國小六年級學童等量公理概念之模糊詮釋結構模式分析探討
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(2) Exploring the Concept Structure of Equality Axiom by Using the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model Abstract The purpose of this study was to apply the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model (FAISM) in analyzing the hierarchical concept structures of Equality Axiom for sixth-graders. The autor designed the assessment of the Equality Axiom and processed the testing for elementary students in Penghu County. The data from testing was analyzed in the way of FAISM. At the end, the ISM graph was presented so that the concepts of test-takers can be displayed dearly. The test-takers were divided into three groups according to the performance in the assessment. The study investigated the characteristics of the ISM graphs of these three groups and discussed the differences among them. Moreover, the study analyzed the ISM graphs of the test-takers who got the same scores with different response patterns. Through the procedure of the analysis, the following conclusions were found. 1. The process of learning Equality Axiom for students showed the characteristics of their hierarchical knowledge structures. 2. The FAISM was a feasible way of analyzing the concept structures of Equality Axiom. 3. The ISM graphs based on different abilities of test-takers varied. 4. The concept structure in each item varied greatly with the ability of task-takers.. II.
(3) 5. The ISM graphs were different for task-takers although they have the same total scores. 6. The ISM graphs provided informations about the connections and relations of concepts. According to the findings of this study, some recommendations and suggestions for empirical study and future research are provided.. Keywords: Concept Structure Analysis, Equality Axiom, Fuzzy Theory, Interpretive Structural Modeling. III.
(4) 目 第一章. 緒論……………………………………………….………………..1. 第一節 第二節 第三節. 第二章. 研究架構…………………………………………………………41 研究工具…………………………………………………………42 研究對象…………………………………………………………45 資料處理分析……………………………………………………46. 研究結果與討論………………………………………………..48. 第一節 第二節 第三節. 第五章. 等量公理概念分析………………………………………………..5 模糊理論…………………………………………………………17 模糊取向之詮釋結構模式分析法………………………………20 試題反應理論……………………………………………………28 知識結構測量理論………………………………………………32. 研究方法與步驟………………………………………………..41. 第一節 第二節 第三節 第四節. 第四章. 研究動機………………………………………………………….1 研究目的………………………………………………………….3 名詞釋義………………………………………………………….4. 文獻探討 …………………………………………………………5. 第一節 第二節 第三節 第四節 第五節. 第三章. 錄. 不同能力值的等量公理 ISM 圖之比較…………………………48 分析不同能力值受試者在同一試題內概念屬性之異同……….48 針對答對題數相同但反應組型不同的 ISM 圖進行比較………58. 結論與建議……………………………………………………….65. 第一節 第二節 第三節. 結論……………………………………………………………….65 研究限制………………………………………………………….69 研究建議………………………………………………………….70. IV.
(5) 參考文獻………………………………………………………………………..72 一、中文部份………………………………………………………………..72 二、日文部份………………………………………………………………..75 三、英文部份………………………………………………………………..75. 附. 錄……………………………………………….…………………………..79 附錄一 等量公理測驗………………………………………………………79 附錄二 受試者之模糊關係矩陣....................................................................84. V.
(6) 表目錄 表 2-1 表 2-2 表 2-3 表 2-4 表 3-1 表 3-2 表 3-3 表 4-1 表 4-2 表 4-3 表 4-4 表 4-5 表 4-6 表 4-7 表 4-8. 代數主題能力指標……………………….………………………….…….9 現行版本教材等量公理內容分析摘要表……………………………….12 等量公理的年級指標與內容…………………………………………….15 等量公理概念屬性和意義……………………………………………….16 本研究等量公理概念編號及內容……………………………………….41 等量公理測驗之概念屬性矩陣………………………………………….42 樣本學校資料一覽表…………………………………………………….44 不同能力值之受試者代表答題情形…………………………………….47 A、B、C 三受試者之概念的相鄰矩陣 A……….…………….………..47 不同能力值受試者之 ISM 圖各層之概念內容…………………………50 不同能力組在每一試題之平均通過率………………………………….51 不同能力值受試者的試題概念之 ISM 圖………………………………56 答對題數相同但反應組型不同之答題情形…………………………….60 D、E、F、G、H、I 六位受試者之概念的相鄰矩陣 A……...………..60 六位受試者在含二概念以上的試題概念 ISM 圖之比較 .…………….65. 圖目錄 圖 2-1 代數概念之知識架構圖…………………………………………………..7 圖 2-2 概念元素的部份關係……………………………………………………20 圖 2-3 繪製完成之 ISM 圖……………………………………………………...23 圖 2-4 知識空間理論之簡短例子………………………………………………38 圖 3-1 研究架構圖………………………………………………………………40 圖 4-1 A 受試者之等量公理概念 ISM 圖………….………………………….49 圖 4-2 B 受試者之等量公理概念 ISM 圖………….………………………….49 圖 4-3 C 受試者之等量公理概念 ISM 圖………….………………………….50 圖 4-4 A、B、C 受試者之概念 ISM 圖通過率比較圖……………………….51 圖 4-5 A 受試者等量公理 ISM 圖之簡化圖……….………………………….54 圖 4-6 B 受試者等量公理 ISM 圖之簡化圖……….………………………….54 圖 4-7 C 受試者等量公理 ISM 圖之簡化圖……….………………………….55 圖 4-8 D、E 兩位受試者等量公理概念 ISM 圖之比較(低能力組)….………64 圖 4-9 F、G 兩位受試者等量公理概念 ISM 圖之比較(中能力組)….………64 圖 4-10 H、I 兩位受試者等量公理概念 ISM 圖之比較(高能力組) ….…..…64. VI.
(7) 第一章 緒. 論. 本研究旨在應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的等量公理 概念之階層結構。研究者圖繪不同能力表現的學生之等量公理知識結構圖，並探 討其知識結構圖之異同。本章旨在闡述本研究之動機、目的及對本研究所提及之 相關名詞作釋義。. 第一節. 研究動機. 數學被公認為科學發展的碁石，文明演進的指標與推手。數學教育目的，要 讓每個學生具備正確的數學概念以提昇數學能力。所以，有意義及有效率數學學 習相當重要 (教育部，2003) 。為了順應世界潮流、回應教育改革總諮議報告書 的建議，教育部於 2001 年 1 月公佈「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」 ，在教 育的制度及課程的內容做出革新。本課程綱要為我國國民教育的發展帶來史無前 例的巨大變革 (吳寶桂，2004)。在數學課程部份，除了將學科名稱改為領域之外， 尚將九年一貫課程數學學習領域分成「數與量」 、 「圖形與空間」 、 「統計與機率」、 「代數」和「連結」五大主題，以及具體操作(一至三年級)、具體表徵(四至五年 級)、類化具體表徵(六至七年級)、符號表徵(八至九年級)四個階段(教育部，2000)。 實施之後，為因應九年一貫數學領域暫行綱要銜接高中職課程總綱之需求，教育 部進一步對暫行綱要裡學習階段的課程內容做出部份修正，於 2004 年 8 月正式 實施「數學領域課程綱要」，作為我國推動中小學數學教育的方針。在修正的課 程內容裡中，一向屬於國中教材代數部分的「等量公理」(equality axiom)將從七 年級移至六年級進行介紹。如此一來，國小階段增加代數概念學習份量，使得處 於認知形式轉換過渡期的學生，提早面臨從算術到代數的銜接。 從算術轉換到代數之學習，最主要的困難是學習辨認新的數學物件. 1.
