模糊理論

一般人初次聽到「模糊理論」，都會被誤解並認為是一門模模糊糊的理 論。事實上，模糊理論主要是解決現實生活中普遍存在的模糊現象而發展的 一門學問。它是由 Zadeh 於1965年首先提出，主要是探討人類主觀或思考過 程中定量化的處理方法，對於表現人類語言之間的模糊現象具有頗佳之成

對於模糊集的表示方法，需先將

U 分為有限集與無限集。對於有限集

(3)向量表示法

根據以上對模糊集運算的定義，可得知兩個模糊集之間的運算是逐點對

貳、確定隸屬函數的方法 

隸屬函數在模糊理論中，佔有相當重要的地位，不管在理論或者實際應 用方面都是相當基礎且關鍵的問題。在此節中，將介紹如何確定隸屬度函數 的原則與方法。

 

ㄧ、確定隸屬函數的原則 

確定隸屬度函數方法著實非常多樣且廣泛，當中無任何附加條件，唯一 條件即是論域U 需在[0,1]之間。另外，在架構不同模糊集的隸屬度函數時，

必須充份注意到模糊集在理論上可分為本質模糊集與非本質模糊集，並採用 不同方式加以描述，使得在架構隸屬度函數的過程中更具複雜性與方法的多 樣性。

由於一個模糊集代表一個概念，即主觀對客觀事物認識之後的產物，可 看作是客觀的，而在確定某一元素對一模糊集的隸屬度時，正是在顯示主觀 對客觀事物的一種判定與信度，是主觀的。因此需力求主觀性與客觀性的統 一，使隸屬度函數較能全面反映出事物的本質。

確定隸屬函數的原則如下:

(1)若模糊集反映社會的一般意識，且可以大量重複表達個別意識的平均 結果，此類情況可採用模糊統計法來確定隸屬函數較佳。

(2)若模糊集反映某個時間內的個別意識、經驗和判斷，此類情況可採用 Delphi 法來確定隸屬函數較佳。

(3)若模糊集反映的模糊概念已有相當成熟的指標，且此指標經過許多實 驗驗證並已有多人使用，則可直接採用此指標，或者可由某方法轉換 成我們所需的隸屬函數。

(4)某些模糊概念要直接給定隸屬函數較為困難，但我們可比較兩元素相 對應的隸屬度，此時可使用相對選擇法求出隸屬函數。

(5)若一個模糊概念蘊含許多模糊因素，則可先求得各因素模糊集的隸屬 函數，再進而求得模糊概念的隸屬函數。

在應用上，隸屬函數通常需具備凸(Convex)與正規(Normal)的特性，在定 義上，數值方式是以離散的方式直接給定有限模糊集合內每個元素的歸屬

度，並以向量形式表達，函數方式是以連續的方式描述模糊集合，表現無限 或有限模糊集合元素與對應隸屬度之間的關係，其中函數形式可以是矩形分 布、梯形分布、Γ 型分布、正態分布、Cauchy 分布、岭型分布等形式，也就 是說，隸屬函數是一個定義再輸入空間上的點如何對應到一個介於0 與 1 之 間的隸屬值(或者說是隸屬的程度)表現的函數曲線。

二、模糊數(Fuzzy Number)

模糊數乃實數（Real Numbers）的模糊子集（Fuzzy Subset），而且它是 代表信賴區間（Confidence Interval）觀念的一種擴充；根據Dubois & Prade²⁸

（1978）所做的定義，模糊數 係指一模糊集合（Fuzzy Set）而其隸屬函

（2） ：為一凸性（Convex）的模糊子集合，以數式表示如下。

。

（3） ：為一模糊子集的正規化（Normalization），即存在一個數 使

得 。

（4）α 截集（α-cut/α-level）：α 截集在模糊集合與明確集合（Crisp Set）間 扮演著一個很重要的角色，也可以說是模糊集合與明確集合之間的一座 橋樑，因此，對所有 α∈[0

,

1]，模糊數

A ~

的 α 截集表示成 ，而

A ~

α

       

28  Dubis, D., and Prade, H., 1978 , "Operations on fuzzy numbers", International Journal of

}

三、語意變數（Linguistic Variable）

根據Zadeh（1975）²⁹提到，對於那些複雜或難以定義的情境，吾人很難 以傳統的量化方式來做一合理的表達，因此有必要運用語意變數的觀點來處

29 Zadeh L. A. （1975）. “The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning.” Information Sciences, 8（1）, 199-249.

