國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系
在 職 進 修 教 學 碩 士 班 碩 士 論 文
指 導 教 授 ： 許 天 維
博士
國小六年級學童因數概念之分析研究
研 究 生 ： 施 美 多
撰
中 華 民 國 九 十 六 年 六 月
謝
辭
碩士班的求學生涯，即將劃下完美的句點，內心湧上無限的感恩與喜悅，回 想求學這三年時光，必須兼顧家庭、工作及下班後趕火車到台中進修的碩士班學 業，這三種不同角色的重擔，實在讓我有點不勝負荷，如今能順利完成學業，真 應該感謝許多人的協助與鼓勵。 首先感謝指導教授許天維博士，在教學、研究及公務繁忙之際，仍耐心、親 切地指導我正確的研究方向與方法，使我能以更多元、周延的角度進行研究，獲 益良多。其次感謝胡豐榮教授及劉湘川教授在論文口試時的剴切指導及提供諸多 寶貴意見，使得本論文之架構及內容得以更臻完備。 感謝巧芸學姐、雅芬學姐的鼓勵、指導，讓我能進得了研究所的大門，感謝 在職進修期間，服務學校平和國小及信義國中小許多同事的關心，及在工作上的 協助，使我在學業方面得以更上層樓，在此致上深深的謝意。 特別感謝的是同學靜慧大姐、秀麗、瑋詩、振忠，不論是課業上的互相切磋、 撰寫論文的協助、精神上的支持，皆讓我受益良多，珮姿的溫馨接送情也讓我銘 記在心，與其他夜數碩三 A 的同學同窗三年的點點滴滴，將是我一輩子最美麗的 回憶！ 最後，感謝辛勞的爸爸與媽媽養育和教誨栽培之恩，在我任教後經常勉勵我 繼續進修，考上碩士班後也給予我精神上最大的支持，感謝家中姐弟妹們的打氣、 加油，你們的愛是我勇往直前的原動力。此外最要感謝的人是我的先生－善貴， 有你當初的鼓勵、支持，才讓我有進修的勇氣，在我進修這三年打理家務，照顧 家裡二個活潑的孩子－鼎皓、胤錚，讓我無後顧之憂，全心投入論文研究工作。 故謹以此篇論文獻給我最親愛的家人，並在此獻上最深的謝意與祝福。 施美多 謹誌 中華民國九十六年六月摘 要
本研究探討學童學習因數概念的知識結構與專家知識結構的不同，並了解學 童學習因數概念易犯的錯誤或迷思概念。 研究對象為彰化縣某仁類學校一班六年級學童，採用自編之因數試題為研究 工具，經SPSS/PC統計套裝軟體及試題關聯結構理論之IRS電腦程式進行統計分析 後，茲將研究結果摘述如下： 一、學童在因數概念之知識結構發展如下： 1.1「互質概念」是「質數概念」的下位概念。 1.2「合數概念」是「質數概念」的下位概念。 1.3「公因數概念」是「質因數分解概念」的下位概念。 二、學童學習因數概念易犯的錯誤或迷思概念如下： 2.1只思考一個數的特性（如：質數）比思考二個數的關係（如：互質），對 學童而言是較困難。 2.2許多學童在「1是否為質數？」產生迷思。 2.3由除法算式引入因數概念會比由乘法算式引入更容易使學童接受。 2.4近30％的學童沒有具備周延的過程概念，未具備隱藏性知識的概念，無 法彈性思考解題過程中隱藏性知識的意義。 2.5近20％的學童在思考「因數」時，常會把因數的基本成員「1」給遺忘。 綜合以上結果提出若干建議，以作為教學者及未來研究之參考。 關鍵詞：因數 試題關聯結構分析法 隱藏性知識Abstract
This study explores the differences between the knowledge construct of
school-aged children and experts in learning the concept of divisor. It also discusses commonly-made mistakes and fallacious concepts of school-aged children in learning the concept of divisor.
The research subjects are a class of sixth graders in Chang Hua County. elementary school Self-constructed tests of the concept of divisor are used as the research tool. SPSS/PC statistic software and the IRS computer program of the Theory of Item Relation Structure are used in the analysis. The following is a summary of the research results. 1. The knowledge construct of school-aged children in the concept of divisor is as
follows:
1.1 The “concept of relatively prime” is a sub-concept of the “concept of prime.” 1.2 The “concept of composite” is a sub-concept of the “concept of prime.” 1.3 The “concept of common divisor” is a sub-concept of the “concept of
decomposition of prime factor.”
2. The commonly-made mistakes and fallacious concepts of the concept of divisor of school-aged children are as follows:
2.1 It is more difficult for school-aged children to consider the characteristic of a number (i.e. prime number) than to consider the relationship between two numbers (i.e. relatively prime).
2.2 Many school-aged children have misconceptions as to whether one is relatively prime.
introducing with the Division Algorithm than with the Multiplication Algorithm.
2.4 Almost 30% of the school-aged children are not equipped with thoroughly considered process concept. Without the concept of tacit knowledge, they are not able to ponder on the meaning of tacit knowledge in the process of problem solving.
2.5 Almost 20 % of the school-aged children are often oblivious of the basic member of divisor—one, when considering divisor.
Based on the results of the study, several suggestions are offered as reference for educators and future research.
目 次
第一章 緒論………1
第一節 研究動機………1 第二節 研究目的………3 第三節 名詞釋義………3 第四節 研究範圍與限制………5第二章 文獻探討………6
第一節 建構主義理論………6 第二節 概念之分析………..11 第三節 因數之相關研究………..23 第四節 試題關聯結構分析法………..34 第五節 2001 年版 Bloom 認知領域教育目標分類理論………....44第三章 研究設計與實施………..51
第一節 研究架構………..51 第二節 研究對象………..52 第三節 研究工具………..53 第四節 研究流程………..63 第五節 資料處理………..64第四章 研究結果與分析………..65
第一節 試題性質分析………..65 第二節 試題關聯順序性與結構圖………..70 第三節 試題關聯結構圖之分析與討論………..74第五章 結論與建議………..99
第一節 結論………..99 第二節 建議………..……….……….102參考文獻………..…………..…104
