第二章 文獻探討
第一節 數與量概念及其相關研究
壹、數與量的子題
根據教育部(2003)公佈的「九年一貫課程數學課程綱要」，數學學習領 域的內容可分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」
等五個主題，其中數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置，且 其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段。國小數與量的 範圍可分為「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估算」等子題，其內容 如下：
一、整數
整數在國小階段指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與計算。
整數計算是一切數學學習的基礎，在教學中，學童經由活動、情境掌握計 算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略(教育部，2003)。非負整 數的數學內容包括：數概念、加減乘除四則運算、估算與概數、尋求關係 與規律性、因數與倍數(九年一貫數學學習領域綱要諮詢意見，2003)。由 心理的觀點來看，數概念是指一項可供心智操作的物件，而可被操作的方 式會有不同，使用不同操作的彈性(flexibility)，取決於在同化(assimilate) 或數詞基模的品質(Piaget, 1971)；甯自強(1997)認為數字數概念是由「1」
概念的聯合再加以聚合而成的集聚單位，而「1」概念則由測量活動的行 為，或是數數動作內蘊化所得的。由於記數系統的使用，對數的本質探討 需加入其結構方面的探索；張雅涵(2008)整理多位學者對於數概念之觀
點，認為數概念可以界定為單位量的累積，外人必須透過學童的外在表徵 來了解其數概念。
國小整數教學的課程目標在於(教育部，2003)：
(一)從計數開始，學習位值的約定與換算，並在演算中，逐步熟悉，最後 能掌握大數。
(二)在二年級下學期，理解算術的樞紐─九九乘法，作為日後所有計算的 基礎。
(三)到四年級時，能夠不拘泥於位數，熟練加、減直式計算，五年級則熟 悉乘、除直式計算。
(四)五年級時熟悉整數四則混合計算與相關運算律。
(五)在五、六年級時，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相 互加強，建立完整的數字感。
二、量與實測
量的學習是學生學習連續量的入口，可以與有理數的學習相互加強。
其中又以長度的教學最為關鍵：長度是學生保留概念最早成熟的量，也是 最容易操作的量，經由長度之經驗，學生學習如何在數線上做比較與加減 運算，由此將整數與有理數徹底整合，作為日後學習負數、實數、幾何的 基礎。教學中的量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生 活中常用的七種，相較於82年之課程標準，少了貨幣和速度兩種量，其中 長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何(視覺)量。國小量的學習，原則 上要經過初步認識、常用單位、單位換算、量的計算的階段，尤其要注意 在應用問題中，恰當的和分數、小數結合(教育部，2003)。
鐘靜(2001)按照感官量和工具量的特性來談九年一貫之量與實測教材 架構：
(一)感官量部份
長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量，
兒童對這些量(除了時間)概念的認知發展形成都要經歷下列五個階段才算 完整：初步概念、間接比較、個別單位、單位化聚、公式化的概念(教育部，
2001)。而教育部於2003年公佈的綱要中對於時間以外六種量的學習，說明 大致要經歷如下四個階段(教育部，2003)：
1.初步概念與直接比較：首先，透過感官直接感覺該量，再對兩同類量做 直接比較，最後是量的複製，這是下一階段的前置經驗，另外，也包括 利用測量工具之刻度直接描述一量。量的複製包括整體複製、合成複製 和等量合成複製。
2.間接比較與個別單位：對於無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量，
分別做直接比較，並利用比較結果，做出兩量之比較(涉及量的保留概念 和量的遞移率)。能做間接比較，便能使用個別單位做測量。依皮亞傑的 實驗結果知道，未擁有某類量之保留概念的兒童，對此類量不能做間接 比較。
3.常用單位的約定：認識某類量的常用單位，並能運用此單位，做量的比 較、加、減、乘、除。
4.常用單位的換算：在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測量結 果。然後再學習使用單位的約定，來進行換算。例：1200公尺=1公里200 公尺=1.2公里。
(二)工具量的部份
工具量的代表，在小學階段就是時間教材，其教材架構可以分為四個 層次(鐘靜、魯炳寰、林素微，2001)：
1.比對刻度觀點：以兩針所指的刻度，直接報讀幾時幾分。
2.建立相對量感：九時到十時的刻度變化，配合生活事件，認識一時的量 感。
3.建立等相對量感：經歷相同事件，都是從九時到十時，用小時計算是一 小時，用分鐘計算是60分鐘，進而引發二階單位間的關係。
4.時間的計算與應用：時間(量)的加、減、乘、除法問題，二時刻與時間(量) 的問題。
三、有理數
