應用模糊集群分析國小六年級學生數與量分年細目之概念階層結構

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文

指 導 教 授 ： 林原宏、陳桂霞 博士

應用模糊集群分析國小六年級學生

數與量分年細目之概念階層結構

研 究 生：鄭如君 撰

中 華 民 國 九 十 九 年 六 月

謝 辭

歷經兩年的時間，終於順利完成論文，期間投稿的挑戰、教甄的壓力 以及家中突然的變故都曾讓我感到手足無措，但在老師、家人以及同窗好 友的協助之下，困難全都迎刃而解，在此致上最誠摯的謝意。 首先，由衷的感謝兩位指導教授林原宏老師與陳桂霞老師，總是不吝 惜給予學生指導以及鼓勵，除了課業上的協助外，學生亦從兩位老師身上 學習到許多待人處事的態度與原則，獲益良多！此外，謝謝三位口試委員 梁錫卿老師、陳錦杏老師與易正明老師在百忙之中抽空審閱學生的論文， 並給予懇切的建議，使論文內容更加完備。 兩年的研究生涯中，感謝教育測驗統計研究所的同學們，不管在課業 上或是生活上總是給予我協助與鼓勵，尤其是同組的夥伴秀雯、鎰麗與宜 樺，因為有妳們讓我的生活更顯多采多姿！此外，辛苦的在職老師們在忙 碌之餘仍抽空協助發放施測試卷、母校的老師們協助預試與審視試卷，讓 學生的研究得以順利進行，你們的協助是我完成論文的最佳後盾！ 最後，感謝我最愛的家人與室友，謝謝你們無時無刻的支持與關懷， 希望大家永遠平安快樂。 鄭如君 謹誌 2010 年 6 月

中文摘要

本研究旨在結合模糊集群分析(fuzzy clustering)與試題關聯結構(item relational structure, IRS)，探討國小六年級學生在數學學習領域數與量分年 細目概念之精熟程度與各概念間之關聯，以提供教學者實施補救教學或分 組教學之參考。「數與量」概念在國民教育的數學課程中具有重要的位置， 且其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段。研究者以臺 中縣市、彰化縣與台南縣七所學校共 456 名的六年級學生為研究對象，利 用模糊集群分析法，將學生依其作答反應資料加以分群，並藉由概念階層 結構圖探討其在數學學習領域數與量分年細目概念之精熟程度與各概念 間之關聯。研究結果驢列於下： 一、 半數以上國小六年級學生數與量概念的表現不佳。 二、 不同群學生間數與量概念之關聯有差異。 三、 不同群學生在數與量各類概念上之特性有差異。 四、 不同群學生間在數與量各類概念上之特性有差異。 本研究之結果與發現，有助於教學者瞭解六年級學生在數學學習領域 數與量分年細目概念之精熟程度與各概念間之關聯，以及實施補救教學或 分組教學之參考，並根據研究發現，提出對未來研究相關建議。 關鍵字：數與量、模糊集群分析、試題關聯結構

Abstract

The purpose of this study was to integrate the fuzzy clustering and item relational structure (IRS) on numbers and quantities for sixth graders. The sample included 456 sixth graders from elementary schools and they participate in the numbers and quantities test. All sixth graders were classified by fuzzy clustering. Finally, the WIPRS processed item relational structure and provided the concept analysis of numbers and quantities for all groups.

Through the procedures of the analysis, the following conclusions were found.

1. More than half of the examinees got the inferior performance. 2. The concept relationship among different groups were different.

3. Each group had its own features on concept of numbers and quantities.

4. The concept structures of each types of numbers and quantities among different groups varied.

The findings of this study could be helpful for understanding the learning process of numbers and quantities and as references for remedial instruction. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided.

目錄

第一章 緒論... 1

第一節 研究動機...1 第二節 研究目的...2 第三節 名詞解釋...3

第二章 文獻探討...5

第一節 數與量概念及其相關研究...5 第二節 模糊理論與模糊集群分析...15 第三節 試題關聯結構及其相關研究...20

第三章 研究方法... 25

第一節 研究架構...25 第二節 研究對象...26 第三節 研究工具...26 第四節 研究流程...31 第五節 資料處理與分析方法...33

第四章 研究結果與討論…...35

第一節 國小六年級學生之分群結果與特徵 ...35 第二節 國小六年級學生各群之概念階層結構圖 ...39 第三節 國小六年級學生各群之數與量分年細目的概念階層結構圖特 徵………...43 第四節 國小六年級學生群間概念階層結構圖之異同...55

第五章 結論與建議... 61

第一節 結論...61 第二節 研究限制...62

第三節 建議...63

參考文獻 ...65

壹、中文部分...65 貳、外文部分...68

附錄一 預試施測工具(A)...73

附錄二 預試施測工具(B)...75

附錄三 正式施測工具...77

表目錄

表 2-1 試題i和試題 j的答題人數比率之列聯表…... 21 表 2-2 試題i和試題 j的答題人數之列聯表...22 表 3-1 施測學校資料一覽表...26 表 3-2 國小六年級數與量分年細目………...27 表 3-3 預試工具之項目分析...28 表 3-4 正式施測工具之項目分析...30 表 3-5 試題與概念屬性之關係矩陣...31 表 4-1 分群之人數與所佔比例資料表...35 表 4-2 各群答對題數資料表...36 表 4-3 各群學生在不同類別下之通過率資料表...37

圖目錄

圖 3-1 研究架構圖...25 圖 3-2 研究流程圖...32 圖 4-1 各群學生在不同類別下之通過率折線圖...38 圖 4-2 第一群學生整體概念階層結構圖...40 圖 4-3 第二群學生整體概念階層結構圖...41 圖 4-4 第三群學生整體概念階層結構圖...42 圖 4-5 第一群學生「整數的性質」概念階層結構圖...43 圖 4-6 第一群學生「分數與小數」概念階層結構圖...44 圖 4-7 第一群學生「數量應用」概念階層結構圖...45 圖 4-8 第一群學生「面積與體積」概念階層結構圖...46 圖 4-9 第二群學生「整數的性質」概念階層結構圖...47 圖 4-10 第二群學生「分數與小數」概念階層結構圖...48 圖 4-11 第二群學生「數量應用」概念階層結構圖...49 圖 4-12 第二群學生「面積與體積」概念階層結構圖...50 圖 4-13 第三群學生「整數的性質」概念階層結構圖...51 圖 4-14 第三群學生「分數與小數」概念階層結構圖...52 圖 4-15 第三群學生「數量應用」概念階層結構圖...53 圖 4-16 第三群學生「面積與體積」概念階層結構圖...54 圖 4-17 各群學生「整數的性質」概念階層結構圖...56 圖 4-18 各群學生「分數與小數」概念階層結構圖...57 圖 4-19 各群學生「數量應用」概念階層結構圖...58 圖 4-20 各群學生「面積與體積」概念階層結構圖...59

第一章 緒論

本研究旨在結合模糊集群分析(fuzzy clustering)與試題關聯結構(item relational structure, IRS)，探討國小六年級學生在數學學習領域數與量分年 細目概念之精熟程度與各概念間之關聯，以提供教學者實施補救教學或分 組教學之參考。本章旨在闡述本研究之動機、目的並對本研究所提及之相 關名詞作釋義。

第一節 研究動機

國小九年一貫課程綱要數學學習領域中共有五大主題，分別為「數與 量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」。其中數與量在國民教 育的數學課程中具有最重要的位置，且其主要概念的形成以及演算能力的 培養均奠基於國小階段(教育部，2003)，可見數與量是十分重要的概念， 唯對於教學者而言，傳統紙筆測驗所能提供的僅為學生之分數，教學者難 以從其中得知學生對於哪些概念仍不夠清楚、概念間的聯結是否完整，研 究者因此以數與量概念為主題，對國小六年級學生進行施測，以瞭解學生 在數與量概念上之精熟程度與各概念間之關聯，並提供教學者實施補救教 學或分組教學之參考。 為提供教學者實施補救教學與分組教學之參考，研究者藉由「根據元 素之間的相似程度予以分類」，亦即將相似程度高的元素歸類為同一群集 之模糊集群分析法，將學生依其概念精熟程度加以分群，使得群內同質性 越高、群間異質性越高，進而讓教學者得以有效地為學生分組，進行補救 教學或分組教學。 在心理計量學中有許多關於學生學習知識後的概念階層結構之分析方 法，這些方法主要係從試題或元素中，找出有意義的上下從屬關係，藉以 說明受試者的概念特徵。常見的如 Bart and Krus(1973)所提出之次序理論

