99課綱中「信賴區間」單元之教材設計與學生學習成效評估探討 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學應用數學系數學教學碩士在職專班碩士學位論文. ‧ 國. 學. 政治大 99課綱中 99課綱中「課綱中信賴區間」單元之立「信賴區間」教材設計與學生學習成效評估探討 ‧. On Study Material Design and Students’ Learning Assessment. n. al. er. io. sit. y. Nat. for Confidence Interval Based on the 99 Curriculum. Ch. engchi. i n U. v. 碩專班學生：黃聖峯撰指導教授：江振東博士中華民國. 102 年 8 月 23 日.

(2) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.

(3) 謝辭「偶爾搖晃但他始終無法決定方向。」〈Stay-牡蠣之歌〉還記得當年還在猶疑是否該讓人生前進一些的抉擇，而如今也完成了三個暑假的學習與歷練，不知不覺碩士論文也即將完成，也算是實現自己一個（不知道需不需要的）人生目標。而此刻，心中滿是誠摯的感動與感謝。首先，由衷地感謝指導教授－江振東教授，感謝教授在這一、兩年來對於我的悉心指導與包容，每每耐心與我討論，適時的指正我並且給我建議，甚至釐清. 政治大此外，感謝口試委員姜志銘教授及李隆安教授在百忙之中撥冗前來，費心地提供立. 我的困惑，這些學習的過程讓我受益良多，也因而得才順利地將此篇論文完成。. ‧ 國. 學. 寶貴的意見以修正論文中的不足，致使這篇論文更趨完善。感謝您們！「畢竟是有著怯怯但能給的沉默。」〈喜歡〉. ‧. 感謝這些日子以來一起進修的夥伴們，大家互相勉勵、同甘共苦的時光荏. y. Nat. sit. 苒，卻也歷歷在目；特別感謝凱翔與恩誠，你們讓我在自身詭譎的型態中，尚能. a. er. io. 擁有一些穩定。感謝一直以來的好友：凱仁、元鈞，或者還有豐銘，你們總是激. n. iv 勵我多看看不同的學習面向，然後長成。感謝同事：文靜、恩原、韻如及致宏， l. n U engchi 謝謝你們在自身繁忙的課務之餘尚能給予我關心與協助。感謝學校行政單位與同. Ch. 事的支援，讓我在暑假期間得以專心的進修與學習。也感謝這些願意利用課餘來協助我，也成就論文的孩子們。感謝我的父母與家人，謝謝你們一直以來默默的支持與陪伴！感謝這麼多的你們！最後，謹以此篇論文的成果分享予你們，願我與你們都能健康、喜樂。「雲煙已過，而島嶼依舊；」〈島嶼雲煙〉「城市中我繼續行走，安靜的巷口沉默，沉默並溫柔。」〈巷口〉聖峯謹誌 102/11/28 [註]：感謝張懸，在她的音樂與談論之中，付諸予我生命的能量。. i.

(4) 摘要本研究主要是針對高中數學課程中「信賴區間」的這個單元，依據 99 課綱中的課程規劃，設計出一套專題式的研究教材，並以筆者所任教高中的高二及高三學生作為研究對象，進行專題性的課程授課，且對其學習成果進行評量。主要研究結果如下：一、高三學生雖已進行過「信賴區間」及其先備知識之授課，但前測的成績並不理想。二、高二與高三學生經由筆者授課教學後，其後測成績均較前測成績有非常明. 政治大. 顯之進步，不過高二與高三學生的後測成績並無顯著差異。. 立. 三、高二自然組與高二社會組學生經由筆者授課教學後，其學習成效亦無顯著. ‧ 國. 學. 差異，但社會組學生學習上普遍較為認真，後測成績稍高於自然組。四、高三自然組與高三社會組學生經由筆者授課教學後，其後測成績具顯著差. ‧. 異，而進步成績的學習成效亦具有顯著差異，自然組優於社會組。. y. Nat. sit. 五、依高中數學學習成就分成高分群、中分群與低分群三群，雖然在前測與後. er. io. 測成績表現上顯著不同，但進步的成績則三群並無顯著差異。. al. n. v i n Ch 此外，筆者於本次研究中也對學生問卷調查一些筆者有興趣的相關議題，並 engchi U. 進行問卷分析，得到以下結果：. 一、對於本研究所編撰「信賴區間」之課程教材，學生普遍能夠接受且瞭解，並知曉「信賴區間」在生活上的用處，且能解讀其資訊。唯實務面上，他們對「信賴區間」之學習則持可有可無的態度。二、本次研究的授課方式對於自然組與社會組學生的接受程度是具有差異的，其中自然組學生較能接受本次非傳統型的授課方式。三、學生普遍認為高中數學中，「非統計類數學課程」是比較有趣的，「統計類數學課程」則在學習上具相對困難性。而在統計的課程中，「信賴區間」倒是比較感興趣的這單元。 ii.

(5) 整體而言，本次研究對學生進行信賴區間的教學結果，是具有學習成效的。. 關鍵字：信賴區間、高中數學、99 課綱、統計. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iii. i n U. v.

(6) Abstract Based on the 99 Curriculum Guidelines for the Senior High School Math, a special set of study material for Confidence Interval was composed. Eleventh and twelfth grade students from a girl’s senior high school were recruited voluntarily and lectured, and their learning performance were evaluated before and after the completion of the lecture. The primary findings are as the following: 1. Though twelfth grade students have already studied Confidence Interval before the lecture, their pre-test scores were still low.. 政治大 2. On the average, both eleventh and twelfth grade students performed better after the 立 lecture, and no significant differences were observed between them.. ‧ 國. 學. 3. For the eleventh grade students, no significant differences were observed between. ‧. social science and natural science groups. However, students in social science. sit. y. Nat. group appeared to work harder, and their post-test results were slightly better than those in natural science group.. er. io. n. a 4. For the twelfth grade students, significant differences v were observed between i l C n h egroups. social science and natural science h i Uscience group students appeared n g cNatural to outperform their counterparts in social science group. 5. Among the top third, the middle third, and the bottom third of all the participating students, although their pre-test and post-test scores differed significantly, the differences between the two tests were not significant. In addition, some secondary issues were also explored, and the related findings are summarized as follows: 1. Students showed appreciation for the study material, understood the concept of Confidence Interval better after the lecture and even realize how to apply the iv.

(7) concept to their daily life. Surprisingly, however, they didn’t think learning Confidence Interval would make any difference in their life. 2. Students in the natural science group appeared to have greater acceptance toward the unconventional teaching method than those in the social science group. 3. For the topics covered in senior high school math, students generally considered those unrelated to statistics more interesting, and thought that statistics-related topics were more difficult to learn. However, among the statistics-related topics, Confidence Interval was the most intriguing one.. 政治大. In conclusion, this study reveals that the experimental teaching approach. 立. concerning Confidence Interval are apparently positive and effective.. ‧ 國. 學. Key words: Confidence Interval, Mathematics Courses in High School, 99 Curriculum,. ‧. Statistics. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. v. i n U. v.

(8) 目錄謝辭.............................................................................................................................. i 摘要............................................................................................................................. ii Abstract ......................................................................................................................... iv 目錄............................................................................................................................ vi 表目錄.......................................................................................................................... viii 圖目錄............................................................................................................................. x 1. 緒論 .......................................................................................................................... 1. 政治大研究目的與待答問題 ...................................................................................... 2 立研究範圍與限制 .............................................................................................. 4. 1.1 研究背景與動機 .............................................................................................. 1 1.2. 學. 2. ‧ 國. 1.3. 本研究的課程規劃與教材討論.............................................................................. 5. ‧. 2.1 「信賴區間」在課綱及課程上的規劃 .......................................................... 5 2.2 本研究課程教材的規劃 ................................................................................ 10. Nat. sit. 研究方法 ................................................................................................................ 27. er. io. 3. y. 2.3 本研究課程教材內容的重點討論 ................................................................ 14. n. al 3.1 研究對象 ........................................................................................................ 27 iv n. C. hengchi U 3.2 研究架構 ........................................................................................................ 31 3.3 研究設計與流程 ............................................................................................ 34 3.4 資料分析 ........................................................................................................ 46 4. 結果與討論 ............................................................................................................ 51 4.1 高二、高三學生前測成績之學習成效評估................................................ 51 4.2 高二、高三學生後測成績之學習成效評估................................................ 55 4.3 高二與高三學生其成對樣本的前、後測成績之學習成效評估 ............... 58 4.4 高二自然組與社會組學生其前、後測成績之學習成效評估.................... 62 4.5 高三自然組與社會組學生其前、後測成績之學習成效評估.................... 69 4.6 依測前學習成就分群之學習成效的變異數分析........................................ 76 4.7 本研究問卷的統計分析 ................................................................................ 80 vi.

(9) 5. 結論與建議 ............................................................................................................ 91 5.1 研究發現與結論 ............................................................................................ 91 5.2 檢討與建議 .................................................................................................... 96. 參考文獻....................................................................................................................... 98 ：課程教材...................................................................................................... 100 附錄 1：課程教材附錄 2：：前測試題...................................................................................................... 151 前測試題附錄 3：：後測試題...................................................................................................... 157 後測試題附錄 4：：問卷.............................................................................................................. 163 問卷. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vii. i n U. v.

