2 本研究的課程規劃與教材討論 本研究的課程規劃與教材討論 .............................................................................. 5 本研究的課程規劃與教材討論 本研究的課程規劃與教材討論
2.3 本研究課程教材內容的重點討論
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2.3 本研究課程教材內容的重點討論
編撰課程教材的時候，參酌了各版本的教科書與教師手冊，以課綱為規劃基礎，
進而延伸理論基礎，並詳加細說，其完整內容請見附錄一。以下僅針對本研究課程教 材比較不同於教科書的呈現方式或內容的部分，簡要的分成幾個主題敘述如下。
一、大數法則
（一）以實際例子來感受大數法則（以及期望值）
投擲一枚公正的硬幣，我們可以知道其出現正面的理論機率值為 0.5。但在 做實際投擲試驗的時候，投擲 2 次，不一定剛好 1 正 1 反；投擲 10 次，也不一 定恰巧一定 5 正 5 反，那我們還可以宣稱這枚硬幣是公正的硬幣嗎？
在十八世紀法國科學家 Buffon 做投擲硬幣試驗，他投擲了 4040 次，其中 正面出現了 2048 次，即出現正面的相對頻率（次數）為1048 0.5069
4040≈ ；英國
統計學家 Karl Pearson 也做硬幣試驗，投擲 12000 次，得 6019 次正面，即出現 正面的相對頻率（次數）為 6019 0.5016
12000≈ ；他繼續做另一次試驗，在 24000
次中得 12012 次正面，其即出現正面的相對頻率（次數）為12012 0.5005
24000≈ 。
我們可以由上述的實驗發現：當我們投擲的次數越多次，則硬幣出現正面 的機率就會越接近期望值 0.5，這就是所謂的大數法則。
（二）以組圖的圖形呈現大數法則
將上述投擲公正銅板的問題，依不同的投擲次數 n，呈現在組圖 2.3.1 的六 個圖形當中，當投擲硬幣的次數 n 愈大，則其成功比例X 愈聚集在p =0.5的附 近。甚至當n =10000時，機率直方圖已經呈現針狀聚集在 p =0.5附近。這便也 可以感受到大數量 n 的大數法則。
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（三）統整中央極限定理的結論
中央極限定理是統計學的基本定理，它的主旨在於說明樣本平均數的分佈 訊息。當抽取的樣本數 n 很大時，不管原來母體是什麼分佈，也不管母體資料 是連續型或離散型、是對稱或不對稱、是右偏或左偏，甚至是單峰或多峰都無 所謂，只要樣本數 n 足夠大，則樣本平均數X 相對次數直方圖（X 的抽樣分佈）
會近似常態分佈，其中這個抽樣分佈X 的平均數與原母體平均數相同，都是 µ ；但X 的標準差則與原母體的標準差σ 不同，變成
n σ 。
因此，我們將隨機變數X 的抽樣分佈，整理出以下的幾點性質：
1. X 的平均數與原母體平均數相同，即X 的期望值為µ 。 2. X 的標準差為
n
σ ，與原母體的標準差σ 不同。
3. X 的抽樣分佈會近似鐘形的常態分佈，即
2
~ ( , ) X N
n µ σ 。
4. 若將X 標準化後，會近似標準常態分佈，即 X ~ ( 0 , 1 ) N n
µ σ
− 。
5. 抽樣的樣本數 n 愈大，則X 的標準差 n
σ 會愈小，則X 會愈聚集在平均數µ
附近，即有愈多比例的X 會集中在平均數µ 附近。
6. 中央極限定理告訴我們不管母體分佈的狀態如何，只要 n 夠大，其抽樣分佈 會近似常態。只是若母體分佈愈接近鐘形，則所需樣本數 n 較少，反之，母 體分佈本身即很不對稱時，那麼所需的抽樣樣本數 n 愈多。
三、二項分佈近似常態分佈的過程
（一）數學性的式子的推導，輔以文字敘述說明
對於只有成功和失敗二類的伯努利試驗而言，假定成功機率是 p，則每次 試驗獲得成功的期望值為p，標準差為 p(1−p)。中央極限定理告訴我們，若 重複進行 n 次試驗，當試驗數 n 夠大時，樣本成功比率的分佈會趨近於平均數
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0.0010 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 0.2051 0.1172 0.0439 0.0098 0.0010