(8) (Vergnaud,1997)。學生不只要做新符號的運算，同時還需要了解未知數、方程式、 變數等新的概念。再加上學生採取直觀方法(intuitive methods)解決算術問題的習 慣，對於代數和算術之間符號意義與用法辨識不清，因而無法順利地從算術轉換 到代數(Kieran, 1992)。根據皮亞傑認知發展理論，國小六年級至國一學生正於形 式運思發展階段，此時期的學生應有能力從事抽象符號思考與演繹推理的工作(袁 媛，1993；陳燕香，1993；張春興，1996)。但我國自新數學課程實施之後，六、 七年級的銜接成為共同檢討的問題，周筱亭(2000)歸納其數學領域研究人員看 法，認為「整個數學就是在六、七年級搞壞。從對數學還可以的，變成很討厭數 學，就是在六、七年級」。國內外許多研究亦指出，學生在學習代數上常常發生 困難，且依學生之能力不同而有差異(王佳文，1995；袁媛，1993；廖瓊菁，2001； 謝和秀，2001； Brenner & Moseley, 1997；Kieran, 1992)。 在數學抽象化與形式化學習的重要轉換階段中，代數學習是此階段之焦點， 代數的學習對數學的推論、歸納、演繹能力的培養，有著極大的關係(林曉芳， 1999)。代數教材呈現之順序及課程內容架構對於學生學習代數的成效影響極大， 以往在國中一年級始介紹代數概念並廣泛應用，例如：利用文字來代表一般數， 表示數的通性，以及用文字符號代表未知數，幫助解決問題；如今，等量公理及 其相關代數概念下挪至國小六年級進行教學，在此一變革實施後，其學習等量公 理概念之成果及該概念知識建構情形，有其檢視及追踪之必要。而回顧以往對於 代數學習的相關研究可發現，研究焦點多為量化統計考驗與質性晤談，對於以知 識結構角度去分析學習者概念建構情形以及呈現個別的知識結構，則欠缺相關研 究及探討。此外，有關國小學童在等量公理的實證研究尚屬不多，因此進行國小 學童的等量公理概念結構的研究，以提供數學教材和教學之參考，實有必要與可 行之處。 在心理計量領域的研究方面，如何適切地表達個人的概念結構特性，一直是 方法論探討的主題(林原宏，2004)。在眾多的知識結構分析方法論中，佐藤隆博. 2.
(9) (1987)提出詮釋結構模式(interpretive structural modeling, 簡稱 ISM)分析法，並舉 出許多 ISM 分析法在教育領域中課程與學習的應用之實例，其主要優點為透過 ISM 分析法不但可將教學者腦中抽象的教學要素轉變為具體化的關聯構造階層 圖，亦能夠透過學習者概念元素彼此之間的關係，得到整體概念的結構圖(鍾靜 蓉，2002)。國內許多學者提出有關 ISM 分析法的實證研究(許天維、林原宏，1994； 廖信德，1998；蔡秉燁、鍾靜蓉，2003)。但是 ISM 分析法礙於其元素關係只限 於二元關係，並不完全適用於描述學習者知識結構中概念間的關係，尤其是數學 之概念或解題能力單位之關係。林原宏(2005) 結合模糊理論(fuzzy theory)與察覺 的模糊邏輯模式(fuzzy logical model of pereption，簡稱 FLMP)提出模糊取向的詮 釋結構模式，其方法透過概念之間從屬程度的運算，配合模糊截矩陣(α-cut)原 則，可改進傳統 ISM 分析法受限於二元資料的限制。透過此演算方法，研究者可 就能力值之設定，個別呈現學習者之知識結構。 基於以上敘述，本研究就等量公理的相關概念屬性(concept attribute) 編製等 量公理測驗，以國小六年級學童為研究對象進行施測，並以模糊取向的詮釋結構 模式分析所得資料，以期呈現等量公理的概念結構。. 第二節 研究目的 基於上述背景與動機，本研究之目的列舉如下： 一、探討國小學童學習等量公理之概念結構特徵。 二、探討低、中、高能力的受試者 ISM 概念圖之特徵，分析其概念圖間之異同。 三、分析低、中、高能力的受試者其試題內的概念之 ISM 圖異同。 四、分析傳統計分相同但反應組型不同之受試者，其 ISM 概念圖與試題內的概念 之 ISM 圖異同。. 3.
(10) 第三節 名詞釋義 本節內容係將本研究所使用的重要概念及變項釋義如下：. 壹、等量公理概念 本研究之等量公理概念係將等量公理的學習視為包含許多基本子概念的綜 合概念，參照九年一貫數學領域能力指標與教材內容而呈現等量公理概念內涵， 其內容包括對以未知數列等式、理解符號與數字間的關係、等量公理定義的理 解、應用等量公理解決問題等，並據以編製成等量公理概念測驗作為研究工具。. 貳、能力值 本研究之能力值乃試題反應理論(item response theory，IRT)之詮釋，指的是 學生學習之潛在特質，其經 IRT 運算方法估計後所得到的值。本研究之能力值的 取得由研究者將學生反應作答資料經 BILOG-MG 運算而產生。. 參、知識結構 所謂知識結構，係指學習者透過內在的認知歷程，將數個單一概念組合之後 所形成的關聯組織，本研究透過模糊取向詮釋結構模式分析法之運算流程，採用 林原宏(2005)發展之 AISM 程式，繪製出學習者之知識結構圖，稱為 ISM 概念圖。. 肆、糢糊取向的詮釋結構模式分析 此分析法由林原宏(2005)提出，其優點在於應用模糊理論及察覺的模糊邏輯 模式(fuzzy logic model of perception)，可改進傳統受限於二元資料的詮釋結構模 式，其軟體 AISM 程式可以繪製受試者在學習某個領域所習得之概念結構。. 4.
(11) 第二章. 文獻探討. 本章共分為五節，主要根據本研究之相關理論進行探討。第一節 等量公理 概念分析；第二節模糊理論；第三節 模糊取向之詮釋結構模式分析法；第四節 試題反應理論；第五節 知識結構測量理論，各節內容如下：. 第一節 等量公理概念分析 壹、算術與代數的意義 在數學的領域裡，代數學是在算術中「數」與「運算」的基礎上有系統的發 展起來的(項武義，1995)。在現行數學課程的教材安排中，第三學習階段開始編 排代數概念，學生始面臨從算術解題進入代數學習的階段。因此，介於算術與代 數之間的銜接概念學習成效關乎學生爾後之數學能力。茲就算術與代數的意義， 從文獻上及現行課程內容上分別進行闡述。 第3節 算術與代數的區別 Vygotsky 曾指出代數之於算術，就好比文字之於說話(Vygotsky，1962)。同一 種語言下的文字與說話，各有其語法、語意，雖表現方式不同，但其中有一部份 規則是共通的。Hibert and Lefevre (1987)則指出算術和代數的區別在於根據文字 符號所扮演的角色，如果文字所扮演的是未知數，那就屬於算術；如果它所扮演 的是任意一個數，那就算是代數。Linchevski(1995)認為算術與代數最大的差異， 在於學生無法在未知數上做運算。由此可知，算術與代數的區別可以由對未知數 的性質判定做為區辨，將未知數視為可以運算的一部份則是代數有別於算術的特 徵之一。 Kieran(1988) 指 出 算 術 與 代 數 的 基 本 差 異 在 於 程 序 性 與 結 構 性 的 運 算 (procedural and structural operations)。算術是屬於程序性運算，意指將一些數字作. 5.
(12) 處理而到另一個數；代數的結構性運算又可細分為表象結構(surface structure)、系 統結構(systemic structure)、方程式結構(the structure of an equation)，其分別表示 以未知數列式、代數表達式運算性質、未知數等式間之等價關係之結構特性。以 等號的認知為例，在算術上學生以程序性的運算看待等號，它代表運算的結果， 是由左至右運算的一種「得到」；從代數的角度來看，等號代表的意義是一種等 價關係，左右兩邊相等的，整個算式就是表示兩數相等的一個陳述 (廖瓊菁， 2001)。Steffe, Ludlow, and Ning (1989)亦提出算術的解題活動是經由一系列的運作 以獲得答案為目標；代數解題則是表徵量的關係，並藉由等量公理，把一個等價 關係變到另一個等價關係。因此，算術與代數另一項區別在於對於運算過程意義 的 不 同 認 知 。 Carpenter, Franke, and Levi (2003) 認 為 學 生 能 夠 成 功 地 執 行 5 x 32 32 97 32 來解決方程式 5 x 32 97 並求出解，該學生必須具備對等號意. 義以及方程式等價的遞移關係的正確理解能力。 對於算術進代入數學習的學童而言，讓學童的思維在算術與代數兩個系統間 來回，分辨兩系統間的不同，將有助於瞭解代數的結構本質(Fischbein, 1987)。藉 由算術的直覺式推理與其形式化計算，可幫助學童建立解題的直觀知識，使其能 更有意義的學習代數。 二、代數的知識特徵 Kieran(1992)認為代數是一種符號化的系統，其歷經修辭化、縮寫化、符號化 三個不同的階段。戴政吉、侯美玲與詹勳國(2002)指出由算術轉入代數的關鍵指 標之一乃是瞭解文字符號是一個變數。學習代數的首要任務，便是利用符號來表 徵數量關係，將問題情境轉譯成方程式。Sfard (1995)認為代數包含了二個重要的 部份：一是符號來表徵的代數式；二是為解題的運算方法。Linchevski(1995)研究 表示代數的課程應包含算式及代數式的簡化、通則化、數量結構、等式及文字題 等五個主題。而 Boulton-Lewis, Cooper, Atweh, Pillay, Wilss & Mutch(1997)研究指 出，代數先備知識應包含算術的符號、運算及定理。而代數的概念應包括變數、. 6.
