模糊理論

模糊理論是為解決真實世界中普遍存在的模糊現象而發展的一門學問，它 是由 Zadah(1965) 首先提出的一種定量表達工具，用來表現某些無法明確定義 的模糊性概念，尤其是在表現人類語言特有的模糊性現象方面有頗佳的成果(孫 宗瀛、楊英魁，1995)。本節將介紹模糊理論的基本概念、模糊集合、隸屬函數、

解模糊、模糊權重。

一、模糊理論的基本概念

一般資訊分為「可量化的資訊」與「不可量化的資訊」，其中不可量化的資

訊常稱為質化的資訊，如:「業務員工作態度很積極」、「產品的品牌形象很好」

等口語化的描述。模糊理論（fuzzy theory）乃是積極承認主觀性問題的存在，

進而以模糊集合理論來處理不易量化的問題，以便能適當而可靠的處理人們主 觀評估問題的方法。

美國加州大學教授 Zadeh(1965) 在探討人類主觀或思考過程中定量化處理 的方法時首先提出「模糊集合理論」（fuzzy sets theory），模糊理論是以模糊集 合論為基礎，嘗試以人類的思維方式去簡化問題的複雜度，而且能達到與傳統 控制方法相同的目的。其基本精神是接受模糊性現象存在的事實，而以處理概 念模糊不確定的事物為其研究目標，並積極地將其嚴密量化成電腦可以處理的 訊息。模糊理論的應用較偏重於人類經驗及對問題特性的掌握程度，不主張用 繁雜的數學分析及模型來解決問題。Lilybert(2000) 及 Lin & Chen(2004) 等人 之研究提出利用模糊邏輯進行決策評估過程時，不必假設評估準則之間是獨立 或是互斥，他們更進一步指出模糊邏輯主要的目的，就是將難以評估的質性因 素整合到決策評估過程中。

對人類而言，憑藉模糊模式的呈現方式要比直接指定單一物體的特定值，

較合適於評估物體間的相關特性，事實上，很多情況下我們所搜集到的訊息，

以自然語言表示遠比以數學語言表示來的多。有些事物我們可以明確的區分辨 別，數學邏輯中，常常只有「對」「錯」二分法，沒有「有點對也有點不對」的 模糊地帶，稱之為「明確集合」（crisp set），其邏輯可明確的分辨元素屬於哪一 個集合，例如男、女性別，是、否之間可以做出清楚的判斷，通常以0 與 1 兩 個數值作表示。

而模糊集合，如同人類的思維模式，每一元素可以說是將二值邏輯擴展成 多值邏輯，在0 與 1 之間也能表達出所屬程度的數值來表示。其實大多數的事 物在語意表達上，很難以做非常明確的區分辨別，也就是都含有模糊、不明確 的敘述。例如：很可能、向前一點、天氣很溫暖、有點距離等等。我們可以理 解日常生活中這些模糊概念，為了建構所謂人類智慧分析人類語言所表達的意

思，如果我們希望以數學表示出模糊概念中的語意訊息，問題將變得很有趣，

分析起來也較能貼近事實。日常的用語之中，充滿了模糊的概念或語詞。例如：

輕、重、長、短…。這些語詞雖不精準，但在許多場合下，卻是適用且有效的，

因此，若足以解決問題，則無須過於精準。一般人常以模糊概念陳述其問題，

例如：「氣溫多少度？」這是物理的計量，較不易回答；而「熱不熱？」則屬心 理評估量，反而較容易回答。然而，容易回答的則較難以轉換成資料，不方便 作處理。市場供應商對其顧客反應之模糊、不明確的需求，常常使產品設計者 必須花費較大的心力，再依量化處理，盡量滿足顧客的需求。Zadeh 認為，利 用電腦處理也可以處理模糊的概念，將使用者心理量轉換成物理量，經過運算 處理後，再轉換回心理量，告知使用者，便可以解決許多討論。

