國立臺中教育大學數學教育學系在職進修
教學碩士學位班碩士學位論文
指導教授：林原宏 博士
國小高年級學生在數列組型問題之
表現分析及概念階層結構探討
研究生：陳佳甫 撰
中 華 民 國 九 十 六 年 六 月
摘要 本研究旨在進行國小高年級學生數列組型問題之表現分析及概念階層結構分 析。研究者自編「數列組型測驗」，研究了來自台中縣市五、六年級學生共 1063 名，並利用獨立樣本 t 檢定、單因子變異數分析來比較不同背景學生（年級、性 別、能力組別）在測驗上表現的差異情形。在概念分析上，將受試者各概念上的 得分進行多變量統計分析，同時也以廣義多元計分的次序理論模式，進行概念階 層結構分析。研究結果發現： （一）數列組型測驗的表現，六年級表現優於五年級；且女生、男生表現無顯著 差異；高分組優於中分組，中分組優於低分組。 （二）不同年級在數列組型認知歷程中概念的表現上，在三個認知歷程中的所有 概念，六年級的表現均優於五年級；而且六年級在分類歷程與映射檢查歷 程中的概念階層結構和五年級不同。 （三）不同性別在數列組型認知歷程中概念的表現上，在三個認知歷程中的概念， 男生只在「複合」概念優於女生，其餘無差異；而且女生在所有認知歷程 的概念階層結構均和男生相同。 （四）不同年級在數列組型認知歷程中概念的表現上，除了高分組和中分組在「固 定」概念的表現無差異外，在三個認知歷程中的其它概念，兩兩之間均存 差異；中分組和高分組在分類歷程的概念階層結構相同，但卻和低分組相 異；不同能力組別在理解關係歷程的概念結構相同；低分組和中分組在映 射檢查歷程的概念結構相同，但卻和高分組相異。 根據研究發現，研究者提出未來研究和教育實務之相關建議。 關鍵字：概念階層結構、次序理論、廣義多元計分次序理論、數列、組型。
A Study on the Performance of Sequence Pattern and it's Hierarchical Structures for Fifth and Sixth Graders
Abstract
The study aims to analyze the performance of sequence pattern and the hierarchical structure of concepts on the fifth and sixth graders. The instrument is “The Sequence Pattern Test” designed by the researcher. There are one thousand and sixty three valid samples of the fifth and sixth graders from Taichung City and County. Data are analyzed by means of t-test and one-way ANOVA to compare and contrast the performance of the subjects among different backgrounds (grade, gender, and ability). With regard to conceptual analysis, subjects’ scores are dealt with MANOVA, whereas the hierarchical structures of concepts are examined by generalized polytomous ordering theory.
The findings are as the follows:
1. The performance of the Sequence Pattern Test: The sixth graders are superior to the fifth. There are no differences between boys and girls. The high-score group is superior to the middle-score group, whereas the middle-score group is better than the low-score group. 2. Conceptual performance of cognitive process on sequence pattern between different grades:
With respects to all concepts that represent three cognitive processes, the sixth graders are superior to the fifth; the sixth graders possess different hierarchical structure of concepts from the fifth in terms of classification and mapping and checking.
3. Conceptual performance of cognitive process on sequence pattern between different genders: Among concepts of three cognitive processes, the boys are only superior to the girls in terms of “complex”. Girls and boys have the same hierarchical structure of concepts among all cognitive processes.
4. As to conceptual performance of cognitive process on sequence pattern between different grades, the differences occur between groups of different ability in terms of other concepts that represent three cognitive processes except the high and middle score group on the concept of “fixed”. Though middle score group possesses the same hierarchical structure of concepts to that of the high score group, those results are different from the low score group. Groups of different ability present the same hierarchical structure of concepts on “relation reasoning.” With regard to “mapping” and “checking”, the results in low score group are equivalent to those in middle score group, but differ from high score group.