(13) 代數式、等式、等號及等量公理。Vergnaud (1984)也強調等價的概念，他認為學 習代數的重點，必須能將等號看成對與等價的概念。廖瓊菁(2001)提出代數的概 念結構，應包含數概念、文字符號概念及符號表徵的運算三個子概念，其包含內 容如圖 2-1 所示： 代數概念. 數概念. 文字符號概念. 【活動材料層次】. 1.文字符號為可算. 1.感官活動期 2.象徵活動期 3.抽象活動期 【運思活動層次】 1.序列性合成運思 2.累進性合成運思 3.部分─全體運思 4.測量運思. 出的值. 符號表徵的運算. 1.運算的程序 (1)表徵未知數. 2.文字符號可忽略 而不用. (2)形成代數式 (3)形成方程式. 3.文字符號當作物 體. (4)解方程式 2.解方程式的概念. 4.文字符號當作特 定的未知數 5.文字符號當作一 般化的數字 6.文字符號當作變. 與方法 (1)等號的概念 (2)等量公理 (3)逆運算 (4)移項法則. 數. 圖 2-1 代數概念之知識架構圖(廖瓊菁，2001). 7.
(14) 三、代數學習的困難 國內外研究的結果大致指出，學生在代數的學習上存在相當多的困難。 Kieran(1984)指出 12 至 13 歲的學生對於符號與數學混合在一個式子呈現容易產生 混淆。Brenner and Moseley(1997)發現，學生在剛開始學習代數時，在代數概念及 變數符號表徵運算上，會產生學習困難。Kieran(1992)指出，學生主要有二大迷思 概念：一是對等號意義，尚停留在算術階段的「得到」；一是對未知數的認知， 是將符號當成一個特定的物性或標誌。Knuth and Stephens(2006)認為在算術與代 數的轉換過程中，其對等號意義轉換的不適應是造成學習代數的主要困難之一並 提出等號意義與解決代數問題高關聯的例證。 在對於文字符號的認知上，王如敏(2004)認為超過半數學生對文字符號缺乏 有意義的了解，只會操作數學符號，但卻不懂數學實質意義。而對於文字符號與 數字的簡記，則因為是代數語言的表示方式，因此有不少的學生對文字符號簡記 的方式產生極大的困擾，不知道如何簡記代數式或根本不知道簡記代數式所表示 的意義。因此，如何將一道數學文字題由文字的敘述轉換成以符號呈現的方式， 的確是許多國中生感到困擾的問題。因此，當國小學生進入國中後，在數學學習 上最大的改變就是要借助更多的符號來解答問題(張景媛，1994)。 袁媛(1993)研究國中一年級學生的文字符號及代數文字題的解題能力，發現 學生解代數文字題的困難，大多出現在利用所假設的未知數把另一個未知數表示 出來。因此，學生解題時以文字表示未知的數量關係，並依題意列出關係式，是 解題成功的關鍵。謝和秀(2001)的研究中，則發現國中一年級學生，將「文字當 作一般化的數字」及「文字符號當作變數」使得代數學習產生不少困難。 王佳文(1995)研究國小六年級的學生解未知數問題的表現，發現「a-□＝b」 及「a÷□＝b」兩類題目時，學生最容易出現錯誤。廖瓊菁(2001)自編「等量公理 的代數教學」教材，進行實驗設計研究時，發現以等量公理解□＋a＝b、□-a＝b、. 8.
(15) □×a＝b、□÷a＝b、a+□＝b、a×□＝b 等六種題型時，是比傳統代數教材有教學 成效的，但對於 a－□＝b、a÷□＝b 這二類題型時，則未有明顯的教學成效。因 此，在解決未知數方程式的教學上，題型的類型所造成的難度不一，題型間之關 聯值得深入探討。 四、九年一貫課程中代數教材的分析 根據九年一貫課程數學課程綱要之能力指標，代數的能力指標如表 2-1 所示。. 表 2-1 代數主題能力指標 指標. 細目內容. A-1-01. 能在具體情境中，認識等號兩邊數量一樣多的意義與 ＜、＝、＞的遞移律。. A-1-02. 能將具體情境中的單步驟問題列成算式填充題，並解釋 式子與原問題情境的關係。. A-1-03. 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律、乘法的 交換律，並運用於簡化計算。. A-1-04. 能理解加減互逆，並運用於驗算與解題。. A-1-05. 能在具體情境中，認識乘除互逆。. A-2-01. 能在具體情境中，理解乘法結合律、乘法對加法的分配 律與其他乘除混合計算之性質，並運用於簡化計算。. A-2-02. 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。. A-2-03. 能解決用未知數符號列出之單步驟算式填充題。. A-2-04. 能使用中文簡記式記錄常用的公式。. A-3-01. 能做基本的代數運算。. A-3-02. 能理解並應用等量公理。. A-3-03. 能用 x、y、…等符號表徵生活中的未知量及變量。. A-3-04. 能用含未知數的等式或不等式，表示具體情境中的問 題，並解釋算式與原問題情境的關係。. A-3-05. 能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題 或將問題列成算式。. 9.
(16) 表 2-1 代數主題能力指標(續) 指標. 細目內容. A-3-06. 能發展策略，解決含未知數之算式題，並驗算其解的合 理性。. A-3-07. 能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。. A-3-08. 能熟練一元一次方程式的解法。. A-3-09. 能檢驗、判斷一元一次不等式的解並描述其意義。. A-3-10. 能理解二元一次方程式的意義。. A-3-11. 能理解平面直角座標系，並畫出線型函數圖形。. A-3-12. 能運用直角座標系及方位距離來標定位置。. A-3-13. 能熟練二元一次聯立方程式的解法並理解其解的意義。. A-3-14. 能利用一次式解決具體情境中的問題。. A-4-01. 能熟練乘法公式。. A-4-02. 能認識多項式，並熟練其四則運算。. A-4-03. 能理解勾股定理及熟練其應用。. A-4-04. 能熟練多項式的因式分解。. A-4-05. 能熟練一元二次整係數方程式的解法。. A-4-06. 能理解二次函數的圖形及應用。. A-4-07. 能理解拋物線之對稱性。 資料來源：教育部(2004)九年一貫數學課程綱要. 綜觀表 2-1 可發現，國小學童在學習以未知數列式以前，面對代數情境之應 用問題，大多使用逆算法配合多步驟算則處理，並不涉及代數格式記錄。戴政吉 等人(2002)認為學童在瞭解代數的結構性面向之前，應該要先有文字符號的程序 性概念，經由多重表徵予以強化，再要求學童以代數型態表示數字，以減少學童 的認知障礙。此外，對於等號意義由「得到」的結果意義轉為「等價」的遞移關 係，進而能夠掌握題意列出等式，亦是算術轉入代數領域之重要訓練。因此，在 教導學生解決未知數問題的教學過程中，必須先訓練學生就題目之情境，以符號. 10.
(17) 或其所假設的未知數列出代數式。至於代數問題的解題記錄及計算部份，則由設 計點數方式，具體點數來解決算式填充題。進一步再訓練其利用數的合成分解或 逆向思考方式解出所列出的等式。並在六年級引入等量公理的概念介紹，引導學 生利用等量公理解一元一次方程式求出未知數。 由上述可知等量公理在學習四階段裡頭並非是個別的單一概念，其概念養成 乃由許多相關概念所代表的能力，逐漸累積而成。在九年一貫的教材安排中，等 量公理被視為解決未知數之代數問題的基石，其在學習四階段之相關概念教學內 容列舉如下： (一)第一階段(1~3 年級)：認識加法的交換律、結合律、乘法的交換律，並透過具 體操作，運用於簡化計算解決算式填充題。 (二)第二階段(4~5 年級)：透過點數具體表徵或數的合成分解來解決算式填充題； 以文字或□、△、…、甲、乙、…等較具體的符號來表徵簡單的幾何量。 (三)第三階段(6~7 年級)：用 x、y、…的式子表徵生活中的未知量或變量，並能以 數的合成分解或逆向思考解決從生活情境中所列出的等式；透過列等式的訓 練經驗等號兩邊等量的觀念；利用等號兩邊等量的觀念解題；能理解並應用 等量公理；能以「正、負」表徵相對的量，並操作其合成分解。 (四)第四階段(8、9 年級)：解決從生活情境中列出的一元一次方程式；理解移項 法則；解二元一次方程式；進行正負數四則運算。 為掌握國小階段實施等量公理教學之廣度與深度，研究者分析各版本教材， 將其五、六、七年級對於等量公理及其相關代數概念之教學內容，作成分析摘要 如表 2-2 所示。分析後可發現，各版本介紹等量公理意義及概念之前，皆先呈現 以符號表示未知數之教材內容；含有符號、數字與運算符號的式子之意義並能夠 在了解題目意義後列出等式；透過實際情境，使學生在生活中經驗以等量公理解 決代數問題。至於以特定等量公理格式進行等號兩邊同加、減、乘、除一數之解 題過程，各版本則有不同之內容。. 11.