(ordering theory)、Takeya(1980)根據次序理論所提出的試題關聯結構、林原 宏(2005)結合試題反應理論(item response theory, IRT)和模糊理論(fuzzy theory)以及察覺的模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception)所提出的 詮釋結構模式(fuzzy approach of interpretive structural model)、Novak and Gowin(1984)所提出之概念構圖(concept mapping)以及由美國新墨西哥州立 大學計算研究實驗室的領導人 R. W. Schvaneveldt 及其研究小組所發展的 徑路搜尋法(pathfinder)等。其中試題關聯結構可根據施測結果，依照試題 彼此的通過率及反應順序，繪製成概念階層結構圖，經過許多學者應用於 教育的研究，證實此理論確實能有效的運作於試題的分析。近年來，日本 早稻田大學的數學教育學會更應用模糊理論於試題關聯結構的分析上，顯 示該理論頗受重視並具其發展性(Takeya, 1991)。Lin, Bart, and Huang(2006) 等人改進 IRS 二元計分之限制，提出多元計分試題關聯結構(polytomous item relational structure, PIRS)，且二元計分 IRS 為 PIRS 之特例，這方面擴 展原有 IRS 之應用層面(林原宏、朱芹儀，2008)。因此，本研究應用試題 關聯結構理論針對國小六年級數學學習領域數與量分年細目進行探討。 基於上述，本研究結合模糊集群分析與試題關聯結構理論，將學生分 群並藉由概念階層結構圖探討其在數學學習領域數與量分年細目概念之 精熟程度與各概念間之關聯。

第二節 研究目的

本研究旨在結合模糊集群分析與試題關聯結構理論，探討國小六年級 學生在數學學習領域數與量分年細目概念之精熟程度與各概念間之關 聯，並提供教學者實施補救教學或分組教學之參考。基於上述，本研究目 的臚列於下： 一、 利用模糊集群分析方法將國小六年級學生分群，並探討各群之特徵。

二、 利用試題關聯結構理論，繪製各群之概念階層結構圖。 三、 探討國小六年級學生各群之數與量分年細目的概念階層結構圖特徵。 四、 比較國小六年級學生群間概念階層結構圖之異同。

第三節 名詞解釋

壹、 數與量相關名詞

根據教育部(2003)公佈的「九年一貫課程數學課程綱要」，國小數與量 的範圍可分為「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估算」等子題，其內 容如下： 一、整數：整數在國小階段指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與 計算。整數計算是一切數學學習的基礎，在教學中，學童經由活動、 情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略。非負整 數的數學內容包括：數概念、加減乘除四則運算、估算與概數、尋求 關係與規律性、因數與倍數(九年一貫數學學習領域綱要諮詢意見， 2003)。 二、量與實測：量與實測是國小數學的核心課程之一，其中量包含長度、 重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量，又長 度、容量、角度、面積、體積屬於幾何(視覺)量。國小量的學習，原 則上要經過初步認識、常用單位、單位換算、量的計算的階段，尤其 要注意在應用問題中，恰當的和分數、小數結合。 三、有理數：有理數牽涉兩種非常不同的表現形式─分數與小數，它的應 用課題包含平分、測量、比例、比率、比值、部分/全體。而國小階段 的有理數教學，包含了平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵、部分/ 全體的意涵。 四、估算：國小階段的估算教學，要特別注意評量的問題。切忌因為強求

估算，禁止學生使用正常計算。教學者應在評量的問題上下功夫，讓 問題本身暗示估算的好處。

貳、 模糊理論

Zadeh(1965)所提出的模糊理論是以模糊邏輯為基礎，它打破了古典數 學中二元的現象描述法，而改以隸屬度的觀點來進行描述，不僅跳出了傳 統的排中律限制，可將人類思維和概念過渡邊界以數學方式表達及運算； 另一方面，也擴展了不確定性的現象，將隨機性所無法表達的另一種稱之 為模糊性的不確定性呈現出來(楊敏生，1996)。

參、 模糊集群分析

傳統的集群分析是採二元觀點，而模糊集群分析則是把模糊理論之隸 屬度觀點融入集群分析中(Kaufman and Rousseeuw, 1990)，它可根據一組樣 本的觀察變數，模式與資料的適配性，進行適當的分類，分析出適合的分 群組數與結構。經由模糊集群分析，使得隸屬於相同集群的受試者具有相 似的性質，而隸屬於不同集群的受試者具有迥異的性質，且經由分析所得 各群之知識結構分別有其特殊性(林原宏、黃美盼、易正明，2007)。

肆、 試題關聯結構理論

Takeya(1980)根據 Bart and Krus(1973)的次序理論(ordering theory)之模 式，提出以測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製成具 有指向性的圖形結構，來分析試題特性，此種方法稱為試題關聯結構，該 方法是就二元計分(dichotomous)試題，根據其列聯表資料，計算其前置關 係(precondition)或次序性關係，然後以試題的通過率為縱軸，在試題之間 以「→」表示之間的關係，畫出概念階層結構圖，表示出試題之間層次和 關係(簡茂發、劉湘川、許天維、林原宏，1995)。

第二章 文獻探討

本研究文獻探討的部份分為三節，首先探討數與量概念及其相關研 究，其次介紹模糊理論與模糊集群分析，最後介紹試題關聯結構，茲將各 節內容分述如下。

第一節 數與量概念及其相關研究

壹、數與量的子題

根據教育部(2003)公佈的「九年一貫課程數學課程綱要」，數學學習領 域的內容可分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」和「連結」 等五個主題，其中數與量在國民教育的數學課程中具有最重要的位置，且 其主要概念的形成以及演算能力的培養均奠基於國小階段。國小數與量的 範圍可分為「整數」、「量與實測」、「有理數」和「估算」等子題，其內容 如下： 一、整數 整數在國小階段指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與計算。 整數計算是一切數學學習的基礎，在教學中，學童經由活動、情境掌握計 算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略(教育部，2003)。非負整 數的數學內容包括：數概念、加減乘除四則運算、估算與概數、尋求關係 與規律性、因數與倍數(九年一貫數學學習領域綱要諮詢意見，2003)。由 心理的觀點來看，數概念是指一項可供心智操作的物件，而可被操作的方 式會有不同，使用不同操作的彈性(flexibility)，取決於在同化(assimilate) 或數詞基模的品質(Piaget, 1971)；甯自強(1997)認為數字數概念是由「1」 概念的聯合再加以聚合而成的集聚單位，而「1」概念則由測量活動的行 為，或是數數動作內蘊化所得的。由於記數系統的使用，對數的本質探討 需加入其結構方面的探索；張雅涵(2008)整理多位學者對於數概念之觀

點，認為數概念可以界定為單位量的累積，外人必須透過學童的外在表徵 來了解其數概念。 國小整數教學的課程目標在於(教育部，2003)： (一)從計數開始，學習位值的約定與換算，並在演算中，逐步熟悉，最後 能掌握大數。 (二)在二年級下學期，理解算術的樞紐─九九乘法，作為日後所有計算的 基礎。 (三)到四年級時，能夠不拘泥於位數，熟練加、減直式計算，五年級則熟 悉乘、除直式計算。 (四)五年級時熟悉整數四則混合計算與相關運算律。 (五)在五、六年級時，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相 互加強，建立完整的數字感。 二、量與實測 量的學習是學生學習連續量的入口，可以與有理數的學習相互加強。 其中又以長度的教學最為關鍵：長度是學生保留概念最早成熟的量，也是 最容易操作的量，經由長度之經驗，學生學習如何在數線上做比較與加減 運算，由此將整數與有理數徹底整合，作為日後學習負數、實數、幾何的 基礎。教學中的量包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生 活中常用的七種，相較於82年之課程標準，少了貨幣和速度兩種量，其中 長度、容量、角度、面積、體積屬於幾何(視覺)量。國小量的學習，原則 上要經過初步認識、常用單位、單位換算、量的計算的階段，尤其要注意 在應用問題中，恰當的和分數、小數結合(教育部，2003)。 鐘靜(2001)按照感官量和工具量的特性來談九年一貫之量與實測教材 架構： (一)感官量部份 長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量，