附錄………....110
附錄一 因數自編試題...………...…….110
附錄二 試題檢核表……….……...120
表 目 次
表2-1 64 年版國小數學課程的因數教材編排………..………..23 表2-2 82 年版國小數學課程的因數教材編排………..………..23 表2-3 89 年版國小數學課程的因數教材編排………..………..24 表2-4 92 年版因數概念的相關分年細目表..………..………..25 表2-5 89 年課程暫綱與 92 年課程綱因數概念的能力指標..………..26 表2-6 A 組學生得分情形……….………34 表2-7 B 組學生得分情形……….………34 表2-8 A 組學生得分簡表……….………35 表2-9 B 組學生得分簡表……….………35 表2-10 A 組學生總分排序簡表……….……….………35 表2-11 B 組學生總分排序簡表……….……….………35 表2-12 A 組試題答對人數排序簡表……….………36 表2-13 B 組試題答對人數排序簡表……….………36 表2-14 試題ｉ與試題ｊ答對與答錯的統計表……….………40 表2-15 試題順序性係數舉例……….………41 表2-16 試題順序關係 0－1 矩陣表舉例………..………41 表3-1 因數概念命題之雙向細目表……….56 表3-2 預試試題之難度及鑑別度……….60 表4-1 正式施測之 Cronbach’s α 信度分析……….……..…...65 表4-2 正式施測試題之難易度及鑑別度……….……..……..67 表4-3 試題關聯順序性係數一覽表………..………...71 表4-4 順序性係數之 0-1 矩陣表……….…………..………...72 表4-5 試題關聯結構圖之橫斷層面分析……….……….………...74 表4-6 「事實知識」試題之概念分析……….…..….……….76 表4-7 「事實知識」試題之難度及鑑別度分析………...…….……….77 表4-8 「概念知識－了解」試題之概念分析……….………...……….80 表4-9 「概念知識－了解」試題之難度及鑑別度分析…………..…..…….82 表4-10 「概念知識－應用」試題之概念分析……….85表4-11 「概念知識－應用」試題之難度及鑑別度分析……..….……...….86
表4-12 「概念知識－分析」試題之概念分析………..……….88
表4-13 「概念知識－分析」試題之難度及鑑別度分析………..…….90
表4-14 「程序知識」試題之概念分析………..…….93
圖 目 次
圖2-1 Piaget 的個人建構論………..………..…..…...………...8 圖2-2 數學活動與過程概念的關係圖取自…………..………...12 圖2-3 因數教材地位圖…………..………...27 圖2-4 因數的概念階層…………..………...……….…....39 圖2-5 A B 組試題關聯結構圖…….……..……….…..37 圖2-6 試題關聯結構圖簡化(一)…………..……….……….…...42 圖2-7 試題關聯結構圖簡化(二)…………..……….……….…...42 圖2-8 試題關聯結構圖簡化(三)……….…..……….……….…..42 圖2-9 Bloom 教育目標分類系統新舊版本對照圖……….…….……….…..44 圖3-1 研究架構圖……….………..…...……….…..51 圖3-2 因數教材架構圖……….………..…...……….…..53 圖3-3 因數概念圖……….………..…...……….…..54 圖3-4 因數試題架構圖……….………..…...……….…..55 圖3-5 研究流程圖……….………..…...……….…..63 圖4-1 群體受試者之試題關聯結構圖……….……….……...75 圖4-2 「事實知識」概念之試題關聯結構圖……….77 圖4-3 「事實知識」概念之知識結構圖比較………....….78 圖4-4 「概念知識－了解」概念之試題關聯結構圖………....….81 圖4-5 「概念知識－了解」概念之知識結構圖比較……...84 圖4-6 「概念知識－應用」概念之試題關聯結構圖..………...85 圖4-7 「概念知識－應用」概念之知識結構圖比較..………...87 圖4-8 「概念知識－分析」概念之試題關聯結構圖.………....89 圖4-9 「概念知識－分析」概念之知識結構圖比較.………....91 圖4-10 「程序知識」概念之試題關聯結構圖.………....94 圖4-11 「程序知識」概念之知識結構圖比較.………....97第一章 緒論
學童概念的發展在課程教學上，扮演非常重要的角色，因此透過評量的方法 來了解學童概念的發展，是一個值得研究的課題。在九年一貫新課程精神中，也 強調有效評量對學童學習的重要性，所以從有效的評量中萃取學童的知識結構， 經由不斷的改進及修正，形成符合每一學習階段學童的概念發展，應是當今九年 一貫新課程所該努力的方針。因此，本研究試圖將因數概念作為素材，以認知結 構為導向，設計因數概念的試題，再由對學童施測結果，以試題關聯結構分析法 進行量的考驗，來達成了解學童知識結構的目標，從而提供學童概念發展研究的 參考。 第一節 研究動機長久以來，在中小學課程中數學一直是一門重要的學科，英國哲學家培根 （Francis Bacon; 1561-1626）說：「數學是進入科學的門和鑰匙。」也就是說數 學是科學之母，同時也可以說是科學、技術及思想發展的基石。因此數學的教育 發展，著實影響國家未來的競爭力（教育部，2003）。而且在教育課程上扮演著無 法取代的角色和地位。 然而，綜合許多研究（詹志禹，1997；陳淑美，1998；黃敏晃，1995；吳彥 廷，1995）顯示，國小學童在數學科學習上常遭遇挫折和障礙，常產生困擾和焦 慮，甚至感到討厭和排斥，並常隨年級的增長而有逐漸增加的趨勢。數學科也就 因而變成學童學習失敗的首要科目（Gray & Tall, 1993），且由於課程內容越來 越抽象化的結果，常出現認知發展不足時，學童往往無法應付學習，以至於對數 學的興趣亦隨年級的增加而有逐漸低落的現象。為何會如此呢？這是身為教育工 作者值得深思與重視的課題。
數學是一們非常結構化的學科，先備知識若是不足，均會對往後的學習造成 很大的影響，因此常引起許多學者的投入研究，希冀對兒童概念的發展找出一條
可行的通路。但是從事質性研究者，則失之於普遍的代表性不足，而從事量性研 究者，則又失之於深入的解釋性不足。過猶不及之間，均無法有效的描述兒童學 習的現象。日本學者竹谷誠利用 IRS 的手法，透過收集而來的訊息資料，直接進 行結構化的描述，可以立即從結構圖中診斷學習困難成因，並指出補救教學的路 徑。 國小六年級是數學學習過程中一個階段的結束，又將是另一階段的開始，是 一個值得加以檢驗的時期。就內容來說，概念的複雜並非龐然無法描述，而就兒 童概念的發展而言，卻是承先啟後，從具體到抽象學習的關鍵，尤其國小「因數」 單元是從數到代數階段過程中的礎石。 國內任晟蓀（民75）研究發現，國小教師認為數學教材中，五年級上學期的 第一單元「因數」是學生較感困難的單元之一。學者劉好（民77）調查台中市、 台中縣、彰化縣、南投縣內 121所小學教師對數學第九冊的意見，發現第一、第 二及第十二單元難度較高，而第一單元就是「因數」。因數雖是學童感到困難的單 元，但對學童往後的數學學習卻有非常重要的影響，就小學課程來說，除了是等 值分數的先備知識，也是比例概念的基石外（劉祥通、周立勳，1999 ），更是往 後國、高中學習因式、倍式、多項式、因式分解、數列與級數的重要基礎。學童 若無法了解因數意義，往後學習比較高階的數學時，可能會產生新舊知識銜接上 的困難，增加對數學學習的挫敗感與排斥感。由此可見，因數概念的學習在數學 教育中，實為不容忽視的一環，而學童在因數概念的學習上出現哪些問題，則是 個值得研究的課題。因此本研究參考相關的文獻及國小因數教材，編製了一份「因 數概念測驗」，以紙筆測驗方式來進行作為收集資料的研究工具。 然而有了紙筆測驗的工具之後，尚須藉由適當的資料分析工具來闡釋學童的 答題反應所呈現之訊息。近年來國內現代測驗理論的日漸興盛，而且資料分析亦 趨於多元化走向，其中，日本學者竹谷誠的「試題關聯結構分析理論」（Item relational structure analysis, 簡稱IRS），能從只有一個班級學生數的測驗
對象進行分析，獲得學生學習概念能力方面所呈現形成性的結構圖，此結構圖可 與教師依教材特性所建構的學習結構圖，或教科書編者所編製的教材地位分析圖 做比較，比較結果對於改善教學方法與指導教材設計，都有莫大的幫助（許天維， 1995）。 由於本研究中所欲了解的是一個班級的學童經過教學活動後，及概念變化之 情形，因此先編擬因數試題做為工具來進行資料的收集，再採用上述之現代測驗 理論作為資料分析的工具，並藉由所獲得的相關訊息來瞭解學童對因數概念發展 的情形。藉以瞭解學童因數概念其知識結構的發展。透過此結構圖所呈現的訊息， 期能對國小學童的因數學習和教師的教學上有所助益。
