概念之分析

概念對於人類的生活十分重要，因為人們可以透過概念的形成簡化複雜的環 境，區別繁雜的事物，而減少經常學習的需要，可見概念是提供人類學習、解決 問題與進行推理思考的有效工具。在九年一貫課程綱要中也提到：數學領域課程 規劃除了希望學生能進行有意義的學習之外，在教學上也強調「數學教學著重學 生概念的了解與能力的培養，應避免強調零碎知識的記憶與背誦」（教育部，民 88），因為唯有理解基本的數學概念，學童才能有效的進行邏輯推理或證明，

奠定往後學習高階數學的基礎，因此學童隨著知識的理解而建構出數學概念是十 分重要（NCTM, 2000）。

壹、數學概念

以數學科學習而言，數學概念是學習數學的重要基礎，要先真正的了解數學 概念，才能確實理解數學知識，進而有效的學習數學。而「數學概念」的學習目 前也被視為是國小數學教育的重點之一，教育部八十二年修訂的國民小學數學課 程標準，將「養成主動從自己的經驗中，建構與理解數學的概念……。」列為總 目標的第一條(教育部國民小學課程標準編輯審查小組，民82)，由此可知數學概 念對數學學習的重要性。

數學概念具有二種特性，一是抽象：根據研究(林義雄、陳澤民譯，民74) 數 學概念一向是被公認是最抽象的。人們經常以在日常生活所接觸的實際經驗，依 據相似性與共通性，形成數、量、形等概念(教育部國民小學課程標準編輯審查小 組，民82)。二是前後連貫：一個數學概念往往是由某些概念抽象後再抽象而得，

是故假若其中一種概念無法了解，將無法進行相關概念的學習，所以概念之間也 必須前後能夠連貫。

數學概念的學習方式應由兒童自行建構，而不是由教師灌輸而得，在教學方 面，林碧珍(民74)提到教師可以蒐集相關的例子適時提出說明幫助兒童了解，教

育部國民小學課程標準編輯審查小組（民82）也在教學實施要點中強調應安排各 種功能不同的例子來呈現數學概念。除強調例子的提出之外，還有一種方式可引 起數學概念的學習，那就是讓兒童聽到、看到、或知覺到概念的名稱或符號(林義 雄、陳澤民譯，民74)。換言之，數學概念的教學過程就是讓學童能認識概念的來 源及意義，理解概念的性質及相互關係，並會運用概念解決問題的過程。

貳、過程概念 一、過程概念的意義

學者Gray（1999）認為數概念的形成起源於數數（counting）的活動，然後 利用數學符號來表示數數的過程（process）和數的概念（concept），進而形成 算術以及代數的概念。由此可見，數數在數概念的發展過程扮演關鍵性的角色。

以數數在發展數概念的角色而言，數數是過程，經由數數可獲得數概念。可見，

過程在建立數學概念有其重要的地位。Gray & Tall（1993）就曾提出「過程概念」

（process＋concept＝procept）的觀點，認為有些數學概念可經由操作程序而獲 得，例如經由「數數」的過程獲得「數」概念，經由「往上數」的過程，獲得「和」

（sum）的概念，經由連續「累加」的過程獲得「積」（product）的概念（Gray &

Tall, 1994）。這種經由操作程序而獲得的概念稱之為「過程概念（pro-cept）」。

將數學活動與過程概念的關係以圖 2-2 表示如下：

往上數活動 和概念

計數活動 數概念

圖 2－2 數學活動與過程概念的關係圖(取自劉祥通，2003) 連加活動 積概念

由操作程序可獲得概念，而操作程序又可以數學符號紀錄下來，因此過程概 念是由「過程」(process)、「概念」(concept)與「符號」(symbol)組成。例如：

「5+8」代表5與8兩數相加的過程，也代表兩數之和的概念，所以是個過程概念。

再舉一個因數的例子：「如果要將10支棒棒糖分給5位小朋友，每位小朋友得到的 棒棒糖要一樣多，請問每位小朋友可分得幾支？」，解題過程為：10÷5＝2…0，

如此看來，「因數」是可經整除的確認而得到的概念，所以它們也算是過程概念

（黃國勳、劉祥通，2003）。

二、過程概念的特性

過程概念具有三種特性：雙重性（duality）、模糊性（ambiguity）與彈性

（flexibility）等（Gray & Tall, 1994）。

（一）雙重性

算式「10÷5＝2…0」既代表10除以5的過程，也代表整除的概念，因此這個符 號所代表的是過程也是概念，這就是所謂的「雙重性」。

（二）模糊性

就這個算式「10÷5＝2…0」而言，它所代表的是過程也是概念，它的意義可 在過程與概念間游移，就看人類如何看待它而定，這就是所謂的「模糊性」。

（三）彈性

再以上述分棒棒糖的問題為例，算式「10÷5＝2…0」中既是倍數（被除數）

除以因數（除數）的過程，也代表著二數相除的結果（整除的概念），更包含著 因數與倍數的概念。過程概念完備的學童即能理解其中的關係，並且彈性的思考 與運用此一數概念。