兒童對這些量(除了時間)概念的認知發展形成都要經歷下列五個階段才算 完整：初步概念、間接比較、個別單位、單位化聚、公式化的概念(教育部， 2001)。而教育部於2003年公佈的綱要中對於時間以外六種量的學習，說明 大致要經歷如下四個階段(教育部，2003)： 1.初步概念與直接比較：首先，透過感官直接感覺該量，再對兩同類量做 直接比較，最後是量的複製，這是下一階段的前置經驗，另外，也包括 利用測量工具之刻度直接描述一量。量的複製包括整體複製、合成複製 和等量合成複製。 2.間接比較與個別單位：對於無法直接比較的兩同類量，能透過媒介量， 分別做直接比較，並利用比較結果，做出兩量之比較(涉及量的保留概念 和量的遞移率)。能做間接比較，便能使用個別單位做測量。依皮亞傑的 實驗結果知道，未擁有某類量之保留概念的兒童，對此類量不能做間接 比較。 3.常用單位的約定：認識某類量的常用單位，並能運用此單位，做量的比 較、加、減、乘、除。 4.常用單位的換算：在測量時，首先能用大小單位的複名數來描述測量結 果。然後再學習使用單位的約定，來進行換算。例：1200公尺=1公里200 公尺=1.2公里。 (二)工具量的部份 工具量的代表，在小學階段就是時間教材，其教材架構可以分為四個 層次(鐘靜、魯炳寰、林素微，2001)： 1.比對刻度觀點：以兩針所指的刻度，直接報讀幾時幾分。 2.建立相對量感：九時到十時的刻度變化，配合生活事件，認識一時的量 感。 3.建立等相對量感：經歷相同事件，都是從九時到十時，用小時計算是一 小時，用分鐘計算是60分鐘，進而引發二階單位間的關係。

4.時間的計算與應用：時間(量)的加、減、乘、除法問題，二時刻與時間(量) 的問題。 三、有理數 有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的 教學主題。有理數教學的困難主要在於：它牽涉兩種非常不同的表現形式 ─分數與小數(教育部，2003)，前者是源自拉丁字“frangere”，具有小部份、 片段、破碎之意，但通常是指將全部分解為部份的意思(張屏東，1995)， 李曉莉(1998)認為分數是兒童未來要學習許多的數學概念和技能時，必備 的基礎和關鍵，由此可見其重要性；後者是源自拉丁字“decima”，為「小 部份」之意，其由來是在以某單位測量長度時的餘量而產生的，也就是小 數是指比單位1還小的數(劉曼麗，2001)。 小學的有理數教學，必須釐清、練習並連結下述有理數的四種意涵， 最後歸結成日後數學學習中，有理數最核心的意涵─「除的意涵」(教育部， 2003)： (一)平分的意涵：學生在低年級認識人我分際之後，就會發展出強烈的公 平感，因此從平分入手學習分數，是一條比較容易的途徑，也比較容 易化解分數學習中常見的認知衝突。 (二)測量的意涵；長度測量是低年級就發展的數學課題，在以個別單位度 量長度，為了解決剩下部分的「餘數」約定時，就能同時發展小數與 分數兩種課題。由於單位的強調，測量是調和「部分/全體」的意涵與 帶分數認知衝突中的重要工具。 (三)比例的意涵：比的原理，是一種微妙的平分方式，因此學生比較容易 接受。即使學生尚未學習比例式，透過比的方式，仍然可以協助學生 解題。最後再透過比值的引入，一貫地解決比例的問題。 (四)部分/全體的意涵：部分/全體雖然是分數的重要意義之一，但是由於概 念較為抽象，而且真分數的暗示過深(全體為1)，可能造成假分數或帶

分數學習上的困擾，必須透過單位的強調來解決其認知衝突。 四、估算

估算是一項複雜的能力，包含兩項過程，首先將精確的數字簡化成概 略且便於計算的數值，然後再將這些概數以適切的策略進行解題，再求出 結果的一種解題方式(Case and Sowder, 1990; Sowder, 1992)。

估算在國民教育中可粗分為離散量的估算(自然數四則運算的估算)與 連續量的估算。前者的教學，應在學生已經能掌握確算後再進行；而後者 的教學，應透過測量時量不盡的正常情境，與小數的教學共同開展，認識 小數之細分與精確度的要求乃是一體的兩面。最後，結合兩者，養成掌握 誤差、施行估算的能力。國小估算教學，要特別注意評量的問題，切忌因 為強求估算，禁止學生使用正常計算。教師應在評量的問題上下功夫，讓 問題本身暗示估算的好處(教育部，2003)。 根據以上所述，可知國小數與量涵蓋的範圍甚廣，且每個子題都各有 其重要性，整數計算是一切數學學習的基礎；量的學習是學生學習連續量 的入口，可以與有理數的學習相互加強；有理數牽涉分數與小數兩種不同 的表現形式，也是小學數學教育中，最有挑戰性的教學主題；估算是屬於 較高層次的數學能力，學生必須先對所使用的概念程序與問題情境有相當 的理解，才能恰當地估算，進而正確判斷估算的時機與精確度的要求。

貳、數與量概念相關研究

近年來國內數與量概念相關研究，大多是針對單一個概念進行探討， 由於數與量的內容涵蓋十分廣泛，因此以下將相關研究分為「整數」、「量 與實測」、「有理數」和「估算」等四部份進行探討。 一、整數 甯自強(1992a，1992b)將兒童數概念的發展分為四階段：第一階段為「序 列性合成運思期」(uniting operations)，可透過數數活動達成；第二階段為

「累進性合成運思期」(progressive uniting operations)，指以一個數為基準， 直接以此數為起點，向上或向下計數；第三階段為「部份─全體運思期」 (part-whole operations)，此階段為上一階段的重組，指一個數可以被兒童同 時 使 用 兩 個 以 上 的 單 位 重 新 結 構 ； 最 後 一 個 階 段 是 「 測 量 運 思 期」 (measurement operations)，此階段是部份─全體的遞迴運用，意指將內嵌於 最高集聚單位的次階集聚單位當成部份，加以複寫後，予以脫嵌外提後， 在行置回原處，並同時保有原高集聚單位與「一」的部份─全體關係。 學生在整數計算過程中容易出現的錯誤類型(迷思概念)有：數概念、 基本數事實和多位數計算。因對數概念不清楚所產生的錯誤，如「不熟悉 位名」、「直接轉譯錯誤」、「單位換算觀念不清」等；基本數事實的錯誤， 如「不熟悉數字之間的關係」、「常出現使用不成熟策略的情形」等；多位 數計算錯誤則是學生因不知道或不清楚計算規則而造成計算錯誤的情形 發生，如「由錯誤方向開始計算」、「直式計算時，由左到右排列數值」和 「退借位」的錯誤等。此外，亦有研究針對加、減、乘、除計算方面的錯 誤類型(巫欣華，2009)。 二、量與實測 量與實測中，量的保留概念是相當重要的一個主題，瑞士心理學家 Piaget的認知發展理論中指出，保留概念是具體運思期的重要概念之一， 指兒童在認知過程中，瞭解到當事物的某些屬性改變時，其他屬性仍保持 不變。而兒童具有數量保留概念約在六歲，質量保留概念約在七、八歲間， 重量保留概念約在九、十歲間，體積保留概念約在十一、十二歲間(張淑怡， 2004)。 國內在量與實測主題的研究大多針對長度、面積、體積等三方面的探 討，且較傾向對學生測量概念的分析，而這些研究有些是僅針對一個量進 行探討，有些則是針對一種量以上進行探討。前者如朱玉如(2003)探討國 小學童面積學習情形，結果發現僅四成學童能達成面積估測與面積二階單

