第四章 研究結果與分析
第三節 試題關聯結構圖之分析與討論
19
由圖4-1 可以發現整個群體受試者之結構圖是由試題 3 為最下位的概念再向上 發展而延伸出數個系列結構，其頂端分別是試題 14、10、25、15，其中又以試題 15 的位置最位，為最上位的概念。
另外，可觀察到在圖4-1 中，試題 4、9、17、12 為一等價群，而試題 4、2，
試題 4、21，試題 9、17、20，試題12、11 及試題 12、23 亦形成等價，照常理而 言，試題4、9、17、12 及 2、21、20、11、23 應為一大等價群，然而，實際之試 題關聯結構圖卻沒有呈現如此的訊息，由此可見試題關聯結構法仍有不合理之處
「事實知識」共包含試題 8、17 二題，由表 4-7 就試題答對率、難易度及鑑 別度分析如下：
1.就題目的答對率來看，題 8（質數識別）的答對率較低，題 17（互質概念 ）的答對率較高，可見只思考一個數的特性比思考二個數的關係，對學童 而言是較困難。
2.就題目的難度來看，二題難度指數是.571 和.714，以難度指數來看，這二 題應是不算簡單的題目，但以題目來看，只是測驗數學名詞的基本定義，
應算是基本的數學知識，由此可知，受測班級對數學名詞的意義不是很了 解。
3.就題目的鑑別度來看，二題的鑑別度皆是.571，都是鑑別度頗高的試題。
（三）試題內容分析：
1.「事實知識」包含試題 8、17，兩題都屬文字題，學童是否能正確轉譯文字 題的題意，牽涉到學童的語文能力，因此文字題在答對率上，相較於以純 數字呈現的題目而言是較低的。
2.受測學童在試題 8 選擇第 2 選項「互質」的百分比有 17.86％，可見許多學 童對「互質」及「質數」觀念混淆的情形嚴重，這也是值得教學者於教學 時需要特別留意的地方。
3.二題的選項中，除了正確答案外的選項都有學童選擇，猜測的意味濃厚，
可見學童對這些選項的數學名詞真正意義仍不清楚，在這方面應多補強。
（四）專家知識結構圖與學生知識結構圖的比較如圖 4-3 所示：
專家知識結構圖 學生知識結構圖 圖 4-3 「事實知識」概念之知識結構圖比較
質數的概念（8）
互質的概念（17）
17
8
由圖 4-3 比較「事實知識」概念的專家知識結構圖與學生知識結構圖後發現：
1.專家知識結構圖與學生知識結構圖剛好相反，即「互質概念」是「質數概 念」的下位概念，先讓學童思考二個數的關係會比只思考一個數的特性更 容易，如此的結果可提教學者的參考。
二、「概念知識－了解」之試題關聯結構圖及學童因數概念分析
「概念知識－了解」共包含試題 9、10、11、18、19、20、21、22，試題之分 析如下：
（一）試題之概念分析及 IRS 結構圖如表 4-8 及圖 4-4 所示：
由「IRS」所得到的試題關聯結構圖分析：
1.由圖 4-4 可以看出在「概念知識－了解」的試題中，試題 18（互質概念/
給二個數識別是否互質）的答對率最高，屬於最下位概念。試題 10（質數 識別）是答對率最低，屬於最上位概念.。
2.試題18、22 為一等價群，而試題 20、9 亦形成等價，照常理而言，試題 18、
22 到試題 9 有順序性關係，到試題20 應也要有順序性關係，然而實際之試 題關聯結構圖卻沒有呈現如此的訊息，由此可見試題關聯結構法仍有不合 理之處尚待改進。
表 4-8 「概念知識－了解」試題之概念分析
（二）試題難度及鑑別度分析，如表 4-9 所示：
「概念知識－了解」共包含試題 9、10、11、18、19、20、21、22 八題，由 表 4-9 就試題答對率、難易度及鑑別度分析如下：
1.就題目的答對率來看，除了試題 10、11、19 外，答對率皆在 0.8 以上，可 見學童在「概念知識－了解」上尚屬大部分了解的階段。
2.就題目的難易度來看，只有試題 10 及試題 11 的難易度指數為.357 及.643，
屬較難的試題，其餘皆在 0.8 左右，應屬於不難的試題。
3.就題目的鑑別度而言，除了試題 18、21、22 的鑑別度指數小於 0.3（但也 很接近 0.3），其餘皆在 0.5 左右，所以可算是鑑別度不錯的試題。
0.9 0.8 0.7
1.0 0.6
圖 4-4 「概念知識－了解」概念 之試題關聯結構圖
0.5
21
19
22 18 9 20
10
11
① 10.71
（三）試題內容分析：
1.試題 10 這題整體的答對率只有 57.1％，在低分組的答對率是 0，答錯的學 童中，有一半以上選第二選項，也就是說，這些學童對「質數」的基本定 義（一個大於 1 的數）都不了解，對於更高層次的解題就一定會產生困難 。建議教學者在介紹質數概念時，對於「1 是否為質數？」可提出讓學童共 同討論。
2.試題 11 的答對率也不高，但高分組答對率是 1，低分組答對率只有.286，
且不正確的三個選項皆有學童選擇，可推測學童不了解題目的「質因數分 解」意義，而有猜測答案的情形。
