次序理論及其相關研究

壹、次序理論

Bart and Krus（1973）所提出的次序理論可用於二元計分（dichotomous）的 試題，研究者可以根據作答資料所呈現出來的列聯表，計算出試題的先備

（precondition）條件或彼此間次序性的關係。Bart and Krus（1973）的次序理論 中，以二元計分的試題i 和試題 j 為例，將答對（以1表示）和答錯（以0表示）人 數作出列聯表，如表2-6所示（林原宏，2005）。

表 2-6 二元計分次序理論的試題i 和試題 j 作答人數之列聯表

試題 j 總和

1 0

1 n11 n₁₀ n_1• 試題i

0 n01 n₀₀ n_0•

總和 n_•1 n_•0 n=n₁₁+n₁₀ +n₀₁+n₀₀

列聯表中的資料顯示出受試者對於試題 i 和試題 j 的反應組合共有（1,1）、

（1,0）、（0,1）、（0,0）四種。其中，答錯i 題卻答對 j 題的反應並不符合「試 題i為試題j的先備條件」。換言之，若我們希望試題i成為試題j的先備絛件， 則

n

₀₁

所代表的數值是愈小愈好。Bart and Krus（1973）因此定義了衡量係數（

n /

₀₁

n

），

一般而言，

ε

大小的選定由研究者視需要而訂，但Bart and Krus（1973）建 議取

ε

=.2作為容忍水準的上限。

然而Bart and Krus（1973）所提出的次序理論卻受限於只能對二元計分的資 料進行分析，因此林原宏、Bart和黃國榮（2006）以二元計分模式的次序理論為

2.無法滿足「試題 i 指向試題

j 」的次數可記為：

1 , 1

' < −

∀ −

=

∑∑

j k l i

kl

C

l C

n k

n

and 0≤

k

≤(

C

_i −1)，0≤

l

≤(

C

_j −1)

3.定義「試題 i 指向試題 j 」的衡量係數為

n' n

，

n' n

的範圍是0≤(

n

'

n

)≤1，

n' n

若愈小，表示試題i 可能為試題 j 的先備條件。

4.根據閾值

ε

(0<

ε

<1)決定試題間的次序關係，若(

n

'

n

)<

ε

，表示試題i 為試題 j 的先備條件，即試題 i 與試題 j 有次序關係，此時以

r

_ij =1表示，以圖繪

i

→ 表

j

示；若(

n

'

n

)≥

ε

，表示試題i 不是試題的 j 先備條件，即試題i 與試題 j 沒有次序 關係，此時以

r

_ij =0表示，圖繪中i 沒有指向 j 。

林原宏、Bart、黃國榮（2006）把試題i 和試題 j 的計分點數相等(

C

_i =

C

_j)的 情形稱之為為齊一型計分，而在

C

_i =

C

_j =2時，即為常見的二元計分試題。故 Bart and Krus（1973）所定義的二元計分就是林原宏（2007）所提出廣義多元計分之 特例。

貳、相關研究

在Bart and Krus（1973）提出次序理論後，相關的應用研究主要在探討認知 學習的發展情形。例如：Bart and Airasian（1974）以次序理論分析具體運思期和 形式運思期的次序性關係，研究結果支持了具體運思期是形式運思期的前置階 段；Bart, Frey and Baxter（1979）利用5個物理和數學的作業題目來分析不同受試 群，並呈現出不同群在作業中所反應出來的次序階層結構；Bart and Mertens

（1979）應用次序理論去探究皮亞傑形式運思期中基模的階層結構。研究發現同 一基模中，有些試題是具有等價關係的。雖然反應出來的組型不同，但可看出此 時期基模階層結構之特徵；林原宏、游森期（2006）更延續次序理論的特點，應 用於柳橙汁濃度測驗的解題規則之階層結構分析。

由於次序理論具有能夠呈現有次序、有結構事物的特點，因此被不少實證性 研究所採用。以數學學習心理的角度來看，學生的認知不但有階段性而且具有結 構性。因此，研究者欲以次序理論應用在數列組型試題上，藉由受試者的反應，

進行概念階層結構的分析。

在文檔中 國小高年級學生在數列組型問題之表現分析及概念階層結構探討 (頁 40-44)