位整數化聚之表現；後者如譚寧君(1999)利用紙筆測驗及面談的方式，再 經過教學者對於數學問題的難易度陳述，了解教學者對於兒童測量概念的 理解情形，其結果發現教科書對教學者的教學影響甚大。 三、有理數 (一)小數部份 我們將小數概念的相關研究分為兩個部份來談：小數概念認知的發展 和 小 數 迷 思 概 念 的 研 究 。 就 小 數 概 念 認 知 的 發 展 來 說 ， Wearne and Hiebert(1988)、Hiebert(1988)認為學習小數符號能力是經由一連串認知過程 累積而成，這個認知過程包含四個主要過程：連結過程(the connecting process) 、 發 展 過 程 (the developing process) 、 精 緻 與 熟 練 過 程 (the elaborating/routinizing process) 和 抽 象 過 程 (the abstracting process) ； D’Entremont(1991)則提出「小數學習的洋蔥模式」(the onion model of decimal number learning)，認為小數學習的認知過程包括五種不同層次，由 外至內分別為具體物的層次(the concrete-objective layer)、操作說明的層次 (the operative-interpretive layer)、程序的層次(the procedural layer)、心智模 式的層次(the mental model layer)和抽象的層次(the abstract layer)。以上兩個 小數認知理論皆強調在學習小數時，可連結具體物的表徵形式，讓學童經 由實際操作的經驗中瞭解小數符號的意義和規則，且這些過程是循序漸進 的，必須在前一階段發展完全後再進入下一階段(彭嘉妮，2007)，透過指 示物的操作連結小數符號表徵的意義，方能讓學生建立穩固的小數知識， 進而建立抽象的小數符號表徵系統。 就小數的迷思概念來說，不同的課程模式(以色列、美國先教分數再教 小數，法國先教小數再教分數)會導致不同的錯誤迷思產生，目前我國國小 的現行教材是透過分數來掌握小數的意義，但根據研究顯示，不僅學生會 產生迷思概念，身為教學者的教師對於小數也可能產生錯誤的迷思概念(劉 曼麗，1996)。小數的迷思概念相關研究甚多，主題包含小數與整數的關係、

小數與分數的關係、小數的化聚、小數的大小比較、小數的加減、單複名 數轉換、小數稠密性、小數乘法和小數除法等(梁文鎮，2007)，其中周筱 亭(1990)指出，學生只知仿題，卻不瞭解小數意義；在小數化聚的學習上， 劉曼麗(1998)指出，中年級學童常犯的錯誤有「不清楚小數和整數的關係」 和「直接將個數與單位合成」；在小數的單複名數轉換學習上，陳永峰(1998) 指出，六年級學童在度量衡單位小數的換算上，會直接以小數點做為大單 位和小單位的區隔，將小數單位部份也視為小數部份；而在小數乘法和小 數除法的文字題表現上，艾如昀(1994)發現五年級學童遇到除數為小數的 文字題時，其答對率就下降。 (二)分數部份 分數概念的相關研究可分為兩個部份來談：分數概念認知的發展和分 數迷思概念的研究。心理學家Piaget指出兒童的認知發展是循序漸進的， 他以自己所提出的兒童認知發展理論設計研究兒童分數概念發展的活 動；Piaget, Inhelder and Szeminska(1960)使用連續量的具體物研究四至七歲 兒童對面積的分割行為，以探討兒童如何建構部份與整體的關係，來形成 分數的概念，該研究發現：四歲到四歲半的兒童對於一物分為二半甚為困 難，缺乏部份和全體之間的任何關係；四到六歲的兒童對於規則的小範圍 東西有分半的能力；六到七歲的兒童能處理 3 1 的分數問題；十歲左右的兒 童能實施六等分的分法。 國內外針對分數迷思概念的研究甚多，所整理歸納出的錯誤類型也有 些許不同。美國教育進展評量(The National Assessment of Educational Progress, NEAP)針對七至九年級學生分數概念進行研究，發現學生缺乏的 概念有：不瞭解分數的意義、缺乏分數的數感、不知分數是「數」的一種 以及不知分數有大小之分，僅以機械性的記憶方法來完成計算(Behr and Post, 1988)。洪素敏(2004)對某國小五年級的學生以紙筆測驗發現學生的迷

思概念有：不知道分數的意義、兒童將單位量不同但分數相同的數視為等 值、未把分數看成一個數值。彭嘉妮(2007)根據相關文獻分析歸納出國小 學童在學習分數時常見的迷思概念有：過度依賴連續量的部份─整體模 式，抑制了將分數視為一個數的概念、缺乏等分概念、指認單位量的困難 和缺乏等值分數的概念等。 由以上所述，我們可發現學生在分數概念上常見的迷思有：未把分數 視為一個數、指認單位量的困難、過度依賴部份─整體模式及缺乏等值分 數概念等，亦有學者將這些迷思概念進一步探討，其研究發現如下。 1.未把分數視為一個數：分數的符號為 a b ，學生容易將分子、分母視為兩 個獨立的數，因此遇到分數合成或分解的問題時，常常會以「分子加分 子、分母加分母」或「分子減分子、分母減分母」的方式來解題(呂玉琴， 1991a，1991b)。 2.指認單位量的困難：處理分數問題最重要的概念是單位量，但是由於學 生並未真正了解分數的意義，因此在處理部份/全部、子集/集合或數線 的分數問題時，會有指認單位量的困難(呂玉琴，1991a)。 3.過度依賴部份─整體模式：兒童常過於依賴連續量部份─整體模式，反 而抑制了它們將分數視為一個數，並抑制了其他分數解釋的發展(吳相 儒，2001)。 4.缺乏等值分數概念：Larson(1980)利用數線上不同的等分割來了解兒童的 等值分數概念，其研究結果顯示，當單位等分割段等於分母時，兒童可 以輕易解題；但是當單位等分割段與分母不相等時，兒童的表現就很差， 可見這些兒童對等值分數缺乏彈性思考。 四、估算 估算研究在國外行之多年，就研究對象來說，國外關於成年人、青少 年以及兒童的估算研究相當豐富，然而國內估算研究僅以國小學生和職前

教師為主(吳心馨，2007)。Sowder(1992)認為估算和心算不僅是日常生活中 有用的工具，也可以導引出更好的數常識能力，且估算與心算皆和數常識 有密切的相關性，他更進一步歸納出大部分估算研究主要在探討：人們如 何估算、什麼能力與估算相關、如何培養估算的概念、教育對估算的影響 以及情意對估算的影響。許多國內外研究發現學生對於估算感到棘手，如 Reys和Nohda等人(1991)的研究提出日本和墨西哥的學生不喜歡估算，孩子 較喜歡求出精確的答案，甚至在研究進行時，拒絕使用估算；Hanson和 Hogan(2000)以不同的限制來研究大學生估算能力，其結果發現不限時施測 的表現優於限時施測的表現，且研究對象對於不能使用計算工具感到緊 張、不習慣，即使在施測前告知學生運用估算解題，不必求出精確值，但 是學生仍然習慣性地求出準確的答案，因此學生在精算的解題表現比估算 題傑出；楊德清(2000)發現多數學生沒有呈現估算策略的能力，且解題模 式僅僅環繞紙筆計算的法則。由此可見，學生較喜歡也習慣精算，較缺乏 估算的概念。 我們已知學生較缺乏估算的概念，那麼哪些因素可能影響學生在估算 上的表現呢？根據Reys和Bestgen等人(1980)指出，從七年級至成年人所有 年齡群中，男生的表現優於女生，且「良好的估算者被要求以計算機去驗 算答案時，當計算機出現錯誤答案，男生較女生更能去判斷它的錯誤」； 黃靖淑(2002)探討國小四至六年級學生數感發展狀況，研究顯示越高年級 數量估算的表現越好，且男生的估算態度略優於女生；而王秀惠(2004)針 對國小高年級學童編製估算概念試題，使用試題關聯結構分析法對施測結 果進行分析，呈現其概念階層結構圖，研究發現學童估算概念的建立是循 序漸進，非一蹴可幾的。由上述可發現年齡與性別對於估算的表現有影 響，且估算概念的建立是循序漸進的。 估算包含許多概念，這些概念會直接影響估算策略的使用。吳心馨 (2007)整理歸納國內、外研究指出學生經常所採用的估算策略和想法，幾

乎都包含在Reys等人(1982)的研究發現－最常運用的三種估算策略：「再形 成、轉化、補償調整」中，因此根據這三種估算策略為架構進行研究，研 究結果指出學生依估算向度的難度不同，所使用的估算策略也有所改變。 綜合以上所述，可得知數與量概念之相關研究對於不同子題，大致上 可分為認知發展與迷思概念兩大部份，我們可根據這些研究瞭解學生在整 數、有理數、量與實測以及估算上的發展階段，有助於教師進行教學；亦 能透過迷思概念的相關研究，在教學前瞭解學生可能產生的迷思概念，於 教學時建立正確的概念。

