第二章 文獻探討
第一節 等量公理概念分析
壹、算術與代數的意義
在數學的領域裡，代數學是在算術中「數」與「運算」的基礎上有系統的發 展起來的(項武義，1995)。在現行數學課程的教材安排中，第三學習階段開始編 排代數概念，學生始面臨從算術解題進入代數學習的階段。因此，介於算術與代 數之間的銜接概念學習成效關乎學生爾後之數學能力。茲就算術與代數的意義，
從文獻上及現行課程內容上分別進行闡述。
第3節 算術與代數的區別
Vygotsky 曾指出代數之於算術，就好比文字之於說話(Vygotsky，1962)。同一 種語言下的文字與說話，各有其語法、語意，雖表現方式不同，但其中有一部份 規則是共通的。Hibert and Lefevre (1987)則指出算術和代數的區別在於根據文字 符號所扮演的角色，如果文字所扮演的是未知數，那就屬於算術；如果它所扮演 的是任意一個數，那就算是代數。Linchevski(1995)認為算術與代數最大的差異，
在於學生無法在未知數上做運算。由此可知，算術與代數的區別可以由對未知數 的性質判定做為區辨，將未知數視為可以運算的一部份則是代數有別於算術的特 徵之一。
Kieran(1988) 指 出 算 術 與 代 數 的 基 本 差 異 在 於 程 序 性 與 結 構 性 的 運 算 (procedural and structural operations)。算術是屬於程序性運算，意指將一些數字作
處理而到另一個數；代數的結構性運算又可細分為表象結構(surface structure)、系 統結構(systemic structure)、方程式結構(the structure of an equation)，其分別表示 以未知數列式、代數表達式運算性質、未知數等式間之等價關係之結構特性。以 等號的認知為例，在算術上學生以程序性的運算看待等號，它代表運算的結果，
是由左至右運算的一種「得到」；從代數的角度來看，等號代表的意義是一種等 價關係，左右兩邊相等的，整個算式就是表示兩數相等的一個陳述 (廖瓊菁，
2001)。Steffe, Ludlow, and Ning (1989)亦提出算術的解題活動是經由一系列的運作 以獲得答案為目標；代數解題則是表徵量的關係，並藉由等量公理，把一個等價 關係變到另一個等價關係。因此，算術與代數另一項區別在於對於運算過程意義 的 不 同 認 知 。 Carpenter, Franke, and Levi (2003) 認 為 學 生 能 夠 成 功 地 執 行
32 97 32 32
5 x
來解決方程式5 x 32 97
並求出解，該學生必須具備對等號意 義以及方程式等價的遞移關係的正確理解能力。對於算術進代入數學習的學童而言，讓學童的思維在算術與代數兩個系統間 來回，分辨兩系統間的不同，將有助於瞭解代數的結構本質(Fischbein, 1987)。藉 由算術的直覺式推理與其形式化計算，可幫助學童建立解題的直觀知識，使其能 更有意義的學習代數。
二、代數的知識特徵
Kieran(1992)認為代數是一種符號化的系統，其歷經修辭化、縮寫化、符號化 三個不同的階段。戴政吉、侯美玲與詹勳國(2002)指出由算術轉入代數的關鍵指 標之一乃是瞭解文字符號是一個變數。學習代數的首要任務，便是利用符號來表 徵數量關係，將問題情境轉譯成方程式。Sfard (1995)認為代數包含了二個重要的 部份：一是符號來表徵的代數式；二是為解題的運算方法。Linchevski(1995)研究 表示代數的課程應包含算式及代數式的簡化、通則化、數量結構、等式及文字題 等五個主題。而 Boulton-Lewis, Cooper, Atweh, Pillay, Wilss & Mutch(1997)研究指
代數式、等式、等號及等量公理。Vergnaud (1984)也強調等價的概念，他認為學 習代數的重點，必須能將等號看成對與等價的概念。廖瓊菁(2001)提出代數的概 念結構，應包含數概念、文字符號概念及符號表徵的運算三個子概念，其包含內 容如圖 2-1 所示：
圖 2-1 代數概念之知識架構圖(廖瓊菁，2001) 代數概念
數概念 文字符號概念 符號表徵的運算
【活動材料層次】
1.感官活動期 2.象徵活動期 3.抽象活動期
【運思活動層次】
1.序列性合成運思 2.累進性合成運思 3.部分─全體運思 4.測量運思
1.文字符號為可算 出的值
2.文字符號可忽略 而不用
3.文字符號當作物 體
4.文字符號當作特 定的未知數 5.文字符號當作一
般化的數字 6.文字符號當作變
數
1.運算的程序 (1)表徵未知數 (2)形成代數式 (3)形成方程式 (4)解方程式 2.解方程式的概念
與方法
(1)等號的概念 (2)等量公理 (3)逆運算 (4)移項法則
三、代數學習的困難
國內外研究的結果大致指出，學生在代數的學習上存在相當多的困難。
Kieran(1984)指出 12 至 13 歲的學生對於符號與數學混合在一個式子呈現容易產生 混淆。Brenner and Moseley(1997)發現，學生在剛開始學習代數時，在代數概念及 變數符號表徵運算上，會產生學習困難。Kieran(1992)指出，學生主要有二大迷思 概念：一是對等號意義，尚停留在算術階段的「得到」；一是對未知數的認知，
是將符號當成一個特定的物性或標誌。Knuth and Stephens(2006)認為在算術與代 數的轉換過程中，其對等號意義轉換的不適應是造成學習代數的主要困難之一並 提出等號意義與解決代數問題高關聯的例證。
