模糊理論

(四) 層級數增加，導致效率降低：AHP法採用兩兩成對比較的方式以 1,2,3…,9的比率尺度，將每個層級中決策屬性的相對重要性找出，

建立成對比較矩陣，當層級數增加時，則所須的兩兩成對比較次數 將呈現指數成長，容易使填答者因回答問題過多，思緒混淆，導致 此模式效率降低。

(五) 群體決策問題：當AHP法被使用來評估交通運輸規劃時，往往須綜 合不同專家、學者之意見，以促使決策能更周全反應不同團體的意 見，因此，判斷的整合在AHP法中是相當重要的。Saaty【78】建議 使用幾何平均數作為整合的函數，幾何平均法適用於決策者彼此具 有共識情況下，但當決策者各決策屬性的認知差異很大時，部分評 估者的權重無法反應在評估結果之問題上，造成他們無法接受評估 的結果，導致計劃難以被執行。

模糊多準則決策的主要概念是將各個候選方案（Alternatives）的各項評 估屬性（Attribute）與其所屬的權重（Weight）轉換成以模糊集合或是模糊數 的方式來表示，透過使用模糊運算來建構決策模式，以計算出各個不同候選 方案間之優劣評價值，最後以模糊排序（Fuzzy Ranking）將模糊運算後的各 個方案優劣評價值順序列出，作為決策方案訂定之依據。

2.6.1 基礎模糊理論

在日常生活的環境中，我們所遇到的現象可以用數學的觀點將其大致分 為確定現象、隨機現象與模糊現象三大類。確定現象：可透過幾何、微分方 程、數學分析等來處理，亦可稱之為經典數學；隨機現象：則可運用機率論 與數理統計等做為應用工具；而模糊數學則是研究模糊現象的數學工具【1】。

近 年 來 有 許 多 學 者 認 為 模 糊 理 論 中 所 定 義 隸 屬 程 度 （Degree of Membership）的值域是參考機率理論的方式，將值域定義在區間值[0,1]之間，

既然與機率論的值域相同，而機率統計方面的理論也已發展成熟，或許有人 便會認為那模糊理論存在的意義為何？事實上，模糊理論與機率理論處理的 是不同的主題，其主要分類如下【17】：

一、模糊理論處理的是事實發生的“可能性”（Possibility）。

二、機率理論處理的則是事件發生的“概率”（Probability）。

2.6.2 模糊集合理論（Fussy Set Theory）

模糊理論的觀念，首先是由美國加州大學柏克萊分校的Zadeh 教授所提 出，是針對人腦這種利用模糊的訊息或是不完全的資料，不需經過繁瑣複雜 的演算過程，仍能作出正確判斷的特色而發展出來的。而發表模糊理論的目 的是要解決現實環境中之不確定性（Uncertainty）與模糊性（Fuzziness）的 資料。Zadeh教授認為世上許多事物的探討與描述不是僅由「是」或「否」，

「屬於」或「不屬於」等明確劃分的概念所能包含的，尤其是對一些抽象事 物的描述，譬如「高」或「矮」，「很滿意」或「不滿意」，更是不易用嚴 謹的數學函數來表示其意義，而是應以「隸屬函數」來加以描述。

模糊集合是指用來表示界限或邊界不分明，且具有特定性質事務的集

合。模糊理論本身並不是一種模糊不清的理論，它積極承認模糊情況，並以 數學模式加以嚴密討論【19】。模糊數學在處理現實環境之問題時，既能與 傳統數學結合，又與傳統數學中的「非此即彼」與「亦此亦彼」的特性有所 區別。

2.6.3 模糊集合基本概念

一、模糊集合

「美麗」、「很瘦」等各式各樣模糊性的形容詞或現象常出現在我 們日常生活中，但這些現象或形容詞的基準或印象會因人而異，我們很 難明確地對這樣的現象利用傳統數學在量化上定義這些具模糊性的現 象。像這樣對象物之集合的範圍或境界式不明確的集合，若能利用模糊 集合的概念時，就很方便。而Zadeh 教授對此模糊所定義的集合引進隸 屬函數（Membership Function）以訂出模糊集合的特性。