(18) 表 2-2 現行版本教材等量公理內容分析摘要表 出版社. 冊數. 單元名稱. 第 10 冊 數量關係. 以符號代表數. 等式與數量關係. 以單一未知數列出等式 能以逆算法或多步驟算式求出等式的解. 怎樣解題. 能以單一未知數或二未知數列出等式 能把數值帶入文字符號中，求得算式的 值. 補強活動 5. 能理解等式左右同加、減、乘、除一數 時，等式仍然成立的概念. 未知數. 以單一未知數列出等式 能找出等式中未知數的解並驗算. 康軒. 第 12 冊. 第 11 冊 以符號代表數 仁林 式子與解 第 12 冊. 能將生活情境中簡單問題表徵為含未知 數的式子，並能提出解釋 以單一未知數列出等式 能使用文字符號和數字間的乘法運算表 示某量及簡記 能以文字符號和數字間的除法運算表示 生活情境中的變量，並以改記. 第 11 冊. 第9冊. 內容分析. 數量關係 補強活動 7. 能使用文字符號和數字間的乘法運算表 示某量及簡記 以文字式表徵生活情境中所觀察得的數 量。 以單一未知數列等式 能以逆算法或多步驟算式求出等式的解 以單一或二個未知數列等式 能理解等式左右同加、減、乘、除一數 時，等式仍然成立的概念 利用等量公理求出等式中未知數的解. 12.
(19) 表 2-2 現行版本教材等量公理內容分析摘要表(續) 出版社. 冊數. 單元名稱. 第 10 冊 未知數 數量關係. 方程式. 翰林 第 12 冊. 銜接補強教材 活動 9. 內容分析 以符號或文字代替括號代表未知量並 列式 能以抽象的文字符號列出數量樣式關 係式 以單一未知數列等式 能使用文字符號和數字間的乘法運算 表示某量及簡記 能以逆算法或多步驟算式求出等式的 解 能理解等式左右同加、減、乘、除一數 時，等式仍然成立的概念 利用等量公理求出等式中未知數的解. 貳、等量公理的意義與研究 等 量 公 理 首 次 出 現 在 希 臘 數 學 家 歐 幾 里 得 (Euclid) 所 著 作 的 幾 何 原 本 (Elements)裡，在歐氏幾何學裡，等量公理是許多證明幾何定理所會利用到的定 理。對於等量公理定義，其有相關的型式整理如下(鄭鈐華，2003) ： 一、自反公理(The Reflexive Axiom)：所有的量跟自己相等。 二、遞移公理(The Transitive Axiom)：等於同一量的量，彼此相等。 三、代換公理(The Substitution Axiom)：若兩量相等，則可以在任何情況，用其中 一個量來代換另一個量，其結果不變。 四、部分公理(The Partition Axiom)：一個量與其部分的和相等。 五、等量加法公理(The Addition Axiom)：等量加等量，總量相等。 六、等量減法公理(The Aubtraction Axiom)：等量減等量，餘量相等。 七、等量乘法公理(The Multiplication Axiom)：等量乘等量，結果仍相等。 八、等量除法公理(The Division Axiom)：等量除等量(除數不為 0)，結果仍相等。. 13.
(20) Bernard and Cohen(1988)指出，學童用來解方程式的策略，一般來說可分為 下列七種： 一、運算法(use of number facts)：例如，5+n=8；5+3=8；n=3。 二、點數法(use of counting techniques) ：例如，5+n=8，從 5 一直數到 8，便得答 案 3。 三、嘗試錯誤法(trial and error substitution)。 四、覆蓋法(cover-up)：例如，2x+9=5x；2x+3x=5x；3x=9；x=3。 五、逆算法(undoing or working backwards) 六、移項法則(transposing or change side –change sign) 七、等量公理(performing the same operation on both sides) Kieran(1992)針對代數解題策略做研究發現：如果以單一種方法來教導學生， 效果會比較差，並建議教師混合第四種與第七種的方法來教導學生。王如敏(2004) 指出學生在解決一元一次方程式時，常只記得「移項法則」而忽略「等量公理」 的重要性，因此做同乘除或同加減一數時，常因顧此失彼而產生正負符號錯置的 現象。所以學生對等量公理概念的嫻熟對一元一次方程式的表現影響至鉅，因為 移項法則是求解過程中的一種解題技巧，是等量公理的應用及簡化，因此若對等 量公理概念及原理不熟悉，則難以正確靈活應用移項法則。Van de Walle(1998)在 研究等量公理的教學上，指出教師如果能利用等臂天平的平衡原理，應該能以讓 學生更容易瞭解等量公理，進而使學生能瞭解以逆運算來解方程式。 根據表 2-1，有關等量公理部份在六年級與七年級的數學代數類能力指標 中，計有： A-3-01 能做基本的代數運算 A-3-02 能理解並應用等量公理 A-3-03 能用 x、y、…等符號表徵生活中的未知量及變量 A-3-04 能用含未知數的等式或不等式，表示具體情境中的問題，並解釋算式與. 14.
(21) 原問題情境的關係。 除基本的等量加法公理、等量減法公理、等量乘法公理、等量除法公理外， 研究者兼看等量公理在整個代數學習架構的地位，分析探討等量公理的知識結 構，在圖 2-1 中，顯示等量公理為解方程式的四種概念與方法之一。因此，欲分 析等量公理的知識結構，必須從代數架構中著手設計。 進一步分析在九年一貫數學課程綱要能力指標中，年級指標細目詮釋如表 2-3 所 示 ， 該 表 可 提 供 更 詳 細 解 釋 ( 教 育 部 國 教 專 業 社 群 網 站 ， http://teach.eje.edu.tw )。 表 2-3 等量公理的年級指標與內容 編碼. 指標. 內容. 6-n-06 6-a-01. 能理解等量公理。. 能理解「等式左右同加、減、乘、除一數時，等式 仍然成立」的概念。. 能使用未知數符 號，將具體情境中 的問題列成兩步驟 的算式題，並嘗試 解題及驗算其解。. 學生使用△、□、甲、乙、？、…等符號，將具體 情境中之問題列成算式後，讓學生再將具體情境中 之問題列成含有 x、y、…等符號的算式。透過加 減互逆運算、乘除互逆運算、四則運算規則等經 驗，學生依題意與自己的解題步驟，將解法列出。 難度的上限為兩步驟問題。 學童練習根據問題的敘述，將欲求的答案以未知數 表示並根據題目的敘述，列出恰當的算式填充題。. 6-a-02. 7-a-01. 7-a-05. 能由命題中用 x、y 以 x、y 等符號記錄生活情境中的數學式。 等符號列出生活中 例： 若有 5 元郵票 x 張，則可列出 5x 元代表郵票 的變量，並列成算 面額總值。 式。 能理解等量公理「等式左右同加、減、乘、除一數 （除數不為 0）時，等式仍然成立」的概念。如： 能以等量公理來解 已知 a＝b，則 a＋c＝b＋c，a－c＝b－c，a×c＝b 一元一次方程式， ×c，a÷c＝b÷c（c≠0）。 並作驗算。 透過生活經驗中「對等量之物做相同之運作仍會等 量」的觀念，進而理解移項法則。. 15.
