第四章 研究結果與討論
第一節 不同能力值的等量公理 ISM 圖之比較
以受試者能力值平均數上下一個標準差為臨界點，將全體受試者區分為高、
中、低能力值三組，並各自在三組中隨機選取一名受試者，設為 A、B、C 三位 受試者，其三者之答題情形如表 4-1 所示，做為本研究說明不同能力組 ISM 圖之 特徵與異同之舉例。根據演算結果得到三位受試者之模糊關係矩陣，如附錄二所 示，將 A、B、C 三位受試者之模糊關係矩陣以
＝0.75 進行截矩陣，此 3 位受 試者之概念的相鄰矩陣 A 如表 4-2 所示。表 4-1 不同能力值之受試者代表答題情形（
-1.29 10
-8， S
. 974
）受試者代號 組別 該組人數 能力值 答對題數
A 高能力組 63
= 1.453 23 B 中能力組 335
= 0.171 16 C 低能力組 67
=-1.444 9 表 4-2 A、B、C 三受試者之概念的相鄰矩陣 A (
=.75)A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13
A1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
A4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A5 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
A6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
A9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
A11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
A12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
A 受 試 者
A13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
表 4-2 A、B、C 三受試者之概念的相鄰矩陣 A (續)
四、上述不同能力值之概念 ISM 圖在結構上極大差異之情形，並不符合傳統測驗 之假定，即難以熟悉概念之數量應隨著受試者能力值的增加而減少。因此，
本研究進一步整理不同能力組在每一試題之平均通過率如表 4-4，觀察表 4-4 可發現每一試題之通過率因不同能力組而有所不同。不同組別之概念 ISM 圖 其概念熟悉難易之區別乃屬於組內相對關係，同樣階層裡的每一概念在各組 之通過率並不相同。圖 4-5 表示以通過率為縱軸所標示出不同能力組之相對 位置。因此，不同能力值之概念 ISM 圖其階層編號相同並不代表其概念之通 過率相同。
五、綜合以上所述，能力值愈高，其概念 ISM 圖中最上層之概念數量愈多、最下 層概念愈少之現象乃本研究所發現之等量公理知識結構重要特徵。
圖 4-1 A 受試者之等量公理概念 ISM 圖(
=1.45311
=0.75)圖 4-2 B 受試者之等量公理概念 ISM 圖(
=0.17118
=0.75)圖 4-3 C 受試者之等量公理概念 ISM 圖(
=-1.44364
=0.75)圖 4-4 A、B、C 受試者之概念 ISM 圖通過率比較圖
表 4-3 不同能力值受試者之 ISM 圖各層之概念內容
A 受試者 B 受試者 C 受試者
第四層概念 1、2、4、6、7、9、13 13 13 第三層概念 3、8、12 1、2、4、6、7、8、9 11 第二層概念 5、10 3、10、12 4、6、7、8、9
第一層概念 11 5、11 1、2、3、5、10、12
A 受試者 B 受試者
C 受試者
通過率
( 從
下由高而低遞減)
0.1
0.9
表 4-4 不同能力組在每一試題之平均通過率
題號 測量之概念編號 全體通過率 高分組 平均通過率
中分組 平均通過率
低分組 平均通過率 1-1 3 0.807 0.873 0.821 0.687 1-2 3 0.646 0.810 0.651 0.463 1-3 1 0.396 0.476 0.394 0.343 1-4 9、12 0.909 0.937 0.913 0.866 1-5 6 0.785 0.857 0.797 0.657 1-6 6、12 0.754 0.810 0.776 0.612 1-7 7 0.370 0.429 0.382 0.254 1-8 2 0.916 0.968 0.928 0.806 1-9 9 0.333 0.413 0.334 0.254 1-10 8 0.892 0.889 0.919 0.761 1-11 2 0.394 0.476 0.409 0.239 2-1 5 0.805 0.905 0.818 0.657 2-2 5 0.885 0.952 0.887 0.821 2-3 7、12 0.508 0.619 0.496 0.478 2-4 1 0.578 