(10) 表目錄表 2.1.1. 95 課綱機率與統計的課程規劃表 .............................................................. 5. 表 2.1.2. 99 課綱機率與統計的課程規劃表 .............................................................. 7. 表 2.2.1. 本研究課程教材的章節規劃表 ................................................................. 12. 表 3.1.1. 研究學生分類統計表 ................................................................................. 27. 表 3.1.2. 研究學生前測前學習狀態說明表 ............................................................. 28. 表 3-1.3. 研究學生數學學習概況分群表 ................................................................. 29. 表 3.3.1. 研究階段與研究項目實施表 ..................................................................... 34. 表 3.3.2. 近年信賴區間的研究論文簡介 ................................................................. 35. 表 3.3.3. 學習成就測驗主題配分表 ......................................................................... 41. 表 3.3.4. 後測試題之概念性知識與程序性知識配分表 ......................................... 41. 表 3.3.5. 問卷：第一部份題目列表 ......................................................................... 42. 表 3.3.6. 問卷：第二部份題目列表 ......................................................................... 43. 表 3.4.1. 二獨立樣本 t 檢定之檢定方法及決策法則 .............................................. 47. 表 3.4.2. 成對樣本 t 檢定之檢定方法及決策法則 .................................................. 48. 表 3.4.3. 二樣本比例差 z 檢定之檢定方法及決策法則.......................................... 49. 表 4.1.1. l C 高二學生前測成績的描述性統計分析表 ................................................. 51 ni. 表 4.1.2. 高三學生前測成績的描述性統計分析表 ................................................. 52. 表 4.1.3. 高二與高三學生前測成績的二獨立樣本 t 檢定統計分析表 .................. 53. 表 4.2.1. 高二學生後測成績的描述性統計分析表 ................................................. 55. 表 4.2.2. 高三學生後測成績的描述性統計分析表 ................................................. 56. 表 4.2.3. 高二與高三學生後測成績的二獨立樣本 t 檢定統計分析表 .................. 56. 表 4.3.1. 高二學生前、後測成績成對樣本統計分析表 ......................................... 58. 表 4.3.2. 高三學生前、後測成績成對樣本統計分析表 ......................................... 59. 表 4.3.3. 高二與高三學生的前、後測成績差異統計分析表 ................................. 60. 表 4.4.1. 高二自然組與社會組學生前測成績的二獨立樣本 t 檢定分析表 .......... 62. 表 4.4.2. 高二自然組與社會組學生後測成績的二獨立樣本 t 檢定分析表 .......... 63. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. er. io. sit. y. Nat. n. a. hengchi U. viii. v.

(11) 表 4.4.3. 高二自然組學生前、後測成績成對樣本統計分析表 ............................. 65. 表 4.4.4. 高二社會組學生前、後測成績成對樣本統計分析表 ............................. 66. 表 4.4.5. 高二自然組與社會處學生的前、後測成績差異統計分析表 ................. 67. 表 4.5.1. 高三自然組與社會組學生前測成績的二獨立樣本 t 檢定分析表 .......... 69. 表 4.5.2. 高三自然組與社會組學生後測成績的二獨立樣本 t 檢定分析表 .......... 70. 表 4.5.3. 高三自然組學生前、後測成績成對樣本統計分析表 ............................. 72. 表 4.5.4. 高三社會組學生前、後測成績成對樣本統計分析表 ............................. 73. 表 4.5.5. 高三自然組與社會處學生的前、後測成績差異統計分析表 ................. 74. 表 4.6.1. 依測前學習成就分群學生之前測成績的變異數分析表 ......................... 76. 表 4.6.3. 依測前學習成就與年級分群學生之前、後測進步成績的分析表 ......... 78. 學. 表 4.6.4. 政治大依測前學習成就分群學生之前、後測進步成績的變異數分析表 ......... 77 立. 依測前學習成就分群學生之後測成績的變異數分析表 ......................... 77. ‧ 國. 表 4.6.2. 關於「課程教材」層面的問卷問題統計表 ............................................. 81. 表 4.7.2. 關於「授課方式」層面的問卷問題統計表 ............................................. 81. 表 4.7.3. 關於「個人上課觀感」層面的問卷問題統計表 ..................................... 82. 表 4.7.4. 關於「信賴區間學習上的感受」層面的問卷問題統計表 ..................... 83. 表 4.7.5. 關於「高中數學課程之學習感受」的問卷問題統計表 ......................... 85. 表 4.7.6. i v ............................. 85 非統計類數學課程與統計類數學課程的雙向分析表 l. ‧. 表 4.7.1. n. er. io. sit. y. Nat. a. 表 4.7.7. n U engchi 自然組與社會組問卷研究問題比例差的推論統計表 ............................. 87. 表 4.7.8. 「若不考慮數學成績，我可以說是喜歡數學的嗎？」人數統計表 ..... 89. Ch. ix.

(12) 圖目錄圖 2.3.1. 不同參數 n 的二項分佈機率圖 ................................................................. 15. 圖 2.3.2. 不同參數 n 的二項分佈機率圖（調整縱軸最高刻度為 0.3） ............... 16. 圖 2.3.3. 中央極限定理抽樣流程圖（一） ............................................................. 17. 圖 2.3.4. 中央極限定理抽樣流程圖（二） ............................................................. 17. 圖 2.3.5. 二項分佈標準化後近似標準常態分佈 ..................................................... 20. 圖 2.3.6. 二項分佈的標準化後的圖形全貌（ n = 100 ） ......................................... 22. 圖 2.3.7. (a) n = 10 的隨機變數 X；(b) n = 10 的隨機變數 Z ................................. 22. 圖 2.3.8. (a) n = 10 的隨機變數 X；(b) n = 10 的隨機變數 Z ............................... 24. 圖 2.3.9. 投擲硬幣試驗的流程圖 ............................................................................. 26. 圖 3.1.1. 高二學生與高三學生成績相關分佈圖 ..................................................... 29. 圖 3.1.2. 高二自然組學生與高二社會組學生成績相關分佈圖 ............................. 30. 圖 3.2.1. 研究架構圖.................................................................................................. 33. 圖 3.3.1. 單元結論整理與範例演練 PPT.................................................................. 38. 圖 3.3.2. 圖形比較介紹與組圖對照呈現 PPT.......................................................... 38. 圖 3.3.3. 圖形呈現觀念與觀念問答 PPT.................................................................. 38. 圖 3.3.4. l C GeoGebra：二項分佈的圖形 ..................................................................... 39 ni. 圖 3.3.5. GeoGebra：常態分佈的圖形 ..................................................................... 39. 圖 3.3.6. GeoGebra：二項分佈的圖形，與區間機率的選擇 ................................. 40. 圖 3.3.7. GeoGebra：常態分佈的圖形，與 68-95-99.7 經驗法則............................ 40. 圖 3.3.8. 研究流程圖.................................................................................................. 45. 圖 4.1.1. 高二、高三學生前測成績的次數分配圖、成績概略分佈圖與盒狀圖 . 54. 圖 4.1.2. 高二、高三學生後測成績的次數分配圖、成績概略分佈圖與盒狀圖 . 57. 圖 4.3.1. 高二學生前、後測成績散布圖 ................................................................. 59. 圖 4.3.2. 高三學生前、後測成績散布圖 ................................................................. 60. 圖 4.4.1. 高二自然組與社會組前測成績的次數分配圖、概略分佈圖與盒狀圖 . 63. 圖 4.4.2. 高二自然組與社會組後測成績的次數分配圖、概略分佈圖與盒狀圖 . 64. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. er. io. sit. y. Nat. n. a. hengchi U. x. v.

(13) 圖 4.4.3. 高二自然組學生前、後測成績散布圖 ..................................................... 65. 圖 4.4.4. 高二社會組學生前、後測成績散布圖 ..................................................... 66. 圖 4.5.1. 高三自然組與社會組前測成績的次數分配圖、概略分佈圖與盒狀圖 . 70. 圖 4.5.2. 高三自然組與社會組後測成績的次數分配圖、概略分佈圖與盒狀圖 . 71. 圖 4.5.3. 高三自然組學生前、後測成績散布圖 ..................................................... 72. 圖 4.5.4. 高三社會組學生前、後測成績散布圖 ..................................................... 73. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. xi. i n U. v.

(14) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v.

(15) 1 緒論 1.1. 研究背景與動機「信賴區間」這個主題，是在 95 暫綱才進入高中課綱，雖然經 99 課綱的課程變. 動，但信賴區間這個主題仍然保留在高中數學課程內。雖然 95 暫綱將信賴區間擺在高中數學第四冊的機率與統計（Ⅰ），而 99 課綱則將信賴區間擺在高中數學選修數學（上冊）的機率與統計（Ⅱ）中，課程規劃的順序不大相同，但信賴區間都是 95 年以後，高中數學的一個重要的主題。. 政治大出現後，全國便舉辦了多場的研習，而各校數學科也積極的找尋講師，以便了解這部立然而，對於授課教師而言，這也是一個非常新穎的課程內容，因此，當年 95 暫綱. 分課程的內容。在這個課程實行了一、二年後，99 課綱的規劃也開始進行。不同於 95. ‧ 國. 學. 暫綱的編排方式，99 課綱將「信賴區間」從必修課程改為選修課程，此外此課程為社. ‧. 會組（數學乙）的重點課程，卻為自然組（數學甲）的非重點課程，這也是課綱規劃. y. Nat. 當中的很大不同之處。. er. io. sit. 但不論這些政策是如何的改變或抉擇的，對於「信賴區間」這個議題，卻實實在在會出現在生活的語言裡，身為教師，若能真的把這個主題的來龍去脈弄得清晰一些，. n. al. Ch. 那麼在教授學生的時候，便能給出多一些資訊。. engchi. 1. i n U. v.