Finally, based on the results and findings, some recommendations and suggestions are provided for future research.
Keywords: hierarchical structure, ordering theory, generalized polytomous ordering theory, sequence, pattern.
目錄
第一章 緒論
...1 第一節 研究動機 ...1 第二節 研究目的 ...4 第三節 名詞解釋 ...4 第四節 研究範圍與限制 ...5第二章 文獻探討 ...7
第一節 數列組型的意義 ...7 第二節 數列組型的相關研究 ...10 第三節 次序理論及其相關研究 ...31第三章 研究方法和步驟 ...35
第一節 研究架構 ...35 第二節 研究樣本 ...36 第三節 研究工具 ...37 第四節 研究程序 ...46 第五節 資料處理 ...47 第六節 試題品質分析 ...48第四章 研究結果與討論 ...51
第一節 數列組型測驗表現的分析 ...51 第二節 不同年級在數列組型概念表現之分析 ...53 第三節 不同性別在數列組型概念表現之分析 ...62第四節 不同能力組別在數列組型概念表現之分析 ...69
第五章 結論與建議 ...79
第一節 結論 ...79 第二節 建議 ...81參考文獻...83
壹、中文部分 ...83 貳、西文部分 ...85附錄...90
附錄一 施測說明 ...90 附錄二 數列組型測驗 ...91 附錄三 試題概念成分細格與試題概念成分矩陣 ...92表目錄
表 2-1 常見包含數列組型試題的智力、性向測驗 ...11 表 2-2 各研究者對於數列組型解題的認知歷程比較 ...19 表 2-3 數列問題架構的範例 ...22 表 2-4 影響受試者表現的因素 ...24 表 2-5 各學者對數列組型解題表現的研究比較表 ...30 表 2-6 二元計分次序理論的試題 i 和試題 j作答人數之列聯表 ...31 表 2-7 廣義多元計分次序理論的試題 i 和試題 j的答題人數之列聯表...32 表 3-1 樣本人數來源 ...36 表 3-2 基本資料統計 ...37 表 3-3 試題編製之概念屬性與組型結構 ...41 表 3-4 試題難度 ...42 表 3-5 試題鑑別度 ...42 表 3-6 數列組型測驗項目分析 ...43 表 3-7 考驗試題效度的雙向細目表 ...44 表 3-8 難度及鑑別度分析 ...49表 4-1 全體受試者在數列組型測驗試題之平均數、標準差 ...51 表 4-2 不同年級組別在數列組型測驗之平均數、標準差及t檢定結果...52 表 4-3 不同性別在數列組型測驗之平均數、標準差及t檢定結果...52 表 4-4 不同能力組別在數列組型測驗表現之平均數、標準差 ...53 表 4-5 不同能力組別在數列組型測驗之單因子變異數分析摘要 ...53 表 4-6 不同年級組別在分類認知歷程所含概念細格平均數 ...54 表 4-7 不同年級在分類認知歷程所含概念之多變量分析及比較摘要 ...54 表 4-8 不同年級組別在理解關係認知歷程所含概念細格平均數 ...55 表 4-9 不同年級在理解關係認知歷程所含概念之多變量分析及比較摘要 ...55 表 4-10 不同年級組別在映射檢查認知歷程所含概念細格平均數 ...56 表 4-11 不同年級在映射檢查認知歷程所含概念之多變量分析及比較摘要 ...56 表 4-12 不同年級受試者的認知歷程之概念結構圖 ...59 表 4-13 不同年級組別在分類認知歷程所含概念細格平均數 ...62 表 4-14 不同性別在分類認知歷程所含概念之多變量分析及比較摘要 ...63 表 4-15 不同性別在理解關係認知歷程所含概念細格平均數 ...63 表 4-16 不同性別在理解關係認知歷程所含概念之多變量分析摘要 ...64 表 4-17 不同年級組別在分類認知歷程所含概念細格平均數 ...64
表 4-18 不同性別在映射檢查認知歷程所含概念之多變量分析摘要 ...65 表 4-19 不同性別受試者在認知歷程的概念結構圖 ...67 表 4-20 不同能力組別在分類認知歷程所含概念細格平均數 ...69 表 4-21 不同能力組別在分類認知歷程所含概念之多變量分析及比較摘要 ...69 表 4-22 不同能力組別在理解關係認知歷程所含概念細格平均數 ...70 表 4-23 不同能力組別在理解關係認知歷程所含概念之多變量分析 ...70 表 4-24 不同能力組別在映射檢查認知歷程所含概念細格平均數 ...71 表 4-25 不同能力組別在映射檢查認知歷程所含概念之多變量分析及比較摘要 .71 表 4-26 不同能力組別在認知歷程的概念結構圖 ...75
圖目錄
圖 2-1 數字系列完成測驗之歷程圖 ...14 圖 2-2 系列完成測驗訊息處理歷程 ...16 圖 2-3 線性幾何數列認知成分階層圖 ...17 圖 2-4 二次幾何數列認知成分階層圖 ...17 圖 2-5 六年級學童數列推理流程圖 ...18 圖 3- 1 研究架構 ...35 圖 3- 2 研究流程 ...47 圖 4-1 五年級概念階層結構圖 ...57 圖 4-2 六年級概念階層結構圖 ...58 圖 4-3 女生概念階層結構圖 ...65 圖 4-4 男生概念階層結構圖 ...66 圖 4-5 低分組概念階層結構圖 ...72 圖 4-6 中分組概念階層結構圖 ...73 圖 4-7 高分組概念階層結構圖 ...73第一章 緒論
第一節 研究動機
在數學學習上，許多哲學家、數學家和數學教育家相信組型（pattern） 是很重要的（Davis, 1984; Mottershead, 1985; NCTM, 1989; Reys, Suydam, & Lindquist, 1984）。廣義來說，組型就是一種規律。因為數學本身具有結構性，且 數學的結構性可以藉由尋找組型和關係中觀察得到，所以瞭解到規律的脈動就能 幫助我們瞭解數學的結構與意涵。Steen（1990）認為，經由數學上的方法，使我 們認識事物中的規律、了解資料，及做小心的推理，所以數學是訓練學生思考與 溝通、表達、推理與判斷的學門。黃敏晃（2000）也提到數學所追求的目的即在 於找到一些規律來探討事物的變化的模式，進而預測未來變化。這些種種強調組 型學習與未來生活息息相關的說法，和新課程裡所揭櫫的重要精神，也就是培養 學生「帶著走」能力有著異曲同工之妙。