二、模糊數與隸屬函數

在模糊集合的定義中：某一元素x而言，常以 ( )

μ x

來表示x屬於某集 合的程度，即將x對應到[0, 1]的函數中，等級愈接近1，則表示該集合包 含x元素的程度愈大，此值稱為隸屬度（Degree of Membership），所以

μ

( )

x

稱為隸屬函數（Membership Function）。當隸屬函數的值只有0與l兩種 時，該集合就是傳統的明確集合（Crisp Set）。

模糊數（Fuzzy Numbers）為實數中的一模糊子集，係信賴區間概念 的擴充【14】。依Dubois and Prade【46】對模糊數的定義，若模糊數A

為一模糊集，則其隸屬函數為:

( )

^:

[ ]

^{0, 1 ,}

A x U x X

μ

 → ∈ (2)

若滿足下列三條件者，則為三角模糊數：

(一)

μ

A

( )

x 為連續性

(二)

μ

A

( )

x 為一凸模糊子集（Convex Fuzzy Subset）

( ) ( )

1

( )

2 ,

[

1, 2

]

A x A x A x x x x

μ

 ≥

μ

 ∩

μ

 ∀ ∈ (3)

(三) μA

( )

x 為正規化模糊子集（Normality of a Fuzzy Subset）

( )

^1,

A x x X

μ = ∈ (4)

亦即存在一實數x0，使得μA

( )

x0 =1。

隸屬函數型式有：三角模糊數、梯形模糊數以及其他。以圖2.3為例來說 明模糊集合與明確集合間的不同。

μ

( )

x

表示『中年』的模糊集合，而C(x)則 表示傳統的明確集合【17】。

隸屬度 隸屬度

中年 中年

0 1

0 1

40 50 60 年紀(歲) 40 50 60 年紀(歲) μ(x) 模糊集合

C(x) 明確集合

圖2.3 模糊集合與明確集合 資料來源：【17】

上述圖形表示模糊數的方式雖相當清楚，然在實際應用上並不方便。因 此，一般皆以數學方式來表示模糊數的特性。對任一模糊數μA =

(

a b c d^{, , ,}

)

， 其具有下列特性：

一、a≤ ≤ ≤b c d。

二、

μ

_A( ) 0

x

= ，當^{x→ −∞}

(

^{, , a}

) (

^{∪ d ∞}

)

^。

三、

μ

_A在[a, b]間為連續且由0至1的嚴格遞增；μ 在[c, d]間為連續且由1至0_A 的嚴格遞減。

四、

μ

_A( ) 1

x

= ，當^x→

(

^{b c,}

)

^。

以數學表示可為：

( )

( ) ( )

( ) ( )

/ , 1, / , 0,

A

x a b a a x b b x c

X x d c d c x d

μ

⎧ − − ≤ ≤

⎪ ≤ ≤

= ⎨⎪

− − ≤ ≤

⎪⎪⎩



其他

(5)

由上式可知，當b ≠ c 時，

μ

_A為梯形模糊數；當b = c 時，

μ

_A為三角模 糊數；當a = b = c = d 時，則

μ

_A為一明確數值（Crisp Value）。依徐村和【14】

指出，[b, c]之區間值為

μ

_A最有可能出現的數值，且當決策人員所擁有的資訊 越少，此區間的距離也越大，即此時越模糊。

2.6.4 三角模糊數和三角模糊數的運算

本研究僅應用三角模糊數的概念及簡單的運算，故以下僅對三角模糊數 的特性與運算進行說明。

一、三角模糊數

對任一三角模糊數 A =（a, b, c），依前述對模糊數的定義可知，其 圖形如圖2.4及數學式可表如下：

隸 屬 度

0 1

a b c μ_A(x)