(16) 1.2. 研究目的與待答問題. 一、研究目的 99 課綱中的「信賴區間」的課題在高三選修數學的教科書中出現，而不同版本的教科書中，對於「信賴區間」的討論仍然各有不同。本研究中，筆者另行設計編撰一套比教科書內容更為詳細與完備的教材內容（完整內容請見附錄一），補充高中學生信賴區間必要的先備知識（如二項分佈、常態分佈、大數法則與中央極限定理等），並且以專題研究的方式授課，同時藉由前測與後測的成績數據，以及課後學生的問卷填寫，. 治政大於信賴區間內容與課程教材的內容的學習狀況。立. 進行一系列相關的統計推論，藉以探討研究學生理解與接受課程的程度，以及學生對. 此外，筆者藉由本次研究的過程，於課後對學生進行問卷調查，用以觀察與探討. ‧ 國. 學. 在本次教學過程中，學生在學習上的接受程度以及學生學習狀況評估；並且對於高中. ‧. 數學課程內的「一般數學課程（即非統計類）」與「統計類數學課程」，自然組學生與社會組學生在學習上的異同比較，進而藉由這些問卷資料的分析提供筆者或其他教學. y. Nat. n. al. er. io 二、待答問題. sit. 者在教授數學課程時的一個參考資料。. Ch. engchi. i n U. v. 根據前述研究目的，將本研究主要的待答問題列述於下：（一）高三學生已由學校授課，對於「信賴區間」及其先備知識的了解如何？（二）高二學生與高三學生在筆者授課教學的前後，其前測成績與後測成績是否有差異？又其學習成效是否有差異？（三）高二自然組與高二社會組學生經由筆者授課教學後，這兩組學生間的學習成效是否有差異？（四）高三自然組與高三社會組學生經由筆者授課教學後，這兩組學生間的學習成效是否有差異？（五）若的將所有學生依學前數學學習成就（高中數學成績）分成高分群、中分群與. 2.

(17) 低分群，則此三群學生間的學習成效是否有差異？除了上述五個主要的待答問題之外，本次研究對於以下四個問題也有相當大的興趣，因此對研究學生進行問卷以探討。（一）對於本研究所編撰之「信賴區間」課程教材，學生是否能夠接受並且理解其課程內容？（二）學生對於本次研究的專題課程安排，以及授課方式是否能夠接受？（三）學生是否能夠瞭解對於「信賴區間」學習的價值，以解讀相關資訊？（四）學生對於高中數學課程中的「非統計類數學課程」與「統計類數學課程」在學. 政治大. 習上的喜好及難易程度如何？而在高中統計類數學課程中，學生對於哪些單元較有興趣？. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 3. i n U. v.

(18) 1.3. 研究範圍與限制. 一、研究範圍本研究之研究範圍（即抽樣的母群體）為一所國立的女子高中，屬小型學校（總班級數為 33 班），取樣學生皆為女生。而本校入學基測 PR 值分佈廣泛（約 PR55 至 PR99），每次期中考數學成績除特殊班級（即非本校數理資優班、語文資優班，及美術班）外，普通班平均依考題難易度成績約為 50 分至 65 分之範圍變動，而本次研究對象為高二及高三普通班學生。. 政治大本研究之取樣學生為高二及高三學生，唯採學生自願式報名參加，共計高二學生立. 二、取樣方法. ‧ 國. 學. 43 人，其中自然組學生 21 人，社會組學生 13 人；高三學生 23 人，其中自然組 12 人，社會組學生 11 人。取樣人數不算多，僅能代表某部份的研究狀況。不過就這些取樣學. ‧. 生而言，若以高中前四學期數學成績平均作為其在數學方面的學習成就之依據，則取. sit. y. Nat. 樣學生成績尚屬常態分佈。. n. al. er. io. 三、上課時間之限制. i n U. v. 本研究高二學生與高三學生上課時間不一致，高二學生為利用週末上課，每次 2. Ch. engchi. 至 3 個小時；高三學生則利用平日學校上課時間上課，每次 2 節課，每節課 50 分鐘。兩個年級總授課時數皆為 7 小時左右。. 四、課程範圍本研究之課程內容雖依據高中數學課程綱要所編撰，但本次研究課程屬一專題型課程的完整規劃，其課程內容及範圍較現行高中此部分的課程內容廣泛，且對於講授的方式也不同於一般數學課程授課方式。. 五、結論適用範圍本研究之取樣方法採自願且取樣人數不多，課程內容與授課型態為筆者針對本次研究所設計，故本研究之研究結果未必能推論到所有高中數學一般性課程。 4.

(19) 2 本研究的課程規劃與教材本研究的課程規劃與教材討論教材討論 2.1. 「信賴區間」在課綱及課程上的規劃. 一、「信賴區間」在 95 暫綱與 99 課綱上的課程規劃差異信賴區間這個主題在 95 暫綱才正式出現，繼課綱的修訂後，99 課綱仍保留了這個在當時討論相當熱烈的主題，這無非是因為在生活上，這一主題仍然具有相當大的實用性。不過 95 暫綱和 99 課綱的信賴區間介紹的模式卻是有些許不同的。表 2.1.1 主題. 立. 章節. 治政機率與統計（Ⅰ）大. 內容重點說明. 學. ‧ 國. 冊別. 95 課綱機率與統計的課程規劃表. (1) 集合簡介。. 3-1 事件與集合 (2) 樣本空間與事件。. ‧. (1) 拉普拉斯古典機率。. al. sit. (1) 數學期望值。. n. 第四冊︵高二必修︶. (2) 機率的性質. Ch. er. io. 3-3 數學期望值. y. Nat. 3-2 機率的性質. i n U. v. (1) 觀測研究、抽樣調查、實驗。. engchi. (2) 介紹及使用亂數表。. 3-4 統計資料的來源 (3) 抽樣調查法：簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣、部落抽樣。 (1) 統計圖表編製。 (2) 數據集中趨勢：眾數、中位數、算術平均數。 3-5 分析一維數據 (3) 數據離散趨勢：全距、四分位距、標準差。 (4) 整合集中與離散趨勢，以瞭解數據的全貌。 3-6 信賴區間與信心水準的解讀. (1) 常態分配及 68-95-99.7 規律。 (2) 信賴區間與信心水準的解讀。 * 僅需處理二元資料，不必引進機率模型。. 5.

(20) 主題冊別. 機率與統計（Ⅱ）章節. 內容重點說明. 1-1 獨立事件、條件機第五冊︵高三選修︶. 率與貝氏定理 1-2 數學期望值與二項分配. (1) 獨立事件 (2) 條件機率與貝氏定理 (1) 伯努利試驗與二項分配的機率 (2) 二項分配的期望值與標準差. 1-3 交叉分析. *. 僅談兩個變數的情形，需與條件機率結合。. (1) 散佈圖 1-4 分析二維數據. 立. 政治大 (3) 迴歸直線與最小平方法 (2) 相關係數. ‧ 國. 學. 首先，95 暫綱中「信賴區間與信心水準的解讀」放在必修數學第四冊的第三章（機率與統計Ⅰ），從集合、拉普拉斯古典機率一路引進後，加入大量的統計資料來源與資. ‧. 料分析（一維數據），並將信賴區間獨立成一節，置於此單元末端，且課綱中強調不陳. y. Nat. io. sit. 述機率模型，並從課本中可發現避掉大數法則與中央極限定理的名詞出現（99 課綱則. n. al. er. 為提出名詞，亦無深入討論），直接給定公式及使用說明。感覺上顯得只是特地加入這. i n U. v. 個單元讓高中數學多些生活應用，而非經過周延思考後的教學規劃。. Ch. engchi. 在 95 暫綱中，除了避掉機率理論和統計學的基礎的大數法則與中央極限定理外，直接利用突如其來的常態分佈的經驗法則來接續信賴區間的公式。也因並未將常態分布與信賴區間背後的二項分佈關係作聯結，因此看起來像是兩個毫不相關的小單元。針對這一部分（亦即常態分佈與二項分佈的結合，或信賴區間的結合），在高三選修數學上冊的機率與統計Ⅱ的課程裡才出現。因此，99 課綱中，除了大改 95 暫綱課程綱要的順序與規劃外，對於「信賴區間與信心水準的解讀」這個單元也重新審視。將機率的課程放在高一第二冊第二章中，而統計課程的一維數據分析及二維數據分析則放在同冊的第四章內，加上同冊第三章的條件機率與貝氏定理（含獨立事件），成為 99 課綱中機率與統計Ⅰ主題的課程內容。 6.