二、模糊集合

模糊集合理論有三大基本概念：模糊集合（fuzzy set）、模糊關係和模糊隸屬 函數。模糊概念由模糊集合來描述，基本變數x的有序變化劃分出彼此之間沒有 截然的分明界限的論域，任意論域上至少存在一些既不完全屬於又不完全不屬 於，且可能既屬於這個論域又屬於另一個論域的基本變數 x。基本變數 x 漸變 而不是突變的，每個微小的變化都影響著 x 屬於模糊集的程度。

Zadeh(1965) 在『模糊集合理論』裡論述「模糊集合的提出可以看作是研究 某種內心的不清晰建立一套概念和方法的嘗試。這種不精確發生在我們的研究物 件構成的類的邊界不能截然的確定的時候。」模糊集合的基本特徵是邊界模糊 性，模糊集合之間也就存在界限不明顯的關係，自然地這種不明確的關係由直積 上的模糊集來進行描述，這就是模糊關係。

模糊理論以模糊集合為基礎，其接受模糊性現象存在的事實，而以處理概 念模糊不確定的事物為其研究目標，並積極的將其嚴密的量化成電腦可以處理 的訊息，模糊理論的應用較偏重於人類的經驗及對問題特性的掌握程度。表2.2 說明傳統集合與模糊集合在基本精神上不同之處，我們可以說傳統的集合論是 立場鮮明，而調和包容則是模糊理論的基本精神。

表2.2 傳統集合與模糊集合基本精神的比較

傳統集合 模糊集合

使用特徵函數 使用隸屬函數

強調非此即彼的關係 接受亦此亦彼的關係

只接受精確不模糊的資訊 可接受精確不模糊的資訊

硬性二分類法 軟性的分類法

圖2.2「天氣舒適程度」的狀況，說明對明確集合與模糊集合的差異性。

但大多數在實際應用中，只使用以規格化的標準歸屬函數(Mendel, 1995)。

標準歸屬函數因屬於簡單的線性函數，能滿足大多數的系統設計、且容易理解 以及減少數學運算的時間。我們可將圖2.2(b)的歸屬函數簡化成如圖 2.3 所示，

10 15 20 25 30 溫度 ^。C

1

冷 舒適 熱

(a) 明確集合

10 15 20 25 30 溫度 ^。C

1

冷 舒適 熱

(b) 模糊集合

圖2.2 以明確集合與模糊集合分別定義「天氣舒適程度」

因此我們可以容易瞭解溫度與各個語詞之間關係程度。

三、隸屬函數

在整個集合中，每一元素對某一模糊集合的所屬程度都賦予一個介於0 與 1 之間的數值，稱之為「隸屬函數」（membership function）。由於每個人的感覺、

判斷有所差異，因此隸屬函數的給定因人而異，亦即根據使用者的主觀意識來 作判別(Mendel, 1995)。一般是以該應用領域中的專家經驗及知識來作為判斷基 礎。隸屬函數的形式會隨使用者定義而有所不同。一般在評估問題時，根據評 估指標的特性可分成定量與定性兩種指標，而大多數的定性指標，是為了對質 性事物進行表達，人類對於質的衡量，往往具有不確定性或模糊的性質，傳統 上的二元絕對的劃分方式，對於模糊性質的語意並不能夠確切的表現出來。將 傳統集合論的特徵函數，改變為從0 到 1 的區間特徵函數，即隸屬函數。它是 模糊集合理論應用於實際問題的基礎。在模糊邏輯控制中，當模糊規則確定後，

模糊控制系統的性能在很大程度上取決於模糊變數的各個子集的隸屬函數。

傳統數學的集合的基本定義，為屬於或不屬於此集合，即「非此即彼」「A 或非A」，明確的判斷對象物所屬之集合。欲適當的描述模糊事物，必須放棄傳 統數學的集合的基本定義，將對象物所屬之集合的概念模糊化，即「亦此亦彼」