第二節 研究目的
基於上述的研究動機，本研究以國小六年級學童為研究對象，利用自編的學 童因數概念試題，透過試題關聯結構分析理論，來分析受試學童的因數概念發展 結構，畫出概念結構圖，並探討群體學童在因數概念的概念結構圖所呈現之訊息， 了解學童學習因數概念易犯的錯誤或迷思概念，以提供教師在進行因數教學時做 為參考。茲將具體的目的敘述如下： 壹、應用試題關聯結構分析法，瞭解國小六年級學童因數概念知識結構與專家 知識結構的差異。 貳、探討國小六年級學童學習因數概念易犯的錯誤或迷思概念為何？第三節 名詞釋義
本研究的主要目的在於編製並分析一份「六年級因數概念試題」，以了解學 童的因數概念結構，為了便於清楚的描述研究進行的情形與賦予的意義，茲針對 本研究的用語，以及涉及的特定名詞，分別界定如下：壹、國小六年級學生 本研究中所指的國小六年級學生，是指接受民國八十九年版九年一貫課程綱 要數學新課程，並在五、六年級接受過「因數」教學的學生。 貳、整除 任給兩個正整數 a 和 b，則必可找到兩個非負的整數 q 和 r，使之滿足（a＝b ×q＋r），其中 0≤r＜b。此時，a 稱為被除數，b 稱為除數，q 稱為商數，r 稱為餘 數。當 r＝0 時，即 a＝b×q，可以說「b 整除以 a」或「a 倍 b 整除」。 參、因數 本研究中所謂因數是以正整數為範圍， 假設a、b、q 為正整數， 若a＝ b×q 或a÷b＝ q， 則稱b 是a 的一個因數。 肆、公因數 本研究中所謂的公因數是以正整數為範圍， 兩個或兩個以上的整數，共同擁 有的因數，稱為這兩個（或兩個以上） 整數的公因數。 伍、質數 只有1 和自己本身兩個因數外，別無因數的數稱為質數。 陸、因數隱藏性知識 本研究中所謂的「因數隱藏性知識」是指整除情形下：a÷b＝q 或a＝b×q，b 為a 之因數， q 亦為a 之因數，因此因數乃以「配對」的方式出現。但 q 為a之 因數隱含於整除算式中，是為因數隱藏性知識。
柒、專家知識結構
專家知識結構是由學科專家根據學理以及經驗，分析該單元內的所須具備的 概念及上下位關係整理而成的結構。
捌、IRS 理論
試題關聯結構（Item Relation Structure; IRS）是由竹谷誠（1991）發表 的一種討論測驗的理論，可被用於定義兩題試題之間的順序關係。
第四節 研究範圍與限制
本研究以國民小學六年級學童為研究對象，藉由試題關聯結構分析法，探究 學童在因數的知識結構。茲將研究範圍與限制就研究內容、對象及方法，分述如 下： 壹、就研究內容而言 本研究之測驗其主要內容為國民小學數學科六年級的「因數」教材。 貳、就研究對象而言 本研究目的意在透過試題關聯結構法之分析，探究受測學童在因數的知識結 構。本研究因受限於研究人力、時間與經費等客觀因素，故係以彰化縣某國民小 學六年級一個班級的學生為研究對象，樣本維持原來班級建制進行研究。推論的 結果不宜過度解釋，亦無法將分析的結果做為普遍性的類推。 參、就研究方法而言 本研究方法只能視為一種「驗證測試」，推論的結果只能適用於相同的情境 ，不能過度解釋（over generalized），若於其他不同的情境，驗證的價值性受 限於分析對象材料真實性的限制。第二章 文獻探討
從第一章論述中可以瞭解到數學是提昇國民的素質及國家整體競爭力的要 因，其中因數概念又是許多數學知識的先備知識，可說是一個很重要的概念性知 識，如此看來，探討學童在學習因數概念時會面臨的問題，是有其必要性及意義。 根據黃幸美（2000）研究指出：兒童數學學習的困難有三種：1.兒童對數學概念 的理解困難，不易運算解題；2.實物操作困難，兒童不容易從操作中獲取具體概 念；3.兒童可以模仿解題，但概念混淆。可見在兒童的數學學習困難中，「概念」 是一個很重要的因素，因此在本章中，先對數概念的理論基礎及概念的形成，作 一探討，再對因數的相關研究及本次使用的研究工具試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis, 簡稱 IRS 分析法）及2001 年版 Bloom 認知領 域教育目標分類理論之相關研究做詳細的介紹。第一節 建構主義理論
目前實施的新課程數學科教學，是採建構主義的觀點來編製的，認為學童學 習知識是主動參與，學習者是以自己的先備知識和經驗來建構新知識。此一觀點 對於數學教育改革和數學教材的編排有重要的影響，因此在探討學童的數學學習 和數學知識的獲得時，必須對建構主義的理論基礎有基本的認識。 學者Wheatley（1991)提到建構主義可以從二種不同的層面來探討：其一是知 識是由認知主體主動建構出來的，並非被動地接受。此觀念顛覆了舊有的傳統教 學。以往皆認為學童學習成果是否良好其關鍵在於教師傳遞訊息是否有效，但並 無考慮到學童如果不能積極主動參與學習建構自己的知識，不管教師如何努力教 導，也無法將知識完全拷貝到學童的腦袋中。其二是認知的作用是為了能適應 (adaptive)。其目的是為了將學習者的經驗組織而非發現物體的本質。換言之， 學習者雖然無法發現真理，但是卻可以組織自己的經驗，給予合理化（引自林珮 如，2002）。但由於學者對知識本質的看法和對知識建構過程的觀點有所不同，因此對建 構主義理論的發展過程也形成了不同的派別。以下就將三種不同派別的主張加以 說明： 壹、根本建構論 此派學者von Glasersfeld(1984)認為建構理論除了強調「知識是認知個體主 動的建構，不是被動的接受或吸收知識」，更應包含「認知的功能是用來組織外 來的經驗世界，不是用來發現本體的現實」。所以，每一個人的知識都是非常主 觀的用自己的方式建構而成，而每一個人所建構的知識只與個人的經驗有關，與 外在的本體事實並無直接的關係。因此，學童在學習數學知識時，也是用他們自 己的方式去概念化他們自己的數學經驗。 此外，von Glasersfeld(1987)也提到語言的概念分析，認為書中的文字只是 一種符號，而符號本身並無意義，符號的意義是學習者給予的定義。所以，書中 若有知識也是學習者所賦予的，不是書中原本就有的，同樣的道理，教師講解時 所傳輸的聲音和訊號，也無意義，若有意義也是學童賦予的。所以，教師上課學 童聽到和看到的意思都是學童個人的意思，與教師所要傳輸的意思無關，只與學 童個人的經驗和知識有關。換言之，傳統演講教學認為可以藉語言的傳遞而把知 識傳輸給學童，其實是不可能的事情，因為當學童說他聽懂老師的意思時，其實 只是學童能以他個人的經驗對老師所發出之訊號能合理的解釋，並不代表學童真 的接收到老師要真正傳達的意思。 由以上論述可知，根本主義的建構論強調唯有透過學習者先前經驗對外來的 訊息產生理解，才能使接收到的符號或訊息建構成自己的知識。 貳、個人建構論 個人建構論起源於Piaget的發生知識論。Piaget(1959)認為知識的產生是個
人 與 環 境 互 動 中 不 斷 的 建 構 與 再 建 構 而 產 生 ， 知 識 的 發 展 是 透 過 同 化 (assimilation) 、調適(accommodation) 、平衡(equilibration)、失衡(anxiety) 等歷程，建構成個體的知識，而個體有各自的認知結構（cognitive structura）， 稱之為基模（schema）。知識發展的內在原動力是失衡，因失衡而自求恢復到平 衡的心理狀態，個體為了保持平衡而有適應，適應的方式有二，一為同化，一為 調適，如果個體以既有的認知基模去適應環境的新要求，企圖以此種方式把新經 驗納入既有的舊經驗中的現象稱為同化。但在萬變的環境裡，單是同化未必能適 應環境的要求，於是個體就必須在發現既有認知結構不能容納新的經驗時，改變 自己的認知結構去符合要求，此種現象，即稱為調適。個體就依循上述的流程與 其他個體及環境互動中不斷的建構與再建構知識。其理論架構，描述如圖2-1： !!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!組織 同化 刺激 平衡 調適 平衡 圖2-1 Piaget 的個人建構論 (整理自Piaget, 1959) 另一位學者Kelly也提出對個人建構論的看法，認為學童會透過主動建構的歷 程，形成自己的內在認知。另外，個人建構論的基本主張又有兩點，一是學習是 學習者主動建構的過程；二是知識是個人主觀的建構，有意義的學習必須建基於 個體舊有的經驗基礎上（引自林嘉玲，民89）。 認知架構 失衡 平衡