0.667 0.597 0.403 2-5 1 0.632 0.667 0.657 0.478 2-6 1 0.680 0.651 0.716 0.522 2-7 1 0.647 0.619 0.678 0.522 2-8 4 0.460 0.540 0.475 0.313 2-9 2 0.671 0.698 0.684 0.582 2-10 7、9、12 0.667 0.762 0.657 0.627 3-1 7、11 0.632 0.810 0.636 0.448 3-2 9、11 0.626 0.794 0.636 0.418 3-3 8、11 0.634 0.778 0.639 0.478 3-4 8、9、13 0.114 0.365 0.075 0.075 3-5 6、7、13 0.118 0.365 0.084 0.060 4-1 10 0.877 0.952 0.896 0.716 4-2 10 0.755 0.778 0.776 0.627
為提供資料之可讀性，研究者將 A、B、C 三位受試者之 ISM 圖依前文之簡
個 ISM 圖中的「概念位居階層的差異」以及「概念間的連結關係」。茲針對「整 體的階層架構」和「以未知數列式」、「等量公理四概念的理解」、「運用等量公理 解決問題」三群組概念為骨架，探討概念與概念間的關係，結果如下數點：
一、在整體的階層架構中可發現，C 受試者 ISM 圖之各概念連結情形遵守層遞原 則，層與層之間的連結具樹形結構，即是 C 受試者 ISM 圖的階層性高於 A、
B 二人的 ISM 圖。
二、「等量四公理」即概念 6、概念 7、概念 8、概念 9。在 A 受試者的 ISM 圖中，
四概念有上下階層的差別，四概念間彼此獨立而無關聯。此項特色與 B 受試 者和 C 受試者不同，觀察 B、C 二受試者 ISM 圖可知四概念位於同一層。顯 示 A 受試者等量公理概念的學習上，概念 8 較其他三概念容易熟悉，與 B、
C 二受試者的情形不同。
三、「運用等量公理解決問題」即概念 11、概念 12、概念 13。在 C 受試者的 ISM 圖中，三概念之連結順序為概念 12→概念 11→概念 13，與 A、B 二受試者 ISM 圖三概念之連結順序(概念 11→概念 12→概念 13)不同。顯示 C 受試者 在運用等量公理解決問題上有著與 A、B 二受試者不同之連結關係，較熟悉 概念 12 而較不熟悉概念 11。
四、「以未知數列式」即概念 1、概念 2。此二概念在 A、B、C 三受試者 ISM 圖 中皆呈獨立且等位階情形。但位居層級數則有很大的差異：在 A 受試者的 ISM 圖中此二概念位居最上層級；B 受試者的 ISM 圖中位居第二層級；C 受試者 的 ISM 圖中位居第四層級，亦是最下層。顯示 A、B、C 三生對於「以未知 數列式」的概念學習上，有不一樣的熟悉程度。
五、觀察其他概念可歸納出三 ISM 圖彼此間其他的特色：概念 5 位在 A 受試者 ISM 圖中之第三層，與 B、C 受試者 ISM 圖中位於第四層不同；概念 3 與概 念 4 在三 ISM 圖之位階皆不相同，連結方式也不同。顯示 A、B、C 受試者 的概念 3、概念 4、概念 5 在其 ISM 圖中有著不同的熟悉程度。
六、概念 10 在三 ISM 圖中位於較低層級，顯示 A、B、C 受試者在等量公理的學 習，概念 10 是較基礎且容易熟悉的概念。
七、概念 11 在 A、B 二位受試者中位於最低階層；但在 C 受試者卻位於第三階 層。如此明顯的差異值得進一步在試題概念 ISM 圖裡探究。
11
5 10
3 12
1 7 4 6 2
8
9 13
11
5 10
3 12
1 7 4 6 2
8
9 13
圖 4-5 A 受試者等量公理 ISM 圖之簡化圖
11 5
3 12 10
1 2
4 7 6 8 9
13
11 5
3 12 10
1 2
4 7 6 8 9
13
圖 4-6 B 受試者等量公理 ISM 圖之簡化圖
第四層
第三層
第二層
第一層
第四層
第三層
第二層
第一層
10
3 12 5
1 2
6
8 9
4 7
11 13
10
3 12 5
1 2
6
8 9
4 7
11 13
圖 4-7 C 受試者等量公理 ISM 圖之簡化圖
第三層
第二層
第一層 第四層
第二節 分析不同能力值受試者在試題內概念屬性
表 4-5 不同能力值受試者的試題概念之 ISM 圖(續)
表 4-5 不同能力值受試者的試題概念之 ISM 圖(續) 受試者之試題概念 ISM 圖
題號 A B C
3-5
4-1 4-2
根據表 4-5 不同能力值受試者之試題概念圖，可歸納說明以下數點：
一、試題 1-1、1-2、1-3、1-7、1-8、1-9、1-10、1-11、2-1、2-2、2-4、2-5、2-6、
2-7、2-8、2-9、4-1、4-2 只測一概念，各試題 ISM 圖可顯示該概念位居之 層級會因能力值不同而有差異。
二、探討測量二個概念的試題可得到二種情形：一種為概念連結架構皆一樣、