第二節 模糊理論與模糊集群分析

壹、模糊理論之定義

Zadeh(1965)所提出的模糊理論是以模糊邏輯為基礎，它將傳統數學之 二元邏輯做延伸，不再是只有對錯或是非二分法。對於元素與集合的關 係，古典集合論中元素是否屬於集合 A，必須十分明確不容模糊，然而對 與錯之間還有不完全對，一點對或不完全錯，正所謂的灰色地帶與模糊觀 念(吳柏林，2005)。模糊理論打破了古典數學中二元的現象描述法，而改 以隸屬度的觀點來進行描述，因此模糊理論提出後，成為工程、人工智慧、 統計方法論等領域的新秀，近年來，更逐漸影響社會科學的資料分析(Law, 1996; Law, 1997)。 相較於古典數學的二元邏輯集合論，模糊理論將元素和集合之間用隸 屬度來描述，其值介於[0,1]之間，定義說明如下： 1.隸屬函數(membership function) 令U 為全域， 為一對應到[0,1]間的實數函數，即 ，則 之 模糊子集 的隸屬函數以 表示，指元素 f f :U [0,1] U A f_A(x) x隸屬於模糊集合 的程度， 則在離散的情形下，可表示成： A

) ) ( ( ) ) ( , , ) ( , ) ( ( 2 2 1 1 U x x x f x x f x x f x x f A A n n A A A    _ 亦可表示成： n n A A A x x f x x f x x f A ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1     _ 2.模糊矩陣(fuzzy matrix) 兩個集合元素之間的相似程度，可用模糊矩陣來表示。論域X 有 個 元素，論域 m Y有 個元素，則由n X至Y的模糊矩陣為： n m ij mn m n r r r r r R  _              ( ) . . . . . . . . . . . . 1 1 11 其中r_ij  f_R(x,y):XY [0,1]

貳、集群分析

集群分析是多變量分析方法的一種，根據 n 個觀察點的相似度(距離) 形成近似矩陣(或距離矩陣)，將最接近的觀察點視為一個集群，如此操作 下去，可將所有觀察點最佳分割成數個集群(林原宏，1996)。集群分析的 方法主要有兩大型式：分層法(Hierarchical)與非分層法(Non-hierarchical)， 前者主要以其中最短距離的二點融合為一個集群，此集群可視為一個個 體，與其它個體也有一個新的距離數值出現，如此不斷重複，最後可以得 到一個包括全體的集群，其又可分為分裂法(division method)與凝聚法 (agglomerative method)；後者主要探討可分割成的集群數目，以及集群裡 面的個體，不能像階層集群一樣，畫出樹形圖，其最常見的是 K 平均法 (K-means)。但一般在作分析時，我們會結合此兩種方法而成為二階段分析 法(楊志堅、張家榮，2000)。 集群分析異於其他分析的最大不同點在於研究者是對有興趣的觀察體

分類，而非將變數加以分類，因此集群分析所關心的重點有三(林邦傑， 1981)：如何以數量來表示觀察體與觀察體間的類似性、如何根據這些類似 性將類似的觀察體分為一個集群、分類完畢後對每一集群的性質該如何描 述。近來集群分析依據不同的分群理論基礎和不斷的改良，分成以下幾種 集群分析的方式：分割方式分群法、階層式分群法、密度式分群法、方格 式分群法、模型式分群法、高維度資料分群和限制式分群分析(詹文良， 2009)。

參、模糊集群分析

傳統的集群分析是採二元觀點，而模糊集群分析則是把模糊理論之隸 屬度觀點融入集群分析中(Kaufman, and Rousseeuw, 1990)，它可根據一組 樣本的觀察變數，模式與資料的適配性，進行適當的分類，分析出適合的 分群組數與結構。經由模糊集群分析，使得隸屬於相同集群的受試者具有 相似的性質，而隸屬於不同集群的受試者具有迥異的性質，且經由分析所 得各群之知識結構分別有其特殊性(林原宏、黃美盼、易正明，2007)。根 據模糊理論所進行的集群分析方法很多，最常見的是目標函數法(objective function)，可描述每個個體的隸屬度，但不具有階層性；α截矩陣法(α-cut) 無法表示個體的隸屬度，但具有階層性的優點；最大樹法(maximum tree method)可觀察個體間的距離關係。這些方法各有其特性，本研究使用目標 函數法進行模糊集群分析，以下就目標函數法之計算方式加以說明之(引自 林原宏，2005)。 假設欲分析之個體有N 位，以n1,2,3,_,N表示，每位個體有M 個變 項，以m1,2,3,,M 表示。資料矩陣表示如下： M N nm NM N N M M x x x x x x x x x x X  _              ( ) 2 1 2 22 21 1 12 11       

根據模糊分割方法，可以將整體受試者分為C個集群，得到 階的 模糊隸屬度矩陣： N C N C cn CN C C N N u u u u u u u u u u U  _              ( ) 2 1 2 22 21 1 12 11        各類別之中心為： M C cm CM C C M M v v v v v v v v v v V  _              ( ) 2 1 2 22 21 1 12 11        接著定義一個目標函數，根據此目標函數求其極小值。在目標函數法 中有數種定義方式，一般化的目標函數如下：



   N n C c q cn q U V u d c n J 1 1 2 ) , ( ) ( ) , ( 其中



   M m cm nm v x n c d 1 2 2 ) ( ) , ( 值為大於或等於1的實數，q值越大分割越模糊，q值越小則分割越 明確(Zimmermann, 1991)。經驗上q值取[1.25,5]較佳。以最小平方法(least

square method)的準則，並以Lagrange’s multipliers方法，求 的極小 值，得 、 的關係式如下： q u ) , (U V J_q cn vcm







                                C l q M m lm nm q M m cm nm cn v x v x u 1 1 1 1 2 1 1 1 2 ) ( 1 ) ( 1





   _N n q cn N n nm q cn cm u x u v 1 1 ) ( ) ( ) ( 決定起始值和收斂標準後，經過迭代法迭代至 、 收斂，得到的隸 屬度矩陣U和類別中心矩陣V 即為所求，但目標函數得到的極小值可能是 局部極小值，因此可以考慮不同的起始值來估計參數。 cn u vcm 以上是在知道集群為 的情況進行，本研究則根據「分割係數」與「分 割亂度」兩個指標來決定類別數，兩個指標的公式如下(Bezdek, 1981)： C 一、分割係數(partition coefficient) 分割係數F(U;C)的定義為：



   N n C c cn u N C U F 1 1 2 ) ( 1 ) ; ( 此數值的範圍是1 F(U;C)1 C 。實際應用中，當其較大時，為較佳的 分割數。 二、分割亂度(partition entropy) 分割亂度H(U;C)的定義為：



    N n C c cn cn u u N C U H 1 1 ) ln( 1 ) ; ( ，ucn 0 此數值的範圍是0H(U;C)ln(C)。實際應用中，當其較小時，為較 佳的分割數。

四、模糊理論與模糊集群相關研究

模糊理論被應用在控制、工程、電腦等領域，而近十餘年來，模糊觀 點與量化方法，在社會科學的應用有增多趨勢(Ragin, 2000)。林原宏(2007) 指 出 ， 模 糊 迴 歸 (fuzzy regression) 、 模 糊 相 關 係 數 (fuzzy correlation coefficient)、模糊時間序列(fuzzy time serious)和模糊檢定等(Gao, 1999; Hung and Wu, 2001; Singh, 2007; Wu, 2001)模糊量化方法相當適合於社會 科學資料，原因是社會科學所度量者大多涉及人類思考特性，而人類本身 思考具有模糊性，其次可能由於統計學強調資料分配假設，而造成資料與

假設無法吻合的窘境，而模糊資料的分析模式大多不需要資料分配假設， 使其具有穩健性(robust)。 模糊集群的相關研究甚多，國內許多研究者將其應用在生活問題上， 如張鈿富、孫慶珉(1993)利用模糊理論與測度運算、模糊集合概念等討論 學習成就模糊分析之可能性；呂玉琴(1994)利用模糊綜合評判方法分析教 師在分數教學之相關知識；張陳穎(2006)利用集群分析與潛在類別分析探 討電子類公司績效間的差異並加以比較；黃馨瑩、王士信、林原宏(2007) 整合模糊集群與多元計分次序理論探討六年級學童在植物繁殖概念上的 知識結構等。 基於上述，模糊集群是有別於傳統非1即0之分析方法，經由模糊集群 分析，使得隸屬於相同集群的受試者具有相似的性質，而隸屬於不同集群 的受試者具有迥異的性質。本研究因此將其應用至教育上，利用模糊集群 將學生分群，再針對各群之特徵加以分析。