3.試題 22「由質因數分解求最大公因數」只需在題目所列出的質因數分解式 子中，找出共同的因數相乘後即可得到答案，與試題 21「由質因數分解求 二數的公因數」比較，發現二題題目相當雷同，但試題 21 卻未與試題 22 有順序性關聯，答對率也較低，仔細思考與比較，發現試題 21 是要求出二 數的公因數，而正確選項的答案是必須將 546 及 195 共同的因數 3、13 相 乘，才得到 39 的答案，而 39 又剛好是 546 及 195 的最大公因數，如此的 巧合會讓某些概念不是很清楚的學童對 39 這個答案產生懷疑，而產生猜測 的情形，觀察學童的答題紀錄，發現其他三個選項都有學童選擇，這種情 形大大提高上述發生的可能性。可見學童對「二數的最大公因數也是二數 之公因數」的概念還需要加強，另外，如果二數 A、B 的質因數分解式子如 下：
A＝ c × d × e B＝ c × d × f
則「不僅 c 是 A、B 的公因數，d 也是 A、B 的公因數，連 c × d 也應是 A、
B 的公因數」的概念也要再加強，此二種概念在教學者教學時可特別留意。
（四）專家知識結構圖與學生知識結構圖的比較如圖 4-5 所示：
三、「概念知識－應用」之試題關聯結構圖及學童因數概念分析
由圖 4-6 可得以下之分析結果：
（三）試題內容分析：
1.試題 23、24、25 皆為文字題，學童的語意理解能力會影響做答的正確性，
因此相較其他試題而言，答對率是較低的。
2.試題 23、24、25 這三題文字題，以試題 23 的內容比較接近學童的生活經 驗，學童會更了解題意，這應該也是試題 23 在這三題中答對率最高的原因 3.試題 24、25 的答對率只有 0.6 左右，仔細研究題目，發現這二題有一個共 同特點：在這二題題目的問句中皆出現「最大」二個字。如此的情形很容 易讓部分學童產生關鍵字解題的迷思。觀念不清的學童認為：因題目有「
最大」二個字，應是要求數字最大，所以就變成求公倍數了。因此在試題 24 有近 20％的學童選擇第 4 選項，應就是如上述所言的迷思概念所造成。
（四）專家知識結構圖與學生知識結構圖的比較如圖 4-7 所示：
。
由圖 4-7 比較「概念知識－應用」概念的專家知識結構圖與學生知識結構圖 後發現：
1.學生知識結構圖與專家知識結構圖是十分吻合的，可見學童在公因數的概 念發展上是紮實穩固的。
最大公因數的概念（24、25）
公因數的概念（23）
23
24
專家知識結構 學童知識結構
圖 4-7 「概念知識－應用」概念之知識結構圖比較
25
四、「概念知識－分析」之試題關聯結構圖及學童因數概念分析
由圖 4-8 可得以下之分析結果：
1.試題 4（能被二數同時整除的概念）的答對率最高，是其他三個概念的下位 概念，試題 15（在選項中選出質因數概念的選項）的答對率最低，是其他 三個概念的上位概念。
2.試題 4 到試題 5 有順序性，表示試題 4 是試題 5 的下位概念，試題 5 到試 題 7 有順序性，表示試題 5 是試題 7 的下位概念，在結構圖中呈現一系列 化現象（Takeya, 1991）。
3.試題 5 是試題 7 的下位概念，可見學童對因數概念的了解，如果由除法算式 引入會比由乘法算式引入更容易接受。
1.0
圖 4-8 「概念知識－分析」概念之試題關聯結構圖
0.9
0.8 0.7 0.6 0.5 0.4
4
57
15
（二）試題難度及鑑別度分析，如表 4-13 所示：
究中所提到的迷思概念雷同：許多學童會認為乘法是越乘越大，除法會越 除越小，所以用乘法是求倍數的，用除法才是求因數。只要出現乘就認定 是倍數，只要出現除就認定是因數。為消弭學童的迷思，建議教學者可以
讓學童藉由實物操作真正建構因數的概念，而非記憶性的解題。
2.試題 15 的答對率只有 0.464，是這份試題答對率最低的題目，由表 4-13 發 現其他三個選項都有學童選擇，其中又以第 3 選項的選擇人數最多，可見 學童對合數、公倍數、公因數、質因數等 觀念仍容易混淆，尤其是公因數、
質因數二者混淆的情形更是明顯，值得教學者重視。
（四）專家知識結構圖與學生知識結構圖的比較如圖 4-9 所示：
質因數的概念（15）
因數的概念（5、7）
整除的概念（4）
4
5
7
15
專家知識結構 學童知識結構
圖 4-9 「概念知識－分析」概念之知識結構圖比較
由圖 4-9 比較「概念知識－分析」概念的專家知識結構圖與學生知識結構圖 後發現：
1.就試題 4、5、7 三題而言，雖試題 5、7 是同一個因數概念的題目，但因難 易度不同，而有上下位關係，大致來說，這三題的學生知識結構圖與專家 知識結構圖是還算吻合的，
2.就試題 15 而言，因題目尚有合數、公倍數、公因數、質因數等概念，因此 在閾值 0.5 時，並未與因數概念的試題 4、5、7 產生順序性關係，這是合 理的現象。
五、「程序知識」之試題關聯結構圖及學童因數概念分析
「程序知識」包含試題 1、2、3、6、12、13、14、16 八題，試題之分析如下：
（一）試題之概念分析及 IRS 結構圖如表 4-14 及圖 4-10 所示：
由圖4-10 可得以下之分析結果：
1.在「程序知識」概念的試題中，是由最下位的整除概念（試題 3）再發展 到因數概念的程序知識。受測學童在試題 3 的答對率最高，而試題 3 的整 除概念也是學習因數單元的先備知識，是屬於最下位的概念，按照常理推 斷，應該是答對率最高的試題，而施測結果與專家知識結構是不謀而合。