但位於不同階層者(試題 1-4、1-5、1-6、2-3)；另一種為概念上下連結架構 不同、亦位於不同階層者(試題 3-1、3-2、3-3)。後者在試題 3-1 至試題 3-3 中之概念連結，C 受試者之概念連結皆與 A、B 受試者相反。顯示 C 受試 者在解決試題 3-1 至試題 3-3 之概念使用策略與 A、B 受試者恰好呈現相 反的順序。
三、分析含有三個概念的試題 2-10 可發現：B 受試者與 C 受試者之試題 ISM 圖其概念 12 與概念 7 有連結關係的存在，這點與 A 生之三概念是獨立無 相關者不同。觀察試題 3-4 之 ISM 圖可發現： B 受試者與 C 受試者之概 念 8、9 與概念 13 有連結關係，與 A 受試者之概念 8 僅與概念 13 有連結 關係不同。觀察試題 3-5 之 ISM 圖可發現： B 受試者與 C 受試者之試題 ISM 圖其概念 7、6 與概念 12 有連結關係的存在，這點與 A 生之三概念 獨立無相關情形不同。
10 第一層
10 第二層
10 第二層
7 6 13 第四層 7 6
13 第四層 7 13 6
第四層
四、試題 3-1、3-2、3-3 皆有測量概念 11，在 C 受試者之三題試題 ISM 圖概念 的指向與 A、B 二位受試者完全相反，顯示概念 11 對於 C 受試者在解決 這些試題而言，與 A、B 受試者有明顯之不同。
五、綜合以上各點可知，不同能力值之 A、B、C 三受試者在試題概念 ISM 圖 有連結關係及階層的差異存在。顯示解決同一試題所採取的策略順序會因 為受試者的能力值而有所不同。
第三節 針對答對題數相同但反應組型不同的 ISM 圖進行比較
由於傳統的測驗計分方式係以答對題數來表示受試者的能力，將答對題數相 同的受試者視為具有相同能力值，但往往無法解釋其反應組型不同時之差異。而 試題反應理論僅提供受試者之能力，對於受試者之知識結構則無法呈現。因此，
本研究舉「答對題數相同但反應組型不同」之不同能力組受試者為例(三組共六 位)，進行等量公理的概念 ISM 圖繪製，據以說明本研究分析方法之特色。其答 題情形如表 4-6 所示。並依照前文之演算流程，以
=0.75 進行截矩陣，得到六位 受試者之概念的相鄰矩陣 A 如表 4-7 所示。表 4-6 答對題數相同但反應組型不同之答題情形 組別 受試者
代 號 能力值 答對題數 反應組型
D -1.752 8 1100000001000010111100000000 低能力組 E -1.612 8 0101100001001001100100000000 F -0.848 13 1101000101001010110110000011 中能力組 G -0.788 13 0100010101011011011100000011 H 1.477 23 1101110101011111110111111111 高能力組 I 1.511 23 1011110101011011111111111111
表 4-7 D、E、F、G、H、I 六位受試者之概念的相鄰矩陣 A
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13
A1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
A2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
A3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
A4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
A5 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0
A6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
A7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
A8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
A9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
A10 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0
A11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A12 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0
D 生
A13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
表 4-7 D、E、F、G、H、I 六位受試者之概念的相鄰矩陣 A (續)
表 4-7 D、E、F、G、H、I 六位受試者之概念的相鄰矩陣 A (續)
