間點施測，而本研究是設計三份不 同試卷，並做垂直等化設計，在學生四、五、六年級三個不同的學習階段施測， 追蹤時間長達三年，更能找出學生能力變化的真實情形。 本研究將先針對數與計算的三類型能力：概念的了解、程序性知識、問題 解決分別建立研究架構如圖 3-1-2、圖 3-1-3、圖 3-1-4：. E1. E2. E3. 四年級能力. 五年級能力. 六年級能力. 概念的了解 成長率. 概念的了解 起始點. 圖 3-1-2 「概念的了解」研究架構. E1. E2. E3. 四年級能力. 五年級能力. 六年級能力. 程序性知識 成長率. 程序性知識 起始點. 圖 3-1-3 「程序性知識」研究架構. 33.
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