(21) 高中數學在 99 課綱中特別注重教學上的螺旋式呼應，因此在第五冊選修數學上冊作主題式的信賴區間全面探討，此時高三學生的先備知識中已有第二冊課程的平均數、標準差，以及古典機率與獨立事件的學習經驗，便也不至於太陌生或混亂無章。而在教育部頒訂的《99 課綱指定科目考試數學甲、乙考科命題方向》一文中，對於選修數學的數學甲與數學乙的命題方向分成一至三顆星1，也因此指定考試科目中數學甲和乙命題重點也有所不同，例如「信賴區間」這個單元便在數學甲屬於一顆星非命題重點內容，而數學乙則為三顆星的命題重點內容。下表 2.1.2 為 99 課綱中高中數學機率與統計的課程規劃。表 2.1.2. 政治大機率與統計（Ⅰ）. 99 課綱機率與統計的課程規劃表. 立. 主題. 內容重點說明. 3-1 樣本空間與事件. (1) 樣本空間與事件. 3-2 機率的定義與性. (2) 獨立事件. Ch. engchi. sit. y. al. n. 定理. (1) 條件機率、貝氏定理. er. 3-3 條件機率與貝氏. io. 第二冊︵高一必修︶. (1) 古典機率的定義與性質. Nat. 質. ‧. ‧ 國. 章節. 學. 冊別. i n U. v. (1) 平均數、標準差. 4-1 一維數據分析. (2) 數據標準化 (1) 散佈圖 (2) 相關係數 4-2 二維數據分析 (3) 最小平方法與迴歸直線. 附錄：最小平方法. *. 可用計算工具操作，只談母體數據，不涉及抽樣。. *. 最小平方法的證明，不在命題範圍內。. 1 標示「＊＊＊」的章節為各試題解題的主要概念；標示「＊＊」的章節不是主要的測驗範圍，但解題時會用到此章節的基本概念或技巧；標示「＊」表示不在該考科的直接命題範圍內，但試題有多種解法時，若用此章節的概念或技巧解題，仍可得分。. 7.

(22) 主題冊別. 第五冊︵高三選修︶. 機率與統計（Ⅱ）章節. 內容重點說明. 1-1 隨機的意義. (1) 隨機的意義. 1-2 期望值、變異. (1) 期望值. 數、標準差. 數甲. 數乙. ＊＊＊. ＊＊＊. ＊. ＊＊＊. (2) 變異數與標準差. 1-3 獨立事件. (1) 獨立事件 (1) 重複試驗. 1-4 二項分佈 (2) 二項分佈、二項分佈的性質. 政治大 (2) 亂數表. (1) 抽樣方法：簡單隨機抽樣. 立. 1-5 抽樣與統計推論. ‧ 國. 學. (3) 常態分佈. (4) 信賴區間與信心水準的解讀. ‧ sit. y. Nat. 二、99 課綱中的「信賴區間」在選修數學甲、數學乙的差異. n. al. er. io. 筆者此次研究的主題「信賴區間」在 99 課綱的高中數學課程當中，是擺在選修數. i n U. v. 學上冊（高三上學期），但雖然數學甲、數學乙皆有「信賴區間」此課程的內容規劃，. Ch. engchi. 但是在參閱了《99 課綱指定科目考試數學甲、乙考科命題方向》後，便可明顯得知道其規劃的主體架構雖然大致相同，但在數學甲與數學乙的在指定科目考試上的命題重點則是不盡相同。對於「信賴區間及信心水準的解讀」的這個單元，數學甲屬於一顆星「＊」：為不在該考科的直接命題範圍內，但試題有多種解法時，若用此章節的概念或技巧解題，仍可得分。也就是說，雖然該課程在實際教學上會進行授課，但自然組學生在指考甲的考題中，事實上是不必特地去處理「信賴區間及信心水準的解讀」的，勢必也就影響了學生的準備考試上的讀書選擇，而在考試領導教學時，教學上面可能也就會避重就輕的簡略帶過，對於自然組學生在此單元的學習上便可能有所忽略了。對於社會組學生而言，此單元在命題上屬三顆星「＊＊＊」的重點命題，也就是 8.

(23) 在指定考試科目上數學乙的命題上，「信賴區間」的命題是社會組考題中的主要解題概念。也就因此對於高三學生而言，在「信賴區間」這個單元的學習取捨上，自然組學生與社會組學生就有非常大的差異了。. 本節對於高中數學 95 課綱與 99 課綱中機率與統計的課程規劃，以及 99 課綱中數學甲與數學乙的命題重點做了些討論，對於筆者本次研究中在對應現行課綱的規劃下，針對已經學習過「信賴區間」課程的高三學生，以及尚未學習過「信賴區間」課程的高二學生，參考現行高中數學各版本（龍騰版、翰林版、康熹版、南一版）的課. 治政大續性的課程內容，從先備知識到「信賴區間」的主題內容皆能有完整的呈現。立. 本及教師手冊，設計一套專題研究授課的課程教材，企圖能夠以一整個比較完備且延. ‧ 國. 學. 下節 2.2 便針對本研究設計的課程教材規劃探討說明之。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 9. i n U. v.

(24) 2.2. 本研究課程教材的規劃. 一、課程教材名稱：「解讀民調：信賴區間的解讀」信賴區間的解讀，就現行高中生而言，最基本的就是用於解讀新聞媒體或報章雜誌上的民調資訊。往往在選舉或者是重大議題上，皆有媒體進行民調，或許有些學生曾經會好奇這些民調數據或資訊的取得來源或方法，因此這份教材的名稱開門見山就告知學生教材的主旨就是要讓你學會民調資訊的基本解讀。為了讓解讀民調更為親近學生的記憶，於是我們在教材封面上提供一則遠見民調. 治政大見網路此則民調的出處，讓學生能夠上網去獲得更多關於這個民調的細部資訊。立. 中心的一篇民調資訊，並於課程結束後重新請學生解讀這則民調。此外我們也提供遠. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. n. a. l C 二、課程教材的規劃與簡介. hengchi. i n U. v. 本研究的教材依據 99 課綱的數學課程作為規劃，唯因以專題方式介紹此「信賴區間」的單元，由於（高二）學生已有的先備知識中，在統計上僅有平均數與標準差的一維數據統計分析概念，在機率上則僅有古典機率及其延伸出的獨立事件，因此在建構教材時為須顧及學生的學習狀況，從隨機談起後，將高一數據分析中的平均數與標準差和此次的期望值、變異數與標準差做連結，使其感受較能貼近。為了希望學生們對於期望值這個數學概念有較貼切的平實感，並且與平均數做出區分，因此並沒有做太多機率上的期望值計算，多為建構價值觀念，並由生活上的實例去做結合，例如統一發票的期望值的計算（學生沒有親自做計算，只是直接呈現計算流程），似乎反而能夠更深刻得到期望值數學上的概念。 10.

(25) 至於二項分佈與常態分佈這兩種主要機率模型的介紹，除了重新建構基礎概念外，也針對此兩種機率模型是做一些必要性的計算及演練，但因本研究的主題為「信賴區間」，所以對於此二個屬於「信賴區間」先備知識的機率模型而言，在此也不會做過多偏頗的題目練習，僅強調能知曉性質並使用公式即可，藉由瞭解這兩種機率模型的大致概念下，再利用圖形的呈現來解讀表達出離散型與連續型的不同機率模型概念，並在此多些強調與區隔。而建構信賴區間之前，最基礎的理論基礎為大數法則與中央極限定理，這個部分在一般高中教科書或課本會避重就輕的帶過，但在此份課程教材中則是稍有著墨，雖. 治政大程，以圖形呈現出感受，作為兩個理論的解讀，雖然仍然會有些許抽象，但相對而言，立然並沒有深刻介紹其理論，但對其主要理論的概念及取樣過程，利用實際取樣解釋流. 學生們應該已能稍微知道這兩個理論的架構。. ‧ 國. 學. 當具備了大數法則與中央極限定理的理論基礎後，接著則討論如何將離散型的二. ‧. 項分佈與連續型的常態分佈做近似的結合。這個近似的過程，在一般教科書中似乎有些過於理所當然，而在此份教材當中，則分成兩個角度去陳述，一個是理論型的數學. y. Nat. er. io. sit. 式子上的近似推導過程，另一個則是以圖形來解讀這個近似的過程。通常以圖形來呈現的近似過程，普遍是可以得到更強烈的感受外，因此也對於圖形的近似過程做出更. al. n. v i n 細部的說明與討論，便不同於目前教科書中較為簡易的陳述方式。 Ch engchi U 最後，進入本次課程的主題「信賴區間」。在具備了前面七章的先備知識建構下，信賴區間才能更為順遂的解讀。而信賴區間在高中數學教科書內，普遍著重於計算，而此份課程教材中除了強調公式的解讀與計算外，也加深了更多信賴區間中概念性意涵的傳達，並且根據各個可能影響信賴區間的因素做出討論與比較，這是一般教科書上面比較少的討論。此外也在課程教材中針對實務面來討論實際進行民調時，其抽樣人數的估算，以避免將信賴區間流於公式的使用而已。在整個課程內容結束後，實際執行投擲硬幣的試驗活動，除了學生可已直接親自使用公式計算出信賴區間，更可以藉此討論信賴區間與信心水準的真實理論下的實行。根據課程教材的章節規劃、頁數篇幅，以及預計授課時數，表列於下表 2.2.1。 11.

(26) 表 2.2.1 本研究課程教材的章節規劃表章節名稱. 頁數篇幅. 預計授課時數. 1 隨機變數 3頁 1.1 隨機現象. 0.5 小時（第 1 頁至第 3 頁）. 1.2 隨機變數的機率分佈 2 期望值、期望值、變異數與標準差 2.1 期望值. 7頁 1 小時. 2.2 變異數與標準差. （第 4 頁至第 10 頁）. 政治大. 2.3 期望值與變異數的性質（選讀）. 立. 3.2. 二項分佈的期望值與變異數. 3.3. 二項分佈的機率分佈圖. sit. 5頁. 常態分佈的機率模型及其性質. al. n. 標準常態分佈. 1 小時. （第 19 頁至第 23 頁）. er. io. 4.2. ‧. 4.1. 1 小時. （第 11 頁至第 18 頁）. Nat. 4 常態分佈常態分佈. 8頁. ‧ 國. 二項分佈的機率模型. 學. 3.1. y. 3 二項分佈二項分佈. 5 大數法則與中央極限定理. Ch. 5.1 大數法則. engchi. i n U. v. 5頁. （第 24 頁至第 29 頁） 5.2 中央極限定理 1.5 小時 6 二項分佈二項分佈近似常態分佈近似常態分佈 6頁 6.1 二項分佈近似常態分佈（第 30 頁至第 37 頁） 6.2 二項分佈近似常態分佈的圖形解讀 7 信賴區間的解讀信賴區間的解讀 12 頁 7.1 信賴區間與信心水準. 2 小時（第 38 頁至第 49 頁）. 7.2 抽樣樣本數的估算合計 12. 49 頁（不含封面）. 7 小時.