叁、社會建構論 晚近的建構主義則出現了社會建構派別，強調個體認知會受到杜會文化環境 間交互作用的影響。蘇聯心理學家Vygotsky(1986)提出觀點是：人類心智的發展 起源於個人與社會的互動，藉由個體分享他人杜會行為所內化而成，所以要了解 個人的心智發展就要理解他與社會的關聯。人類的抽象思考能力是源於在與他人 互動的社會活動中，理解、模仿他人如何使用媒介來傳遞思緒，進而發展出抽象 思考的能力，而人類之所以能自主的思考，是他能運用符號來協助他思考，而他 之所以學會運用符號來規範自己的行為，是來自於與他人溝通活動中習得的。也 就是說，個人的心智意念，需透過具有社會意義的媒介先予以成型，當傳達意念 的形式在進行溝通時，被他人認定，個人的意念才與社會的意念取得關聯，進而 將個人的意念傳遞出去，往後的溝通憑藉因而得以確認（游麗卿1999)。 綜合上述建構主義的論點，可發現根本建構主義強調個人主動的建構知識， 個人建構主義者則強調外在社會文化環境的重要性，社會建構主義派別則強調杜 會文化環境間的交互作用對個體認知的影響。這些派別有著共同點，就是認為知 識都必須由學習者主動建構，而且所建構的知識與學習者的先前經驗有關，是結 合認知心理學和社會學的理論。 在建構主義的主張下，我們可以發現學童建構知識過程中受到兩大因素的影 響:個體及週遭環境。因此，在課程安排及教學策略的運用之下，應著重這兩方面 進行，教師的角色應當是找出一些能幫助學童暸解自己建構知識的方法，來進行 教學活動，並且營造適當的學習環境，讓學童在此環境中可以依自己的興趣及能 力，主動參與，進行有效的學習，並且要重視學童個別的認知發展階段，給予適 當的教材及教法，對區域文化的差異性予以合適的引導，將學習環境佈置為合宜 之情境，將更能刺激學童學習的成效。 建構主義的觀點應用於實際數學教學時，合作學習(cooperative learning) 是最常見的教學法，如果學童學習數學的時候，可以提出自己的想法，且能對自
己的說法做合理的解釋，每個學童都先有自我的中心概念，然後透過小組討論、 溝通而形成客觀的共同觀念，這種觀念的形成，正是建構主義所強調的知識論。 甯自強(民82)也指出，透過溝通可引發兒童尋求共識，進一步形成約定俗成的產 品，透過小組合作及溝通討論的過程，可以學習轉述其不完整的數學觀念。在進 行全組討論時，可以培養學童解釋說明解題過程的能力，以及回答其他同學質疑 的能力，在全班討論活動中，更可培養學童傾聽、理解其他同學觀念的能力與態 度，而且可以促使學童適時提出質疑或對別人的質疑提出澄清說明的能力。數學 教師應當促進學童溝通討論時的氣氛，幫助學童表達出自己的數學概念，並鼓勵 學童能用不同的方式表達。當數學教師有了如此的教學態度之後，學童自然就能 在社會互動頻繁的教室氣氛中，逐漸建構出大家公認的數學概念，如此的教學態 度，正是社會建構理論的最佳表現。在目前教育環境下，數學老師的角色必須有 所改變，要從以往講解解題過程的角色退居幕後，不以主導者自居，因此要體認 老師只是一位引導者，學童才是學習環境中的真正主體。
第二節 概念之分析
概念對於人類的生活十分重要，因為人們可以透過概念的形成簡化複雜的環 境，區別繁雜的事物，而減少經常學習的需要，可見概念是提供人類學習、解決 問題與進行推理思考的有效工具。在九年一貫課程綱要中也提到：數學領域課程 規劃除了希望學生能進行有意義的學習之外，在教學上也強調「數學教學著重學 生概念的了解與能力的培養，應避免強調零碎知識的記憶與背誦」（教育部，民 88），因為唯有理解基本的數學概念，學童才能有效的進行邏輯推理或證明， 奠定往後學習高階數學的基礎，因此學童隨著知識的理解而建構出數學概念是十 分重要（NCTM, 2000）。 壹、數學概念 以數學科學習而言，數學概念是學習數學的重要基礎，要先真正的了解數學 概念，才能確實理解數學知識，進而有效的學習數學。而「數學概念」的學習目 前也被視為是國小數學教育的重點之一，教育部八十二年修訂的國民小學數學課 程標準，將「養成主動從自己的經驗中，建構與理解數學的概念……。」列為總 目標的第一條(教育部國民小學課程標準編輯審查小組，民82)，由此可知數學概 念對數學學習的重要性。 數學概念具有二種特性，一是抽象：根據研究(林義雄、陳澤民譯，民74) 數 學概念一向是被公認是最抽象的。人們經常以在日常生活所接觸的實際經驗，依 據相似性與共通性，形成數、量、形等概念(教育部國民小學課程標準編輯審查小 組，民82)。二是前後連貫：一個數學概念往往是由某些概念抽象後再抽象而得， 是故假若其中一種概念無法了解，將無法進行相關概念的學習，所以概念之間也 必須前後能夠連貫。 數學概念的學習方式應由兒童自行建構，而不是由教師灌輸而得，在教學方 面，林碧珍(民74)提到教師可以蒐集相關的例子適時提出說明幫助兒童了解，教育部國民小學課程標準編輯審查小組（民82）也在教學實施要點中強調應安排各 種功能不同的例子來呈現數學概念。除強調例子的提出之外，還有一種方式可引 起數學概念的學習，那就是讓兒童聽到、看到、或知覺到概念的名稱或符號(林義 雄、陳澤民譯，民74)。換言之，數學概念的教學過程就是讓學童能認識概念的來 源及意義，理解概念的性質及相互關係，並會運用概念解決問題的過程。 貳、過程概念 一、過程概念的意義 學者Gray（1999）認為數概念的形成起源於數數（counting）的活動，然後 利用數學符號來表示數數的過程（process）和數的概念（concept），進而形成 算術以及代數的概念。由此可見，數數在數概念的發展過程扮演關鍵性的角色。 以數數在發展數概念的角色而言，數數是過程，經由數數可獲得數概念。可見， 過程在建立數學概念有其重要的地位。Gray & Tall（1993）就曾提出「過程概念」 （process＋concept＝procept）的觀點，認為有些數學概念可經由操作程序而獲 得，例如經由「數數」的過程獲得「數」概念，經由「往上數」的過程，獲得「和」 （sum）的概念，經由連續「累加」的過程獲得「積」（product）的概念（Gray & Tall, 1994）。這種經由操作程序而獲得的概念稱之為「過程概念（pro-cept）」。 將數學活動與過程概念的關係以圖 2-2 表示如下： 往上數活動 和概念 計數活動 數概念 圖 2－2 數學活動與過程概念的關係圖(取自劉祥通，2003) 積概念 連加活動
由操作程序可獲得概念，而操作程序又可以數學符號紀錄下來，因此過程概 念是由「過程」(process)、「概念」(concept)與「符號」(symbol)組成。例如： 「5+8」代表5與8兩數相加的過程，也代表兩數之和的概念，所以是個過程概念。 再舉一個因數的例子：「如果要將10支棒棒糖分給5位小朋友，每位小朋友得到的 棒棒糖要一樣多，請問每位小朋友可分得幾支？」，解題過程為：10÷5＝2…0， 如此看來，「因數」是可經整除的確認而得到的概念，所以它們也算是過程概念 （黃國勳、劉祥通，2003）。 二、過程概念的特性 過程概念具有三種特性：雙重性（duality）、模糊性（ambiguity）與彈性 （flexibility）等（Gray & Tall, 1994）。
（一）雙重性 算式「10÷5＝2…0」既代表10除以5的過程，也代表整除的概念，因此這個符 號所代表的是過程也是概念，這就是所謂的「雙重性」。 （二）模糊性 就這個算式「10÷5＝2…0」而言，它所代表的是過程也是概念，它的意義可 在過程與概念間游移，就看人類如何看待它而定，這就是所謂的「模糊性」。 （三）彈性 再以上述分棒棒糖的問題為例，算式「10÷5＝2…0」中既是倍數（被除數） 除以因數（除數）的過程，也代表著二數相除的結果（整除的概念），更包含著 因數與倍數的概念。過程概念完備的學童即能理解其中的關係，並且彈性的思考 與運用此一數概念。 過程概念因具備模糊性與雙重性，所以此種概念含有的隱藏性知識往往在教 學中被忽略（朱建正，1997）。以本研究所探討的因數概念為例，在20÷5＝4 的