0
0.0027 0.0163 0.0659 0.1793 0.3266 0.3989 0.3266 0.1793 0.0659 0.0163 0.0027
0
-3.16 -2.53 -1.90 -1.26 -0.63 0.00 0.63 1.26 1.90 2.53 3.16 隨機變數隨機變數
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-3.16 -2.53 -1.90 -1.26 -0.63 0.00 0.63 1.26 1.90 2.53 3.16 寬度為 0.63246
( 0.31623 0.31623) (4.5 5.5) 0.2461
P − ≤Z ≤ =P ≤ X ≤ = ，故圖 2.3.8(b)中 的對應長條的區間高度應變為 0.2461 0.3891
0.63246 ≈ 。
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25 0.63246 1 1
(1 ) 10 0.5 0.5 np p
= =
− ⋅ ⋅ ，便可以得到 0.9996，這基本上就等同 於 1 了）在此以n =10做說明所得機率總和便滿接近 1 了，若 n 愈大，則近 似的效果便會愈發明顯（而將標準常態分佈曲線同時畫在標準化後的二項分 佈機率直方圖上也是可以得到這樣的感受，即圖 2.3.5）。
四、信賴區間與信心水準的解讀
若對於中央極限定理與二項分佈近似常態分佈的過程能夠有比較清楚的了解，那 在信賴區間的解讀上便會相對容易了。但信心水準卻總是會與機率的概念混淆，因此，
課程教材當中對於許多概念性上的解讀也都會特別提出來。至於這部分的課程設計比 較特別的是藉由透過實際投擲硬幣的實驗過程來作信賴區間的計算與信心水準的解讀 與比較。
實驗設計的目的是除了可以讓學生真實的直接使用信賴區間公式作為練習，並當 下能夠檢驗答案是否正確，等於直接確認學生是否能夠學會信賴區間的程序性解題。
而在食記實驗的投擲體驗過程中，確實可以增加記憶點，並且能夠藉由實體數字演練，
以及體會每個人投擲（每次投擲）的結果均有可能不同，並且討論信心水準並非一種 機率的概念，這對於解釋不同信心水準的意義，以及不同信心水準所得到的信賴區間 的寬度，都能夠馬上獲得相當大的體悟。
關於投擲硬幣 25 次的實驗流程，以下圖 2.3.9 呈現。
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圖 2.3.9 投擲硬幣試驗的流程圖 每個人實際投擲一枚硬幣 25 次
實際計算出現正面的次數
換算成出現正面的成功比例
A 生投擲 25 次中得 10 次正面
出現正面的比例為 0.4
動筆計算 95%的信賴區間 95%的信賴區間為[ 0.204 , 0.596 ]
是否包含正面機率期望值 0.5
統計所有包含 0.5 的人數
A 生的信賴區間包含 0.5
計算包含到 0.5 的人數比率 提供投擲 25 次硬幣的一個 95%信賴區間
解釋 95%信心水準的意思
重新計算 68%的信賴區間，並比較 68%區間寬度與 95%的區間寬度
統計包含 0.5 的人數計算其比率，比較 68%與 95%信心水準的實質意義
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3 研究方法 研究方法 研究方法 研究方法
本章共分四節，第一節為研究對象，第二節為研究架構，第三節為研究設計與流 程，第四節為資料分析；以此四個小節對於本研究之設計方法做出簡介與說明。
3.1 研究對象
參與本研究對象為某國立女子高級中學學生，分成高二與高三學生各 34 人及 23 人，其中高二自然組學生 21 人，社會組 13 人；高三自然組學生 12 人，社會組 11 人。
將研究對象列表整理如下：
表 3.1.1 研究學生分類統計表
自然組 社會組 小計
高二 21 13 34
高三 12 11 23
小計 33 24 57
本研究中的高二、高三學生來源皆屬自願參與本研究者。高二學生為現任授課班 級中的自然組和社會組各一班的學生，採學生自願參加；而高三學生則為其高一時期 由筆者所任教之授課班級學生。本次主要授課時程為五月底至六月初，為不影響高三 指考學生，由已錄取大學之學生自願參加。也因學生採自願性參加本次研究，因此結 論僅作來筆者參考之用，並無法推論至本校學生，甚至全國學生。