第三節 試題關聯結構及其相關研究

壹、二元計分試題關聯結構理論

Takeya(1980)根據 Bart and Krus(1973)的次序理論之模式，提出以測驗 試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製成具有指向性的圖形 結構，來分析試題特性，此種方法稱為試題關聯結構，該理論是就二元計 分試題，根據其列聯表資料，計算其前置關係或次序性關係，然後以試題 的通過率為縱軸，在試題之間以「→」表示之間的關係，畫出概念階層結 構圖，表示出試題之間層次和關係(簡茂發、劉湘川、許天維、林原宏， 1995)。此種試題分析法主要有以下五種功能(許天維，1994)：教學設計之 運用、形成性評量之應用、認知學習構造之分析、概念形成過程之考驗與 課程教材構造之解析。 試題關聯結構是將兩測驗題目之間的順序性建立起來，作為是提高低

概念層次之基礎，再繪製出概念階層結構圖，以二元計分的試題i和試題j 為例，其答對(以 1 表示)和答錯(以 0 表示)人數比率列聯表如表 2-1 所示。 表 2-1 試題i和試題 j的答題人數比率之列聯表 試題 j 1 0 總和 1 p11 p10 p1 試題i 0 p01 p00 p0 總和 p1 p0 p11 p10  p01 p00 1 根據表 2-1 的列聯表資料，Takeya(1980,1991) 將試題i為試題 j前置關 係(下位關係)的程度，以次序性係數 ) )( ( 1 0 1 01 *     p p p r_ij 表示，其中 是試題 答錯且試題 01 p i j答對的比率，p1是試題 j答對的比率， 是試題 答錯的比 率。 數值愈大，表示試題i為試題  0 p i * ij r j下位關係的程度愈高。因此，Takeya 定義 的閾值(threshold)為.5，決定試題 與試題* ij r i j是否有次序關係如下： 一、若r_ij* .50，表示試題i為試題 j的前置概念，即試題 與試題i j有次序 關係，此時以rij 1表示，以圖繪i j表示。 二、若 * .50，表示試題i不是試題 ij r j的前置概念，即試題 與試題i j沒有 次序關係，此時以r_ij 0表示，圖繪中 沒有指向i j。

貳、多元計分試題關聯結構理論

由於 Takeya(1980)所提出的理論僅適用於二元計分，在實務應用上有 其限制，因此 Lin, Bart, and Huang(2006)根據該理論進一步提出了多元計 分的試題關聯結構 (polytomous item relational structure,簡稱 PIRS)，其分析 步驟如下： 一、 假設試題i和試題 j的計分點數分別為C_i和C_j，且以 和 ,( 1)表示，且受試總人數比例表示如表 2-2 所示。其 ) 1 ( , , 1 , 0   C_i k _ , 1 , 0   C_j l _

j的反應為l的比率：p_k表示試題 i在反應k的邊際比率， p_l表示試題 j在反應l的邊際比率，因此可 知 p_kl 1。 1 0

 

  i C k C l 1 0    j 表 2-2 試題i和試題j的答題人數之列聯表 j 試題 1 2 _{… 1 0} 總和  j C C_j  1  p(Ci i C 1)(Cj1) p(Ci1)(Cj2) … p(Ci1)1 p(Ci1)0 p(Ci )1 ) 2  j C p 2  p(Ci p 0 p p i C Cj1) i2)( _… p( )1 p(C2)0 ( 1C_j ( 0C_j ( Cj (C p p p )( 2  ( 1C_j (C_j ( Cj 2  i C 11 p 01 p 1  p i i  1 1   )2 (C p . . . . . . . . . … . . . . . . . . . 1 1) 2) … p10 p 試題 i 0 1) 2) … p00 p0 總和 1) 2) … p0 二、定義無法滿足「試題 指向試題i j」的試題配對之集合如下，且令集合 的元素個數為 ： A #A          j l  C   1 1 i C k A (k,l) 三、以正規化的方法，定義多元計分「試題i指向試題 j」的次序性係數為： 1 1 , ) )( ) 1   



 i j k l l kl C l C k p p A (p_k # ( 1 *  ij r 四、 若愈大，表示試題 可能為試題* ij r i j的前置關係。根據閾值 決定試題 間的次序關係，若 .50，表示試題i為試題 * ij r  * ij r j的前置概念，即試題 與 試題 i 表示；若 * .50， ij r j有次序關係，此時以r_ij 1表示，以圖繪i j

表示試題 不是試題i j的前置概念，即試題 與試題i j沒有次序關係，此 時以r_ij 0表示，圖繪中 沒有指向i j。

參、試題關聯結構相關研究

簡茂發、劉湘川、許天維、林原宏(1995)以「暗隱模式」為理論基礎， 應用試題關聯結構分析法，分析試題之間的層次和關係，以探討國小高年 級學生的乘除文字題之概念與知識結構，其結果發現學生的知識結構大致 能印證「暗隱模式」理論，當試題違反「較大的數除以較小的數」和「除 數為整數」時，試題趨向較難；陳雅芬(2003)編製一套等值分數試題，藉 由試題關聯結構分析法對施測結果加以進行分析，以探究學童在等值分數 概念的知識結構，其結果發現運作思考能力與組合能力雖然會影響學童之 等值分數概念發展，但是兩項子概念與其他子概念較無階層上的關聯；胡 聖箕(2005)應用資料挖掘技術，將關聯規則的分析方法使用在分析試題間 的關聯，經由結構圖的分析結果，可看出試題間的關聯性；潘黃家齊(2006) 以廣義隱藏式馬可夫模型結合核平滑化無參數試題反應理論模式，兼顧猜 測度方式進行蒙地卡羅模擬研究，並藉由模擬結果推論至順序理論與試題 關聯結構分析法之適用性；朱芹儀、林原宏(2008)整合 S-P 表(S-P chart)的 試題注意係數和學生注意係數訊息，以及多元計分試題關聯結構理論進行 國小五年級學生分數加法概念的知識結構探討，研究結果發現注意係數高 的學生，試題間的順序性及關聯性較少，分數加法概念之間的結構較弱， 顯示同一試題可使用的解題策略較少，而注意係數低的學生，其試題間的 順序性及關聯性較多，分數加法概念之間的結構較強，顯示同一試題可使 用的解題策略較多，此外，同分母、真分數、分母間成倍數關係的試題為 分數加法之基礎，而分母間有公因數及約分為學生最感困難之分數加法進 階概念；Chen and Lin(2007)認為概念診斷對於教學上能提供重要的資訊， 利用多元計分試題關聯結構理論診斷分數減法概念，其研究結果指出利用

多元計分試題關聯結構理論分析分數減法概念是可行的；Lin, Yih, and Chen(2008)認為以集群為基礎的多元計分試題關聯結構理論在改善教學方 面更有效率，提供多元計分試題關聯結構理論並以模糊集群將其應用至分 數減法概念診斷，該結果顯示多元計分試題關聯結構理論與模糊集群對於 認知診斷與改善教學是可行的。 綜上所述，試題關聯結構多被研究者應用於國小乘法、除法和分數等 概念，利用其找出各概念間之上下位關係，有助於教學者實施補救教學或 分組教學之用，有鑑於此，本研究進一步利用試題關聯結構分析國小六年 級學生數與量概念，以瞭解學生在數與量概念之精熟程度與各概念間之關 聯。

第三章 研究方法

本章旨在探討研究設計以及實施之方式，內容共分為五節，分別敘述 本研究之研究架構、研究對象、研究工具、研究流程以及資料分析。

第一節 研究架構

本研究係根據我國九年一貫課程數學學習領域六年級數與量分年細 目，並蒐集相關研究之文獻，參酌現行各版本之數學學習領域教材內容， 做為自編數與量概念測驗的依據，透過模糊集群將受試者分群，再以 IRS 分析試題結構，畫出其概念階層結構圖，以期呈現數與量分年細目各概念 之特徵。本研究之架構圖如圖 3-1： 國小六年級學生分群 圖 3-1 研究架構圖 整數的性質 分數與小數 數量應用 面積與體積 國小六年級數與量概念

