本研究旨在結合模糊集群分析(fuzzy clustering)與試題關聯結構(item relational structure, IRS)，探討國小六年級學生在數學學習領域數與量分年 細目概念之精熟程度與各概念間之關聯，以提供教學者實施補救教學或分 組教學之參考。本章旨在闡述本研究之動機、目的並對本研究所提及之相 關名詞作釋義。
第一節 研究動機
國小九年一貫課程綱要數學學習領域中共有五大主題，分別為「數與 量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」。其中數與量在國民教 育的數學課程中具有最重要的位置，且其主要概念的形成以及演算能力的 培養均奠基於國小階段(教育部，2003)，可見數與量是十分重要的概念，
唯對於教學者而言，傳統紙筆測驗所能提供的僅為學生之分數，教學者難 以從其中得知學生對於哪些概念仍不夠清楚、概念間的聯結是否完整，研 究者因此以數與量概念為主題，對國小六年級學生進行施測，以瞭解學生 在數與量概念上之精熟程度與各概念間之關聯，並提供教學者實施補救教 學或分組教學之參考。
為提供教學者實施補救教學與分組教學之參考，研究者藉由「根據元 素之間的相似程度予以分類」，亦即將相似程度高的元素歸類為同一群集 之模糊集群分析法，將學生依其概念精熟程度加以分群，使得群內同質性 越高、群間異質性越高，進而讓教學者得以有效地為學生分組，進行補救 教學或分組教學。
在心理計量學中有許多關於學生學習知識後的概念階層結構之分析方 法，這些方法主要係從試題或元素中，找出有意義的上下從屬關係，藉以 說明受試者的概念特徵。常見的如 Bart and Krus(1973)所提出之次序理論
(ordering theory)、Takeya(1980)根據次序理論所提出的試題關聯結構、林原 宏(2005)結合試題反應理論(item response theory, IRT)和模糊理論(fuzzy theory)以及察覺的模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception)所提出的 詮釋結構模式(fuzzy approach of interpretive structural model)、Novak and Gowin(1984)所提出之概念構圖(concept mapping)以及由美國新墨西哥州立 大學計算研究實驗室的領導人 R. W. Schvaneveldt 及其研究小組所發展的 徑路搜尋法(pathfinder)等。其中試題關聯結構可根據施測結果，依照試題 彼此的通過率及反應順序，繪製成概念階層結構圖，經過許多學者應用於 教育的研究，證實此理論確實能有效的運作於試題的分析。近年來，日本 早稻田大學的數學教育學會更應用模糊理論於試題關聯結構的分析上，顯 示該理論頗受重視並具其發展性(Takeya, 1991)。Lin, Bart, and Huang(2006) 等人改進 IRS 二元計分之限制，提出多元計分試題關聯結構(polytomous item relational structure, PIRS)，且二元計分 IRS 為 PIRS 之特例，這方面擴 展原有 IRS 之應用層面(林原宏、朱芹儀，2008)。因此，本研究應用試題 關聯結構理論針對國小六年級數學學習領域數與量分年細目進行探討。
基於上述，本研究結合模糊集群分析與試題關聯結構理論，將學生分 群並藉由概念階層結構圖探討其在數學學習領域數與量分年細目概念之 精熟程度與各概念間之關聯。
第二節 研究目的
本研究旨在結合模糊集群分析與試題關聯結構理論，探討國小六年級 學生在數學學習領域數與量分年細目概念之精熟程度與各概念間之關 聯，並提供教學者實施補救教學或分組教學之參考。基於上述，本研究目 的臚列於下：
一、 利用模糊集群分析方法將國小六年級學生分群，並探討各群之特徵。
二、 利用試題關聯結構理論，繪製各群之概念階層結構圖。
三、 探討國小六年級學生各群之數與量分年細目的概念階層結構圖特徵。
四、 比較國小六年級學生群間概念階層結構圖之異同。
第三節 名詞解釋
壹、 數與量相關名詞
根據教育部(2003)公佈的「九年一貫課程數學課程綱要」，國小數與量 的範圍可分為「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估算」等子題，其內 容如下：
一、整數：整數在國小階段指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與 計算。整數計算是一切數學學習的基礎，在教學中，學童經由活動、
情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略。非負整 數的數學內容包括：數概念、加減乘除四則運算、估算與概數、尋求 關係與規律性、因數與倍數(九年一貫數學學習領域綱要諮詢意見，
2003)。
二、量與實測：量與實測是國小數學的核心課程之一，其中量包含長度、
重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量，又長 度、容量、角度、面積、體積屬於幾何(視覺)量。國小量的學習，原 則上要經過初步認識、常用單位、單位換算、量的計算的階段，尤其 要注意在應用問題中，恰當的和分數、小數結合。
三、有理數：有理數牽涉兩種非常不同的表現形式─分數與小數，它的應 用課題包含平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體。而國小階段 的有理數教學，包含了平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵、部分/
全體的意涵。
四、估算：國小階段的估算教學，要特別注意評量的問題。切忌因為強求
估算，禁止學生使用正常計算。教學者應在評量的問題上下功夫，讓 問題本身暗示估算的好處。
貳、 模糊理論
Zadeh(1965)所提出的模糊理論是以模糊邏輯為基礎，它打破了古典數 學中二元的現象描述法，而改以隸屬度的觀點來進行描述，不僅跳出了傳 統的排中律限制，可將人類思維和概念過渡邊界以數學方式表達及運算；
另一方面，也擴展了不確定性的現象，將隨機性所無法表達的另一種稱之 為模糊性的不確定性呈現出來(楊敏生，1996)。
參、 模糊集群分析
傳統的集群分析是採二元觀點，而模糊集群分析則是把模糊理論之隸 屬度觀點融入集群分析中(Kaufman and Rousseeuw, 1990)，它可根據一組樣 本的觀察變數，模式與資料的適配性，進行適當的分類，分析出適合的分 群組數與結構。經由模糊集群分析，使得隸屬於相同集群的受試者具有相 似的性質，而隸屬於不同集群的受試者具有迥異的性質，且經由分析所得 各群之知識結構分別有其特殊性(林原宏、黃美盼、易正明，2007)。
肆、 試題關聯結構理論
Takeya(1980)根據 Bart and Krus(1973)的次序理論(ordering theory)之模 式，提出以測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製成具 有指向性的圖形結構，來分析試題特性，此種方法稱為試題關聯結構，該 方法是就二元計分(dichotomous)試題，根據其列聯表資料，計算其前置關 係(precondition)或次序性關係，然後以試題的通過率為縱軸，在試題之間 以「→」表示之間的關係，畫出概念階層結構圖，表示出試題之間層次和 關係(簡茂發、劉湘川、許天維、林原宏，1995)。