本研究將此種語意表達的變數作為處理評估人員針對各可能施工當時背 景條件給予的評定方式，採用「很好」、「好」、「尚可」、「差」、「很 差」五個等級的語意尺度來表示，而風險發生的機率則以「很高」、「高」、

「普通」、「低」、「很低」五個等級的語意尺度來表示，此項五個等級的 語意尺度，若引用Chen & Hwang³⁰ (1992)所提供的尺度形式則如圖 3-2 所示。

0 0 1.0

1.0 ) (

~

x

μA

很差 差 尚可 好 很好

0.5  

圖 3-2 五等級的語意尺度圖例

（資料來源：本研究整理）  

 

叁、模糊關係與模糊推論 

 

ㄧ、模糊關係 

世界每項事物皆有一定的關係存在，當我們使用數學模型去描述事物之 聯係時，我們稱此數學模型為”關係”，以 R 表示。而在普通關係中，集合與 集合之間僅存在”有”或是”無”的關係。由此可知，普通關係為二值的，但在 真實世界中普通關係的二值描述並無法滿足實際之需求，事物間關係仍需表 示程度的大小，這種以程度描述的關係稱為模糊關係，並以R



      

表示。

30 Chen, S. J. and Hwang, C. L., 1992, Fuzzy Multiple Attribute Decision Making-Method and  

Applications, Springer-Verlag, New York.

在普通關係

R 中，是指兩個集合 A 和 B 的直積，記為 A×B。將普通關

其中 (i=1,2,3,…,n; j=1,2,3,..,m)，而矩陣式稱為模糊矩陣，元素 表示集合A中的第i個元素

a 和集合B中的第j個元素

_i

2.交集運算

R

=(

A B

× ) (∪

A E

× ) [=

μ

_A( )

u

∧

μ

_B( )] [1

v

∨ −

μ

_A( )],

u

∀ ∈

u U v V

, ∈

行描述。傳統控制理論對於現今多變、複雜且模糊的工業界來說，所能控制 的項目著實不多，有些更是無法建立其數學模型，導致傳統控制理論或現代 控制理論很難取得滿意的控制效果。

隨著時代的進步，人工智慧控制技術亦隨著技術發展漸漸引入工業界，

與傳統理論相比，可發現人工智慧控制皆是模擬人類思考決策的方式來解決 問題，故並不需要精確的數學模型，同時此項優點亦是工業界所盼望的。所 以此方法才能突破傳統控制理論的應用限制，在真實且多變的系統上獲得令 人滿意的控制成果。而模糊控制就是其中一種，也是應用最廣、成效最大的 方法。

人類從以前開始，在語言的表達以及經驗上的傳承都是相當模糊且概念 化，然而 Zadeh 教授所提之模糊理論就是針對語言進行分析的數學模式，將 不明確的語言給予明確化、數據化，再將資訊交給機器去做控制。而模糊邏 輯不同於傳統的二值邏輯亦在於模糊邏輯是在 0 和 1 間建立一個緩衝區，使 得人類在邏輯推理上有較寬廣且彈性的空間，使理念與經驗能較完善的表達。

  模糊控制系統主要是利用模糊邏輯的思考方式，而設計模糊控制器的作 業原理，是一組以語意描述的定性控制法則，其糢糊邏輯控制系統如圖 3-3。

 

圖 3-3 模糊邏輯控制系統基本結構

（資料來源：楊英魁等人編著,2002,p65）

   