第二節 研究對象

本研究採用試題關聯結構理論探討國小六年級學生之數與量相關概 念，故研究對象為國小六年級學生。研究樣本的選取方式採取方便抽樣， 對象取自臺中縣市、彰化縣與台南縣共七所學校，施測 15 個班級 456 名 的六年級學生，施測時間為 2009 年 6 月，各學校的受試者人數分配如表 3-1 所示。 表 3-1 施測學校資料一覽表 鄉鎮 學校名稱 班級數 人數 臺中市南區 信義國小 2 65 臺中市東區 大智國小 2 66 臺中市北屯區 東光國小 2 62 臺中縣后里鄉 月眉國小 1 37 彰化縣芳苑鄉 王功國小 2 45 彰化縣和美鎮 和東國小 3 92 臺南縣關廟鄉 五甲國小 3 89 總計 15 456

第三節 研究工具

本研究之研究工具為研究者自編之國小六年級學生數與量概念測驗。 測驗係根據九年一貫數學學習領域課程六年級數與量分年細目並參考現 行國小六年級各版本之相關單元進行編製，施測前曾進行專家審核與預 試，獲得六年級教師五名及數學教育學者兩名共七名專家之審核，預試結 果之信度為.94，最後再從預試中挑選較佳試題進行正式施測，其說明如下：

壹、 數與量概念測驗編製依據

研究者根據九年一貫數學學習領域課程六年級數與量分年細目並參考 現行國小六年級各版本之相關單元進行試題編製，內容皆為填充題，以探

討國小六年級學生在此分年細目上的學習特徵。六年級數與量分年細目內 容如表 3-2 所示，由於分年細目共包含 13 個概念，研究者將其分為四個類 別，分別為整數的性質、分數與小數、數量應用以及面積與體積。 表 3-2 國小六年級數與量分年細目 類別 編 號 分年 細目 內容 1 6-n-01 能認識質數、合數，並作質因數的分解(質數＜20，質 因數＜10，被分解數＜100)。 整數 的性質 2 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意 義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將 分數約成最簡分數。 3 6-n-03 能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活中 的問題。 4 6-n-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問 題。 分數 與小數 5 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。 6 6-n-06 能理解等量公理。(同 6-a-01) 7 6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 8 6-n-08 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換 算，並處理相關的計算問題。 9 6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的 問題。 數量 應用 10 6-n-10 能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題， 並檢驗解的合理性。(同 6-a-03) 11 6-n-11 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其 面積。(同 6-s-03*) 12 6-n-12 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。 (同 6-s-04) 面積 與體積 13 6-n-13 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。 (同 6-s-06)

貳、 研究工具的預試

研究者根據表 3-2 所列的 13 個概念編製了國小六年級學生數與量概念 測驗，共 50 道試題(參見附錄一、二)，並敦請任教數學領域資歷 10 年以 上之國小教師五名以及數學教育評量領域之大學教師三名進行專家審 核，分別就「試題是否與分年細目互相對應」、「文句表達是否清楚」及「試 題內容是否合適」等提供意見。 完成試題審核後，研究者以彰化縣秀水國小的六年級兩個班級共 59 名學生進行預試。預試結果之 Cronbach’s α係數為.936，預試資料之分析 如表 3-3 所示。從表中可知除了試題 26 相關係數未達顯著水準外，其餘試 題皆達顯著水準；刪題後信度除試題 20、26、27、44 等四題增加外，其 餘皆小於或等於.936。 表 3-3 預試工具之項目分析 題號 通過率 難度 鑑別度 相關係數 刪題後信度 1 .80 .78 .32 .321* .936 2 .37 .33 .53 .449*** .935 3 .81 .84 .31 .323* .936 4 .80 .69 .63 .566*** .935 5 .86 .81 .38 .429*** .935 6 .44 .41 .70 .506*** .935 7 .54 .47 .70 .527*** .935 8 .49 .51 .64 .381** .936 9 .59 .72 .56 .395** .936 10 .68 .51 .51 .481*** .935 11 .88 .85 .19 .296* .936 12 .46 .39 .52 .480*** .935 13 .47 .44 .64 .544*** .935 14 .44 .47 .82 .669*** .934 15 .41 .47 .82 .571*** .934 16 .39 .44 .64 .463*** .935 17 .61 .60 .57 .476*** .935

表 3-3 預試工具之項目分析(續) 題號 通過率 難度 鑑別度 相關係數 刪題後信度 18 .32 .44 .76 .637*** .934 19 .15 .27 .41 .498*** .935 20 .80 .78 .19 .258* .937 21 .73 .69 .50 .496*** .935 22 .90 .85 .19 .320* .936 23 .86 .91 .19 .263* .936 24 .39 .35 .58 .573*** .934 25 .47 .45 .52 .382** .936 26 .83 .91 .19 .22 .937 27 .64 .72 .44 .299* .937 28 .53 .45 .40 .335** .936 29 .59 .60 .33 .340** .936 30 .63 .53 .69 .579*** .934 31 .32 .41 .82 .695*** .934 32 .22 .35 .58 .558*** .935 33 .42 .63 .51 .413** .936 34 .66 .66 .69 .602*** .934 35 .32 .27 .41 .490*** .935 36 .73 .69 .63 .574*** .934 37 .66 .47 .82 .602*** .934 38 .37 .50 .88 .647*** .934 39 .59 .50 .76 .635*** .934 40 .41 .51 .51 .456*** .935 41 .42 .50 .88 .658*** .934 42 .86 .78 .44 .534*** .935 43 .59 .54 .57 .507*** .935 44 .61 .63 .39 .289* .937 45 .54 .57 .63 .575*** .934 46 .42 .44 .88 .755*** .933 47 .39 .35 .71 .681*** .934 48 .71 .63 .39 .389** .936 49 .47 .47 .82 .691*** .934 50 .63 .59 .81 .628*** .934 *p<.05 **p<.01 ***p<.001

參、 正式施測

研究者根據預試資料，依據難度適中、鑑別度較高、相關係數達顯著 水準且刪題後信度低於整份測驗信度等條件，進一步挑選出 25 題試題編 製成正式測驗(參見附錄三)，並於 2009 年 6 月正式施測。其試題分析結果 如表 3-4 所示，Cronbach’s α係數為.909，表示此測驗工具有良好信度。 此外，其概念屬性矩陣如表 3-5 所示，其中「1」代表該試題包含了該概念； 「0」則代表該試題沒有包含該概念。 表 3-4 正式施測工具之項目分析 預試 題號 正式施測 題號 通過率 難度 鑑別度 相關係數 刪題後 信度 4 1 .61 .50 .68 .507*** .906 6 2 .47 .38 .72 .584*** .905 7 3 .44 .38 .76 .646*** .903 10 4 .39 .34 .51 .462*** .907 13 5 .39 .34 .69 .628*** .904 14 6 .22 .21 .43 .587*** .905 15 7 .18 .18 .36 .523*** .906 16 8 .21 .22 .32 .492*** .906 18 9 .28 .28 .56 .629*** .904 25 10 .50 .41 .57 .458*** .907 30 11 .50 .42 .76 .628*** .904 31 12 .29 .26 .52 .577*** .905 32 13 .20 .19 .36 .500*** .906 34 14 .51 .38 .67 .492*** .907 35 15 .37 .33 .66 .584*** .905 37 16 .54 .43 .77 .574*** .905 38 17 .24 .25 .45 .637*** .904 39 18 .47 .44 .70 .627*** .904 41 19 .46 .39 .69 .589*** .905 42 20 .77 .57 .77 .528*** .906 43 21 .48 .39 .58 .430*** .908 45 22 .41 .34 .69 .586*** .905

表 3-4 正式施測工具之項目分析(續) 預試 題號 正式施測 題號 通過率 難度 鑑別度 相關係數 刪題後 信度 46 23 .34 .30 .60 .590*** .904 47 24 .36 .33 .63 .616*** .904 50 25 .61 .49 .70 .543*** .906 *p<.05 **p<.01 ***p<.001 表 3-5 試題與概念屬性之關係矩陣 題號 分年 細目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 6-n-01 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6-n-02 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6-n-03 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6-n-04 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 6-n-05 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6-n-06 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 6-n-07 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 6-n-08 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 6-n-09 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 6-n-10 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 6-n-11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6-n-12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6-n-13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