(22) 綜合文獻回顧與教材分析，研究者訂出等量公理的知識概念，據以編製測驗 工具，並作為研究分析的來源。因此，本研究所歸納的等量公理相關概念屬性與 意義如表 2-4 所示： 表 2-4. 等量公理概念屬性和意義. 概念屬性. 意義. 以單一未知數列式. 能依照題意之要求，以單一未知數形式列出等式. 以二個未知數列式. 能依照題意之要求，以二個未知數形式列出等式. 符號與數字以乘法表示. 能使用文字符號和數字表示其乘法運算關係. 符號與數字以除法表示. 能以文字符號和數字表示其除法運算關係. 等量遞移性. 能夠理解等量的遞移性. 等量加法原理. 能理解等號兩邊同加一個數時，其等式仍然不變. 等量減法原理. 能理解等號兩邊同減一個數時，其等式仍然不變. 等量乘法原理. 能理解等號兩邊同乘一個數時，其等式仍然不變. 等量除法原理 能夠正確解出未知數題 等量公理格式記錄解題 1 等量公理解決生活情境 等量公理格式記錄解題 2. 能理解等號兩邊同除一個不為 0 的數時，其等式 仍然不變 能以等量公理之格式記錄，並求出含有未知數之 等式的解 能以等量公理之格式記錄，並求出含有未知數之 等式的解，且未知數在運算符號之左方 能在生活情境中運用等量公理原理解決問題 能以等量公理之格式記錄，並求出含有未知數之 等式的解，且未知數在運算符號之右方. 16.
(23) 第二節 模糊理論 壹、 理論介紹 模糊理論是 1965 年由美國控制理論專家 Zadeh 所提出，其提出不同於古 典數學利用二元邏輯來定義事物現象的敘述方法，改以隸屬度（membership） 的概念來描述元素對集合的隸屬關係(林原宏，2005)。近年來，模糊理論已經 廣泛使用到農業方面、氣象預測、經濟管理及資訊科技等等，成為各學術領域 重要的方法論基礎。在人文社會科學的測度裡，模糊統計和模糊相關性日漸受 到重視，這應是複雜的人文社會科學現象無法以傳統數值模型充分合理解釋的 一種自然發展結果（吳柏林，2002） 。以下就模糊理論之基本定義，進行說明： 模糊理論將元素 x 與集合 A 之間的關係介於[0,1]之間的隸屬度來描述，而 隸屬度函數 A (x) 定義如下： 【定義 2-1】令 X 表示全域(universal set)， 為一映至 [0,1] 之函數，則 X 之模 糊子集 A 的隸屬函數記為 A (x) ，表示元素 x 隸屬於模糊集合 A 的程度。 【定義 2-2】模糊子集 A 的α截集定義為： A x A ( x) , 0 1 A 的α截集的隸屬度函數 A (x) 為：. 1 , A ( x) A ( x) 0 , A ( x) . 貳、模糊關係矩陣與模糊截矩陣 兩個集合元素之相似程度，稱之為模糊關係(fuzzy relation)，可用矩陣方式表 示，即模糊關係矩陣，其定義如下：. 17.
(24) 【定義 2-3】假設論域 X 有 m 個元素，論域 Y 有 n 個元素，則用來描述 X 與 Y 兩集合元素間的關係模糊關係矩陣(fuzzy relation matrix)可表 示為 r11 ... r1n . . . R . . . ( rij ) mn . . . rm1 ... rmn . 【定義 2-4】如果上述 R (rij ) mn 滿足下列三項條件，則稱為 R 為等價矩陣。 1.反身性: rii 1 (i=1,2,3…..,n)，即主對角線上元素都是 1。 2.對稱性： rij r ji ，即 R 為對稱矩陣。 3.遞移性： R R R ，即 R 包含它與它自身的合成。. 參、 截矩陣 截矩陣( -cut)係將模糊關係矩陣轉換為二元關係矩陣，其計算步驟如下： r11 r1n 步驟一：令模糊關係矩陣為 R rij mn rm1 rmn . 步驟二：給定一實數 (0 1) ，則模糊關係矩陣 R 之 截矩陣為 r11 r1 n 1 , rij R rij mn ，其中 rij 0 , rij r r m 1 mn . . 18.
(25) 第三節 模糊取向之詮釋結構模式分析法 壹、詮釋結構模式 詮釋結構模式最早由 Warfield(1976,1977)所提出，原為社會系統工學(social system engineering)之一種構造模型法(structure modeling)。其主要在於分析一個集 合內所有元素之間的從屬關係(subordination relation)，根據離散數學和圖形理 論，結合行為科學、數學概念、團體決策(group discussion)及電腦輔助等領域， 透過矩陣的數學運算，呈現出一個系統內全部元素的關連性，並藉由電腦輔助運 算 ， 呈 現 出 元 素 間 完 整 的 多 層 級 結 構 化 階 層 圖 形 (multilevel structure ierarchy)(Warfield, 1977)。 第3節 ISM 分析法 日本學者佐藤隆博在其專書「構造學習法」中，探討學科內容的知識架構與 其結構的表現，將學習單元內的教材要素依學習目標先明確地細分出來後，再精 確決定全部學習項目間彼此兩兩關聯性，透過 ISM 法數學運算後，最後產生構 造化教材的一種設計方法(佐藤隆博，1987)。ISM 分析法推廣至國內後學者們發 表許多研究如：蔡曉信(1993)以 ISM 圖與敘述式二種方式讓教師對 STS 主題「清 潔劑」表達開放性思考，並得到以 ISM 圖方式更能提昇教師對真實生活中之 STS 主題的結論。吳信義(1998，1999)將 ISM 分析法應用在學習「基本電學」科目， 以建立職業科目設計教材之模式，將其電腦化以協助教師從事課程設計。廖信德 (1998)以 ISM 統整數學教育專家們對於國小四至六年級數學概念的意見，並據以 繪製成數學概念結構圖，作為設計問卷之參考，據以研究原住民國小四至六年級 數學科基本學力指標。鍾靜蓉(2002)以商業職業學校經濟學中「需求與供給」單 元為實例進行教材的 ISM 分析及構造化學習的實證研究，使教師在教學進行時更 富邏輯與合理性。蔡秉燁(2004)運用了 ISM 之階層有向圖理論，建置了高中數學. 19.
(26) 補救教學教材，重新編排學習項目順序，建立起更科學化的「學習路徑（Learning path） 」與「學習地圖（Learning map） 」。 ISM 分析法主要功能是「建立整體概念元素之間的關係，即經由部份元素之 間的關係，整合起來形成所有元素整體之關係」 。(許天維、林原宏，1994)。藉由 分析認知結構之階層有向圖，ISM 分析法不但可以將教學者腦中抽象的教學要素 轉變為具體化的關聯構造階層圖，亦能夠透過學習者概念元素彼此之間的關係， 得到整體概念的結構圖(鍾靜蓉，2002)。其用途主要可用於下列幾項(引自許天 維、林原宏，1994)： (一)教材內容的結構化：分析教學目標，再界定次要目標，決定出各單元間教. 材內容的結構。 (二)編授教材內容：由教學者決定教材內容的目標層次關係，以由下往上累積 元素關係的方式，此方式可幫助教學者檢視教學目標之間的順序關係。 (三)學習者知識的結構化：以學習者本身的概念結構為主，在已知學習者概念 元素彼此之間的關係時，可利用 ISM 分析法，以得到整體概念的結構圖。 二、 ISM 分析步驟： 假設 A1、A2、A3、A4、A5 為某學習者腦中之概念思考單位，其概念元素之間的部 份關係如圖 2-2 所示，圖中箭頭表示為概念元素之間的關係和層次。例如 A3 及 A5 是 A1 的下位概念，則下位概念有箭頭指向上位概念。茲以圖 2-2 為例，進行 ISM 分析法之演算。. A1 A3. A3. A2 A5. A2. A4 A4. A2. A5 A3. 圖 2-2 概念元素的部份關係. 20. A4.
(27) 將圖 2-2 之元素關係以矩陣形式表示，使用 1 表示矩陣內的元素有下位概念 指向上位概念的箭頭存在；反之，0 表示不存在。可得到如下矩陣： A1 0 A2 0 A A3 1 A4 0 A5 1 . 0 0 0 0 0. 0 1 0 1 0. 0 1 1 0 0. 0 0 0 1 0 . 第3節 相鄰矩陣(adjacent matrix)的運算 以上述矩陣 A 為例，定義矩陣運算方式： A1 0 A2 1 2 A A3 0 A4 1 A5 0 . 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 . n. 矩陣內之元素用數學式表示為： a 2jk a ji aik a j1 a1k a j 2 a 2 k a jn a nk i 1. 其中 與 運算符號的定義如下： 1 x y 0 1 x y 0 . if x 1 and y 1 else else if x 0 and y 0. (二)推移包(transitive closure)運算 . . 將條件如右的矩陣 A 稱為推移包 A A A 2 A 3 AP (三)可達矩陣(reachability matrix) 根據圖形理論，可敘述定理如下： A A A 2 A3 A P ， 代表 n n 階的單位矩陣。 ( A )P. 則可達矩陣 R 定義如下：. 21.