在數學教學上，英國的教育科學部（Department of Education and Science, 1987）建議教學者應鼓勵學童去尋求隱含在數學內的組型。因為藉由在數字、幾 何和測量上的樣式能幫助學童瞭解數學主題間的聯結關係。在進行關係聯結時能 夠孕育出一種數學的思考，這種思考方式會奠定更多抽象思維學習的基礎 （NTCM, 1989）。在傳統的數學課程中，「算術」處理的是具體的數目，而「代 數」處理的就是抽象的符號。若沒有給學生足夠的前置經驗，在以算術為基礎的 課程在轉化為以抽象代數想法或理解為主的學習過程裡，學生普遍都會感到困難 （Booth, 1988）。Schoenfeld and Arcavi（1988）也表達了相同的看法，他們表示， 教學者應要求學生利用觀察和口語表達來概述組型，並以此歷程來當作計算和代 數階段的過渡的學習課程。因此，給予要求某些活動，例如在數學課程上，可以 廣泛的提供利用歸納法所產生的組型探索活動（DES, 1983）。在此類的探索活
動中，我們可以藉此訓練學童進行歸納並找出規律。Jones（1993）認為「歸納」 是很重要的，因為歸納是代數的核心，且尋求組型正是形成歸納的必需步驟。 近年來，給學生機會去操作組型的教材地位漸漸被視為代數學習的重要前 奏，所以紛紛受到許多國家政府部門的重視。英國的教育部（Department for Education, 1995）就建議學生應被教導「尋求結果中的組型」與「探討數列」； 美國的NTCM（2000）也建議應把代數視為從學齡前開始的一連串課程，因此在 針對學校數學教育所訂定的指導原則及標準中，期望學前到十二年級，教師必須 要讓全部的學生都能夠瞭解組型概念。而學前到小學二年級的孩童必須能夠做 到：排序、分類以及按照物件的形狀大小、數量，或其他屬性來排列順序；進一 步還要能夠辨識、描述，延伸各種不同的組型規則，像是音階的順序、圖形的排 列規則、簡單的數字規則，並且能夠將這些呈現方式轉換成不同的排列方式；最 後，要能夠分析重複性的規則組型以及瞭解不斷增長的規則組型是如何產生的。 NTCM在建議的課程中一再強調了「瞭解組型」的重要，並認為歸納數字情境可 以聯結以數與計算為要素的學內容和代數等抽象性的數學知識；我國教育部，在 經過九年一貫課程的改革後，也開始重視到有關組型中規律認知、數列規則和表 達關係的學習（Lin & Yang, 2004）。因此課程綱要中學習的四個階段都明訂有和 組型相關的活動（教育部，2004）。其中在「數與量」、「代數」的能力指標上 提到了要能夠辨識規則數列與理解數量關係。這些種種的跡象都顯示著數列的學 習活動是尋求組型的一個很好題材。
至於兒童在數列組型的認知情況為何？哪些背景因素會左右著他們在數列 組型的表現？這些問題都曾受到了許多學者的關注。Uhr（1973）認為與組型的 相關活動涉及高度的思考推理能力，Piaget and Inhelder更將「序列」列為邏輯思 考的重要內容（陸有銓、華意蓉譯，1989）。因此以數字為主的序列（簡稱數列） 問題，就常被用來衡量受試者的心理能力中邏輯推理表現。Piaget認為兒童會隨 年齡增長而產生智力發展，這種發展不只是量的增加，還有質的變化（張春興，
1994）。許多相關的研究也顯示年齡愈大的學生在數學推理問題的表現愈佳 （Hubbs-Trait, 1986; Marlovits, 1995; Ward & Overton, 1990）；然而在不同性別的 研究中，有些研究者認為男女性的表現無差異（Bitner-Corvin, 1989; Nolan & Brandon, 1984），但也有研究顯示在數學推理表現上男性優於女性（王文伶， 2006；Bendow & Stanley, 1983）。儘管過去許多的研究對於年齡、性別乃至智力 表現等背景變項，提到了會影響心理能力的表現。然而，這些研究都著重於受試 者在測驗的整體表現或對特定向度（如邏輯、數學、空間等智力）的個別描述， 對於瞭解個體在測驗中概念間的關係性研究卻付之闕如。就因材施教及進行補救 教學的觀點來看，瞭解不同學生的思維方式是教學成功與否的關鍵之一，因此對 於數列組型問題相關概念的表現情形是否會受年齡、性別和智力等背景變項的影 響，確實值得研究。 在國內外，除了以傳統智力測驗中「數字推理」來了解學生的智力表現外， 其它尚累積不少和數列組型相關的研究（林世華、葉嘉惠，1999；林政輝，2002； 李美蓮，2003；李佩玟，2005； Bishop, 2000; Hargreaves, Shorrocks-Taylor, & Threllfall, 1998; Holzman, Pellegrino, & Glaser, 1983; Lee & Wheeler, 1987; Lin &
Yang, 2004; Orton & Orton, 1999）。這些研究在對象的選擇上雖然各個年齡層都
有，但主要還是分布在國中階段，對於以國小為對象的部分少有描述。而在研究 方法上，過去的研究大致上可以區分成心理計量分析與認知成分分析二個取向。 傳統心理計量分析把發現數列組型的能力視為智力的一部分，並利用受試者在標 準化紙筆測驗上的差異表現來區別智力的高低，著重在解釋不同個體或不同群之 間的差異性；認知成分分析取向則是藉由測驗後的結果，分析受試者的認知策略 和歷程，「晤談」就是其常採用研究方法。然而傳統的心理計量方式難以窺見學 生的概念結構，認知成分取向所採用的晤談方式曠日又費時。Bart and Krus（1973） 所提出的次序理論（ordering theory），曾被用來分析兒童運思表現的次序性（Bart & Mertens, 1979; Bart & Read, 1984）。它具有省時又適於呈現樣本資料的次序階
層結構的特性，研究者欲藉此特點，當作本研究的研究方法，用來分析國小高年 級學生數列組型測驗之次序階層結構。 綜合上述，本研究欲以國小高年級學生在數列組型問題的表現進行分析，並 比較及呈現不同背景變項（年級、性別、能力）的學生在數列組型問題之概念階 層結構特色。
第二節 研究目的
基於上述的研究動機，本研究的主要目的有四，臚列於下： 一、在不同數列組型下，探討國小高年級學童在數列組型測驗下的表現情形。 二、分析比較不同年級在數列組型問題概念上的表現情形及概念階層結構特色。 三、分析比較不同性別在數列組型問題概念上的表現情形及概念階層結構特色。 四、分析比較不同能力組別在數列組型問題概念上的表現情形及概念階層結構特 色。第三節 名詞解釋
茲將本研究及的幾個特定名詞界定如下： 一、組型（pattern） 指重複出現，有規則性的圖案、花樣、動作、聲音、或事件等（周淑惠，1999）。 在本研究中的組型代表著數列中的元素呈現組合性且有規律的排列。藉由這些重 複且有規則的組型，可以將數列不斷延伸。 二、數列組型（sequence pattern） 在心理學上，序列（series）指的是事物間的關係，以及將這些事物依邏輯排式，本研究是以數字作為排列的物件，而這裡的「數字」指的是正整數。把數字 按照一定的規則或算則加以排列就叫數列，這些存在同組中前後項數字間的定則 就叫數列組型。換言之，數列組型的概念就是數與數之間能夠被察覺、描述、延 伸及一般化的系統。