(27) 三、課程教材特色（一）課程教材具延續性及完備性。這是一份完整的教材，從最基本的先備知識開始慢慢建構，且對於先備知識中的內容僅介紹需求性的部分，不做刁鑽的例題演練。由各個章節依序研讀並連結，基本上可以得到一個具完備性的數學架構。但這也並不會是一份非常簡易的教材，雖然教材內容的文字敘述已經力求白話、簡潔，畢竟這個主題「信賴區間」的先備知識與理論基礎是具有數學性的，因此若要教材內容能夠適應所有學生，恐怕還是會有些難度存在。. 政治大除正常的課程理論之外，課程教材中亦著重概念的澄清，因此會有文字篇立. （二）課程教材強調概念的理解，並提供適當範例演練。. ‧ 國. （三）課程教材利用圖形呈現來解讀數學理論。. 學. 幅來解釋數學背後的意涵，以及圖形呈現背後的一些概念上的解讀。. ‧. 圖形的呈現對於學習者而言是比較有記憶點的，因此對於複雜的數學式子. sit. y. Nat. 皆盡量簡要陳述或選讀。在一些理論過程的比較時，採用圖形上的比較，更能. io. er. 容易明白其間的差異性。並於圖形呈現後再加入文字的敘述，以簡化探討理論. al. n. v i n Ch （四）課程教材內容也提供自行選讀內容，可依照需求性研讀。 engchi U 過程的繁複。. 因為本課程教材著重概念性的理解，因此對於絕大多數的證明過程，皆不強調，但為保持數學的嚴謹性仍於教材內提供證明過程，唯以虛框標示出來，表示此範圍為選讀內容，由學習者依照個人學習需求進行選讀。至於部分非本研究主要探討內容的範例演練，亦以同樣方式處理，避免離題過遠。. 此份課程教材雖設計為專題形式，因此教材內容並非全然簡易，但筆者盡力以白話且仔細的解釋，力求能夠清楚明白。現針對課程教材中的部分內容於 2.3 節內進一步做說明。. 13.

(28) 2.3. 本研究課程教材內容的重點討論編撰課程教材的時候，參酌了各版本的教科書與教師手冊，以課綱為規劃基礎，. 進而延伸理論基礎，並詳加細說，其完整內容請見附錄一。以下僅針對本研究課程教材比較不同於教科書的呈現方式或內容的部分，簡要的分成幾個主題敘述如下。. 一、大數法則（一）以實際例子來感受大數法則（以及期望值）投擲一枚公正的硬幣，我們可以知道其出現正面的理論機率值為 0.5。但在. 治政大定恰巧一定 5 正 5 反，那我們還可以宣稱這枚硬幣是公正的硬幣嗎？立. 做實際投擲試驗的時候，投擲 2 次，不一定剛好 1 正 1 反；投擲 10 次，也不一. 在十八世紀法國科學家 Buffon 做投擲硬幣試驗，他投擲了 4040 次，其中. ‧ 國. 學. 正面出現了 2048 次，即出現正面的相對頻率（次數）為. 1048 ≈ 0.5069 ；英國 4040. ‧. 統計學家 Karl Pearson 也做硬幣試驗，投擲 12000 次，得 6019 次正面，即出現 6019 ≈ 0.5016 ；他繼續做另一次試驗，在 24000 12000. io. sit. y. Nat. 正面的相對頻率（次數）為. er. 次中得 12012 次正面，其即出現正面的相對頻率（次數）為. al. 12012 ≈ 0.5005 。 24000. n. v i n 我們可以由上述的實驗發現：當我們投擲的次數越多次，則硬幣出現正面 Ch engchi U 的機率就會越接近期望值 0.5，這就是所謂的大數法則。（二）以組圖的圖形呈現大數法則將上述投擲公正銅板的問題，依不同的投擲次數 n，呈現在組圖 2.3.1 的六個圖形當中，當投擲硬幣的次數 n 愈大，則其成功比例 X 愈聚集在 p = 0.5 的附近。甚至當 n = 10000 時，機率直方圖已經呈現針狀聚集在 p = 0.5 附近。這便也可以感受到大數量 n 的大數法則。. 14.

(29) n=10，，p=0.5. n=100，，p=0.5. n=50，，p=0.5. 0.3. 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0. 0.12. 0.25. 0.1. 0.2. 0.08. 0.15. 0.06. 0.1. 0.04. 0.05. 0.02. 0. 0 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0. 0.1. 0.2. n=500，，p=0.5. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 0. 1. 0.035. 0.025 0.02. 0.02. 0.015. 0.015. 0.01. 0.01 0.005. 0.005 0. 0 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0. 0.03 0.025. 0.3. n=10000，，p=0.5. 0.03. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 圖 2.3.1 不同參數 n 的二項分佈機率圖而且透過圖 2.3.1 的六個圖形來說明投擲公正銅板的情況，除了可以更清楚. 政治大. 呈現大數法則的原理，而透過講解圖形橫軸的改變，即橫軸原本是成功次數 X，. 立. 在此圖組中的橫軸已為成功比例 X =. X ，其中 n 為投擲次數。從圖形的橫軸改 n. 學. ‧ 國. 變也可稍稍陳述大數法則本身的定理敘述。. ‧. 【大數法則】. y. Nat. sit. 設 X1 、 X 2 、…、 X n 為隨機變數。如果 X1 、 X 2 、…、 X n 彼此互相獨立，. io. 並且它們有相同的機率密度函數，則我們稱這些隨機變數是獨立且來自相. er. 0.1. 0.2. n=1000，，p=0.5. 0.04. 0. 0.1. n. al. i n U. v. 同分佈。現假設隨機變數 X1 、 X 2 、…、 X n 是獨立且來自相同分佈的隨機. Ch. engchi. n. 變數，且其期望值 µ = E ( X ) 存在。令 S n = ∑ X k 是所有 X k 的和，則當 n 足 k =1. 夠大時，平均值 X =. Sn 會接近於期望值 µ。 n. 因此，在二項分佈的機率模型假定之下，假設每一次試驗成功之機率為 p （即期望值），且試驗與試驗之間相互獨立。現重複該試驗 n 次，若 n 次試驗中 n. 有 k 次成功（ k = S n = ∑ X k ， X k = 1 或 0，其中 1 表示成功，0 表示失敗），則 k =1. k k 事件成功的相對頻率 X = ，那麼在 n 足夠大時，這個相對頻率 X = 就趨近於 n n. 期望值 p 。 15.

(30) 二、中央極限定理（一）利用組圖的圖形呈現結合大數法則與中央極限定理事實上，在上圖 2.3.1 中的六個機率直方圖裡，其實六個圖形的縱軸刻度單位是不相同。若將其刻度調成一樣，如下圖 2.3.2 縱軸最高機率值皆調整為 0.3。 n=10，，p=0.5. n=50，，p=0.5. n=100，，p=0.5. 0.3. 0.3. 0.3. 0.25. 0.25. 0.25. 0.2. 0.2. 0.2. 0.15. 0.15. 0.15. 0.1. 0.1. 0.1. 0.05. 0.05. 0.05. 0. 0 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 0. 1. 0. 0.1. 0.2. n=500，，p=0.5. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0.3. 0.25. 0.25. 0.2. 0.2. 0.15. 0.15 0.1. 0.05. 0 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1. 0 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 學. ‧ 國. 0.3. 0.3. 0.05. 0. 0.2. 0.2. n=10000，，p=0.5. 政治大. 立. 0.1 0.05. 圖 2.3.2 不同參數 n 的二項分佈機率圖（調整縱軸最高刻度為 0.3）. ‧. 這六個圖形隨著 n 愈來愈大，機率直方圖高度愈來愈小，如在 n = 10000 時，. Nat. y. 0.1. 0.1. n=1000，，p=0.5. 0.3. 0. 0. 甚至快變成一個點了。這是因為投擲次數 n 愈大時，得到橫軸的成功比例 X 的. io. 取值也愈來愈多，且此時每個取值 X =. al. sit. 0.1. X 的機率值也都近乎 0（或極低）。 n. er. 0. n. v i n C hn 的增加而愈來愈小，若能想像將圖形局部放大，這圖 2.3.2 中的圖形隨著 engchi U. 六個圖形便能隱隱約約的感受到其長相似乎跟鐘形的對稱分佈非常相似。前述現象透過文字敘述便能得出中央極限定理，而這個愈來愈小的圖形，藉由標準. 化的過程來達到局部放大的目的，便也是中央極限定理比較精確的定理內容了。. 【中央極限定理】當從平均數為 µ ，標準差為 σ 的母體中，隨機地抽取 n 個獨立樣本 X1、 X 2 、. ⋯ 、 X n ，當樣本數樣本數 n 夠大時，其樣本平均 X = 均數 µ ，再除以標準差. σ n. X1 + X 2 + ⋯ + X n 減掉母體平 n. 後的機率分佈，將會趨近一平均數為 0 ，標準差. 為 1 的標準常態分佈 N ( 0 , 1 ) 。 16.