(28) R A ( A )P A A 2 A 3 A P A A 2 A 3 A P A P 1 ( A ) P 1. ISM 分析法，以上述 3 步驟進行運算，直到得到 R 矩陣為止。以矩陣 A 為例， 其演算終止之 R 矩陣為 A1 1 A2 1 R A3 1 A4 1 A5 1 . 0 1 0 0 0. 0 1 1 1 0. 0 1 1 1 0. 0 1 1 1 1 . 依 R 矩陣再形成階層矩陣 M，形成步驟如下： R 矩陣中指向 A1 之概念 A1、A2、A3、A4、A5 共有 5 個，因此在 M 矩陣 第 1 列依序寫上 1、1、1、1、1；R 矩陣中指向 A2 的只有自己本身，因此在 M 矩陣的第 2 列寫上 0、1、0、0、0；R 矩陣中指向 A3 的概念為 A2、A3、A4， 因此在 M 矩陣的第 3 列依序寫上 0、1、1、1、0；R 矩陣中指向 A4 的概念為 A2、A3、A4，因此在 M 矩陣的第 4 列依序寫上 0、1、1、1、0；R 矩陣中指 向 A5 的概念為 A2、A3、A4、A5，因此在 M 矩陣的第 4 列依序寫上 0、1、1、 1、1。 A1 1 A2 0 M A3 0 A4 0 A5 0 . 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 . A1 1 A2 0 R M A3 0 A4 0 A5 0 . 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 . 找出滿足 R M R 的元素，則可得到 A3、A4 一組元素。將找到的元素依序 列出高低層次，並依矩陣 M 之元素關係畫上箭頭，即可完成 ISM 圖的繪製， 如圖 2-3 所示。由於電腦輔助運算的趨勢，ISM 分析法之相關電腦分析程式 已進行開發(鍾靜蓉，2002)，研究者可便利地從原始資料迅速得到 ISM 結構 圖。. 22.
(29) A1. A1 A5 A3. A5 A4. A3. A2. A4 A2. 圖 2-3 繪製完成之 ISM 圖. 貳、模糊關係矩陣資料的詮釋結構模式分析法(The Fuzzy Approach of Interpretive Structural Modeling) 由於 ISM 分析法所定義的元素關係為二元關係，應用於教育領域做為概念之 間指向與否的探討則會有其限制，在認知心理學的範疇裡，概念與概念間的指向 並非是絕對的二元結構，意即概念間沒有指向關係並不代表彼此毫無關聯。此種 關聯現象無法以傳統數值模型充分合理解釋。而在人文社會科學的測度理念裡， 模糊相關性和模糊統計日漸受到重視，是研究複雜的人文社會科會自然的發展結 果（吳柏林，2002）。因此，在探討概念結構為目的之前提下，ISM 法有其改進 的必要。 Yamashita(1997) 根 據 模 糊 推 理 (fuzzy reasoning) 與 模 糊 結 構 模 式 (fuzzy structural modeling)，此模式係以模糊理論為基礎的 ISM 分析，發展一套有關高 中畢業生的升學與就業輔導的生涯決定模式(career decision-making model)量表。 溫坤禮(2000)提出將 ISM 法中二值關係改為多值關係，可利用模糊理論之模糊 集，將處於 0 至 1 之間的集合，取 0 到 1 之間的任意值為元素的特徵值，以模 糊集合的隸屬度(membership)加以處理，以掌握不確定因素。 林原宏(2005)所提出之模糊取向詮釋結構模式分析法，乃是以基於模糊觀點 的察覺的模糊邏輯模式，運算出配對刺激屬於某一典型的機率，再以模糊理論其. 23.
(30) 可擴展二元關係限制的特性，衡量概念間從屬程度。而察覺的模糊邏輯模式之特 色在於描述心理運作過程中，在某些向度因子組合下，判斷各刺激(stimulus)的特 徵之組合，其與典型(prototype)之間的符合機率程度(Massaro & Cohen, 1993)。 模糊取向之詮釋結構模式分析法可針對模糊關係元素，計算其為上下從屬關 係(subordination relation)機率計算，進行模糊取向的 ISM 分析，呈現個人化的概 念屬性矩陣。分析方法如下： 【步驟一】確定所分析的元素單位為概念，假設共有 M 個試題或所有試題所測 量的概念總數為 L 個。 【步驟二】在選定的試題反應理論模式下，能力值 k 受試者在第 m 題的答對機 率為 Pm (k ) ，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模糊關係矩 陣如下： 第3節 以概念為分析的元素單位，則能力值 k 受試者的模糊關係矩陣為 A1 p11 (k ) A2 p21 (k ) D(k ) AL p L1 (k ). p12 (k ) p22 (k ) p L 2 (k ). p1L (k ) p 2 L (k ) [ p ( )] ij k LL p LL (k ). 上述 Pij (k ) 為符合概念 i 指向概念 j 的機率。依每一試題測得該概念與否的 關係，設概念個數有 L 個，可形成一個二元關係的概念屬性矩陣(attribute matrix) A (a ml ) M L ， a ml 1 表示第 m 題包含概念 l，亦即有測到概念 l； a ml 0 表示第 m 題沒有包含概念 l，亦即沒有測到概念 l。 M. 2.令 SA (a ml )1L (al )1L 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。因此， m 1. 能力值 k 之受試者在每個概念精熟的機率為. 24.
(31) a12 a11 a 2 a1 a 21 a 22 a 1 MA(k ) P1 (k ) P2 (k ) Pm (k ) a 2 aM 1 aM 2 a a2 1 a ml Pm (k ) ma l (k ) 1M a 1L l M L. a L a2 L aL a ML a L a1L. 3.運用察覺的模糊邏輯模式，假設在二因子向度 C 與 O 的組合下，其中 C 有 I 個水準且 O 有 J 個水準，並以 C C1 , C 2 ,, C I 及 O O1 , O2 , , O J 表示。Ci 與 O j 所 對 應 的 模 糊 真 實 值 (fuzzy truth value) 分 別 為 ci 與 o j ， 且 0 ci , o j 1 。所謂模糊真實值 ci 與 o j ，係分別表示 C i 與 O j 支持典型 T 的程. 度。因此，配合自 Luce(1959)的選擇規則(choice rule)觀點及根據相對適合 度準則(relative goodness rule，簡稱 RGR)， C i , O j 被歸為典型 T 的機率為 (Massaro & Friedman, 1990)： p(ci , o j ) . ci o j. ci o j (1 ci )(1 o j ). 4.依上述定義，令 ci mai (k ) 且 o j 1 ma j (k ) ，所以可得： ci o j pij (k ) p (ci , o j ) ci o j (1 ci )(1 o j ). . . ma i (k ) 1 ma j (k ) ma i (k ) 1 ma j (k ) 1 mai (k ) ma j (k ). . 【步驟三】選定 值且 0 1，將模糊關係矩陣為 D(k ) [ pij (k )] LL 進行截矩 陣分析，則模糊關係截矩陣為 D (k ) [ pij(k )] LL 1 , p ij (k ) ， 其中 0 1 0 , p ( ) ij k . 且 pij(k ) . 【步驟四】將步驟三所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析，為提供圖形可讀. 25.
(32) 性，可進行 ISM 圖簡化，假設元素 Ai 指向 A j 有多條路徑(path)，則去除直接指 向並保留間接指向的路徑。例如：假設元素 Ai 指向 A j 有多條路徑(path)，則去 除直接指向並保留間接指向的路徑。（資料來源：林原宏，2005）. Aj. Am. Aj. Am 簡化. Al. Ak. Al. Ai. Ak. Ai. 【步驟五】在給定 值，可獲得能力值 k 之受試者的 ISM 圖。因此，可獲得不 同能力值之個人化試題或概念的 ISM 圖。. 26.