三、次序理論
次序理論是由Bart and Krus（1973）所提出，主要是用來分析不同事件或概 念的階層結構關係。其原理精神在於若受試者對於A、B兩事件的反應，存在著 正確反應A才有可能正確反應B的趨勢，那麼A和B就有次序性的關係，此時A為B 的先備條件。
第四節 研究範圍與限制
本研究以國民小學五、六年級學生為對象，使用獨立樣本 t 檢定和多變量統 計分析的方法，探討學生在性別、年級、能力組別三個背景變項下，對於發現數 列組型測驗表現之情形，同時配合次序理論分析來瞭解國小高年級學生在數列組 型問題之概念階層結構圖。其範圍與限制說明如下： 一、研究對象上 受限於時間、人力及經費等因素，樣本取樣來自於台中縣市之國民小學。因 此研究結果之推論僅限於與此研究樣本相似之群體。 二、研究內容上 影響發現數列組型的因素可能很多，本研究僅採智力理論中最常被討論的年 齡、性別、能力組別這三個背景變項，分析國小學生在數列組型問題上的表現情 形及其概念階層結構。 三、研究方法上 要呈現試題的階層結構方法有很多，也各有其特色與限制。本研究以次序理論來呈現國小學童反應在數列組型測驗的概念結構，其餘的方法則不包括在本研 究的範圍內。
第二章 文獻探討
第一節 數列組型的意義
壹、組型（pattern）
組型（pattern），是指重覆出現有規則性的圖案、動作、聲音或事件； 辨識組型就是辨識呈現於感官的一個重覆性刺激（Burton, 1985）。仔細觀察在我 們的自然界中，處處都隱藏著規律的關係。舉凡晶體中原子排列的結構、四季的 輪替、花布上圖案的排列等…這些呈現規律的方式有時是以圖像，有時是以數 字，有時是以抽象的關係，甚至思維的方式存在。透過歸納這種存在於物件間規 律的關係不但能讓我們瞭解事物的結構，更能利用其規律來掌握事物將來的變 化。然而，對於這種能代表規律意思的語詞“pattern＂，國內至今仍沒有統一的 名稱來加以詮釋。 劉秋木（1989）所編製的「數學解題行為量表」主要是用來評量受試者的解 題策略，內容有：瞭解文義、分析目標、分析條件等…共十三個解題策略。其中 就包含了評量受試者是否能找出具有規則性的策略，並將此種解題策略命名為 「尋找組型」。 周淑惠（1999）在其所著的「幼兒數學新論－教材教法」中，以「型式」一 詞來作為“pattern＂的譯詞。她說明了「型式」不僅限於視覺，它可以是聽覺的、 肢體動作的、甚至是自然現象的規則變化。在數學思考的基本過程中，「型式」 包含了延伸、探索、創造三類。由於完成「序列」的問題必須察覺到前後元素間 有規律性的關係，並從原來的邏輯排列順序去延伸答案，所以「序列」也是型式 的一種。 而「胚騰」是曹亮吉（2003）對於“pattern＂的音譯。取其英文單字的諧音 並考量「胚」有簡單、原始，卻能演繹成複雜與成熟的意涵；加上「騰」有圖案、模板、式樣的意思。因此曹亮吉以「胚騰」當作代名詞，用來表達事物每次出現 的狀況、變化不但類似，而且有根源可尋。 過去台灣的課程對於“pattern＂一詞甚少著墨，但受到各國課程的影響，在 現行九年一貫課程中開始有比較多的關注。九年一貫課程數學領域課程綱要（教 育部，2004）就以「樣式」二字來代表同於“pattern＂的意涵，在數學學習的五 大主題中，明訂了和樣式相關的學習內容。例如：數與量部分的能力指標N-4-04 就提到要能理解等差數列的樣式、規則性及未知量；在代數主題中能力指標A-3-07 也強調要能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。 至於不同領域中，對於“pattern＂的中文翻譯多得不勝枚舉，諸如花樣、式 樣、模組、組型、圖樣、模式等…。儘管在國內，“pattern＂這個名詞是如此多 樣，我們依然可以發現「規則」和「可預測性」是“pattern＂的二個基本特色。 換言之，如果可以觀察到事物中存有規則，那它就會有“pattern＂，而這些規則 可以讓人去預測“pattern＂的作用。 研究者之目的在瞭解學童對於發現數列規律的表現。數列問題中，數字排列 的規則必須透過一組數字來發現其中的關係，加上不同的數列呈現時有其獨特的 「型 」，因此本研究中均統一採用劉秋木（1989）的用語－用「組型」來作為 “pattern＂的譯詞，以方便閱讀。
貳、數列組型（sequence pattern）
組型與序列（series）有很密切的關係（周淑惠，1999）。序列所關心的是事 物間的關係，以及將這些事物依邏輯排列順序的能力（Essa, 1992）。在同一序列 中，前後元素排列時具有規則性。有規則，就能夠進行預測。簡言之，序列本身 內具有組型關係的存在。所以要瞭解序列要必先要能夠辨認組型。因為組型是序 列的根本，而序列則是研究組型的很好題材。 從數學教育角度來看，數學就是一門研究組型的科學（黃敏晃，2000），而數學學習的內容是脫離不了「數」、「量」、「形」的範疇。針對這些教材的內 容，李佩玟（2005）整理了Owen（1995）的看法，將組型大致的區分為三種類別： 1.重複組型（repeating patterns）：這種組型的特點在於強調某種性質的按照一定 的週期作循環和重複，這些性質可以是節奏、顏色、形狀、大小、數字等等。 例如華爾滋的節奏「碰！恰！恰！碰！恰！恰」或是交通號誌燈的閃動「綠、 黃、紅、綠、黃、紅」，它們都是以三個元素為一個週期，並向後作重複性和 循環性的排列。諸如此類均可稱之為重複組型。 2.結構組型（structural patterns）：這種組型強調結構的存在。結構意味著必須去 瞭解物件內部組成成份的關係和性質。例如，假設A×B＝10，所謂的結構組型 即在於發現在所有可能的解集合中察覺一種現象，那就是發現當A愈大，B就愈 小；反之A愈小，B就愈大的規則。其它像加法、乘法的交換律、結合律，也都 是常見的範例。 3.增長組型（growing patterns）：在Owen（1995）的分類中，將此種組型稱為序 列（sequence）。其特色是必須從已知的元素中，按其生成的規則而衍生出下一 項的元素。由於它常伴隨著運算規則而產生數量的變化，且除了文字、圖形之 外又常常以數字的方式呈現，因此特別把這種用數字排成的序列叫作數列。例 如：等差數列、等比數列、巴斯卡三角形數、費波納齊數列。 值得注意的是，心理學上所稱的序列（series）和數學領域中所提的序列 （sequence）雖然意思雷同，但英文單字表達卻不一樣，為避免困擾，確實有加 以界定、澄清之必要。在台灣九年一貫中小學數學課程綱要中，一直使用“series＂ 代表了級數的意思（陳宜良、單維彰、洪萬生、袁媛，2005），所以本研究採 “sequence＂作為序列的譯詞，並捨棄量與形的序列，集中焦點於數字序列上， 探討學生在數字序列上的表現情形。 研究者並參考李佩玟（2005）和Owen（1995）的分類，考量重複組型若以數 字方式來呈現，如「5，5，5，5…」，元素間排列的關係可以當作是運算規則（ 0± 、