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13
A1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
A4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A5 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
A6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
A9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
A11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
A12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
H 生
A13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13
A1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
A4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A5 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
A6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
A9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
A10 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1
A11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
A12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
I 生
A13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
根據相同之演算步驟繪製出六位受試者之等量公理概念 ISM 圖，整理成簡化 圖如圖 4-8 至圖 4-10 所示，以簡化圖為分析觀點，將每組受試者 ISM 圖加以比 較，探討答對相同題數之受試者的 ISM 圖中，兩兩之間概念連結之差異與特徵歸 納於下：
一、圖 4-8 顯示 D 受試者與 E 受試者之概念 ISM 圖在階層結構上類似，共同之 處為各概念所在之階層相同；概念 13 同為 D 受試者與 E 受試者之最高層級 概念，顯示是二受試者最不熟悉的概念；概念 1、2、3、5、10、12 同為二 受試者之最低層級概念，顯示是二受試者共同最熟悉的概念。不同之處在於 D 受試者 ISM 圖多了「概念 5→概念 6」、「概念 2→概念 7」二個連結關係，
兩者在連結關係結構上不盡相同。
二、圖 4-9 顯示 F 受試者與 G 受試者之概念 ISM 圖在階層結構上類以，共同之 處為兩者之階層數同為四層；概念 13 同為 F 受試者與 G 受試者之最高層級 概念，顯示是二受試者最不熟悉的概念；而概念 3、5、10、12 同為最低層 級概念，顯示這些概念是二受試者對於學習等量公理最熟悉的概念。而差異 之處有二：其一為概念 9 位居二者階層數的不同，在 F 受試者 ISM 圖中，概 念 9 位居第三層；在 G 受試者 ISM 圖則位居第二層。其二是兩個 ISM 圖之 有向連結關係不盡相同，F 受試者 ISM 圖較 G 受試者 ISM 圖多了「概念 9
→概念 11」的連結關係；G 受試者 ISM 圖較 F 受試者 ISM 圖多了「概念 3
→概念 2」、「概念 12→概念 6」、「概念 6→概念 7」、「概念 2→概念 9」四個 連結關係。顯示 F 受試者與 G 受試者在學習概念 9 的情形是不相同的。
三、圖 4-10 顯示 H 受試者與 I 受試者之概念 ISM 圖在階層結構上類以，共同之 處為兩者之階層數同為四層；概念 1、2、4、6、7、9、13 同為 H 受試者與 I 受試者之最高層級概念，顯示是二受試者最不熟悉的概念；而概念 11 同為 最低層級概念，顯示是二受試者最熟悉的概念。而差異之處有二：其一為概 念 12 位居二者階層數的不同，在 H 受試者 ISM 圖中，概念 12 位居第二層；
在 I 受試者 ISM 圖則位居第一層，顯示 H 受試者與 I 受試者在學習概念 12 的情形是不相同的。其二是兩個 ISM 圖之有向連結關係不盡相同，H 受試者 ISM 圖較 I 受試者 ISM 圖多了「概念 3→概念 1」、「概念 12→概念 13」二個 連結關係。
四、綜合以上所述可歸納得知，傳統計分方式相同但反應組型不同之受試者，其
四、綜合以上所述可歸納得知，傳統計分方式相同但反應組型不同之受試者，其