第四節 研究流程

本研究在擬定研究之主題與目的後，開始蒐集相關文獻並加以探討， 進而編製數與量概念測驗，經過專家審核與預試後完成本研究之測驗工 具。根據測驗結果所得之資料，以模糊集群分析理論將學生分群，再根據 試題關聯結構理論繪製出各群之概念階層結構圖，最後分析並比較群間概 念階層結構圖。本研究實施步驟之流程圖如圖 3-2 所示。

選擇正式施測對象 文獻蒐集與探討 數與量概念測驗之編製 進行預試 分析預試試題 選擇預試對象 專家修審試題 修正預試試題 分析並比較各群之概念階層結構圖 繪製概念階層結構圖 以模糊集群理論進行分群 正式施測 確定研究主題與目的 撰寫報告 圖 3-2 研究流程圖

第五節 資料處理與分析方法

本研究以自編數與量概念測驗為研究工具，於 2009 年 6 月正式施測完 畢後，將受試者原始作答資料以模糊集群分析之 FCUT 軟體進行分群，應 用模糊集群分析軟體模糊分割(fuzzy partition)，輸入受試者的原始作答資 料進行分群，爾後再以試題關聯結構分析軟體 WPIRS 繪製各群之概念階 層結構圖，探討各群在數與量概念上之表現與群間異同。其中 FCUT 軟體 係由林原宏、黃國榮(2003)所開發之模糊集群分析軟體，WPIRS 軟體則由 Lin, Bart, and Huang(2006)所開發之試題關聯結構分析軟體。前者可依照軟 體所輸出之分割係數值與分割亂度值，找出最合適之分群數，並得知受試 者所隸屬的群組；後者則可以輸出各群之概念階層結構圖。本研究資料分 析方法如下： 一、利用 FCUT 軟體進行模糊集群分析，可將所有受試者做適切的分群， 得知各群之特徵。 二、將各群資料輸入 WPIRS 軟體，繪製出各群之概念階層結構圖。 三、探討各群在概念階層結構圖上的表現、特徵。 四、比較群間概念階層結構圖之異同。

第四章 研究結果與討論

本章旨在呈現研究結果之分析與討論，根據本研究目的共分為四節： 第一節是利用模糊集群分析方法將國小六年級學生分群，並探討各群之特 徵；第二節是利用試題關聯結構理論，繪製各群之概念階層結構圖；第三 節在探討國小六年級學生各群之數與量分年細目的概念階層結構圖特 徵；第四節則是比較國小六年級學生群間概念階層結構圖之異同。

第一節 國小六年級學生之分群結果與特徵

壹、分群結果

本研究以FCUT軟體進行模糊集群分析，應用模糊集群分析軟體模糊分 割，輸入受試者的原始作答資料進行分群，分群數設定為3至8群，分析結 果顯示，當分群數為3時，分割係數.8802為最大值、分割亂度.2116為最小 值，因此本研究將學生分成三群加以分析。

貳、各群之答對題數

決定分群數後，我們將所有受試者的原始作答資料加以分群，分群後 各群之人數與佔全體學生之比例如表4-1所示，並以SPSS軟體分析各群答 對題數之平均數與標準差等資訊，如表4-2所示。 表4-1 分群之人數與所佔比例資料表 群代號 人數 佔全體學生之比例 1 177 38.82% 2 126 27.63% 3 153 33.55% 總計 456 100%

表4-2 各群答對題數資料表 答對題數 群代號 平均數 標準差 1 4.5876 3.2604 2 9.1508 3.5890 3 18.1503 3.2195 平均 10.6296 3.3563 註：共有 25 題試題。 由表 4-1 和表 4-2 所呈現之資料，將各群之特徵整理歸納如下： 一、第一群之特徵 (一) 人數與所佔百分比 隸屬於第一群之學生共有 177 名，佔全體人數之 38.82%，是三群中人 數最多的群組。 (二) 答對題數 該群學生答對題數之平均為 4.5876，是三群中最低之群組；標準差為 3.2604，離散情形與其他兩組相較之下並無特別分散或集中。 二、第二群之特徵 (一) 人數與所佔百分比 隸屬於第二群之學生共有 126 名，佔全體人數之 27.63%，是三群中人 數最少的群組。 (二) 答對題數 該群學生答對題數之平均為 9.1508，略低於平均 10.6296；標準差為 3.5890，與其他兩組相較是離散程度最高的，顯示群內學生表現差異較大。 三、第三群之特徵 (一) 人數與所佔百分比 隸屬於第三群之學生共有 153 名，佔全體人數之 33.55%，人數介於其

他兩組之間。 (二) 答對題數 該群學生答對題數之平均為 18.1503，高於平均數 10.6296，表現相當 良好；標準差為 3.2195，離散情形與其他兩組相較之下並無特別分散或集 中。 整體而言，表現最差的第一群人數佔全體學生比例最高，且答對題數 亦低於平均甚多；表現次佳的第二群人數佔全體學生比例最低，且答對題 數仍低於平均，與表現最佳的第三群相較之下，相差程度大。由此可知六 年級學生在數與量概念的表現上，有將近 66.45%學生表現低於平均，且與 表現最佳的學生程度相差甚多。

貳、各群之概念精熟度

將全體學生以模糊集群分析加以分群後，我們利用 WPIRS 軟體繪製出 各群在不同類別下之概念階層結構圖，表 4-3 為各群學生在不同類別下之 通過率資料。 表4-3 各群學生在不同類別下之通過率資料表 通過率 群代號 整數的性質 分數與小數 數量應用 面積與體積 1 0.14 0.18 0.16 0.16 2 0.17 0.31 0.33 0.55 3 0.61 0.74 0.71 0.71 根據表 4-3，我們將資料以折線圖方式呈現於圖 4-1。由圖中可發現， 第一群學生之折線圖趨於平緩，在四個類別下之通過率皆低於.20，精熟度 低；第二群學生之折線圖是三群中最陡的，其在「整數的性質」之通過率 低於.20，與第一群學生相近，而在「分數與小數」及「數量應用」兩者概

念上之通過率分別為.31 和.33，精熟度亦低，精熟度最高的是「面積與體 積」概念，通過率達到.55，屬於中通過率；第三群學生之折線圖趨於平緩， 通過率最差的概念為「整數的性質」，通過率為.61，而其餘概念則介於.71 至.74 之間，四個類別皆達到中通過率。 綜上所述，第一群學生在數與量概念上的精熟度皆低，第二群學生除 了「面積與體積」精熟度較佳外，其餘概念之精熟度亦皆低，而第三群學 生則是精熟度佳，但尚未達到高通過率(通過率>.8)。 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 整數的性質 分數與小數 數量應用 面積與體積 概念類別 通 過 率 第三群 第二群 第一群 圖4-1 各群學生在不同類別下之通過率折線圖

第二節 國小六年級學生各群之概念階層結構圖

本研究所設定的閾值ε=.62，編號 1~13 分別代表 6-n-01~6-n-13 概念， 編號下方為通過率，其可分為低(通過率<.5)、中(.5≦通過率<.8)、高(.8< 通過率)三種表現。以下我們將就各群學生之概念階層結構圖進行探討，並 找出各概念間之關係。

壹、第一群之概念階層結構圖

一、通過率 第一群學生在數與量 13 個概念的表現皆低於.5，屬於低通過率。根據 圖 4-2 顯示，可將其分為三層來看，其中概念 5(能作分數的兩步驟四則混 合計算)、概念 10(能利用常用的數量關係，列出恰當的算式，進行解題， 並檢驗解的合理性)、概念 12(能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單 扇形面積)、概念 13(能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積)之通 過率為.20 至.25 之間，是群內通過率最高的四個概念，屬於第一層；其餘 概念除概念 11(能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面 積)之外，皆介於.12 至.19 之間，屬於第二層；概念 11 通過率為.00，顯示 第一群學生對此概念完全不瞭解。 二、各概念間關係 概念 13 為第一群學生通過率最高之概念，理解概念 13 有助於概念 8(能 理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算 問題)、概念 10、概念 11 與概念 12 之精熟；概念 8、概念 10 和概念 11 與 其他概念的聯結性較高，值得注意的是，概念 10 為概念 8 的上位概念， 但通過率卻高於概念 8，其原因可由原始計算公式進一步得知，並非所有 下位概念之通過率皆低於上位概念；此外，概念 8 是概念 1(能認識質數、 合數，並作質因數的分解)、概念 2(認識兩數的最大公因數、最小公倍數與 兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數