1 × 或 1÷ ）的結果。若是把重複組型當作增長組型的特例，同樣能符合Owen（1995） 對序列的定義。因此，研究者選擇了數字的重複組型與增長組型作為材料，統一 稱之為數列組型（sequence pattern），並依照其定義參酌其它相關文獻編製試題， 作為研究蒐集資料的工具。
第二節 數列組型的相關研究
對於數列組型的相關研究，以往除了有採取智力觀點的計量分析外，還有以 瞭解受試者認知成分為目的研究取向。在認知成分分析的研究中，研究方法多以 質性為主，利用晤談的方式來進行資料蒐集；但也有不少研究強調按照題目所涉 及的認知成分來設計試題，並進行量化分析 以驗證受試者的認知歷程、解題策 略及反應在試題上的特質，這類的研究皆屬於認知成分分析的領域。本節即按照 心理計量分析與認知成分分析的研究取向對於數列組型的相關研究進行探討。壹、心理計量分析的角度
早期的心理測驗，把推理能力視為智力的重要特質（林軍治，1985；黃幸美，1994；Sternberg & Gardner , 1983）。然而要進行推理思考必需對某些已知的跡象，
按照邏輯的原則，循序推導出可能的結果。因此邏輯思維的能力也就左右著智力 方面的表現。Piaget and Inhelder（陸有銓、華意蓉譯，1989）將「序列」列為邏 輯思維的重要內容。其後的學者更將序列完成問題編製成為智力和成就測驗的一 部分。當然，以數字為主的序列，同樣代表著序列完成問題的其中一種類型，於 是就廣泛地被心理計量學者編製，並著眼在分析不同群體在智力或性向測驗上的 差異。其中常見的測驗如表2-1所示。
表 2-1 常見包含數列組型試題的智力、性向測驗 測驗名稱 適用對象 內容 羅桑二氏非語言智力測驗 （黃國彥、鍾思嘉、傅粹 馨，1977） 小五至大學 包含圖形分類、數字序列、圖形 序列的推理。 比西智力量表第五次本（台 北 市 立 師 範 學 院 修 訂 ， 1991） 5 至 15 歲 分為語文推理、數量推理、抽象 ／視覺的推理、短期記憶四大領 域，共十五個分測驗。 數量推理，包括數量、數列及等 式三個測驗。 修訂加州心理成熟測驗-第 二種（路君約、馬傳鎮修 訂，1971） 小四至小六 包括空間關係、相似測驗、類推 測驗、數系測驗、算術推理測驗、 語文理解測驗、延宕回憶測驗， 共七類。 並取邏輯推理、數目推理、語文 概念、記憶四因素。數列屬於數 目推理因素，編排在算術測驗中。 智能結構基本學習能力測 驗者（毛連塭、陳龍安修 訂，1991） 幼稚園至小三 共有十個分測驗，包含：認圖單、 認圖類、認語單、評圖單、聚圖 單、認語關、認語系、記符單、 認符系、記圖單。而記符單在測 量受試者理解數列規劃的能力測 驗。 G567 學術性向測驗（吳訓 生、許天威、蕭金土，2003） 五年級至七年 級 涵蓋語文理解與數學理解。數學 理解包括：數字序列和數學推理。 教育學和心理學方面的學者為了討論不同群體在智力、成就上的表現問題， 考慮了許多背景變項，其中對於受試者的年齡和性別就作了許多的探討。在年齡 方面，Cattel（1963）將智力區分成流動智力和晶體智力，發現流動智力發展會 隨著年齡增加到30歲，之後有逐漸下降的趨勢，而晶體智力則會隨著年齡穩定發 展。簡茂發（1982）的研究也顯示國小階段中，年級愈高的兒童，其智力表現愈 好。 至於在性別的研究，Wechsler（1944）在其編製的成人智力測驗量表智力測 驗標準化樣本中，發現每一個年齡組中的女性均優於男性；Maccoby（1966）在
性向與成就測驗中、發現小學的男女生在數學能力方面並沒有明顯差異。但在小 學階段後，男生在數學能力的表現則持續增加；Kamat（1967）以修訂的比納-西 蒙量表測驗了當地的中小學生，發現男生智力普遍優於女生；張春興和陳李綢 （1997）認為男生在數學推理方面的表現優於女生的傾向；Moir and Jessel（洪蘭 譯，2000）也指出，男生的智商在十四歲和十六歲之間開始爬高，而女生的智力 發展則平穩下來，甚至有些下降。兩者最大的差異，是在數學和科學性向方面。 從以上的研究中，可以發現關於年齡、性別對於智力的關係各學者的研究結 果並不一致。姑且不論研究的結果顯示年齡、性別這二變項是否影響智力的表 現，象徵推理能力的數列組型試題通常只是包含於智力、性向測驗中的子測驗。 我們既無法用智力表現的總能力來詮釋受試者在數列組型測驗這方面的反應，也 無法在過去研究結果中，將對於「年齡、性別對於智力影響」的結論概括到對於 數列組型的表現。因此，到底受試者在年齡、性別這兩個背景變項下，對於數列 組型的解題有無差異之情形？假使有差異，那會是屬於質的，還是量的呢？此方 面的問題確實是有值得去探討之處。
貳、從認知成分分析的角度
一、解題的認知歷程 數列組型問題的發展早期來自於序列的完成測驗，而這類的試題通常出現在 心理計量中，且以文字或數字來呈現（Pellegrino, 1985）。Simon and Kotovsky （1963）首先針對 Thurston 基本心理力測驗（PMAT）中的文字序列完成測驗進 行了認知成分分析。他們對受試者解題的歷程進行研究，最後提出一個解決文字 序列問題的認知歷程模型。在這歷程中共包含了四個基本成份，分別是「關係偵 測」、「發現週期」、「完成組型描述」、「推論」。研究指出，受試者主要是 藉由各元素間是否存有「同一物」、「往前」、「往後」三個關係來發現序列的 規則。爾後，Holzman、Pellegrino and Glaser（1983）更將這四個成份的認知過程應 用到以數字為主的序列完成測驗（如圖 2-1），進行解題的認知歷程研究。 以下就舉實際的例題來簡述四個認知過程： 26 18 25 15 24 12 23 • 正確答案：21，27 1.關係偵測（relation detection）：解題的第一階段，受試者會掃描序列中二個或 多個元素所假設的生成關係。在例題中，受試者可能會掃描並先建立232425… 這數列中的關係為 1+ 的假設。 2.發現週期（discovery of periodicity）：此階段中，受試者需使用關係提供的資訊， 抽離出序列週期長度。週期長度的發現需經由檢查重複元素的間距或鄰接的元 素關係規則中斷的間距。（如11 11 12 12 13 13，重複的間距為 2，所以週期為 2； 例題中，數字每跳過一個位置，就能維持+1的規律。換言之每二個元素運算規 則就會中斷一次，所以週期是2）。每當受試者開始發現的關係不是以規律間隔 重複，那麼原先假設的規則就會被摒棄並重新尋找關係。
3.完成組型描述（completion of pattern description）：此階段，受試者會確認週期 內其它元素的關係規則，並定義它們的規律到整個數列。例題中，去除前面23 24 25…這組數字後，剩下其它的數字是12 15 18，數字間維持+3的規律。這種規律 就好像M 數列每加一項就1 +1，M 數列每加一項就2 +3。Holzman et al.（1983） 把數列的組成分別記為M1[+1(M1)]和M2[+3(M2)]。最後把此數列組型結合，完 整的描述成：[M1,+1(M1);M2,+3(M2)]。 4.推論（extrapolation）:完成序列建基於組型的描述，空格中的每個答案是獨立且 可以應用規則產生答案。例題中，第一個空格屬12 15 18的循環，因此應用+3 規則來產生21。而第二空格規則是+1，推論到循環中，就可以產生27這個答案。