在對於文字符號的認知上，王如敏(2004)認為超過半數學生對文字符號缺乏 有意義的了解，只會操作數學符號，但卻不懂數學實質意義。而對於文字符號與 數字的簡記，則因為是代數語言的表示方式，因此有不少的學生對文字符號簡記 的方式產生極大的困擾，不知道如何簡記代數式或根本不知道簡記代數式所表示 的意義。因此，如何將一道數學文字題由文字的敘述轉換成以符號呈現的方式，
的確是許多國中生感到困擾的問題。因此，當國小學生進入國中後，在數學學習 上最大的改變就是要借助更多的符號來解答問題(張景媛，1994)。
袁媛(1993)研究國中一年級學生的文字符號及代數文字題的解題能力，發現 學生解代數文字題的困難，大多出現在利用所假設的未知數把另一個未知數表示 出來。因此，學生解題時以文字表示未知的數量關係，並依題意列出關係式，是 解題成功的關鍵。謝和秀(2001)的研究中，則發現國中一年級學生，將「文字當 作一般化的數字」及「文字符號當作變數」使得代數學習產生不少困難。
王佳文(1995)研究國小六年級的學生解未知數問題的表現，發現「a-□＝b」
及「a÷□＝b」兩類題目時，學生最容易出現錯誤。廖瓊菁(2001)自編「等量公理
□×a＝b、□÷a＝b、a+□＝b、a×□＝b 等六種題型時，是比傳統代數教材有教學 成效的，但對於 a－□＝b、a÷□＝b 這二類題型時，則未有明顯的教學成效。因 此，在解決未知數方程式的教學上，題型的類型所造成的難度不一，題型間之關 聯值得深入探討。
四、九年一貫課程中代數教材的分析
根據九年一貫課程數學課程綱要之能力指標，代數的能力指標如表 2-1 所示。
表 2-1 代數主題能力指標
指標 細目內容
A-1-01 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與
＜、＝、＞的遞移律。
A-1-02 能將具體情境中的單步驟問題列成算式填充題，並解釋 式子與原問題情境的關係。
A-1-03 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律、乘法的 交換律，並運用於簡化計算。
A-1-04 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。
A-1-05 能在具體情境中，認識乘除互逆。
A-2-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、乘法對加法的分配 律與其他乘除混合計算之性質，並運用於簡化計算。
A-2-02 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。
A-2-03 能解決用未知數符號列出之單步驟算式填充題。
A-2-04 能使用中文簡記式記錄常用的公式。
A-3-01 能做基本的代數運算。
A-3-02 能理解並應用等量公理。
A-3-03 能用 x、y、…等符號表徵生活中的未知量及變量。
A-3-04 能用含未知數的等式或不等式，表示具體情境中的問 題，並解釋算式與原問題情境的關係。
A-3-05 能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題 或將問題列成算式。
表 2-1 代數主題能力指標(續)
指標 細目內容
A-3-06 能發展策略，解決含未知數之算式題，並驗算其解的合 理性。
A-3-07 能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。
A-3-08 能熟練一元一次方程式的解法。
A-3-09 能檢驗、判斷一元一次不等式的解並描述其意義。
A-3-10 能理解二元一次方程式的意義。
A-3-11 能理解平面直角座標系，並畫出線型函數圖形。
A-3-12 能運用直角座標系及方位距離來標定位置。
A-3-13 能熟練二元一次聯立方程式的解法並理解其解的意義。
A-3-14 能利用一次式解決具體情境中的問題。
A-4-01 能熟練乘法公式。
A-4-02 能認識多項式，並熟練其四則運算。
A-4-03 能理解勾股定理及熟練其應用。
A-4-04 能熟練多項式的因式分解。
A-4-05 能熟練一元二次整係數方程式的解法。
A-4-06 能理解二次函數的圖形及應用。
A-4-07 能理解拋物線之對稱性。
資料來源：教育部(2004)九年一貫數學課程綱要
綜觀表 2-1 可發現，國小學童在學習以未知數列式以前，面對代數情境之應 用問題，大多使用逆算法配合多步驟算則處理，並不涉及代數格式記錄。戴政吉 等人(2002)認為學童在瞭解代數的結構性面向之前，應該要先有文字符號的程序 性概念，經由多重表徵予以強化，再要求學童以代數型態表示數字，以減少學童 的認知障礙。此外，對於等號意義由「得到」的結果意義轉為「等價」的遞移關 係，進而能夠掌握題意列出等式，亦是算術轉入代數領域之重要訓練。因此，在 教導學生解決未知數問題的教學過程中，必須先訓練學生就題目之情境，以符號
或其所假設的未知數列出代數式。至於代數問題的解題記錄及計算部份，則由設 計點數方式，具體點數來解決算式填充題。進一步再訓練其利用數的合成分解或 逆向思考方式解出所列出的等式。並在六年級引入等量公理的概念介紹，引導學 生利用等量公理解一元一次方程式求出未知數。
由上述可知等量公理在學習四階段裡頭並非是個別的單一概念，其概念養成
由上述可知等量公理在學習四階段裡頭並非是個別的單一概念，其概念養成