(31) （二）以流程圖與文字敘述解讀中央極限定理中央極限定理對於高中生（甚至大學生）而言仍可能過於抽象。因此我們進一步使用抽樣的流程圖 2.3.3 和圖 2.3.4 來做解讀及說明，並搭配已知數值來解釋中央極限定理的形成過程。. 第 1 次抽樣：抽取 n 個樣本，得其樣本平均數 X 1. 母體資訊母體資訊. 第 2 次抽樣：抽取 n 個樣本，得其樣本平均數 X 2. 母體數量為 N 個母體平均數為 µ. ⋮. 母體標準差為 σ. 立. 治政大第 i 次抽樣： X 次抽樣：抽取 n 個樣本，得其樣本平均數. i. X1. 母體分佈. 樣本 X 的抽樣分佈近似常態分佈. X2. n. al. er. io. sit. y. Nat. 連續或離散型？對稱或不對稱？右偏或左偏？單峰或多峰？. ‧. ‧ 國. 學. 圖 2.3.3 中央極限定理抽樣流程圖（一）. ⋮. Ch Xi. engchi. i n U. v. 圖 2.3.4 中央極限定理抽樣流程圖（二）中央極限定理可以說明如下：若自某母體做隨機抽樣，第 1 次抽樣抽取. n = 50 個樣本數，即抽取出 X1 、 X 2 、… 、 X 50 ，得第 1 個樣本平均數 X1 =. X 1 + X 2 + ⋯ + X 50 ，再將這 50 個樣本放回。若我們重複這樣的抽樣過程 50. i = 10000 次，便可得到 X 1 、 X 2 、⋯ 、 X 10000 ，利用這 10000 個樣本平均數可. 畫出 X 的機率直方圖，此即隨機變數 X 的抽樣分佈。. 17.

(32) （三）統整中央極限定理的結論中央極限定理是統計學的基本定理，它的主旨在於說明樣本平均數的分佈訊息。當抽取的樣本數 n 很大時，不管原來母體是什麼分佈，也不管母體資料是連續型或離散型、是對稱或不對稱、是右偏或左偏，甚至是單峰或多峰都無所謂，只要樣本數 n 足夠大，則樣本平均數 X 相對次數直方圖（ X 的抽樣分佈）會近似常態分佈，其中這個抽樣分佈 X 的平均數與原母體平均數相同，都是. σ. µ ；但 X 的標準差則與原母體的標準差 σ 不同，變成. 。. n. 因此，我們將隨機變數 X 的抽樣分佈，整理出以下的幾點性質：. 政治大. 1. X 的平均數與原母體平均數相同，即 X 的期望值為 µ 。. 立，與原母體的標準差 σ 不同。. σ. n. 學. ‧ 國. 2. X 的標準差為. 3. X 的抽樣分佈會近似鐘形的常態分佈，即 X ~ N ( µ ,. X −µ. Nat. n. n. al. σ. 會愈小，則 X 會愈聚集在平均數 µ. er. io. 5. 抽樣的樣本數 n 愈大，則 X 的標準差. ~ N ( 0 ,1 ) 。. sit. n. )。. y. σ. n. ‧. 4. 若將 X 標準化後，會近似標準常態分佈，即. σ2. i n U. v. 附近，即有愈多比例的 X 會集中在平均數 µ 附近。. Ch. engchi. 6. 中央極限定理告訴我們不管母體分佈的狀態如何，只要 n 夠大，其抽樣分佈會近似常態。只是若母體分佈愈接近鐘形，則所需樣本數 n 較少，反之，母體分佈本身即很不對稱時，那麼所需的抽樣樣本數 n 愈多。. 三、二項分佈近似常態分佈的過程（一）數學性的式子的推導，輔以文字敘述說明對於只有成功和失敗二類的伯努利試驗而言，假定成功機率是 p，則每次試驗獲得成功的期望值為 p ，標準差為 p(1 − p) 。中央極限定理告訴我們，若重複進行 n 次試驗，當試驗數 n 夠大時，樣本成功比率的分佈會趨近於平均數 18.

(33) p (1 − p ). E ( X ) = p 及標準差為 σ ( X ) =. n. 的常態分佈。. 而上述隨機抽取 n 個樣本的情況，基本上可以視同重複做伯努利試驗 n 次，因此當 n 夠大時，隨機變數（亦即成功比例） X = 常態分佈；經標準化. X 的機率分佈會近似於 n. X−p 後，便會近似於標準常態分佈 N ( 0 , 1 ) ，即 p (1 − p) n. X−p ~ N ( 0 , 1 ) ，因此，可以繼續將其推衍得 p(1 − p ) n. 立. X −p X − np n = ～N ( 0 , 1 ) p (1 − p ) np (1 − p ) n. 政治大. X−p = p (1 − p ) n. ‧ 國. 學. 也就是就成功機率為 p 的伯努利試驗重複 n 次獨立試驗，隨機變數 X 為成功次數的二項分佈，當 n 足夠大時，此二項分佈將會近似於平均數 µ = np ，樣. ‧. 本標準差為 σ ( X ) = np(1 − p) 的常態分佈。而當 n 足夠大時，將二項分佈隨機. y. Nat. sit. 變數 X 標準化後，就會近似標準常態分佈 N ( 0 , 1 ) ，這便是中央極限定理中比. n. al. er. io. 較完備的敘述與使用。接著，便統整上述推導出來的成功次數 X 與成功比例 Y. i n U. v. 兩種與二項分佈有關的隨機變數，並陳述其機率分佈近似常態分佈的性質：. Ch. engchi. 【成功「次數次數 X」的二項分佈與常態分佈】在參數是 ( n , p ) 的二項分佈中（即重複進行成功機率為 p 的伯努利試驗 n 次），若以隨機變數 X 表示成功的次數，則（1） X 的期望值 E ( X ) = np 。（2） X 的標準差 σ ( X ) = np(1 − p) 。（3）當 n 足夠大時，將 X 標準化後會近似標準常態分佈，即. X − np ～N ( 0 , 1 ) 。 np(1 − p ). 19.

(34) 【成功「比例比例 Y =. X 」的二項分佈與常態分佈】 n X 表示成功的比率，則 n. 對於參數是 ( n , p ) 的二項分佈，以隨機變數 Y = （1） Y 的期望值 E (Y ) = p 。（2） Y 的標準差 σ (Y ) =. p(1 − p) 。 n. （3）當 n 足夠大時，將 Y 標準化後也會近似標準常態分佈，即. Y−p ～N ( 0 ,1 ) 。 p(1 − p) n. 政治大（二）以圖形解讀二項分佈近似常態分佈立. ‧ 國. 學. 事實上，中央極限定理的主要概念是陳述抽樣分佈在標準化以後將會近似標準常態分佈 N ( 0 , 1 ) 。而與二項分佈相關聯的隨機變數不論是成功次數 X 或. ‧. 成功比率 Y，當 n 很大時皆會近似常態分佈；將它們標準化為 Z 後，則會近似. sit. y. Nat. 標準常態分佈。. er. io. 故將圖形進行標準化的動作，也就是將圖 2.3.2 的六個圖形標準化後，便可. al. v. n. 以得到圖 2.3.5，另標註上標準常態分佈曲線。從組圖得知，當 n 愈大時，其標. Ch. engchi. i n U. 準化 Z 的機率直方圖，確實愈來愈近似標準常態分佈曲線。 n=10，，p=0.5. n=50，，p=0.5. n=100，，p=0.5. 0.5. 0.5. 0.5 0.3979. 0.3970. 0.3891 0.4. 0.4. 0.4. 0.3. 0.3. 0.3. 0.2. 0.2. 0.2. 0.1. 0.1. 0.1. 0. 0 -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. 0 -4. -3. -2. n=500，，p=0.5. -1. 0. 1. 2. 3. 4. -4. 0.3987. 0.3988 0.4. 0.3. 0.3. 0.2. 0.2. 0.2. 0.1. 0.1. 0.1. 0. 0 0. 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. 2. 3. 4. 0.3989. 0.4. 0.3. -1. 0. 0.5. 0.4. -2. -1. n=10000，，p=0.5. 0.5. -3. -2. n=1000，，p=0.5. 0.5. -4. -3. 0 -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. -4. -3. -2. 圖 2.3.5 二項分佈標準化後近似標準常態分佈. 20. -1. 0. 1.