糢糊邏輯控制系統區分為下列五個主要部分: 

1.模糊化單元

將外界所偵測到的數值輸入，經過一比例映射並傳送至相對應之模糊 論域中，再利用可將模糊化之隸屬度函數，將此輸入的資料轉換為適當的 語意值，供之後的模糊推論使用。

2.推理引擎

模糊引擎為整個糢糊控制器的核心，主要是根據現存的模糊法則來進 行模糊理論的合成運算。在此將利用圖解法介紹一般最常使用的推理演算 法，如圖3-4。此圖為兩個輸入與一個輸出的系統，且僅有兩個條件敘述，

在合成時採用min 操作。其中敘述條件如下:

Rule 1:if x is A1 and y is B1，then z is C1 Rule 2:if x is A2 and y is B2，then z is C2

首先求得 A 與 A1、A2 及 B 與 B1、B2 間的關係，在取各別之最小值，

求得每條規則的歸屬函數，最後經過合成即可得到結果。其推論過程必須 先將資料庫與控制規則庫建立完成，最後再將結果經由解模糊化，即可得 到現實生活中所需之數值。其中資料庫、控制規則庫與解模糊化皆會在之 後說明。 

圖 3-4 模糊推論演算

（資料來源：楊英魁等人編著,2002,p68）

3.資料庫 識庫(Fuzzy Knowledge Base，FKB)和 Fuzzy 推論機(Fuzzy Inference Engine，

FIE)為主要核心部門，屬於 Fuzzy 規則式系統(Fuzzy Rule-Based System，簡 稱FRBS)。在 FKB 內包含受控對象所涉及的領域知識(domain knowledge)和 操控目標定性與定量資訊，主要由資料庫(data base)與規則庫(rule base)組 成。規則庫則是利用Fuzzy 蘊含式(fuzzy implication)作為命題連接的方式，

在數學意義上，可說是由A1對應到B1的模糊關係。運算為:

R_m =m_{A B→} ( , )u v =

∫

_{U V×} (μ_A( )u ∧μ_B( ))u 3.31 式 公式中A 和 B 是屬於兩個論域 U 和 V 的 Fuzzy 集合，對於 Mamdani 蘊含式 而言，即是做A 和 B 的直積，對於直積計算方式可利用下面簡單例子進行說 明:

例題:設定溫度的論域為 T={70,80,90,100}，壓力的論域為 P={10,11,12,13,14}

。假設溫度高及壓力大的模糊集為T={0/70,0.2/80,0.6/90,1/100}、P={0.3/10, 0.5/11,0.7/12,0.9/13,1/14}，求若溫度高，則壓力大的模糊關係為何?

[ ]

  Fuzzy 推論機部門主要是運用知識庫內的規則與事實推論出新的結論，

其概念是依據近似推理中的GMP(general modus ponens)，使 fuzzy 蘊含式 PÆQ 接受 P’的真值後可推導出 Q’，可寫為

P' (P∩ →Q)⇒Q' 3.33 式 Fuzzy 推論中又分成直接模糊推論與間接模糊推論，若採用直接模糊推 論的方式(如圖 3-5)。直接推論即是事先將規則庫裡所有的規則，以模糊關係 R 表示，之後 R 在與事實(即輸入值)做模糊關係的 max-min 合成運算(如圖 3-6)，則可得結論。另外，fuzzy 關係 max-min 合成運算的運算式如下:

μ

_B'( )V = ∨

{ μ

_A'( )u ∧

μ

_{A B→} ( , )u v

}

= ∨

{ μ

_A'( ) [u ∧

μ

_A( )u →

μ

_B( )]v

}

3.34 式

圖 3-5 直接模糊推論

（資料來源：本研究整理）

圖 3-6 max-min 合成運算過程 

（資料來源：本研究整理） 

 

在文檔中 建築施工災害防制技術之研究（二）－建築工程施工風險評估方法之研究 (頁 74-91)