有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的 教學主題。有理數教學的困難主要在於：它牽涉兩種非常不同的表現形式
─分數與小數(教育部，2003)，前者是源自拉丁字“frangere”，具有小部份、
片段、破碎之意，但通常是指將全部分解為部份的意思(張屏東，1995)，
李曉莉(1998)認為分數是兒童未來要學習許多的數學概念和技能時，必備 的基礎和關鍵，由此可見其重要性；後者是源自拉丁字“decima”，為「小 部份」之意，其由來是在以某單位測量長度時的餘量而產生的，也就是小 數是指比單位1還小的數(劉曼麗，2001)。
小學的有理數教學，必須釐清、練習並連結下述有理數的四種意涵，
最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵─「除的意涵」(教育部，
2003)：
(一)平分的意涵：學生在低年級認識人我分際之後，就會發展出強烈的公 平感，因此從平分入手學習分數，是一條比較容易的途徑，也比較容 易化解分數學習中常見的認知衝突。
(二)測量的意涵；長度測量是低年級就發展的數學課題，在以個別單位度 量長度，為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發展小數與 分數兩種課題。由於單位的強調，測量是調和「部分/全體」的意涵與 帶分數認知衝突中的重要工具。
(三)比例的意涵：比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學生比較容易 接受。即使學生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生 解題。最後再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題。
(四)部分/全體的意涵：部分/全體雖然是分數的重要意義之一，但是由於概 念較為抽象，而且真分數的暗示過深(全體為1)，可能造成假分數或帶
分數學習上的困擾，必須透過單位的強調來解決其認知衝突。
四、估算
估算是一項複雜的能力，包含兩項過程，首先將精確的數字簡化成概 略且便於計算的數值，然後再將這些概數以適切的策略進行解題，再求出 結果的一種解題方式(Case and Sowder, 1990; Sowder, 1992)。
估算在國民教育中可粗分為離散量的估算(自然數四則運算的估算)與 連續量的估算。前者的教學，應在學生已經能掌握確算後再進行；而後者 的教學，應透過測量時量不盡的正常情境，與小數的教學共同開展，認識 小數之細分與精確度的要求乃是一體的兩面。最後，結合兩者，養成掌握 誤差、施行估算的能力。國小估算教學，要特別注意評量的問題，切忌因 為強求估算，禁止學生使用正常計算。教師應在評量的問題上下功夫，讓 問題本身暗示估算的好處(教育部，2003)。
根據以上所述，可知國小數與量涵蓋的範圍甚廣，且每個子題都各有 其重要性，整數計算是一切數學學習的基礎；量的學習是學生學習連續量 的入口，可以與有理數的學習相互加強；有理數牽涉分數與小數兩種不同 的表現形式，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主題；估算是屬於 較高層次的數學能力，學生必須先對所使用的概念程序與問題情境有相當 的理解，才能恰當地估算，進而正確判斷估算的時機與精確度的要求。
貳、數與量概念相關研究
近年來國內數與量概念相關研究，大多是針對單一個概念進行探討，
由於數與量的內容涵蓋十分廣泛，因此以下將相關研究分為「整數」、「量 與實測」、「有理數」和「估算」等四部份進行探討。
一、整數
甯自強(1992a，1992b)將兒童數概念的發展分為四階段：第一階段為「序 列性合成運思期」(uniting operations)，可透過數數活動達成；第二階段為
「累進性合成運思期」(progressive uniting operations)，指以一個數為基準，
直接以此數為起點，向上或向下計數；第三階段為「部份─全體運思期」
(part-whole operations)，此階段為上一階段的重組，指一個數可以被兒童同 時 使 用 兩 個 以 上 的 單 位 重 新 結 構 ； 最 後 一 個 階 段 是 「 測 量 運 思 期」
(measurement operations)，此階段是部份─全體的遞迴運用，意指將內嵌於 最高集聚單位的次階集聚單位當成部份，加以複寫後，予以脫嵌外提後，
在行置回原處，並同時保有原高集聚單位與「一」的部份─全體關係。
學生在整數計算過程中容易出現的錯誤類型(迷思概念)有：數概念、
基本數事實和多位數計算。因對數概念不清楚所產生的錯誤，如「不熟悉 位名」、「直接轉譯錯誤」、「單位換算觀念不清」等；基本數事實的錯誤，
如「不熟悉數字之間的關係」、「常出現使用不成熟策略的情形」等；多位 數計算錯誤則是學生因不知道或不清楚計算規則而造成計算錯誤的情形 發生，如「由錯誤方向開始計算」、「直式計算時，由左到右排列數值」和
「退借位」的錯誤等。此外，亦有研究針對加、減、乘、除計算方面的錯 誤類型(巫欣華，2009)。
二、量與實測
量與實測中，量的保留概念是相當重要的一個主題，瑞士心理學家 Piaget的認知發展理論中指出，保留概念是具體運思期的重要概念之一，
指兒童在認知過程中，瞭解到當事物的某些屬性改變時，其他屬性仍保持 不變。而兒童具有數量保留概念約在六歲，質量保留概念約在七、八歲間，
指兒童在認知過程中，瞭解到當事物的某些屬性改變時，其他屬性仍保持 不變。而兒童具有數量保留概念約在六歲，質量保留概念約在七、八歲間，