(35) 四、關於二項分佈近似常態分佈的標準化過程一般教科書中因為圖形的呈現能夠快速並且簡潔的理解各理論的概念，因此多半都會採用圖示法的方式來說明中央極限定理的概念，然而對圖形本身並沒有進行確切的討論。事實上，筆者在設計教材的過程中，也對於此部分內容有些困擾，因此覺得既然以專題的方式呈現此部分，便也就把這些內容講得更清楚了。以下對於圖形標準化的過程作以下的探討。. （一）以隨機變數的取值討論 1. 已知二項分配 X 的取值有 0、1、 ⋯ 、n，共 n + 1 個，則圖 2.3.1 與圖 2.3.2 中的 Y =. 政治大. X 1 便也有 0、、⋯ 、1，共 n + 1 個取值，且應平均分散在橫軸上。 n n. 立. 同理，當 Y 標準化後得 Z =. ‧ 國. 學. Y−p 亦應有 n + 1 個取值。可知若取值愈多， p(1 − p) n. 則長條的寬度會愈小（即愈細），故當 n = 10000 時其寬度已經細到無法呈現. ‧. 長條，每個長條在肉眼觀察下頂多僅能看到一條條的細線，甚至密集成一片. y. Nat. sit. 黑色區域而已了。. n. al. er. io. 2. 在圖 2.3.5 中，看起來好像每個圖形長得非常類似，其實忽略掉了圖形標準. i n U. v. 化以後的伸縮變化，因此橫軸已經不只是 0 到 1 之間了。也就是圖 2.3.5 中. Ch. engchi. 的六個圖形呈現範圍是固定在橫軸的 Z ∈ (−4, 4) ，對於標準化後的圖形，便只是局部呈現而已。而教科書上通常並不會加以解釋，容易形成誤解。 3. 現以 n = 100 為例， ZY =0 =. 0 − 0.5 = −10 ， ZY =1 = 0.5 × 0.5 100. 1 − 0.5 = 10 ，其標準 0.5 × 0.5 100. 化後的圖形全貌應如圖 2.3.6 所示。在 Z ∈ ( −10, −4) ∪ (4,10) 這個區域，仍有 Z 的取值存在，只是其出現的機率值極低罷了，但教科書上的圖形會忽略掉這些區域並未加以解釋，使得學生會以為所有標準化以後圖形皆為完全相同的，而常態分佈無限延伸的概念便也消弭掉了。. 21.

(36) n=100，，p=0.5 0.5 0.45. 0.3979. 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -10. -9. -8. -7. -6. -5. -4. -3. -2. -1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 圖 2.3.6 二項分佈的標準化後的圖形全貌（ n = 100 ）. （二）以機率的角度作討論 1. 由於二項分佈是一離散型的隨機變數，我們探討的是點的機率值；而常態分佈卻是一連續型的隨機變數，它的點是沒有機率值的，因此才需要藉由區間. 政治大以連續型的常態分佈來近似時，便必須以這些長條的區間面積來討論。例立內所對應的曲線下面積來定義其機率。現在中央極限定理將離散的二項分佈. 5. 8. n. 圖 2.3.7(a). 0.3266. 0.0027. 0.0163. 0.0659. 0.1793. 0.3989. 0.3266. e n g c h i 圖 2.3.7(b). n = 10 的隨機變數 X. y. 0.1793. sit. v. -3.16 -2.53 -1.90 -1.26 -0.63 0.00 0.63 1.26 1.90 2.53 3.16. i n U. 隨機變數 X. Ch. 0.0659. 10. 0.0163. 9. 0. 7. 0.0027. 0.0439. 0.1172. 0.2051. al 6. 0.1. er. 4. 0.2. 0.0010. 3. 0.3. 0.0098. 2. 0.2461. ‧ 國. 1. 0.0439. 0.0098. 0. 0. io. 0.0010. 0.1. 0.4. Nat. 0.2. 0.2051. 0.3. 0.5. ‧. 0.4. 0.1172. 0.5. 學. 如：以 n = 10 的標準化前 X 與標準化後 Z 的圖形來說明。. 隨機變數 Z. n = 10 的隨機變數 Z. （1）圖 2.3.7(a) 中隨機變數 X 的以離散型方式計算其機率總和： 0.0010+0.0098+0.0439+0.1172+0.2051+0.2461+0.2051+0.1172+0.0439+0 .0098+0.0010=1.0001，而隨機變數的各取值的機率總和應維持為 1，此處總和 1.0001，其實是因為取四位小數的近似值，在四捨五入後所產生的些微誤差，所以總和應仍為 1 沒有問題。（2）而圖 2.3.7(b)中隨機變數 Z 所對應的長條分別來自隨機變數 X，而隨機變數 Z 各取值的標準常態分佈機率值（即圖上標準常態曲線上 22. ◆. 的機.

(37) 率值）與長條的高度是很接近，現若以標準常態分佈曲線上各取值的機率，以離散型方式計算其總和為 0.0027+0.0163+0.0659+0.1793+0.3266+0.3989+0.3266+0.1793+0.0659+ 0.0163+0.0027=1.5805 此處的 1.5805，究竟又是出了什麼問題？便是可以深入探討的問題。 2. 事實上，因 X 本身為離散型隨機變數，直接做機率的加總是不會有問題的。而隨機變數 Z 為近似連續型的標準常態分佈，對於單一的點機率值是無意. X i − 10 × 0.5. 義的，也就是 P( Z i ) = P(. 10 × 0.5 × (1 − 0.5). ) ≠ f ( Z i ) ，其中 f 為標準常態分配. 政治大 3. 因此，以連續型的常態分佈區間面積表示其機率作以下討論：立. 的機率密度函數，因此將 f ( Zi ) 視為 P( Zi ) 並直接做加總當然會出問題。. ‧ 國. 學. （1）已知 X 為離散型的隨機變數，其實可以令其每個長條的區間寬度為 1，則其各長條的面積便可表示其各取值的機率，因此總機率為所有長條. ‧. 的面積的加總，其值為 1。. sit. y. Nat. （2）現假設離散型的二項隨機變數 X = k 時其機率值為 P ( X = k )，則每一個. n. al. er. io. 長條的上界為 X 上界 = k + 0.5 ，下界為 X 下界 = k − 0.5 ，其中 k 為隨機變. i n U. v. 數為二項分佈的成功次數，故區間寬度為 1，因此，這個長條內區間面. Ch. engchi. 積為 P ( k − 0.5 ≤ X ≤ k + 0.5) = P ( X = k ) × 1 。（3）若將 X 上界與 X 下界經標準化 Z = Z 下界 =. ( k − 0.5) − µ. σ. Z 上界 − Z 下界 =. X −µ. σ. 後，得 Z 上界 =. ( k + 0.5) − µ. σ. ，. ，所得標準化 Z 後的每個長條的區間寬度變為. ( X + 0.5) − µ. σ. −. ( X − 0.5) − µ. σ. =. 1. σ. =. 1 。 np(1 − p). （4）因為離散型的隨機變數標準化的前、後其機率值是不會改變的，也就是長條的區間面積是不會改變的，即每個長條的區間面積 P ( Z 下界 ≤ Z ≤ Z 上界 ) = P ( k − 0.5 ≤ X ≤ k + 0.5) = P ( X = k ) 。. （5）又承（3），標準化後長條的區間寬度改變，因此，其區間高度將變為 23.

(38) P( X = k ) = np(1 − p) ⋅ P( X = k ) ，便不會是近似的 1 np(1 − p). 長條區間面積 = 寬度. 常態分佈所對應的機率值了。 4. 以下我們用 n = 10 來具體的說明上述一般化的情形描述，可能較易理解。 0.5. 寬度為 0.63246 0.4. 高度為 0.3891. 面積為 0.2461. 0.3. 0.2. 0.1. 政治大 0. -3.16 -2.53 -1.90 -1.26 -0.63 0.00 0.63 1.26 1.90 2.53 3.16. 立. n = 10 的隨機變數 X. 圖 2.3.8(b) n = 10 的隨機變數 Z. 學. ‧ 國. 圖 2.3.8(a). （1）在圖 2.3.8 (a)中， P ( X = 5) = P (4.5 ≤ X ≤ 5.5) = 0.2461 ，即以寬度為 1. ‧. （ = 5.5 − 4.5 ），高度為 0.2461 的區間面積為 0.2461 。當 X 以. σ. ≤. 5.5 − µ. σ. ，即 −0.31623 ≤ Z ≤ 0.31623 。. n. al. X −µ. sit. σ. ≤. er. 4.5 − µ. io. 應區間為. y. Nat. µ = 10 × 0.5，σ = 10 × 0.5 × (1 − 0.5) 的標準化後，得到圖 2.3.8(b)中的對. i n U. v. （2）因此圖 2.3.8(b)的區間寬度變為 0.31623 − (−0.31623) = 0.63246 ，但離散. Ch. engchi. 形的長條標準化過程是不會改變機率值（區間面積），也就是保持 P ( −0.31623 ≤ Z ≤ 0.31623) = P (4.5 ≤ X ≤ 5.5) = 0.2461 ，故圖 2.3.8(b)中. 的對應長條的區間高度應變為. 0.2461 ≈ 0.3891 。 0.63246. （3）而此值 0.3891 與圖 2.3.8 (b)中常態分佈曲線的對應高度大致相當（實際上，在標準常態分佈的情況下， Z = 0 所對應的密度函數值為 0.3989；而由圖知，在 Z = 0 時曲線高度確實比長條高度是高些的）。 5. 透過上述的過程說明，便能解釋在標準化過後，何以其二項分佈的直方圖的總面積總和仍能保持為 1，也等同於其近似的標準常態分佈曲線下的面積。（實際上，若將先前利用 f ( Zi ) 加總所得到的總和 1.5805 乘以 24.

