本研究旨在應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的等量公理 概念之階層結構。研究者圖繪不同能力表現的學生之等量公理知識結構圖，並探 討其知識結構圖之異同。本章旨在闡述本研究之動機、目的及對本研究所提及之 相關名詞作釋義。
第一節 研究動機
數學被公認為科學發展的碁石，文明演進的指標與推手。數學教育目的，要 讓每個學生具備正確的數學概念以提昇數學能力。所以，有意義及有效率數學學 習相當重要 (教育部，2003) 。為了順應世界潮流、回應教育改革總諮議報告書 的建議，教育部於 2001 年 1 月公佈「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」，在教 育的制度及課程的內容做出革新。本課程綱要為我國國民教育的發展帶來史無前 例的巨大變革 (吳寶桂，2004)。在數學課程部份，除了將學科名稱改為領域之外，
尚將九年一貫課程數學學習領域分成「數與量」、「圖形與空間」、「統計與機率」、
「代數」和「連結」五大主題，以及具體操作(一至三年級)、具體表徵(四至五年 級)、類化具體表徵(六至七年級)、符號表徵(八至九年級)四個階段(教育部，2000)。
實施之後，為因應九年一貫數學領域暫行綱要銜接高中職課程總綱之需求，教育 部進一步對暫行綱要裡學習階段的課程內容做出部份修正，於 2004 年 8 月正式 實施「數學領域課程綱要」，作為我國推動中小學數學教育的方針。在修正的課 程內容裡中，一向屬於國中教材代數部分的「等量公理」(equality axiom)將從七 年級移至六年級進行介紹。如此一來，國小階段增加代數概念學習份量，使得處 於認知形式轉換過渡期的學生，提早面臨從算術到代數的銜接。
從 算 術 轉 換 到 代 數 之 學 習 ， 最 主 要 的 困 難 是 學 習 辨 認 新 的 數 學 物 件
(Vergnaud,1997)。學生不只要做新符號的運算，同時還需要了解未知數、方程式、
變數等新的概念。再加上學生採取直觀方法(intuitive methods)解決算術問題的習 慣，對於代數和算術之間符號意義與用法辨識不清，因而無法順利地從算術轉換 到代數(Kieran, 1992)。根據皮亞傑認知發展理論，國小六年級至國一學生正於形 式運思發展階段，此時期的學生應有能力從事抽象符號思考與演繹推理的工作(袁 媛，1993；陳燕香，1993；張春興，1996)。但我國自新數學課程實施之後，六、
七年級的銜接成為共同檢討的問題，周筱亭(2000)歸納其數學領域研究人員看 法，認為「整個數學就是在六、七年級搞壞。從對數學還可以的，變成很討厭數 學，就是在六、七年級」。國內外許多研究亦指出，學生在學習代數上常常發生 困難，且依學生之能力不同而有差異(王佳文，1995；袁媛，1993；廖瓊菁，2001；
謝和秀，2001； Brenner & Moseley, 1997；Kieran, 1992)。
在數學抽象化與形式化學習的重要轉換階段中，代數學習是此階段之焦點，
代數的學習對數學的推論、歸納、演繹能力的培養，有著極大的關係(林曉芳，
1999)。代數教材呈現之順序及課程內容架構對於學生學習代數的成效影響極大，
以往在國中一年級始介紹代數概念並廣泛應用，例如：利用文字來代表一般數，
表示數的通性，以及用文字符號代表未知數，幫助解決問題；如今，等量公理及 其相關代數概念下挪至國小六年級進行教學，在此一變革實施後，其學習等量公 理概念之成果及該概念知識建構情形，有其檢視及追踪之必要。而回顧以往對於 代數學習的相關研究可發現，研究焦點多為量化統計考驗與質性晤談，對於以知 識結構角度去分析學習者概念建構情形以及呈現個別的知識結構，則欠缺相關研 究及探討。此外，有關國小學童在等量公理的實證研究尚屬不多，因此進行國小 學童的等量公理概念結構的研究，以提供數學教材和教學之參考，實有必要與可 行之處。
在心理計量領域的研究方面，如何適切地表達個人的概念結構特性，一直是
(1987)提出詮釋結構模式(interpretive structural modeling, 簡稱 ISM)分析法，並舉 出許多 ISM 分析法在教育領域中課程與學習的應用之實例，其主要優點為透過 ISM 分析法不但可將教學者腦中抽象的教學要素轉變為具體化的關聯構造階層 圖，亦能夠透過學習者概念元素彼此之間的關係，得到整體概念的結構圖(鍾靜 蓉，2002)。國內許多學者提出有關 ISM 分析法的實證研究(許天維、林原宏，1994；
廖信德，1998；蔡秉燁、鍾靜蓉，2003)。但是 ISM 分析法礙於其元素關係只限 於二元關係，並不完全適用於描述學習者知識結構中概念間的關係，尤其是數學 之概念或解題能力單位之關係。林原宏(2005) 結合模糊理論(fuzzy theory)與察覺 的模糊邏輯模式(fuzzy logical model of pereption，簡稱 FLMP)提出模糊取向的詮 釋結構模式，其方法透過概念之間從屬程度的運算，配合模糊截矩陣(α-cut)原 則，可改進傳統 ISM 分析法受限於二元資料的限制。透過此演算方法，研究者可 就能力值之設定，個別呈現學習者之知識結構。
基於以上敘述，本研究就等量公理的相關概念屬性(concept attribute) 編製等 量公理測驗，以國小六年級學童為研究對象進行施測，並以模糊取向的詮釋結構 模式分析所得資料，以期呈現等量公理的概念結構。
第二節 研究目的
基於上述背景與動機，本研究之目的列舉如下：
一、探討國小學童學習等量公理之概念結構特徵。
二、探討低、中、高能力的受試者 ISM 概念圖之特徵，分析其概念圖間之異同。
三、分析低、中、高能力的受試者其試題內的概念之 ISM 圖異同。
四、分析傳統計分相同但反應組型不同之受試者，其 ISM 概念圖與試題內的概念 之 ISM 圖異同。
第三節 名詞釋義
本節內容係將本研究所使用的重要概念及變項釋義如下：
壹、等量公理概念
本研究之等量公理概念係將等量公理的學習視為包含許多基本子概念的綜 合概念，參照九年一貫數學領域能力指標與教材內容而呈現等量公理概念內涵，
其內容包括對以未知數列等式、理解符號與數字間的關係、等量公理定義的理 解、應用等量公理解決問題等，並據以編製成等量公理概念測驗作為研究工具。
貳、能力值
本研究之能力值乃試題反應理論(item response theory，IRT)之詮釋，指的是 學生學習之潛在特質，其經 IRT 運算方法估計後所得到的值。本研究之能力值的 取得由研究者將學生反應作答資料經 BILOG-MG 運算而產生。
參、知識結構
所謂知識結構，係指學習者透過內在的認知歷程，將數個單一概念組合之後 所形成的關聯組織，本研究透過模糊取向詮釋結構模式分析法之運算流程，採用 林原宏(2005)發展之 AISM 程式，繪製出學習者之知識結構圖，稱為 ISM 概念圖。
肆、糢糊取向的詮釋結構模式分析
此分析法由林原宏(2005)提出，其優點在於應用模糊理論及察覺的模糊邏輯 模式(fuzzy logic model of perception)，可改進傳統受限於二元資料的詮釋結構模 式，其軟體 AISM 程式可以繪製受試者在學習某個領域所習得之概念結構。