整除算式中，除了 5 是 20 的因數，也隱藏著 4 是20 的因數，如果學童只記得 操作因數的程序（整數的乘除法）而無法彈性思考其中符號的關係，在20÷5＝4的 整除算式中，就不能發現算式中隱藏著4 也是20的因數之概念，在程序操作的過 程中就會產生複雜與困難的數學演算形式，導致學習的失敗。例如，找尋27 因數 的過程中，具備過程概念的學童能彈性思考：27÷3＝9 的整除算式中，3 能夠整 除27，所以3 是27的因數，也同時理解 9 也能整除27的概念，所以建構了3 和9 都 是27 的因數的概念，因此知道因數是配對出現的，可以減少了尋找因數過程繁雜 的程序。反之，如果缺乏過程概念的學童，因為無法理解9 也能整除27 的概念， 所以必須以27去除以所有的數，在操作了一長串繁複的除法程序之後，還往往發 生了漏掉後面較大因數的現象。這樣的過程，學童不僅學得辛苦，也經常是學習 的失敗者。由這個例子可以得知，具備周延的過程概念之學童才能發覺操作程序 過程中的隱藏性知識，換句話說，沒有具備隱藏性知識也就代表學童的過程概念 不夠周延。因此，隱藏性知識可以用來做為偵測學童是否具備過程概念的指標。 彈性思考是過程概念的一重要特性，不但能夠讓過程和概念在心中相互轉 換，也能夠掌握概念性知識中訊息與訊息之間的關係，而形成一個整體。可見彈 性思考對於概念性知識的學習是非常重要的。相對的，僵硬程序的思考則不同於 概念性知識的思考，僵硬程序的思考使得學童只獲得孤立、片段的訊息，因此無 法對訊息或符號產生關連性的理解。但又如前面所言：程序（procedure）是數學 概念發展的基礎。所以概念性知識雖然是一種複雜、不易獲得的知識，卻可透過 不斷的練習而獲得（Gray & Tall, 1994）。有些學童從定理的探討中，就可以獲 得概念；有些學童則需要多加練習才能獲得概念；但是有些學童雖然久經練習， 卻仍然無法獲得過程概念？這正如Gray & Tall（1994）所指出的：若概念承載太 多的程序，有些學童不能掌握就無法發展成過程概念，變成只是記憶過程的程序 而已。
三、過程概念的學習 Tall et al（2001）認為符號扮演著過程與概念的橋樑，讓人們可以將注意 力從計算或操作的過程轉換成實體的概念。也可以說，數學符號的使用，能夠喚 起過程或是概念。未具備過程概念的學童因為無法彈性思考符號的意義，因而不 知採取靈活有效的演算技巧，僅僅固守著「安全而熟悉」的方法，所以操作了許 多繁雜、困難的數學演算程序，導致學習的失敗。而具備過程概念的學童則能彈 性思考符號的意義，並且能將舊經驗應用於新知識的學習，靈活的運用新知識。 由此可見，符號在數學概念的學習佔有相當重要的地位。
James & Mason（1982）認為學童必須有豐富的經驗，才能理解符號的意義， 讓學童在缺乏背景經驗的情況下運用符號會發生許多的困難。也就是說，如果要 使學童理解且能彈性思考數學符號的意義，或更進一步有效率的操作數學符號， 就必須提供他們豐富的活動，讓他們具備充份且足夠的經驗。 除了提供豐富的活動，使學童有足夠的經驗來操作數學符號，建立數學概念 外，也有國外的學者提出使用參照物有助於學童數學概念的瞭解，如Dienes(1960) 在教導學童認識多單位的結構概念時，使用丹尼氏積木（Dienesbased blocks） 做為教學的輔助工具，發現有顯著的效果；Kieren(1995)的研究也發現：分數的 乘法概念對中小學童來說是很艱深的概念，如果透過摺紙的活動確實可以幫助學 童建立分數的乘法性概念。國內黃國勳（2003）也曾以本身的教學經驗，來說明 參照物（百格板）幫助學童理解小數除法過程中各個步驟的意義，以建立小數除 法的概念。 以上的例子，透過參照物的操作活動，使數學符號產生意義，然後從符號操 作的程序再反思參照物上操作的活動。漸漸的透過練習便能建立運算的程序與規 則而成為例行化的計算方法，當然也使數學符號的運用更為精緻化。最後能將符 號與規則當做參照物，去發展更抽象的數學概念。從操作數學程序（procedure） 進入可操作的心理物件（mental object）的認知改變，是學習數學概念最重要的
過程（Gray & Tall, 1994）。因此，教師在教導數學概念時，除了教導演算技巧 的程序之外，更需要透過實際操作的活動來與概念產生連結，以形成正確的過程 概念。 由以上論述可知，唯有能理解解題過程中數學符號與程序的意義，並能彈性 思考與靈活運用，具有完備的過程概念的學童，才能成功學會數學。而學童在建 立數學概念的過程中，除了學習演算過程的技巧，更需要藉由活動來連結概念的 意義，才能形成正確的過程概念。反之，如果只是記憶過程的程序而無理解程序 的意義，雖然反覆的操作程序也無法獲得過程概念。 叁、迷思概念 學童在學習抽象的概念時，常常無法學好，學者(Finley, 1991)將之歸因於 學童的先備知識不足（引自林珮如，2002）。但有許多的研究發現(邱美虹，1993; 楊坤原，1981; Carey, 1985)學童抽象的概念學得不好，通常是因為學童自己建 構出來的概念是錯誤，但又卻難以改變所導致。探討學童迷思概念的目的，在於 提供教師判斷學童的思考模式為何，也可作為教師省思教學方法的參考，更可作 為課程編製者編排課程及內容選取的依據，使學生發展更正確的概念系統。以下 是針對「迷思概念」的探討： 一、迷思概念的意義 任何概念的形成，如果與其科學社群所接受的概念不相符合，或與專家概念 有出入，所形成的概念便被稱為是「迷思概念」(許榮富、楊文金、洪振方， 1990;Mariana & Hewson, 1985)。也就是說學童在學習某項知識以前，即已具有 一些先備的知識，因此學童在學習時，常會帶著已有的自發概念來學習知識或者 解釋教師授課的內容，但這些概念若與專家認定的概念不相容時，此類概念稱之 為「迷思概念」（misconceptions）。對於這些既存的概念，不同學者的稱呼不
一，有人用「兒童科學」(children's science)、「原有知識」(priorknowledge)、 「先入概念」(preconception)等名詞來描述「迷思概念」，亦有人將之譯為「錯 誤概念」（erroneous ideas）、「另類概念」（alternative conceptions）、 「質樸信念」（native beliefs）、「另有基模」（alternative schemas）、「直 覺概念」（intuitive conceptions）、「先前概念」（preconceptions）「個人 事實模式」（personal models of reality）、「自發性概念」(spontaneous idea)…… 等（Wandersee，Mintzes，& Novak, 1994；鄭麗玉，1998；戴政吉，2001）。 簡要言之，「迷思概念」（misconceptions）意指理解某事物所產生的模糊 的、不完全的、錯誤的概念。學童在學習時，若對某些概念的理解存在先入為主 的的不正確概念，將會導致迷思概念而產生錯誤的、模糊的、不完全的概念架構 和想法。因此教師在進行教學時，如果能瞭解學童具有哪些迷思概念，探討迷思 概念的產生原因，將可於教學時設計相關教學活動修正學童的迷思概念，如此將 能有助於學童的學習。建構論認為「知識是由認知主體主動建構出來的，並非被 動地接受」，所以從建構論的觀點來看，迷思概念的產生在學習過程中是不可避 免的，因此教學者在教學過程中，應包容學童的思考歷程並了解學習者的思考方 式，教師的角色除了應協助學童解決問題，同時也要隨時讓學童有「認知衝突」 （cognitive conflict）的機會，使學生在討論的過程中，逐漸修正、建構自己 內在概念的基模（陳和貴，2002）。由此可知，教學者深入了解學童所建構的迷 思概念及其原因，實在有它的必要性。 二、迷思概念的成因 近幾年來，有許多學者投入學童迷思概念的相關研究，而學者們對於迷思概 念的成音也有許多不同的看法，分述如下： （一）陳啟民(民80)曾歸納 Head(1986)和Blosser(1987)對於迷思概念形成的可 能原因如下：
1.與生俱來的。 2.從日常生活而來。 3.從隱喻（metaphor）而來的。 4.從類比產生的。 5.來自同儕文化。 6.正式或非正式的教學。 7.從字義的聯想、混淆、衝突或知識的缺乏而來。 （二）王美芬、熊召弟(民84)的看法，認為迷思概念的可能來源為： 1.教師對於學童的迷思概念缺乏察覺心(awareness)及興趣。 2.日常生活語言和隱喻。 3.教師有「只要教，就會馬上會學到」的假設。 4.教師有「字和話語就可以代表了解」的假設。 5.教科書呈現錯誤概念。 6.過分強調講述法。
（三）劉伍貞(民85)歸納Sutton & West(1982)、Head(1986)及Blosser (1987a、 1987b)的研究，發現造成科學領域之迷思概念的原因如下: 1.直接的物質經驗或從日常生活經驗和觀察得來。 2.由通常的用語或隱隃的使用而來。 3.從類化比較、字義的聯想、混淆、衝突或知識的缺乏而來。 4.由正式或非正式的教學而來。 5.由信念、被允許的意見或同儕的文化而來。 6.來自一些與生俱來的理念。 7.來自教科書的內容。 8.來自教師教學的過程。