圖 2-1 數字系列完成測驗之歷程圖 資料來源：出自Holzman et al. (1983:604） 發現週期 關係偵測 否 否 否 是 是 開始 確認數字關係 結束 找到週期長度 確認掌握未 知位置的週 期 應用符合的關 係完成答案 檢查答案 在週期內 位置 在規則的間隔 中關係是否重 複或中斷 在週期內是 否能確定所 有位置的關 係 是否發 現空格 相對應 的位置 完成組型描述 推論
Sternberg and Gardner（1983）利用訊息處理論的認知觀點，提出系列完成問 題的認知歷程模式。他們將認知歷程中所涉及的認知成分區分為七個項目，分別 是：編碼（encoding）、推論（inference）、映射（mapping）、應用（application）、 比較（comparison）、驗證（justification）、反應（response）。研究中以受試者 在解決「ABC D：E1或E2」之選擇性的系列問題時為例，要求受試者去進行解 題並加以觀察。在認知歷程裡的「編碼」是指將數列中的 A、B 項次的數字輸入 到工作記憶中；「推論」是指發現隱含在二元素，如 A與 B 或 B 與 C 之間存在的 關係；「映射」則是指發現組與組間的關係，也就是將A− 關係與B B− 關係相C 互作比對，以期找到兩組之間的共同關係；「應用」則是套用組間共同關係的規 則，以符合 D 項次的答案，並建構一個預定想法；「比較」就是將先前的想法與 心中理想的答案在各個屬性上作比較與配對，以期在E 與1 E 兩個選項中找出正確2 的答案；此階段中若預定想法能與任一選項作完全的配對，受試者即可直接作反 應；反之若無法作完全的配對，則會先透過驗證的動作，重新在兩個選項間選出 較佳選擇，最後再作反應。其所提認知歷程如圖2-2：
圖 2-2 系列完成測驗訊息處理歷程
資料來源：出自 Sternberg and Gardner (1983:102）
Lin and Yang（2004）以分層隨機抽樣的方式，抽取台灣地區1181個七年級生， 1105個八年級生，探討七、八年級生他們在學校未學習過的線性和二次數字組型 上的表現情形。研究中將數列組型推理測驗按照四種試題的成分編製。這四種試 題成分別代表理解（understanding）、歸納（generalizing）、符號（symbolizing）、 和檢驗（checking）的內容。 研究結果發現，在線性數列和二次數列上，有三分之一以上的學生都能夠正 確解題，而且隨著年齡增大，線性或二次數列組型的解題成功比例都上升；但找 （I為預定想法） 是 否 編碼A 編碼B 推論A→B 編碼C 推論B→C 映射（A，B）（B，C） 編碼E1 應用D→I 編碼D 編碼E2 比較（I，E1）（I，E2） 是否預備答案的 屬性都和I 符合 證明 反應
不出組型人數的比例卻沒有隨著年齡增加而有減少的跡象。青少年對於解決數列 組型問題的理解、歸納、符號化的認知成分具有一直線的階層發展關係。認知成 分中的「檢驗數列組型」並不在此直線發展的關係中，而是從「理解－歸納－符 號」的直線關係旁產生分枝的情況。研究的結果並說明了儘管大部分學生都能處 理四種成份的試題，但學生對於線性數列反應出來的認知結構圖2-3，和二次數列 反應出來的認知結構圖2-4卻呈現著不同的意義和階層關係。 圖 2-3 線性幾何數列認知成分階層圖 資料來源：出自Lin and Yang（2004: 463）
圖 2-4 二次幾何數列認知成分階層圖 資料來源：出自Lin and Yang（2004: 464）
李佩玟（2005）考量處於算術思維轉化到代數思維、及具體操作轉化到抽象 表徵之過渡時期的學生，因為他們曾經經驗過一些察覺樣式的活動，且現階段的 學習經驗也正在處理辨識組型關係的問題特徵，所以特別挑選六年級學童作為實 驗受試者，並以Sternberg and Gardner（1983）的認知歷程為基礎，建立了數列樣
理解 歸納 檢驗線性幾何數列組型 符號 理解 歸納 檢驗線性幾何數列組型 符號
式的認知歷程模式（圖2-5），並藉由操弄不同數列試題的因素，探討學生表現。 圖 2-5 六年級學童數列推理流程圖 資料來源：出自李佩玟（2005：73） 否 否 數字編碼 遞增或遞減 增減混合 有數字重複 數串內鄰近數字階差的計算 （利用＋－或×÷之運算） 階差是否 固定或為 計數數列 階差是否有循環 尋找週期 是否能找到週期 間的共同關係 發現數列樣式 套用樣式規則解題 書寫答案 將數列分成多個數串 表數字特性 表解題運作 表決策 表常態 表非常態 單位化 計算與推論 映射 否 單位化 映射
1.以對答題正確率的結果，驗證了發現數列樣式階段中「單位化」、「計算與推 論」、「映射」建立了國小學童發現數列樣式的認知歷程模式。 2.以解題紀錄與錯誤類型分析，發現國小學童在解決數列推理時，大多數受試者 均能採用鄰近或分群策略來解題，少部分的人能夠使用代數的解題策略。 3.建議六年級學童解決數列推理的數學教材或早期代數的經驗活動中，除了提供 簡單的等差數列及等比數列之組型內容，還可以納入兩個數串所組成的複合數 列及含有階差關係的二次數列，以培養學童「單位化」、「映射」的認知能力。 因為加入了這些材料的教材，能夠幫助學童在發現組型的推理過程中更為完 整、確實。 從上述的研究中可以看出，由於各學者在進行數列組型研究時著重的觀點有 所不同，因此各階段的畫分亦有所差異。本研究中作為資料蒐集的「數列組型測 驗」，為避免受試者答題猜測的因素，採填充題的方式呈現，故學童的認知歷程 不符合李佩玟（2005）、Sternberg and Gardner（1983）以選擇題的資料所分析出 來的的認知歷程，也不似Lin and Yang（2004）要求受試者最後以代數符號表示出 數列的組型的解題歷程。因此本研究主要參考Holzman et al.（1983）所提的解題 認知歷程，綜合對照其他研究者的發現，分析比較了各解題階段的對應關係並整 理成表2-2。 表 2-2 各研究者對於數列組型解題的認知歷程比較 學者 階段一 階段二 階段三 階段四 Holzman et al.（1983） 關係偵測 發現週期 完成組型描述 推論
Sternberg and Gardner
（1983） 編碼、推論 映射
應用、比較、證 明、反應
Lin and Yang（2004） 理解 歸納 檢驗、符號
