緒論

學童概念的發展在課程教學上，扮演非常重要的角色，因此透過評量的方法 來了解學童概念的發展，是一個值得研究的課題。在九年一貫新課程精神中，也 強調有效評量對學童學習的重要性，所以從有效的評量中萃取學童的知識結構，

經由不斷的改進及修正，形成符合每一學習階段學童的概念發展，應是當今九年 一貫新課程所該努力的方針。因此，本研究試圖將因數概念作為素材，以認知結 構為導向，設計因數概念的試題，再由對學童施測結果，以試題關聯結構分析法 進行量的考驗，來達成了解學童知識結構的目標，從而提供學童概念發展研究的 參考。

第一節 研究動機

（Francis Bacon; 1561-1626）說：「數學是進入科學的門和鑰匙。」也就是說數 學是科學之母，同時也可以說是科學、技術及思想發展的基石。因此數學的教育 發展，著實影響國家未來的競爭力（教育部，2003）。而且在教育課程上扮演著無 法取代的角色和地位。

然而，綜合許多研究（詹志禹，1997；陳淑美，1998；黃敏晃，1995；吳彥 廷，1995）顯示，國小學童在數學科學習上常遭遇挫折和障礙，常產生困擾和焦 慮，甚至感到討厭和排斥，並常隨年級的增長而有逐漸增加的趨勢。數學科也就 因而變成學童學習失敗的首要科目（Gray & Tall, 1993），且由於課程內容越來 越抽象化的結果，常出現認知發展不足時，學童往往無法應付學習，以至於對數 學的興趣亦隨年級的增加而有逐漸低落的現象。為何會如此呢？這是身為教育工 作者值得深思與重視的課題。

數學是一們非常結構化的學科，先備知識若是不足，均會對往後的學習造成 很大的影響，因此常引起許多學者的投入研究，希冀對兒童概念的發展找出一條

可行的通路。但是從事質性研究者，則失之於普遍的代表性不足，而從事量性研 究者，則又失之於深入的解釋性不足。過猶不及之間，均無法有效的描述兒童學 習的現象。日本學者竹谷誠利用 IRS 的手法，透過收集而來的訊息資料，直接進 行結構化的描述，可以立即從結構圖中診斷學習困難成因，並指出補救教學的路 徑。

國小六年級是數學學習過程中一個階段的結束，又將是另一階段的開始，是 一個值得加以檢驗的時期。就內容來說，概念的複雜並非龐然無法描述，而就兒 童概念的發展而言，卻是承先啟後，從具體到抽象學習的關鍵，尤其國小「因數」

單元是從數到代數階段過程中的礎石。

國內任晟蓀（民75）研究發現，國小教師認為數學教材中，五年級上學期的 第一單元「因數」是學生較感困難的單元之一。學者劉好（民77）調查台中市、

台中縣、彰化縣、南投縣內 121所小學教師對數學第九冊的意見，發現第一、第 二及第十二單元難度較高，而第一單元就是「因數」。因數雖是學童感到困難的單 元，但對學童往後的數學學習卻有非常重要的影響，就小學課程來說，除了是等 值分數的先備知識，也是比例概念的基石外（劉祥通、周立勳，1999 ），更是往 後國、高中學習因式、倍式、多項式、因式分解、數列與級數的重要基礎。學童 若無法了解因數意義，往後學習比較高階的數學時，可能會產生新舊知識銜接上 的困難，增加對數學學習的挫敗感與排斥感。由此可見，因數概念的學習在數學 教育中，實為不容忽視的一環，而學童在因數概念的學習上出現哪些問題，則是 個值得研究的課題。因此本研究參考相關的文獻及國小因數教材，編製了一份「因 數概念測驗」，以紙筆測驗方式來進行作為收集資料的研究工具。

然而有了紙筆測驗的工具之後，尚須藉由適當的資料分析工具來闡釋學童的 答題反應所呈現之訊息。近年來國內現代測驗理論的日漸興盛，而且資料分析亦 趨於多元化走向，其中，日本學者竹谷誠的「試題關聯結構分析理論」（Item relational structure analysis, 簡稱IRS），能從只有一個班級學生數的測驗