由上述之迷思成因，可以將這些成因分為二類，一類為教學上的不足或錯誤 所產生的迷思，另一類是學童本身自行建構錯誤產生的迷思。 （一）教學上的不足或錯誤 1.教師對於學童的迷思概念缺乏察覺心(awareness)及興趣。（王美芬、熊 召弟，民84) 2.教師有「只要教，就會馬上會學到」的假設。（王美芬、熊召弟，民84) 3.教師有「字和話語就可以代表了解」的假設。（王美芬、熊召弟，民84) 4.由正式或非正式的教學而來。（劉伍貞，民85) 5.來自教科書的內容。（劉伍貞，民85) 6.來自教師教學的過程。（劉伍貞，民85) （二）學童本身自行建構錯誤 1.與生俱來的。（陳啟民，民80) 2.從日常生活學得。（陳啟民，民80) 3.由信念、被允許的意見或同儕的文化而來。（劉伍貞，民85) 4.從類化比較、字義的聯想、混淆、衝突或知識的缺乏而來。（劉伍貞，民 85) 如果迷思概念的成因屬第一類教學上的不足或錯誤，教師可以改變其教學方 式或方法、多用心思在輔導學生可能產生的錯誤類型上，關於教科書內容的錯誤， 可以直接修改教科書的錯誤，即可消除錯誤的再次出現，教師在教學錯誤及教科 書的錯誤即可有效的解決。對於另一類的迷思概念，如不恰當的類化比較或從日 常生活學得……，也可利用不同的教學方法或產生知識衝突來幫助學童釐清迷思 概念。學者劉秋木（1990）在書中提到 David Page 提出的「二元逆轉」（Binary Reversion）：即老師問學生一個問題（設為Q1），學生並沒有答對問題，老師在 依學童給的答案找出學生思考路徑出現錯誤的問題點，在出另一個適用的問題（設
為Q2），然後向學生詢問這個新問題（Q2），則學生不會回答Q2，而會立即矯正 他剛剛Q1的答案。 例如： 老師：六乘以五等於多少？ 學生（二年級）：十一。 老師：那六加五等於多少？ 學生：（驚覺剛剛答錯了）喔！剛剛的答案應該是三十。 由上述可知，擅用教學方法與技巧，能夠適度並有效的使學童學習到正確的 概念，教學者若能用心了解學童迷思概念的原因而對症下藥，將能使教學達事半 功倍之效。 三、迷思概念的特性 在許多學者(鍾聖校，民83；戴政吉，民90）研究中，發現迷思概念有下列幾 點特性： （一）過程性 迷思概念是在概念發展或概念學習的過程中出現的。若以一直線表示概念發 展的連續體，則錯誤概念是出現在此連續體中的任一點。 （二）不完備性 在各類迷思概念的晤談資料中，可發現大量的受訪者，其回答不夠完整，而 這種不完整的答案，並不是表達能力的問題，而是對問題的思考不夠細密與周全， 以致說出的概念也失之片面或零碎不夠完整。 （三）非正統性 學生的迷思概念與專家知識的說法相比，有相當的差距，屬於非正統性的概 念。
（四）思考性 迷思概念雖然是一種陳述出來的內容，但它含有概念思考的成分。 （五）個別性 有許多迷思概念具有相當的個別性，屬於受訪者所有。這是因為迷思而產生 的，所以其概念具有相當的個別性。 （六）普遍性 許多研究發現某些迷思概念確實有相當高的普遍性。 （七）不穩定性 迷思概念是相當不穩定的，容易出現，也容易拋棄。晤談前後不一致的迷思 概念，實因學童對概念沒有清楚的認識，因而沒有確定的見解，想法易改變，顯 得不穩定。 （八）頑固性 有些迷思概念雖經過一再講解，但它仍會一再出現，常讓學者不得不承認其 根深蒂固的存在事實。 四、改變迷思概念的條件 從許多學者的研究中發現迷思概念對學童的學習有很大的影響，而這些迷思 概念又根深蒂固的存在於學童的概念架構中，除非面臨認知衝突（cognitive onflict）並且學童有新改正自己的迷思概念，否則這些迷思概念不會輕易改變。 要使學童的迷思概念有所改變的條件，有下列四種情形： （一）學童對既存的概念知識感到不滿意（不滿足於現存概念）。 （二）新的概念必須是學童可以理解的（可以解釋得通的）。 （三）新的概念對學童而言是合理的。 （四）新的概念是可以廣泛應用的。 由上可知要改變學童的迷思概念，就要先把學童的迷思概念找出來，並深入
了解其想法及成因，在教學時安排適當的教學情境，才有助於改變學童根深蒂固 的、先入為主的迷思概念。
第三節 因數之相關研究
壹、不同課程標準及能力指標的「因數」課程分析 一、64年版國小數學課程標準的因數教材編排（資料來源：國立編譯館 1991、 1992版），如下表2-1 表 2-1 64年版國小數學課程的因數教材編排 年級 單元及單元名稱 教材內容 第一單元 因數 1. 利用「方陣排列」與「等分組」情境，經驗 因數的意義。 2. 質數與合數的意義。 3. 公因數與最大公因數的意義。 4. 互擲的意義。 第二單元 倍數 1. 倍數的意義。 2. 倍數與最小公倍數的意義。 3. 奇數與偶數的意義。 五年級 上學期 第五單元 分數 1. 約分的意義（公因數的應用）。 2. 通分的意義（最小公倍數的應用） 二、82年版國小數學課程標準的因數教材編排（資料來源：國立編譯館 1999、 2000版），如下表2-2 表 2-2 82年版國小數學課程的因數教材編排 年級 單元及單元名稱 教材內容 五年級 上學期 第十四單元 線段圖 1. 利用「方陣排列」與「等分組」情境，經驗 因數的初步概念。 第四單元 因數與倍數 1. 因數的意義 2. 倍數的意義 五年級 下學期 第六單元 比 1. 公因數與最大公因數的意義。 2. 倍數與最小公倍數的意義 六年級 上學期 第六單元 擴分與約分 1. 約分的意義（公因數的應用）。 2. 通分的意義（最小公倍數的應用）。三、89年版國小數學課程標準的因數教材編排（資料來源：南一出版社 2006版）， 如下表2-3 表 2-3 89年版國小數學課程的因數教材編排 年級 單元及單元名稱 教材內容 五年級 上學期 第七單元 因數與倍數 1. 用正方形紙卡或白色積木排程長方形並紀 錄。 2. 透過剛好分完來理解整除的意義。 3. 由整除了解因數的意義。 第二單元 公因數與公倍數 1. 複習整除的意義，能從二個整數的所有因數 中，找出相同的因數。 2. 了解公因數的命名與找法。 3. 能從三個整數的所有因數中，找出相同的因 數。 五年級 下學期 第二單元 擴分與約分 1. 約分的意義（公因數的應用）。 2. 通分的意義（最小公倍數的應用））。 六年級 上學期 第二單元 最大公因數與最 小公倍數 1. 由整除了解因數的意義。 2. 透過找因數了解質數與合數的意義。 3. 了解質因數的意義。 4. 了解公因數、最大公因數、互質的意義、找 法與應用。 四、教育部於民國92年公佈的九年一貫數學課程綱要，將因數的教材單元歸入數 與量的範疇中。其能力指標中明定關於國民小學高年級因數概念須達成下列 目標如下： (一)能理解因數、倍數、公因數與公倍數(N-2-04)：以幾個一數、九九乘法、除 法為前置經驗，理解因數、倍數的概念。 (二)能認識質數、合數，並作質因數的分解(質數<20，質因數<10，被分解數 <100)(N-3-01)：處理因數分解時，可以發現有一些整數不能再被分解，這些 數稱為質數，他們的因數只有1 與自己而已。大於1 且不是質數的整數(或有
3個以上因數的整數)稱為合數。 (三)能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並能將分數約成 最簡分數(N-3-02)：最大公因數、最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主， 兩數的最大公因數是1 稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。 茲將九年一貫數學課程綱要(教育部，2003)中，提及與因數概念相關的分年 細目和對照的能力指標，加以整理，陳列如表2-4 表2-4 92年版因數概念的相關分年細目表 年段 分年細目 對照指標 一年級 能進行2 個一數、5 個一數、10 個一數等活動。(1-n-07) N-1-01 N-1-03 二年級 能理解九九乘法。(2-n-08) N-1-06 A-1-03 三年級 能理解除法的意義，運用÷、=作橫式紀錄(包括有餘數的 情況)，並解決生活中的問題。(3-n-04) N-1-04 五年級 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。(5-n-03) N-2-04 能認識質數、合數，並作質因數的分解。(6-n-01) N-3-01 六年級 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意 義，並能將分數約成最簡分數。(6-n-02） N-3-02 能理解質數的意義，並認識 100 以內的質數。 N-3-01 能理解因數、質因數、倍數、最大公因數和最小公倍數， 並熟練質因數分解的計算方法。(7-n-10) N-3-02 七年級 能以最大公因數、最小公倍數熟練運用至約分、擴分、最 簡分數的計算。(7-n-11) N-3-02 五、因數概念在 89 年數學科課程暫綱與 92 年數學科課程綱要之差異比較 由 89 年課程暫綱與 92 年課程綱比較因數概念的能力指標及達成年級，可以 整理出表 2-5：