圖2.4 三角模糊數 資料來源：【17】

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0, / , / , 1,

A

x a

x a b a a x b

X x c b c b x c

x c μ

⎧ <

⎪ − − ≤ ≤

= ⎨⎪⎪ − − ≤ ≤

⎪ >

⎩

 (6)

二、三角模糊數的運算

Liang and Wang【66】依據三角模糊數之性質及Zadeh【87】所提出 之擴張原理。假定兩正三角模糊數A1 =

(

a b c1, ,1 1

)

與A2 =

(

a b c2, ,2 2

)

，則 有下列之代數運算：

(一) 模糊數加法

(

a b c1, ,1 1

) (

⊕ a b c2, ,2 2

) (

= a1+a b2, 1+b c2, 1+c2

)

(7) (二) 模糊數減法

( a b c

1, ,1 1

) (

−

a b c

2, ,2 2

) (

=

a

1−

c b

2, 1−

b c

2, 1−

a

2

)

(8) (三) 模糊數乘法

(

a b c1, ,1 1

) (

⊗ a b c2, ,2 2

) (

= a a b b c c1 2, 1 2, 1 2

)

(9) 對一實數 k,

(

^{, ,}

) (

^{, ,}

)

k⊗ a b c = ka kb kc (10)

(四) 模糊數除法

(

a b c1, ,1 1

) (

/ a b c2, ,2 2

) (

= a1/ , / , /c b b c2 1 2 1 a2

)

, 0, 0a1 > a2 > (11) (五) 模糊數倒數

( )

1 1 1 1

, ,

A⁻ = c⁻ b⁻ a⁻ (12)

(六) 模糊數開根號運算

( )

1/ⁿ 1/ⁿ, 1/ⁿ, 1/ⁿ

A

 =

a b c

(13)

2.6.5 模糊語意變數（Fuzzy Linguistic Variable）

Zadeh【87】提出當遇到太過於複雜或難以定義的問題，且用傳統量化方 法很難合理地加以描述的情況下，此時就必須以「模糊語意變數」（Fuzzy LinguisticVariable）的概念來處理。

用自然語言或人工語言來表示人類語言中其語意程度的不同所相對應的 變數，此稱為「模糊語意變數」，即將人類的自然語言（文字或字句）或人 工語言中不同程度的詞語視為變數值。當我們要明確反映出語意變數所代表 的價值與意義時，則需有適當的訊息轉變方式才能達成。例如，在人類自然 語言中，語意所代表的權重可視為一種語言變數，其值可分為「很低」、「低」、

「中」、「高」、「很高」等五種不同程度的語詞，再給予不同的權重值。

語意變數之使用相當廣泛。於本研究中，語意變數主要在讓決策人員以語意 變數評估準則的重要性。以「身高」為例，其語意變數值可以是很高、高、

不高、矮、很矮等等，而這些語意變數值中的每一個都是模糊的概念。

語意變數之使用在目前相當的廣泛，對處理難以量化的問題有甚大的助 益。針對模糊決策方法，Liang and Wang【66】利用八種模糊語意變數表，提 出一個簡單的方法，將模糊資料用模糊語意詞句加以表示，使能將決策者所 給予的語意變數值，轉換成相關的模糊數，讓決策者使用上較有系統。如表 2.10 所示。

表2.10 八種模糊語意變數表

Scale 1 2 3 4 5 6 7 8 No. of terms

used two three five five six seven nine eleven

None Yes

Very low Yes Yes Yes Yes Yes

Low-very low Yes

Low Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Fairly low Yes Yes Yes Yes

Mol low Yes Yes

Medium Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes

Mol high Yes Yes

Fairly high Yes Yes Yes Yes

High Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes

High-very high Yes

Very high Yes Yes Yes Yes Yes

Excellent Yes

資料來源：【66】

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 47-54)