雖然研究者的目的並不在建立一套數列推理解題的認知歷程模式，但瞭解學 童的認知歷程可以用來分析出作業完成時所需的認知成分，並藉由這些認知成分 設計整份測驗的試題。在Holzman et al.（1983）提出的認知歷程中，「關係偵測」 階段即在發現並理解數字間的關係，更複雜的關係尚需不斷的映射檢查才能「完 成組型描述」。至於要能夠「發現週期」涉及了分類的能力。能夠將數列分成一 個或多個字串才能成功的察覺數字間的關係，並推論成功完成解題。因此，研究 者將「分類」、「理解關係」、「映射檢查」三個認知歷程作為設計測驗的三個向度， 以進行認知歷程下不同組型試題的編製。 二、影響試題難度的認知成分 Holzman et al.（1983）的研究除了提出了解決數列組型問題的認知歷程外， 同時也把影響解決完成數列問題難度的因素分成二個向度：過程向度和知識內容 向度。過程向度指的是運用管理和規則相關的資訊。知識內容向度則和處理數字 的技巧有關。在解題中，過程向度討論的就是在記憶中處理、調和訊息的數量。 這數量的必須藉由控制數列階差的位員（placekeeper）獲知；知識內容向度代表 是使用加減乘除運算符號的技能。代表這兩個向度的因素共包含了四個成份： 1.關係類型（relation type）：意思指的是存在數列元素間的運算符號，如加、減、 乘、除的關係。數列中，各字串中的元素若為固定的數字，稱此數列為「固定 數列」。要是字串中的數字經過運算的規則，不斷在變動，這種數列稱為「移 動數列」。
2.不同運算符號的變量（magnitude of the arithmetic operation varies）：若二個數 列試題，它們的元素間分別存在+3和+13的關係，雖然它們的元素間都是存在著 加法的運算關係，但是由於變量的不同，難度就不同。
3.運算的複雜度（complexity of the operation ）：藉由增加運算符號的階層級數可 以使試題更複雜。以12 13 16 25 52為例，這是個加法關係的數列，但是每項次
列中每個元素間的差數不是相等，而是有階層的差距關係。我們可以把此數列
的型記為[M1,+N1(M1),×3(N1)]，此處的N稱為階層運算之位員（placekeeper）。
換言之，若數列的組型中出現了「位員」，代表數列中，數字的關係中還有關 係。我們稱這種有階層性關係的數列為「高階數列」；反之，數字只有一層關 係的稱為「低層數列」。
4.週期長度（The length of the period）：數列試題是由叫作字串（string）的單位 所組成。由一個字串組成的數列叫作「單一數列」，二個以上字串所組成的數 列稱為「複合數列」。若數列中的數字排列為a1 b1 a2 b2 a3 b3…，代表這數列是 由a字串和b字串組成的複合數列，此時數列的週期為2。 Holzman et al.（1983）並發展一套數列組型試題來驗證。編製試題時把運算 的「複雜的變量」和「週期長度」都控制在0到3間。同時針對大學、高能力和中 間能力的兒童進行施測。研究的結果發現，在不同的運算符號中，加減法比乘除 法簡單；運算變量大的題目較運算變量小的難；週期長度對解題的結果並無顯著 影響。運算的位員（placekeeper）對於試題難度影響最大。由於複雜的關係使得 工作時所需的記憶量也隨之變大，所以的個體在的解決數列完成的能力差異可以 歸因到工作記憶量的差異。
Albert and Held（1994）認為能完成數列問題要有二個認知需求。一是要能 認知數列的特質和規律，二是要能建立、應用和檢驗數列規律的假設。他們利用
數學符號來描述問題的型式。例如以xn = xn−1+2來表示30 32 34 36 38這數列，並
根據問題的型式，區別出如下三個影響試題難度的成分：
1.遞迴的等級（the level of recursion）：數列若為xn = xn−1，要找出第n項的值須觀
察到n−1項的數值，這時稱此數列的遞迴等級為1；同理，若數列描述為 2 1 − − + = n n n x x
的數列題型、用a 表遞迴等級為2 2、用a 表遞迴等級為3 1的數列。換言之，試題 難度為a1 >a2 >a3。 2.倍數的（multiplicative）考慮同遞迴等級的數列，若數列xn =2xn−1，n−1項前有 2以上的係數，使用b 來表示這種題型；若數列為1 xn = xn−1，n−1項前的係數為1， 則使用b 來表示這部分題型的內容。2 3.加的因子（additive factor）：在考慮項次遞迴關係後，若還有常數關係存在數 列的元素中，如數列xn = xn−1 +4，則使用c 表示這部分的內容；反之數列2 1 − = n n x x ，項次間沒有存在常數的關係，則用c 表這數列。1 利用前述的三個內容，就可以組合共3×2×2＝12種不同難度的數列試題來形 成數列組型的測驗。表2-3即為編製試題的範例： 表 2-3 數列問題架構的範例 成分 解法 試題 答案 1 1 1,b,c a xn =2xn−3 +xn−2 +xn−1 +4 1 5 9 20 43 85 172 2 2 1,b ,c a xn = xn−3 +xn−2 +xn−1 26 34 41 101 176 318 595 1 1 2,b,c a xn = xn−2 +2xn−1+2 1 4 11 28 69 168 407 1 2 2,b ,c a xn = xn−2 +xn−1+5 12 17 34 56 95 156 256 2 1 3,b,c a xn =2xn−1 3 6 12 24 48 96 192 2 2 3,b ,c a xn = xn−1 12 12 12 12 12 12 Korossy（1998）在進行有關數列問題規則應用的研究時，強調編製數列組型 試題時常常產生的一個問題，那就是受試者在給定的數列試題下可能可以推論出 超過一種的規則。在這些規則中，有些會產生相同的數列延伸導致標準的答案； 有些不同規則卻會延伸出不同的答案。如：
例一：1 3 5 7 9 11 。 使用規則一：an =an−1+2，答案為13 15 使用規則二：an =2an−1−an−2，答案同為13 15； 例二：2 2 2 4 6 10 。 使用規則一：an =an−1+an−2 +an−3 −2，答案是18 32 使用規則二： an =an−1 +an−2 −an−3 +2，得到的解答會是14 20。 數列試題若有這個使用不同規則而導致不同答案的現象，往往因為受試者所 使用的規則不是試題建置者所預期的，所以評分時被判為錯誤。研究者若想要解 決這個問題，可以採用選擇題的方式，排除這個困擾。 Threlfall（1999）則是專注在幼兒時期的線性重複組型。重複組型是指序列 中的元素中具有可辨認的重複單位和循環。例：ABCABCABC…這個序列就是一 個重複組型。在這個組型中共有3個重複單位，重複的單位內共有3個元素，所以 此數列的週期長度是3；再以ABCabABCabABCab為例，這是一個比較複雜的重複 組型，觀察它的組成一樣可以發現有3個重複單位，但重複單位內有五個元素， 所以它的週期長度是5。研究中發現，只要改變元素的某些因素，如大小、顏色、 方向等…時就會使重複組型變得複雜。Threlfall（1999）認為學習重複組型的用 處就如同是進入代數和歸納概念的墊腳石。 林世華、葉嘉惠（1999）針對446名國中二年級生，採結合認知成分分析與 心理計量方式去了解影響試題難度的成分。研究結果發現： 1.編測驗時加入不規則數列，不會影響試題難度因素的維度。 2.影響數列問題難度的因素有「是否為移動數列」、「週期長度」、「字串間是否有 造假相同的數字」。 3.試題成分間的交替作用也是影響難度的變異的來源。