「A 且非 A」，無明確的判斷對象物所屬之集合，承認論域上存在既非完全屬於 集合A 又非完全不屬於集合 A 的元素，使傳統集合的絕對屬於的概念變更為相

圖2.3 「天氣舒適度」的標準歸屬函數

10 15 20 25 30 溫度 ^。C

1

冷 舒適 熱

對屬於的概念。傳統的一般集合： S = {a, b, c, d,…} 或 S = {x | x 是正整數}。

模糊數（fuzzy number）是具有不確定性，且能以模糊集合來表示的數，

Dubois & Prade (1978)、Klir & Folger(1988) 和 Klir & Yuan(1995)曾對模糊數加 以 定 義 並 提 出 若 干 基 本 性 質 ， 認 為 模 糊 數 為 一 模 糊 數 集 ， 其 隸 屬 函 數 (membership function)為 μ(x)：R→ [0,l]，並具有以下之性質：

1. μ(x)為連續性且有界的(bounded)

本研究採用計算較簡易之三角形模糊數（Triangular Fuzzy Number），其定義 於實數系R上的三角形模糊數，以A=(c,a,b)表之，其隸屬度函數定義如下：

其隸屬度函數圖形為：

上式中c < a < b ，三角形模糊數 A 在參數a 時有最大的隸屬度，即μA(a) = 1， b 與 c 分別表示評估資料之上界（upper bound）與下界（lower bound），其 主要目的為反映資料之模糊性，區間 [c,b] 愈小，則表示資料的模糊性低，反之 則表模糊性愈高。

以「體重」為例，體重是一個可以度量的客觀物理量，「重」是一個模糊概 念（主觀的心理量），二者之間有一個「隸屬度」（degree of membership）。

例如：

Μ^重 = { (40,0.0), (50,0.0), (60, 0.25), (70, 0.5), (80,1.0), (100,1.0)}

表示40 公斤和 50 公斤的人均不能稱之為「重」(隸屬度為 0.0)；80 公斤和 100 公斤絕對可以稱之為「重」（隸屬度為1.0）；而體重 60 公斤和 70 公斤的人 屬於「重」的程度，分別為 0.25 和 0.5。此一概念可進一步用下圖表述。橫軸 為體重（物理量），縱軸是各體重重量對此一模糊概念的「隸屬度」，其值由 0 到1。準此，吾人可以定義出「重」的隸屬函數。

f(h) = 0, 當 h≦50 = (h-50)/30, 當50≦h≦80

= 1, 當 h≧80 圖2.4 三角模糊數 μA(x)

a b c

X

四、解模糊化

模糊化（fuzzification）是把量測值轉換成主觀評價的一種手續。一般來說，

經由量測到的值是明確的值，藉由模糊化策略，將之映射成論域中的一個模糊 值。而解模糊化（defuzzification）的過程與模糊化相反，是將一個模糊集合，

轉換為一個明確的數值，將推論結果的平均值轉換成實際的操作量，以作為模 糊排序過程中所使用的工具。亦即，解模糊化的用意，在於將模糊推論所得的 推論結果量化為輸出變數的歸屬函數值。因為我們要實際應用於系統操作，必 須將模糊推論所得到的語意轉化成一明確的輸出值。對機械控制來講，要使機 械能作動，就必須給定明確的控制量，例如在模糊推論的推論結果，若所要形

轉換為一個明確的數值，將推論結果的平均值轉換成實際的操作量，以作為模 糊排序過程中所使用的工具。亦即，解模糊化的用意，在於將模糊推論所得的 推論結果量化為輸出變數的歸屬函數值。因為我們要實際應用於系統操作，必 須將模糊推論所得到的語意轉化成一明確的輸出值。對機械控制來講，要使機 械能作動，就必須給定明確的控制量，例如在模糊推論的推論結果，若所要形