(33) 第四節 試題反應理論 試題反應理論(item response theory，IRT)是現代測驗理論重要的基礎，根據 其所發展的適性測驗，不僅適用於精熟式適性測驗，且適用於成就測驗與人格測 驗，半世紀以來普遍受到重視與運用。其特點是以機率的概念來解釋受試者能力 和測驗反應間之關係，亦即觀察其測驗反應結果，再經數學模式的運算，即可估 計受試者(examinee)的能力(ability)或心理特質(latent traits)。. 壹、基本假設 試題反應理論具有下列幾項基本假設，唯有在這些假設都成立的前提下，題 目反應模式才能被用來分析所有的測驗資料(引自余民寧，1993) 。 一、 「知道─正確」假設(know-correct assumption) 此假設為學生在受測時，如果受試者知道某一試題的正確答案，必然會答 對該試題；換句話說，如果答錯某一試題，必然是不知道該試題的答案。 二、單一向度(unidimensionality) 題目反應理論中的各種模式有個最常用的共同假設，那就是測驗中的各個 試題都測量到同一種共同的能力或潛在特質；這種單一能力或潛在特質（因 素） ，便是單一向度假設。 三、局部獨立(local independence) 學生在同一份測驗中，其對不同試題上的反應是獨立的；換句話說，除了 考慮考生的能力因素外，考生在前後試題上的反應沒有任何關係存在。也就是 意謂著涵蓋在試題反應模式裡的能力因素，才是唯一影響考生在測驗試題上做 反應的因素。 四、非速度測驗(nonspeedness) 試題反應模式所適用的情況有個隱含的基本假設，那就是測驗的實施不是. 27.
(34) 在速度限制下完成的；換句話說，受試者的考試成績不理想，是由於能力不足 所引起，而不是由於時間不夠答完所有試題所致。. 貳、試題反應模式 試題反應理論將受試者的潛在能力和實際得分情形聯結在一起，受試者的測 驗成績是由一些潛在的特質來決定，且經由測驗中來表現出這些特質，使得每個 受試者在接受測驗後，會有不同的潛力表現出來，通常用數值來表達不同受試者 潛在特質上的相對程度，亦即受試者的能力參數。IRT 以機率來解釋受試者能力 或心理特質與題目反應間之非線性關係，其以數學式表示受試者能力與試題難易 度、鑑別度及猜測度等參數間的關係，稱為「試題特徵函數」。因此，根據難易 度、鑑別度、猜測度等試題參數，常用的試題反應模式分為單參數對數模式 (one-parameter logistic model)、雙參數對數模式(two-parameter logistic model)以及 三參數對數模式(three-parameter logistic model)，分述於下。 一、單參數對數模式 其公式為：. 1 Pi () D (bi ) 1 e. i=1,2,3,…,n. 其中 Pi () ：能力值為 之受試者答對第 i 題的機率. D：常數，在模式中通常設為 1.7 ：受試者能力值 bi ：第 i 題的難易度. n ：測驗的題目數. 在單參數模式只有難易度一個參數，以 bi 表示。難易用來表示試題困難的程 度。當受試者能力值小於試題難易度，則受試者答對第 i 題的機率 Pi () 低於 0.5；. 28.
(35) 反之，若能力值大於試題難易度，則受試者答對第 i 題的機率 Pi () 高於 0.5。因 此，試題難易度的值愈大，代表著受試者須具備較高的能力值才能夠答對該試 題。在理論上，難易度值介於 到+ ，但實際應用上，通常只取-3 到+3 之間 的範圍。 二、雙參數對數模式 其公式為：. 1 Pi () Dai (bi ) 1 e. i=1,2,3,…,n. 其中 Pi () ：能力值為 之受試者答對第 i 題的機率. D：常數，在模式中通常設為 1.7 ai ：第 i 題的鑑別度. ：受試者能力值 bi ：第 i 題的難易度. n ：測驗的題目數. 在雙參數模式中的二個參數為難易度與鑑別度。難易度與上述單參數模式之 內容相同。而鑑別度是試題內容對於不同能力的受試者在測驗時，是否能反應出 答題差異的依據指標，通常用 ai 表示。鑑別力愈大的試題，代表越能區分受試者 的能力高低。理論上，鑑別度參數的值介於 到+ ，但實際應用上，通常只取 0 到+2 之間的範圍。 三、三參數對數模式 其公式為：. Pi () ci (1 ci ). 1 1 e. Dai (bi ). i=1,2,3,…,n. 其中 Pi () ：能力值為 之受試者答對第 i 題的機率. 29.
(36) D：常數，在模式中通常設為 1.7 ci ：第 i 題的猜測度 ai ：第 i 題的鑑別度. ：受試者能力值 bi ：第 i 題的難易度. n ：測驗的題目數. 三參數模式中的三個參數分別為：難易度、鑑別度、猜測度。其中難易度、 鑑別度與單參數或雙參數模式所指的相同。所謂猜測度，通常用 ci 來表示，是指 將能力極低或能力參數值為 0 的受試者考慮到模式裡，計算出此類受試者答對試 題的機率。猜測度值愈大代表測驗的困難愈多，三參數對數模式即是針對 ci 參數 做有效處理；在單參數及雙參數模式中均將其假定為 0 或接近 0 而忽略不計。因 此，理想的試題情況應是猜測度為 0，不過常常因為測驗的題型而很難避免受試 者的猜測行為，致使測驗產生猜測度值。. 30.
(37) 第五節. 知識結構測量理論. 知識結構 (knowledge structure) 是當代認知心理學的關心主題，探討此主題 有助於了解個人獲得知識的心理歷程。結構是指知識構成的基本架構，在此架構 中，包括著某些彼此關聯的概念 (張春興，1996)。所謂知識結構是指長期記憶中 概念的關係和組織，有助於個人進行儲存、提取和操弄等訊息處理歷程。有許多 名 詞 與 認 知 結 構 一 詞 是 類 似 的 ， 如 知 識 的 心 理 表 徵 (mentalrepresentation of knowledge)、知識表徵(knowledge representation)、認知結構(cognition structure)， 都是重視知識在個人心理的結構或狀態，而直接影響學習、思考和問題解決等活 動 (饒見維，1994) 。綜言之，知識結構是存在個人長期記憶中，透過內在的認 知歷程，不斷的建構、修正和重組，會影響個人知識組織特質及學習、認知表現。 目前針對測量知識結構方法論之探討研究眾多，本研究節錄部份與模糊取向 之詮釋結構模式同為探討概念關聯為焦點之理論進行文獻回顧，本節茲分為圖形 理論取向、試題反應理論取向以及集合論取向三類方法論，由於各種演算方法與 本研究方向無密切相關，謹就其內容進行概述。. 壹、圖形理論取向之知識結構分析法 Goldsmith, Johnson, and Acton (1991)認為測量知識結構有三個步驟，分別為 「引出知識」(knowledge elicitation)、 「表徵知識結構」(knowledge representation)、 以及「評量知識結構」(evaluation of knowledge representation)。 「引出知識」指以 某種方法讓受試者表現出對某些概念、以及對概念間關係的了解情形，引出知識 的方法其目的是為瞭解每個概念配對之間的接近程度，或取得其接近性資料 (proximity data)，以作進一步分析。 「表徵知識結構」指將被引出的知識以某種方 法表徵出其結構。例如 Goldsmith 等人(Goldsmith et al., 1991; Acton, Johnson, & Goldsmith, 1994)發展出「徑路搜尋法」，用以轉換概念間的接近性資料，找出知. 31.
(38) 識結構。而「評量知識結構」則是將經轉化後的知識表徵和專家的知識結構做比 較，其比較兩種知識結構時所使用的運算方法是值得進一步探討的，Goldsmith 等人(1991)依據集合理論設計出「相似性係數」(looseness index，簡稱 C 指數)以 作為評量兩個知識結構差異的指標。Novak and Gowin(1984)則依據概念構圖的原 理，設計出概念圖比對時的計分標準，以比較兩個概念結構圖的異同，做為評量 知識結構的依據。以下就概念構圖與徑路搜尋法做簡要之介紹。 一、概念構圖(concept map) Novak and Gowin(1984)提出概念構圖(concept mapping)方法，這是一種使用 命題形式的概念圖(concept map)，強調知識的單位是把兩個概念用聯結語連起 來，而這些概念間的聯結關係會成長與變化。其在 Clarify with concept maps 一文 中提到：概念是以文字（words）或符號（symbols）表示一種事件（events）或物 件（objects）的規則性，人類根據觀察自然現象後所得之經驗形成了概念(Novak, 1990a)。畫好的概念圖在視覺上具有三大特性：1.階層性的結構；2.各個概念間均 以連接字連接；3.概括性愈大的概念置於愈上層(黃萬居，1993)。從學生所繪製 的概念圖中，教師可以了解學生知道了什麼？不知道什麼？產生了哪些迷思概 念？概念構圖可提供建構主義學者一種新的評量方式，用來評量學習者的知識結 構及變化( Wallance & Mintzes, 1990)。藉由學生前後所繪製概念圖的比較，再配 合與學生的晤談，教師可發覺學生概念改變的情形。國內外已有許多有關概念構 圖的研究，其研究結果大多持正向的評價： Novak(1990b)認為概念構圖最有價值 的是在促進 Bloom 的知識六大層次中應用層次以上的題目表現；謝真華(1999)研 究顯示概念構圖的學習成效優於傳統學習。 不過研究顯示概念構圖對於不同成就的學生均是否有效的結果則不盡相 同。Novak, Gowin and Johansen (1983)認為任何程度的學生都可以成功的利用概 念構圖來學習。Seaman(1990)認為低成就的學生無法透過概念構圖學習到教材內. 32.