對象進行分析，獲得學生學習概念能力方面所呈現形成性的結構圖，此結構圖可 與教師依教材特性所建構的學習結構圖，或教科書編者所編製的教材地位分析圖 做比較，比較結果對於改善教學方法與指導教材設計，都有莫大的幫助（許天維，

1995）。

由於本研究中所欲了解的是一個班級的學童經過教學活動後，及概念變化之 情形，因此先編擬因數試題做為工具來進行資料的收集，再採用上述之現代測驗 理論作為資料分析的工具，並藉由所獲得的相關訊息來瞭解學童對因數概念發展 的情形。藉以瞭解學童因數概念其知識結構的發展。透過此結構圖所呈現的訊息，

期能對國小學童的因數學習和教師的教學上有所助益。

第二節 研究目的

基於上述的研究動機，本研究以國小六年級學童為研究對象，利用自編的學 童因數概念試題，透過試題關聯結構分析理論，來分析受試學童的因數概念發展 結構，畫出概念結構圖，並探討群體學童在因數概念的概念結構圖所呈現之訊息，

了解學童學習因數概念易犯的錯誤或迷思概念，以提供教師在進行因數教學時做 為參考。茲將具體的目的敘述如下：

壹、應用試題關聯結構分析法，瞭解國小六年級學童因數概念知識結構與專家 知識結構的差異。

貳、探討國小六年級學童學習因數概念易犯的錯誤或迷思概念為何？

第三節 名詞釋義

本研究的主要目的在於編製並分析一份「六年級因數概念試題」，以了解學 童的因數概念結構，為了便於清楚的描述研究進行的情形與賦予的意義，茲針對 本研究的用語，以及涉及的特定名詞，分別界定如下：

壹、國小六年級學生

本研究中所指的國小六年級學生，是指接受民國八十九年版九年一貫課程綱 要數學新課程，並在五、六年級接受過「因數」教學的學生。

貳、整除

任給兩個正整數 a 和 b，則必可找到兩個非負的整數 q 和 r，使之滿足（a＝b

×q＋r），其中 0≤r＜b。此時，a 稱為被除數，b 稱為除數，q 稱為商數，r 稱為餘 數。當 r＝0 時，即 a＝b×q，可以說「b 整除以 a」或「a 倍 b 整除」。

參、因數

本研究中所謂因數是以正整數為範圍， 假設a、b、q 為正整數， 若a＝ b×q 或a÷b＝ q， 則稱b 是a 的一個因數。

肆、公因數

本研究中所謂的公因數是以正整數為範圍， 兩個或兩個以上的整數，共同擁 有的因數，稱為這兩個（或兩個以上） 整數的公因數。

伍、質數

只有1 和自己本身兩個因數外，別無因數的數稱為質數。

陸、因數隱藏性知識

本研究中所謂的「因數隱藏性知識」是指整除情形下：a÷b＝q 或a＝b×q，b 為a 之因數， q 亦為a 之因數，因此因數乃以「配對」的方式出現。但 q 為a之 因數隱含於整除算式中，是為因數隱藏性知識。

柒、專家知識結構

專家知識結構是由學科專家根據學理以及經驗，分析該單元內的所須具備的 概念及上下位關係整理而成的結構。

捌、IRS 理論

試題關聯結構（Item Relation Structure; IRS）是由竹谷誠（1991）發表 的一種討論測驗的理論，可被用於定義兩題試題之間的順序關係。

第四節 研究範圍與限制

本研究以國民小學六年級學童為研究對象，藉由試題關聯結構分析法，探究 學童在因數的知識結構。茲將研究範圍與限制就研究內容、對象及方法，分述如 下：

壹、就研究內容而言

本研究之測驗其主要內容為國民小學數學科六年級的「因數」教材。

貳、就研究對象而言

本研究目的意在透過試題關聯結構法之分析，探究受測學童在因數的知識結 構。本研究因受限於研究人力、時間與經費等客觀因素，故係以彰化縣某國民小 學六年級一個班級的學生為研究對象，樣本維持原來班級建制進行研究。推論的 結果不宜過度解釋，亦無法將分析的結果做為普遍性的類推。

參、就研究方法而言

本研究方法只能視為一種「驗證測試」，推論的結果只能適用於相同的情境

，不能過度解釋（over generalized），若於其他不同的情境，驗證的價值性受 限於分析對象材料真實性的限制。