表 2-5 89 年課程暫綱與 92 年課程綱要因數概念的能力指標 年級 89 年數學暫綱能力指標 年級 92 年數學綱要能力指標 七 能察覺整數的最大公因數、最 小公倍數、質數和合數，並能 將一個數做質因數分解。 六 能認識質數、合數，並做質因數分解。 (6-n-01) 七 能察覺整數的最大公因數、最 小公倍數、質數和合數，並能 將一個數做質因數分解。 六 能理解最大公因數、最小公倍數與兩 數互質的意義，並用來將分數約成最 簡分數。(6-n-02） 由表2-5可知，在92年公布的數學科課程綱要已把89年數學暫綱原本預定在七 年級達成的能力指標，提前到六年級達成。在表2-3中，探討89年版國小數學課程 的因數教材編排時可以發現：因課程實施時間為民國95年，當時已公佈92年的數 學科課程綱要，所以在課程安排上，已參考92年的數學科課程綱要能力指標，將 質數、合數、質因數分解、互質的概念提前在六年級教授，提早作課程補強的動 作，以達成92年的數學科課程綱要的精神， 貳、國小現行課程的教材分析 分析現行國小數學課本因數單元，可發現其內容最主要可分為因數及公因數 二方面，而部分六十四年國民小學數學科課程標準所編輯的教材，如短除法已省 略，茲將因數在現今國小數學教材中的地位說明如下圖2-3所示：
圖2-3 因數教材地位圖 (取自南一文化出版社第九、十、十一冊數學科教學指引，2006) 叁、因數學習困難成因分析 從許多研究發現，六年級學童學習因數教材確實發生困難。以下則綜合學習 理論與相關研究（林珮如，2002；陳清義，1995）分別從認知運思能力、先備知 識、生活經驗、語意理解、過程概念和教材內容等六方面，來分析六年級學童學 習因數教材產生困難的原因（黃國勳、劉祥通，2003）： 一、從認知運思能力來看 在教學過程中，雖然可以透過具體物的操作來幫助學童了解整除的意義，再 由整除來說明因數的意義，但因數的意義還是不易直接透過觀察來獲得。因為因 第九冊 N-3-18 能理解整 除的意義、因數的 意義與找法。 第十冊 N-3-18 能認識公 因數的意義與找 法。 第八冊 N-2-14 能在具體情境 中，理解乘法交換律， 等號的對稱性、「＜、 ＝、＞」的遞移性，加 法和乘法的結合律和 分配，以及乘除相互關 係。 第七冊 N-2-2 延申加、減、 乘、除與情境的意 義，以能解決更多 的生活情境問題。 第十一冊 N-3-20 能察覺正 整數的最大公因 數。 N-3-20 能經驗質 數與合數。 N-3-20 能將一個 數做質因數分解。
數概念是由整除概念抽象後再抽象而得（整除→因數），是屬於二階層的概念， 因此學童較難透過具體物的操作，來表現懂得因數的概念，而必須運用語言或文 字說明因數的屬性或定義。然而從皮亞傑（Piaget）的認知發展論來看，剛升上 國小六年級學童尚處於具體運思期，他們的推理思維能力只限於眼見的具體情境 或熟悉的經驗（張春興，1996），因此對於因數概念的學習是感到困難的。另外， 公因數的意義則是比因數更高階，屬於三階層的概念，整除→因數→公因數，學 童在計算的操作上也許經由練習便能學會運算的技巧，但是對於整除與因 數，或是整除與公因數，甚至是因數與公因數之間彼此意義的連結，學童恐怕並 不是十分清楚。 二、從先備知識來看 蓋聶認為學童學習數學有困難並不是成熟度不夠，而是因為缺乏學習該項數 學概念所需之基礎能力，亦即該概念之子工作（sub-work）或子技能（sub-tec hnology）不夠所致（引自林清山，1977）。 從因數的概念階層（如圖2－4）來看，因數是由整數的乘除法等幾個元素所 組成，這些組成的元素為「子概念」或「下屬概念」（sub-concept）。相對的， 因數概念則為其子概念的「上位概念（super-concept）」。學童若不能了解因數 概念的下屬概念，即未具備學習因數的「預備能力」或「先備知識」，當然無法 了解因數概念。由此可知，要了解因數概念最重要的要先了解子概念－整數的乘 除法，學童若未具備整數乘除法的能力則學習因數時會產生困難（劉秋木，1996）。
圖2－4 因數的概念階層（修改自劉秋木，1996，P.67） 然而許多的研究顯示學童學習除法是困難的。陳博文（1996）研究國小學童 四則運算的能力，也發現學童在整數除法的運算上有較多的困難。另外，游麗卿 （1998）的研究也發現：大多數的學童沒察覺包含除與等分除問題的差異，也說 不清楚等分除問題的乘除法算式含意，顯示出他們對乘法算式和除法問題的知識 不完備。而因數的運算必須用到「整除」的概念去找出所有整除的情形，計算能 力較差的學童若遇到較大的數時，恐怕會有遺漏的可能。林珮如（2002）的研究 也發現：由於因數的先備知識錯誤，導致因數概念上的迷思。例如：由乘法和除 法導入因數與倍數概念時，學童會認為乘法是越乘越大，除法會越除越小，所以 用乘法是求倍數的，用除法才是求因數。只要出現乘就認定是倍數，只要出現除 就認定是因數。而因數教材中，因數又是公因數和最大公因數的先備知識，學童 更因為學習因數概念和算則的失敗，影響了公因數和最大公因數的學習。 最大公因數 公因數 整數乘法 因數 整數除法 整數減法 整數加法
三、從生活經驗來看 因數是一個很抽象的概念，對學童而言，是一個獨立於生活之外的數學名詞， 比較難透過具體的活動讓學童真正理解因數的意義（黃國勳、劉祥通，2002）。 學童也會因為不了解數學名詞或專有名詞，導致對因數、公因數概念的混淆不清 （林珮如，2002）。在學童的生活經驗中，幾乎沒有談論到「因數」這個名詞， 所以學童學習因數教材時會覺得很陌生，而學了因數教材之後，在日常生活中也 很少應用，而數學概念若離開了生活需要，就如魚離了江河。因此數學的學習應 該在生活的實際情境中進行，或至少有密切的關聯，若與生活無關的數學學習則 缺乏動機，學童消化吸收知識的過程當然也是比較困難的。 四、從語意理解來看 張景媛（1994）研究指出語言可能是形成學童瞭解數學的障礙。Brainbridge 也曾指出：學童在學習數學時，往往因為無法理解特定的專有名詞，以致基本概 念混淆不清，或是在問題的閱讀理解和解釋能力不足，而造成學習上的障礙(引自 陳麗玲，1992)。以因數的定義來說，對於「甲數能整除乙數」或「甲數能被乙數 整除」的敘述中，哪一個數除以哪一個數、那個是因數會分不清楚（陳清義，1995）。 黃耀興與邱易斌的研究也發現：學童對於因數和倍數的名詞意思容易混淆不清， 尤其是對於「能整除、被整除」的意義和因數、倍數有何關係並不很了解（引自 林珮如，2002）。也就是說，學童對於整除和被整除的語意容易混淆，對哪個數 是因數就難以理解了。 五、從過程概念的觀點來看 有些數學概念要經由操作程序而獲得，例如，經由「數數」的過程獲得「數」 概念，經由「往上數」的過程，獲得「和」（sum）的概念，經由連續加的過程獲 得「積」（product）的概念，這種經由操作程序而獲得的概念稱之為「過程概念
（pro-cept）」（Gray & Tall, 1994）。過程概念是由「過程」（process）， 「概念」（concept），與「符號」（symbol）組成。例如3 + 2 代表 3 與 2 兩 數的相加，也代表兩數之和的概念，所以是個過程概念（Gray & Tall, 1993）。 如此看來，「因數」也是個過程概念，是經由「因數」除「倍數」的過程，再經 整除的確認，因數是經由此等過程所得到的概念，所以具有過程概念的特質（黃 國勳、劉祥通，2003）。過程概念是從過程衍生而來，所以此種概念含有隱藏的 知識（tacit knowledge），此隱藏知識往往在教學中未被突顯（朱建正，1997）。 舉例來說 4 整除 64，4 是64 的因數，既然 4 整除 64 得到商數「16」，所以 16 也應整除 64，16 也是64 的因數。但是，後者是隱藏的，往往未被學童注意， 在教學中也未被老師突顯出來，所以學童在找尋因數時未能找出配對的另一個因 數，以致無法有效節省計算的過程，而造成解題的困難，以致未能解題成功（黃 國勳、劉祥通，2003）。 六、教材內容方面 在國小「數的計算」的教材中通常是給二個以上的數字，學童再依題目的要 求進行解題，但在求因數時，卻只提供一個數字，而且因數的求得，必須以整除 的概念為起點，從無到有，逐一運算與判斷，而且還必須正確計算所有整除的數(黃 國勳、劉祥通，2003)。也就是說，求某一個數的因數時，不像加減乘除或四則運 算只求得一個合理的答案，而是必須依照題目，逐一判斷或運算，這樣的過程自 然增加學童正確解題的難度。 叁、因數的相關研究 一、陳清義的研究 陳清義(1995)運用知識結構分析技術，分析國小五年級數學科因數、倍數兩 單元教材的內容概念，據以編製紙筆測驗；並運用無參數試題反應理論所發展出 的ICCNP 軟體探索試題與受試者的量化特性；然後藉由晤談的方法探討國小五年