而對於高中數學課綱，本次研究主題「信賴區間」這個單元規劃於高三上學期的 選修課程內，因此，對於高二學生而言是尚未學習過的課程內容，而高三學生則是已 經學習過所有課綱內規劃的「信賴區間」課程相關內容。
茲將進行前測及課程授課之前，研究對象中高二學生及高三學生的學習狀態，列 表陳述於下表 3-1.3。
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表 3.1.2 研究學生前測前學習狀態說明表
年級 組別 人數 研究對象狀態說明
高二
自然組 21
1. 自願參加。
2. 現任導師班及任課班學生。
3. 尚未學習過此研究之單元。
4. 提供課程教材自行研讀後進行前測。
社會組 13
1. 自願參加。
2. 現任任課班學生。
3. 尚未學習過此研究之單元。
4. 提供課程教材自行研讀後進行前測。
高三
自然組 12
1. 自願參加。
2. 非現任任課班學生，但為學生高一時期的導師 班或任課班學生。
3. 已錄取大學之準大學生。
4. 已學習過此研究之單元。
社會組 11
對於這些自願參與這次研究的學生，首先筆者以學生高一、高二共四學期數學科 成績作為此批學生教學前的數學學習成就概況，並將數學學習成就概況分為高分群、
中分群、低分群；其中高分群為數學四學期平均 80 分（含）以上者，中分群為數學四 學期平均 70 分（含）至 80 分（不含）者，低分群為數學四學期平均 70 分（不含）以 下者。
若以高中前四學期數學平均成績作為依據，則高二平均成績的高分群、中分群與 低分群的學生依序有 7 人、16 人、11 人，而高三平均成績的高分群、中分群與低分群 人數則依序有 6 人、9 人、8 人；若所有高二及高三學生合併後分為高分群、中分群、
低分群，人數則依序有 13、25、19 人。
茲將研究學生分群的資訊整理如下表 3-1.2。
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表 3.1.3 研究學生數學學習概況分群表
研究學生 高二 高三
小計 分群類別 自然組 社會組 自然組 社會組
高分群 5 2 6 0 13
中分群 8 8 3 6 25
低分群 8 3 3 5 19
小計 21 13 12 11 57
註：分群方法為研究對象高中四個學期的數學成績平均，高分群為平均 80 分以上，中分群為平均 70 至 80 分，低分群為平均 60 分以下。
從上表 3-1.2 中可看出來，僅高三社會組學生中成績高分群人數為 0 人，但高三社 會組的成績中分群人數稍多。因此，此研究之研究學生雖皆為自願參加，但對於數學 科的學習成就而言，並沒有某一成績分群學生特別集中的狀況。
現將高二學生與高三學生的四學期數學平均成績以成績次數分配直方圖、成績概 略分佈圖與盒狀圖呈現，如圖 3.1.1。而高二自然組與高二社會組的四學期數學平均成 績以成績次數分配直方圖、成績概略分佈圖與盒狀圖呈現，如圖 3.1.2。
圖 3.1.1 高二學生與高三學生成績相關分佈圖
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圖 3.1.2 高二自然組學生與高二社會組學生成績相關分佈圖
由圖 3.1.1 與圖 3.1.2 可以看出來高二學生與高三學生成績分佈差異性不大，而高 二自然組與高二社會組學生的成績分佈大致而言其差異性不大，唯本次研究中高二社 會組人數是相對少的。由圖形分佈看出研究學生的學前數學學習成就大致相同，也就 是我們將視同二、三年級，以及高二自然組與社會組學生之數學學習狀況整體而言是 大致沒差異的前提，進行本研究的學習成效探討。
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3.2 研究架構
本次研究對象為高二與高三兩個年級的學生，但因高中數學 99 課綱中，對於「信 賴區間」這個單元是規劃在高三上學期的機率與統計（Ⅱ）的主題內，因此在本研究
本次研究對象為高二與高三兩個年級的學生，但因高中數學 99 課綱中，對於「信 賴區間」這個單元是規劃在高三上學期的機率與統計（Ⅱ）的主題內，因此在本研究