(39) 容。江淑卿(2001)的研究顯示低、中、高自然科學業能力不同的學生對於閱讀概 念圖後，其認知測驗成績均比僅閱讀文章者佳。蔡天民、王美芬(2002)研究以概 念構圖為後設認知策略，對「自然科學習成就」並沒有顯著的提昇效果，但低推 理能力的學生，有較正向的結果。因此，概念構圖對於低學習成就學生的學習成 效研究仍呈分岐的狀態。 二、徑路搜尋網路分析(pathfinder network analysis) 徑路搜尋法是 1985 年由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室的領導人 Schvaneveldt 及其研究小組，依據網路模式和圖形理論，研發徑路搜尋網路量尺 化算則 (pathfinder scaling algorithm)，用以建構與分析受試者之知識網路結構型 態，可獲得徑路搜尋網路、圖解理論距離、徑路搜尋網路圖解及與參照結構比較 之相似性指數 (PFC 指數、GTD 指數、PRX 指數) ，並設計知識網路組織工具 (knowledge network organizing tool，簡稱 KNOT) 以執行徑路搜尋。其論點在於 對知識結構作測量，利用量尺化程序分析專家的知識結構，建立專家系統，並試 圖將所測得的知識結構運用於教學上，是一種用來幫助生手獲得專家的知識結構 的策略。林原宏(1996) 從已有的文獻中發現它可以用來：1.表達概念的關係。2. 預測記憶搜尋 (memory retrieval) 及記憶組織 (memory organi-zation)。3.分析專 家和生手的表徵不同及轉換。 Goldsmith 等學者有系統地探討徑路搜尋法運用知識結構測量的可行性。 (Acton, Johnson, & Goldsmith, 1994; Goldsmith et al., 1991; Johnson, Goldsmith, & Teague, 1994)。 Gomez 等人則擴充以往 Goldsmith 等人(1991)以學科考試成績為 效標的研究，探討以 Pathfinder 法作為評量工具時，所測量的「準教師」之數學 科內容知識結構及教學知識結構，對於其「學科學習成績」以及「試教成績」的 預測效果(Gomez, Hadfield, & Houser,1996)。江淑卿(1997)以小學六年級學生為對 象，探討以徑路搜尋法作為小學生科學知識結構的預測效果。林曉芳(1999)利用. 33.
(40) 徑路探測網路分析方法，探討國中一年級數學低成就學生對代數概念問題的知識 表徵。 在統計上，徑路探測網路是以圖解理論為基礎，所謂的圖解(graph)，指的是 以數學形式來作科學與心理現象的表徵。此外，徑路探測網路又透過圖解理論的 心理相似性計算理論，發展徑路探測量尺化算則，運算出徑路探測網路的相似性 係數值(GTD、PRX、PFC)，做為分析知識結構之參考依據。. 貳、IRT 理論取向之知識結構分析法 一、規則空間(rule space) 規則空間是由 Tatsuoka(1983)所發展出的一種認知診斷評量，他結合先前提 出的 S-P 表分析法與 IRT，藉由試題評量的方式，找出受試者的試題反應組型(item response pattern) ， 進 而 推 論 受 試 者 所 擁 有 的 潛 在 知 識 狀 態 (latent knowledge state)。藉由知識狀態中的聯結關係，教師可藉由規則空間所診斷出的學習結果， 對受試者進行補救教學。 使用規則空間的評量方法，其所採用的試題必須經過特別的設計，如此才能 從受試者的試題反應，診斷出受試者的知識狀態。每道試題必須包含幾個認知屬 性(cognitive attributes)，這些認知屬性需要能反應出知識的向度。而這些認知屬性 是由事前的工作分析(task analysis)而來，以代表該知識領域之表現行為。 規則空間的評量方法，通常包括五個步驟：定義試題的認知屬性、將認知屬 性組合成試題、決定出各種的知識狀態、形成分類的空間、對受試者的反應進行 分類(Katz, Martinez, Sheehan, & Tatsuoka, 1998)。茲將這五個步驟說明如下： (一)定義試題的認知屬性 認知屬性包含陳述性知識、程序性知識或解題的策略等，是構成認知診斷評 量的基礎。藉由評量受試者是否擁有該認知屬性，施測者才能推論受試者可的知 識狀態。而認知屬性之決定通常透過工作分析法，選出該領域的重要成份而作為. 34.
(41) 試題的認知屬性。 (二)將認知屬性組合成試題 試題的編製過程中，每道試題至少必須包含一個認知屬性，必須考量認知屬 性的相關程度與難易程度。試題與認知屬性的關係，可藉由關聯矩陣(incidence matrix, 通常以 Q 表示)顯現出來，例如有三道試題 j1 、 j 2 、 j3 ，有兩個認知屬性 k1 、 k 2 ，其中 j1 與 j3 題各含有認知屬性 k1 ， j 2 題則包含認知屬性 k 2 ，亦即若想答. 對 j1 或 j3 題，需具備認知屬性 k1 的知識；若想答對 j 2 題，需具備認知屬性 k 2 的知 識。則該關聯矩陣 Q 為(2 ×3)矩陣。如以下矩陣所示 j1. j2. j3. k1 1 0 1 k2 0 1 0 . (三) 確定各種知識狀態 知識狀態的類型是透過關聯矩陣 Q 來決定的。以上面矩陣為例， j1 、 j 2 、 j3 這三道試題，可能有八種不同的試題反應組型，分別為(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、 (0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)，其中 1 代表答對，0 代表答錯。而 j1 題 與 j3 題皆包含認知屬性 k1 ， j 2 題包含認知屬性 k 2 ，則由此三道試題與兩個認知屬 性，構成了四種的可能知識狀態，分別為： 1.知識狀態一：受試者具備認知屬性 k1 的知識，而不具備認知屬性 k2 的知識，則 其知識狀態為(1,0,1)。 2.知識狀態二：受試者具備認知屬性 k2 的知識，而不具備認知屬性 k1 的知識，則 其知識狀態為(0,1,0)。 3.知識狀態三：受試者同時不具備認知屬性 k1 與 k2 的知識，則其知識狀態為(0,0,0)。 4.知識狀態四：受試者同時具備認知屬性 k1 與 k2 的知識，則其知識狀態為(1,1,1)。 若受試者的知識狀態是屬於上述四種知識狀態，則屬於典型試題反應組型. 35.
(42) (ideal item-response pattern)，若受試者的知識狀態屬於另外的四種類型：(1,0,0)、 (0,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)，則屬於非典型試題反應組型。由典型試題反應組型，施 測者可以清楚掌握受試者具有或缺乏哪些認知屬性的知識；至於非典型試題反應 組型，其原因可能因猜題或不小心等干擾因素。因此施測者不易推估受試者具有 或缺乏哪些認知屬性的知識。 (四)形成分類的空間 分類的空間是採兩維的笛卡兒座標，以試題反應理論之能力參數 值作為橫 座標；以非典型反應組型(ζ)為縱座標。規則空間中的每個座標點代表一種反應 組型，也就是一種知識狀態。 (五)對受試者的反應進行分類 當所有可能的反應組型都映射到規則空間的笛卡兒座標後，即可根據受試者 的座標值大小來決定受試者可能具有的知識狀態。分類的方法是將受試者的座標 值和最接近它的兩個知識狀態的座標值相比較，依據馬氏距離(Mahalanobis distance)大小來決定，受試者的座標值是比較類似哪一種知識狀態。決定出受試 者比較類似的知識狀態後，即能據此瞭解受試者的學習狀況，進而針對受試者的 學習盲點，進行補救教學。 二、線性邏輯測驗式(linear logistic test model，LLTM) 此模式為 Rasch 模式的一種延伸，由 Fischer(1973, 1974)所發展出來，他以 Scheiblechner(1972)提出對試題難度( i )理論為基礎，將 Rasch 模式中的試題難度 ( i )，分解成許多認知操作(cognitive operations)的線性組合，認知操作也就是解 題的規則，其反應的機率如下： exp(j i ) p 1exp(j i ). 36.
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