過程概念因具備模糊性與雙重性，所以此種概念含有的隱藏性知識往往在教 學中被忽略（朱建正，1997）。以本研究所探討的因數概念為例，在20÷5＝4 的

整除算式中，除了 5 是 20 的因數，也隱藏著 4 是20 的因數，如果學童只記得 操作因數的程序（整數的乘除法）而無法彈性思考其中符號的關係，在20÷5＝4的 整除算式中，就不能發現算式中隱藏著4 也是20的因數之概念，在程序操作的過 程中就會產生複雜與困難的數學演算形式，導致學習的失敗。例如，找尋27 因數 的過程中，具備過程概念的學童能彈性思考：27÷3＝9 的整除算式中，3 能夠整 除27，所以3 是27的因數，也同時理解 9 也能整除27的概念，所以建構了3 和9 都 是27 的因數的概念，因此知道因數是配對出現的，可以減少了尋找因數過程繁雜 的程序。反之，如果缺乏過程概念的學童，因為無法理解9 也能整除27 的概念，

所以必須以27去除以所有的數，在操作了一長串繁複的除法程序之後，還往往發 生了漏掉後面較大因數的現象。這樣的過程，學童不僅學得辛苦，也經常是學習 的失敗者。由這個例子可以得知，具備周延的過程概念之學童才能發覺操作程序 過程中的隱藏性知識，換句話說，沒有具備隱藏性知識也就代表學童的過程概念 不夠周延。因此，隱藏性知識可以用來做為偵測學童是否具備過程概念的指標。

彈性思考是過程概念的一重要特性，不但能夠讓過程和概念在心中相互轉 換，也能夠掌握概念性知識中訊息與訊息之間的關係，而形成一個整體。可見彈 性思考對於概念性知識的學習是非常重要的。相對的，僵硬程序的思考則不同於 概念性知識的思考，僵硬程序的思考使得學童只獲得孤立、片段的訊息，因此無 法對訊息或符號產生關連性的理解。但又如前面所言：程序（procedure）是數學 概念發展的基礎。所以概念性知識雖然是一種複雜、不易獲得的知識，卻可透過 不斷的練習而獲得（Gray & Tall, 1994）。有些學童從定理的探討中，就可以獲 得概念；有些學童則需要多加練習才能獲得概念；但是有些學童雖然久經練習，

卻仍然無法獲得過程概念？這正如Gray & Tall（1994）所指出的：若概念承載太 多的程序，有些學童不能掌握就無法發展成過程概念，變成只是記憶過程的程序 而已。

三、過程概念的學習

Tall et al（2001）認為符號扮演著過程與概念的橋樑，讓人們可以將注意 力從計算或操作的過程轉換成實體的概念。也可以說，數學符號的使用，能夠喚 起過程或是概念。未具備過程概念的學童因為無法彈性思考符號的意義，因而不 知採取靈活有效的演算技巧，僅僅固守著「安全而熟悉」的方法，所以操作了許 多繁雜、困難的數學演算程序，導致學習的失敗。而具備過程概念的學童則能彈 性思考符號的意義，並且能將舊經驗應用於新知識的學習，靈活的運用新知識。

由此可見，符號在數學概念的學習佔有相當重要的地位。

James & Mason（1982）認為學童必須有豐富的經驗，才能理解符號的意義，

讓學童在缺乏背景經驗的情況下運用符號會發生許多的困難。也就是說，如果要 使學童理解且能彈性思考數學符號的意義，或更進一步有效率的操作數學符號，

就必須提供他們豐富的活動，讓他們具備充份且足夠的經驗。

除了提供豐富的活動，使學童有足夠的經驗來操作數學符號，建立數學概念 外，也有國外的學者提出使用參照物有助於學童數學概念的瞭解，如Dienes(1960) 在教導學童認識多單位的結構概念時，使用丹尼氏積木（Dienesbased blocks）

做為教學的輔助工具，發現有顯著的效果；Kieren(1995)的研究也發現：分數的 乘法概念對中小學童來說是很艱深的概念，如果透過摺紙的活動確實可以幫助學 童建立分數的乘法性概念。國內黃國勳（2003）也曾以本身的教學經驗，來說明 參照物（百格板）幫助學童理解小數除法過程中各個步驟的意義，以建立小數除 法的概念。

以上的例子，透過參照物的操作活動，使數學符號產生意義，然後從符號操 作的程序再反思參照物上操作的活動。漸漸的透過練習便能建立運算的程序與規 則而成為例行化的計算方法，當然也使數學符號的運用更為精緻化。最後能將符 號與規則當做參照物，去發展更抽象的數學概念。從操作數學程序（procedure）

進入可操作的心理物件（mental object）的認知改變，是學習數學概念最重要的

過程（Gray & Tall, 1994）。因此，教師在教導數學概念時，除了教導演算技巧 的程序之外，更需要透過實際操作的活動來與概念產生連結，以形成正確的過程 概念。

由以上論述可知，唯有能理解解題過程中數學符號與程序的意義，並能彈性 思考與靈活運用，具有完備的過程概念的學童，才能成功學會數學。而學童在建

由以上論述可知，唯有能理解解題過程中數學符號與程序的意義，並能彈性 思考與靈活運用，具有完備的過程概念的學童，才能成功學會數學。而學童在建