(39) 0.63246 =. 1 1 = ，便可以得到 0.9996，這基本上就等同 np(1 − p) 10 ⋅ 0.5 ⋅ 0.5. 於 1 了）在此以 n = 10 做說明所得機率總和便滿接近 1 了，若 n 愈大，則近似的效果便會愈發明顯（而將標準常態分佈曲線同時畫在標準化後的二項分佈機率直方圖上也是可以得到這樣的感受，即圖 2.3.5）。. 四、信賴區間與信心水準的解讀若對於中央極限定理與二項分佈近似常態分佈的過程能夠有比較清楚的了解，那在信賴區間的解讀上便會相對容易了。但信心水準卻總是會與機率的概念混淆，因此，. 治政大較特別的是藉由透過實際投擲硬幣的實驗過程來作信賴區間的計算與信心水準的解讀立課程教材當中對於許多概念性上的解讀也都會特別提出來。至於這部分的課程設計比. 與比較。. ‧ 國. 學. 實驗設計的目的是除了可以讓學生真實的直接使用信賴區間公式作為練習，並當. ‧. 下能夠檢驗答案是否正確，等於直接確認學生是否能夠學會信賴區間的程序性解題。而在食記實驗的投擲體驗過程中，確實可以增加記憶點，並且能夠藉由實體數字演練，. y. Nat. er. io. sit. 以及體會每個人投擲（每次投擲）的結果均有可能不同，並且討論信心水準並非一種機率的概念，這對於解釋不同信心水準的意義，以及不同信心水準所得到的信賴區間. n. al. Ch. 的寬度，都能夠馬上獲得相當大的體悟。. engchi. i n U. 關於投擲硬幣 25 次的實驗流程，以下圖 2.3.9 呈現。. 25. v.

(40) 每個人實際投擲一枚硬幣 25 次. 實際計算出現正面的次數. A 生投擲 25 次中得 10 次正面. 換算成出現正面的成功比例. 出現正面的比例為 0.4. 動筆計算 95%的信賴區間. 95%的信賴區間為 [ 0.204 , 0.596 ]. 提供投擲 25 次硬幣的一個 95%信賴區間. 政治A 生的信賴區間包含 0.5 大. 是否包含正面機率期望值 0.5. 立. ‧ 國. 學. 統計所有包含 0.5 的人數. Nat. y. ‧. 計算包含到 0.5 的人數比率. n. er. io. al. sit. 解釋 95%信心水準的意思. i n U. v. 重新計算 68%的信賴區間，並比較 68%區間寬度與 95%的區間寬度. Ch. engchi. 統計包含 0.5 的人數計算其比率，比較 68%與 95%信心水準的實質意義圖 2.3.9 投擲硬幣試驗的流程圖. 26.

(41) 3 研究方法本章共分四節，第一節為研究對象，第二節為研究架構，第三節為研究設計與流程，第四節為資料分析；以此四個小節對於本研究之設計方法做出簡介與說明。. 3.1. 研究對象參與本研究對象為某國立女子高級中學學生，分成高二與高三學生各 34 人及 23. 人，其中高二自然組學生 21 人，社會組 13 人；高三自然組學生 12 人，社會組 11 人。將研究對象列表整理如下：. 政治大. 表 3.1.1 研究學生分類統計表. 立. 13. 12. 11. 33. 24. ‧ 國. 小計. 21. 小計. ‧. 高三. 社會組. 學. 高二. 自然組. 34 23. Nat. sit. y. 57. n. al. er. io. 本研究中的高二、高三學生來源皆屬自願參與本研究者。高二學生為現任授課班. i n U. v. 級中的自然組和社會組各一班的學生，採學生自願參加；而高三學生則為其高一時期. Ch. engchi. 由筆者所任教之授課班級學生。本次主要授課時程為五月底至六月初，為不影響高三指考學生，由已錄取大學之學生自願參加。也因學生採自願性參加本次研究，因此結論僅作來筆者參考之用，並無法推論至本校學生，甚至全國學生。而對於高中數學課綱，本次研究主題「信賴區間」這個單元規劃於高三上學期的選修課程內，因此，對於高二學生而言是尚未學習過的課程內容，而高三學生則是已經學習過所有課綱內規劃的「信賴區間」課程相關內容。茲將進行前測及課程授課之前，研究對象中高二學生及高三學生的學習狀態，列表陳述於下表 3-1.3。. 27.

(42) 表 3.1.2 研究學生前測前學習狀態說明表年級. 組別. 人數. 研究對象狀態說明 1. 自願參加。 2. 現任導師班及任課班學生。. 自然組. 21 3. 尚未學習過此研究之單元。 4. 提供課程教材自行研讀後進行前測。. 高二 1. 自願參加。 2. 現任任課班學生。社會組. 13. 自然組. 班或任課班學生。. y. 3. 已錄取大學之準大學生。. io. sit. 11. 4. 已學習過此研究之單元。. n. al. er. Nat. 社會組. 2. 非現任任課班學生，但為學生高一時期的導師. ‧. 高三. 12. 1. 自願參加。. 學. ‧ 國. 立. 3. 尚未學習過此研究之單元。政治大 4. 提供課程教材自行研讀後進行前測。. i n U. v. 對於這些自願參與這次研究的學生，首先筆者以學生高一、高二共四學期數學科. Ch. engchi. 成績作為此批學生教學前的數學學習成就概況，並將數學學習成就概況分為高分群、中分群、低分群；其中高分群為數學四學期平均 80 分（含）以上者，中分群為數學四學期平均 70 分（含）至 80 分（不含）者，低分群為數學四學期平均 70 分（不含）以下者。若以高中前四學期數學平均成績作為依據，則高二平均成績的高分群、中分群與低分群的學生依序有 7 人、16 人、11 人，而高三平均成績的高分群、中分群與低分群人數則依序有 6 人、9 人、8 人；若所有高二及高三學生合併後分為高分群、中分群、低分群，人數則依序有 13、25、19 人。茲將研究學生分群的資訊整理如下表 3-1.2。 28.

(43) 表 3.1.3 研究學生數學學習概況分群表研究學生. 高二. 高三小計. 分群類別. 自然組. 社會組. 自然組. 社會組. 高分群. 5. 2. 6. 0. 13. 中分群. 8. 8. 3. 6. 25. 低分群. 8. 3. 3. 5. 19. 小計. 21. 13. 12. 11. 57. 註：分群方法為研究對象高中四個學期的數學成績平均，高分群為平均 80 分以上，中分群為平均 70 至 80 分，低分群為平均 60 分以下。. 政治大從上表 3-1.2 中可看出來，僅高三社會組學生中成績高分群人數為 0 人，但高三社立. ‧ 國. 學. 會組的成績中分群人數稍多。因此，此研究之研究學生雖皆為自願參加，但對於數學科的學習成就而言，並沒有某一成績分群學生特別集中的狀況。. ‧. 現將高二學生與高三學生的四學期數學平均成績以成績次數分配直方圖、成績概. sit. y. Nat. 略分佈圖與盒狀圖呈現，如圖 3.1.1。而高二自然組與高二社會組的四學期數學平均成. io. n. al. er. 績以成績次數分配直方圖、成績概略分佈圖與盒狀圖呈現，如圖 3.1.2。. Ch. engchi. i n U. v. 圖 3.1.1 高二學生與高三學生成績相關分佈圖. 29.

(44) 政治大. 圖 3.1.2 高二自然組學生與高二社會組學生成績相關分佈圖. 立. 由圖 3.1.1 與圖 3.1.2 可以看出來高二學生與高三學生成績分佈差異性不大，而高. ‧ 國. 學. 二自然組與高二社會組學生的成績分佈大致而言其差異性不大，唯本次研究中高二社. ‧. 會組人數是相對少的。由圖形分佈看出研究學生的學前數學學習成就大致相同，也就是我們將視同二、三年級，以及高二自然組與社會組學生之數學學習狀況整體而言是. y. Nat. n. er. io. al. sit. 大致沒差異的前提，進行本研究的學習成效探討。. Ch. engchi. 30. i n U. v.

(45) 3.2. 研究架構本次研究對象為高二與高三兩個年級的學生，但因高中數學 99 課綱中，對於「信. 賴區間」這個單元是規劃在高三上學期的機率與統計（Ⅱ）的主題內，因此在本研究進行的時程裡，高二的學生尚未習得過此課程的內容，而高三學生則已經由學校授課習得。因此，於研究面上試圖比較高二與高三學生在學習成效上的異同，因此筆者設計編撰一套課程講義，由高二學生以自學的方式自我學習後，進行前測，並以評估自學課程教材的可行性。而本次研究的主要探討主軸是高中學生對於「信賴區間」單元的學習成就，因此. 政治大三學生進行測驗，並且對於測驗後進行相關統計檢定，以下針對相關的統計分析做分立. 由筆者設計前測與後測試題，分別對高二（其中高二學生尚分成自然組與社會組）、高. ‧ 國. 學. 項逐步說明：. 一、對於高三學生的進行前測成績分析。. ‧. 因高三已學習過相關的「信賴區間」內容，因此以前測成績作為高三學生對. sit. y. Nat. 於「信賴區間」這個單元的延宕測驗成績，判斷高三學生是否能夠吸收或內化信. io. er. 賴區間的內容。. al. v. n. 二、分別就高二學生與高三學生的其前、後測成績進行成對獨立樣本的統計檢定；以. i n C hengchi U 及高二與高三學生前、後測成績差異的統計檢定。. 高二學生與高三學生在筆者授課教學前與授課教學後，分別以他們前測與後測成績做成對樣本的統計推論，依據統計資料判斷他們學習成效是否能夠有所改變（進步），又這個改變（進步）的差異對於高二學生與高三學生是否相同。三、分別就高二自然組學生與高二社會組學生的其前、後測成績進行成對獨立樣本的統計檢定；以及高二自然組與社會組學生前、後測成績差異的統計檢定。高二自然組學生與高二社會組學生在筆者授課教學前與授課教學後，分別以他們前測與後測成績做成對樣本的統計推論，依據統計資料判斷他們學習成效是否能夠有所改變（進步），又這個改變（進步）的差異對於高二自然組學生與高二社會組學生是否相同。 31.