模糊理論與模糊集群分析

壹、模糊理論之定義

Zadeh(1965)所提出的模糊理論是以模糊邏輯為基礎，它將傳統數學之 二元邏輯做延伸，不再是只有對錯或是非二分法。對於元素與集合的關 係，古典集合論中元素是否屬於集合 A，必須十分明確不容模糊，然而對 與錯之間還有不完全對，一點對或不完全錯，正所謂的灰色地帶與模糊觀 念(吳柏林，2005)。模糊理論打破了古典數學中二元的現象描述法，而改 以隸屬度的觀點來進行描述，因此模糊理論提出後，成為工程、人工智慧、

統計方法論等領域的新秀，近年來，更逐漸影響社會科學的資料分析(Law, 1996; Law, 1997)。

相較於古典數學的二元邏輯集合論，模糊理論將元素和集合之間用隸 屬度來描述，其值介於[0,1]之間，定義說明如下：

1.隸屬函數(membership function)

令U 為全域， 為一對應到[0,1]間的實數函數，即 ，則 之 模糊子集 的隸屬函數以 表示，指元素

f f :U [0,1] U

A f_A(x) x隸屬於模糊集合 的程度，

則在離散的情形下，可表示成：

A

) )

2.模糊矩陣(fuzzy matrix)

兩個集合元素之間的相似程度，可用模糊矩陣來表示。論域X 有 個 到一個包括全體的集群，其又可分為分裂法(division method)與凝聚法 (agglomerative method)；後者主要探討可分割成的集群數目，以及集群裡 面的個體，不能像階層集群一樣，畫出樹形圖，其最常見的是 K 平均法 (K-means)。但一般在作分析時，我們會結合此兩種方法而成為二階段分析 法(楊志堅、張家榮，2000)。

集群分析異於其他分析的最大不同點在於研究者是對有興趣的觀察體

分類，而非將變數加以分類，因此集群分析所關心的重點有三(林邦傑， 屬度觀點融入集群分析中(Kaufman, and Rousseeuw, 1990)，它可根據一組 樣本的觀察變數，模式與資料的適配性，進行適當的分類，分析出適合的 分群組數與結構。經由模糊集群分析，使得隸屬於相同集群的受試者具有 相似的性質，而隸屬於不同集群的受試者具有迥異的性質，且經由分析所 得各群之知識結構分別有其特殊性(林原宏、黃美盼、易正明，2007)。根 據模糊理論所進行的集群分析方法很多，最常見的是目標函數法(objective function)，可描述每個個體的隸屬度，但不具有階層性；α截矩陣法(α-cut) 無法表示個體的隸屬度，但具有階層性的優點；最大樹法(maximum tree method)可觀察個體間的距離關係。這些方法各有其特性，本研究使用目標

根據模糊分割方法，可以將整體受試者分為C個集群，得到 階的 明確(Zimmermann, 1991)。經驗上q值取[1.25,5]較佳。以最小平方法(least square method)的準則，並以Lagrange’s multipliers方法，求 的極小 值，得 、 的關係式如下：



割亂度」兩個指標來決定類別數，兩個指標的公式如下(Bezdek, 1981)：

C

一、分割係數(partition coefficient)

分割係數F(U;C)的定義為：



二、分割亂度(partition entropy)

分割亂度H(U;C)的定義為：



點與量化方法，在社會科學的應用有增多趨勢(Ragin, 2000)。林原宏(2007) 指 出 ， 模 糊 迴 歸 (fuzzy regression) 、 模 糊 相 關 係 數 (fuzzy correlation coefficient)、模糊時間序列(fuzzy time serious)和模糊檢定等(Gao, 1999;

Hung and Wu, 2001; Singh, 2007; Wu, 2001)模糊量化方法相當適合於社會 科學資料，原因是社會科學所度量者大多涉及人類思考特性，而人類本身 思考具有模糊性，其次可能由於統計學強調資料分配假設，而造成資料與

假設無法吻合的窘境，而模糊資料的分析模式大多不需要資料分配假設，

使其具有穩健性(robust)。

模糊集群的相關研究甚多，國內許多研究者將其應用在生活問題上，

如張鈿富、孫慶珉(1993)利用模糊理論與測度運算、模糊集合概念等討論 學習成就模糊分析之可能性；呂玉琴(1994)利用模糊綜合評判方法分析教 師在分數教學之相關知識；張陳穎(2006)利用集群分析與潛在類別分析探 討電子類公司績效間的差異並加以比較；黃馨瑩、王士信、林原宏(2007) 整合模糊集群與多元計分次序理論探討六年級學童在植物繁殖概念上的 知識結構等。

基於上述，模糊集群是有別於傳統非1即0之分析方法，經由模糊集群 分析，使得隸屬於相同集群的受試者具有相似的性質，而隸屬於不同集群 的受試者具有迥異的性質。本研究因此將其應用至教育上，利用模糊集群 將學生分群，再針對各群之特徵加以分析。

在文檔中 應用模糊集群分析國小六年級學生數與量分年細目之概念階層結構 (頁 23-28)