級學生在這兩個單元的學習瓶頸。研究的結果發現： （一）教材中部份概念練習的出現次數太少，教師應自行設計補充教材。 （二）教材的編製有一部分必須做調整，以符合不同能力學生的學習。 （三）筆試資料分析出六種試題特徵曲線，其中曲線出現平台處，在所對應的能 力值的學生，確實出現學習瓶頸。 二、黃寶彰的研究 黃寶彰(2002)針對六、七年級學生，數學科學習困難的部分，探討學生在這 些學習困難部分的思考方式、錯誤的解題策略或迷思概念，以及了解學生學習困 難的情形及原因為何。發現六、七年級學童在「因數與倍數」這部分的學習困難 和錯誤情形有以下的原因： （一）因粗心而出現遺漏或多選答案的情形。 （二）對名詞混淆不清或不瞭解而出現顛倒或錯誤的答案。 （三）轉譯文字題的題意有困難。 三、于國善的研究 于國善(2003)針對「國小因數單元」設計補救教學活動，採個別化教學方式 進行，教學活動以生活化、情境化、具體化及個別化為設計原則。過程強調以學 生為主體，並將學習問題結合其經驗、情境，讓學生能動手操作、實際參與。其 發現如下： （一）補救教學活動應須由學生動手操作實物、運用具體物、結合學生生活經驗 與週遭情境。 （二）個案經過補救教學後，在筆試測驗、解題能力與因數概念改變上均有提升 的效果。 （三）透過補救教學活動後，個案均能說出因數及整除之意義。
四、林珮如的研究
林珮如(2002)依據Mayer & Brainbridge 解題理論和直觀法則理論，而自編 的因數迷思概念診斷工具，分析歸納學童在因數方面的解題策略，探討學童的因 數迷思概念和成因。其發現如下： （一）先備知識理解不清產生錯誤連結，用一一列出對應方式解題時、粗心或計 算錯誤、缺乏閱讀解釋問題能力以致誤解題意、採用關鍵字解題錯誤等。 （二）國小學童學習因數時的迷思概念共計有概念混淆不清、概念遺漏與概念錯 誤三大類。 綜合以上研究的結果，可知學童在因數單元的學習上，存在著許多的學習困 難與錯誤概念，教師在教學時，應致力於找出障礙的癥結所在，以期能幫助學童 習得此單元。在本研究中，將用不同的研究工具，探討學童在因數單元的學習困 難。期望能對教學者在了解學童學習因數時的學習障礙有所助益。
第四節 試題關聯結構分析法
一個單元在實施學活動後，學童的概念能力在結構上的變化，是教學者亟欲 得知的重要訊息，但考驗的方法，在古典的測驗理論中一直付之闕如。1973年美 國學者P.W. Airasian 和W.M. Bart 首先揭開次序理論(ordering theory)在教育工學 上的應用。在1977 年日本學者竹谷誠參加美國威斯康辛大學的研討會，因F.B. Baker的介紹而理解功用，返回日本之後便致力於改良次序理論的缺點，在1979 年 發明「試題關聯結構分析法」，並於1980年，完成試題關聯結構分析法的理論 。竹谷誠教授提出以測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製成 具有指向性的圖形結構，來分析試題的特性，此種方法稱之為「試題關聯結構分 析法」(item relational structure analysis)，簡稱IRS 分析法(引自許天維，1995)。到 了此時，學童概念能力的學習情況分析才獲得解決。 壹、試題關聯結構法理論 在此，略用篇幅詳細說明理論上直觀的意義，假設有A、B兩組學生各有十位， 均參加試題共為六題的同一種測驗，若假設答對者得一分，答錯者得零分，其得 分情況如表2-6 及表2-7 所示： 表2-6 A組學生得分情形 表2-7 B組學生得分情形 A 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 3 0 1 1 0 0 0 學生 4 0 1 1 0 0 0 學生 5 0 1 1 0 1 1 學生 6 0 0 1 0 1 1 學生 7 0 0 1 1 1 1 學生 8 0 0 0 1 1 1 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6 B 組 試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 3 0 0 1 0 0 0 學生 4 0 0 0 0 0 0 學生 5 0 1 1 1 1 1 學生 6 0 1 1 0 1 1 學生 7 0 1 1 1 1 1 學生 8 0 0 1 0 1 1 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6
由表 2-6 及表 2-7 可知兩組測驗後，各組各試題之答對者人數均相同，為方便 起見，可以改成表 2-8 及表 2-9： 表2-8 A 組學生得分簡表 其次，依照每位學生試題所得的總分高低，由上而下排序可得表2-10 和表2-11： 表2-10 A組學生總分排序簡表 表2-11 B組學生總分排序簡表 表2-9 B 組學生得分簡表 A 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 5 0 1 1 0 1 1 6 0 0 1 0 1 1 7 0 0 1 1 1 1 8 0 0 0 1 1 1 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 1 1 1 1 1 6 0 1 1 0 1 1 7 0 1 1 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 7 4 6 6 A 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 1 0 1 1 7 0 0 1 1 1 1 6 0 0 1 0 1 1 8 0 0 0 1 1 1 3 0 1 1 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 高分 低分 B 組 試 題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 6 0 1 1 0 1 1 8 0 0 1 0 1 1 3 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 高分 低分
接著，以學生在各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤S-P表， 如表2-12 和表2-13： 表2-12 A 組試題答對人數排序簡表 表2-13 B 組試題答對人數排序簡表 由表2-12 和表2-13知兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序都相 同；亦即二組之試題難易分配與試題號碼之對應完全一致，但如果著眼於考慮順 序結構圖，依下列方法細加分析，就會有顯著的不同。 A 組中，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 4，亦即答 對試題 1 的學生亦答對試題 4，此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭，記作 4→1；同 理，答對試題 4 的學生是 1 號、2 號、7 號及 8 號，他們亦同時答對了試題 5、6， 所以分別有 5→4、6→4；另一方面，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同 時答對了試題 2，答對試題 2 的學生是 1 號、2 號、3 號、4 號及 5 號，他們亦同 時答對了試題 3，所以分別有 2→1、3→2；此外，答對試題 4 的學生有 7 號沒答 對試題 2，故沒有試題 2 到試題 4 的指向箭頭，其餘均依此類推。 同法，在 B 組中，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號亦答對了試題 4，亦即答對 A 組 試 題 3 5 6 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 0 7 1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 0 0 8 0 1 1 0 1 0 3 1 0 0 1 0 0 4 1 0 0 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 7 6 6 5 4 2 多 少 B 組 試 題 3 5 6 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 0 7 1 1 1 1 1 0 6 1 1 1 1 0 0 8 1 1 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 7 6 6 5 4 2 多 少