綜合以上試題影響受試者表現的因素，可以歸納出表2-4： 表 2-4 影響受試者表現的因素 學者 年代 影響的因素 產生的數列種類 難度的描述 關係類型 運算符號的變量 固定數列 移動數列 固定數列容易 週期長度 單一數列 複合數列 無差異 Holzman et al. 1983 運算的複雜度 無階差數列 有階差數列 低階差數列容 易 遞迴的等級 遞迴數列（遞迴等級 0-3） 遞迴等級愈小 愈容易 倍數的 等比數列（倍數值的 變量為0） 有階差數列（倍數值 為1-3） 倍數愈小愈容 易
Albert and Held 1994
加的因子 固定數列（變量為0） 等差數列（差數值為 1-3） 差數愈小愈容 易 Korossy 1998 試題的題型 各種數列 選擇題可防止 得分誤評 Threlfall 1999 大小、方向 固定數列 數字小的簡單 是否為移動數列 固定數列 移動數列 固定數列容易 週期長度 單一數列、複合數列 單一數列容易 林世華、葉嘉惠 1999 有否相同的數字 不規則數列 不影響解題 研究者考慮先前所決定的三個認知歷程，並以九年一貫課程內容中（教育 部，2004）所出現的等比數列、等差數列的教材內容為主軸，加入階差與多個字 串的概念，延伸出「差數」和「倍數」二種數列題材。再根據影響試題表現的因 素，找出可以進行試題編製的概念屬性。在以往研究中提到會影響數組型試題難 度的因素包含了數列的週期、數字間的運算關係、運算關係的複雜度、項次的遞 迴關係以及數字本身的大小。除了數字本身的大小之外，其它的因素都和數列表
現出來的「型」有關。因此研究者打算從解題的認知歷程的向度中找出可以進行 試題編製的概念屬性。 在「分類」的認知歷程中，受試者需要能將數列區分成更小的字串，以便進 行下一階段的認知活動。數列中包含的字串愈多，試題就必須有更多的數字資訊 提供給受試者，題目也就變得更冗長。為避免這種情況，研究者只探討由 1 個和 2 個字串所組成的數列。 在「理解關係」上，Holzman et al.（1983）提到了數字的關係類型有加、減、 乘、除和相等。Albert and Held（1994）雖提到數字間也存在遞迴的關係，但考 量現今國內的課程內容，排除了「遞迴數列」這部分，在理解關係的認知歷程中 只取相同、加、減、乘、除的運算關係來討論。同時顧及到數字關係中的「加、 減」、「乘、除」是為可逆的運算，所以簡化這部分的概念屬性為「差數」、「倍 數」、「固定」三個。 在「映射檢驗」的部分，受試者須對數列中已建立的關係假設進行檢驗。換 言之，當受試者使用較初步的關係假設進行檢驗，發現無法映射出符合一般化的 答案時，他才有可能重新去尋求更高階的數字關係。因此要瞭解受試者是否有執 行檢驗映射的認知成分，可以設計出不同階差的試題來考驗受試者的表現。然而 數列的階差愈高，數列組型的規律就愈不容易被察覺，這樣的試題會導至試題鑑 別率不高的情況。本研究的目的並不在瞭解學童可以察覺階差為何的數列，相反 的，只是想瞭解學童在有階差和沒階差的數列組型表現，因此只取概念屬性為無 階差和一級階差試題作為研究之用。 綜合上述，研究者以三個認知歷程架構出「單一數列」、「複合數列」、「固 定數列」、「差距數列」、「倍數數列」、「無階差數列」、「階差數列」，共 七個概念屬性來進行試題的編製。 三、數列組型的解題表現
他們發現兩種學生在組型的工作上較容易成功。一種是「想到一個可以使用的組 型，然後一直用下去」；另一種是「在使用組型時非常彈性，而且能夠發現新的 組型」。 Stacey（1989）則把焦點放在線性組型上，利用呈現排列成梯狀或樹狀延伸 的圖畫來讓學生探討數列問題。他們被問題目中第 20 項或 1000 項的數字為何？ 或是耶誕樹上燈的數目。這種記為 an+b 的數列稱之為線性數列。他發現對於 8 到 13 歲的學生這是一種挑戰。等差特質是學生主要可以發現n−1項到 n 項數字規 則的方法。然而，研究中也發現學生用了錯誤的比例關係在試圖歸納。他們把第 n 個倍數差當作第 n 項的數字。他也指出學生在項次少時的使用的方法和項次多 時的使用的方法是不同的。
MacGregor and Stacey（1993）針對2000個12到15歲的學童以紙筆測驗和晤談 的方式進行規律概念的研究，發現可以從幾個步驟來檢視學童的想法： 1.能分辨表格中的重要訊息資料。 2.洞悉個別的遞迴規律或連結兩個遞迴規律，以發現數量之間的關係。 3.檢驗表格中的數據是否都符合此規律。 4.能以有效的方法清楚表達數量關係，接著才能以有意義的算式導出數量關係並 進而歸納。
Hargreaves, Shorrocks-Taylor and Threllfall（1998）利用三種數列組型，來了 解7到11歲的315位學童在處理數列組型問題時的認知過程。這三種數列分別是： 1.等差組型（線性數列）。如：2 5 8 11 14；
2.二次組型（平方數列）。如：2 4 7 11 16； 3.費波納齊（Fibonacci）組型。如：2 3 5 8 13。
結果發現，學生在解決單一數列時常使用的策略有： 1.尋求差距（1ooking for differences）。
3.尋求差數間的差距（looking for differences between differences）。
4.看到數字的特性，通常是奇數或是偶數（looking at the nature of the numbers, usually odd and even）。
5.尋求乘法表（looking for multiplication tables）。
6.結合項次去產生其它項次（combining terms to make other terms）。
根據這項研究結果的統計，顯現在三種數列中等差數列是相對容易的組型， 因此學生受到尋求差距策略容易成功的影響，產生功能固著的現象，在應付其它 不同組型時，會一直採取同一解題策略。因此，在六種策略中學生最常用的策略 也是尋求差距。在二次數列上，有少部分的人能使用尋求差數間的差距，且年齡 愈高使用的比例愈高，所以學生在這種組型是最具發展潛能的。值得注意的地方 是，在十歲這個階段的學生在面對二次數列組型及費波納齊數列組型上，有常使 用尋求差數的特性的現象，可見此時是二次數列組型的重要發展階段。
Orton and Orton（1999）將數列組型活動視為通往代數學習的過程，因此研 究10至13歲的學生在線性和二次數列上的表現，根據學生處理這類問題的能力分 成下列階段： 1.階段0：沒有進展。 2.階段1：可以求出下一項。 3.階段2：可以求出下一項及第十項。 4.階段3：可以求出下一項、第十項及第十五項。 5.階段4：可以求出下一項 ; 第十項; 第十五項及第n項。其中，第四階段又可細 分成三個子階段： 4a：正確的口語描述。 4b：企圖作代數表徵。 4c：正確的代數表徵，但並非是最好的。
型式，但不會解釋；大多數學生利用區別項與項之間關係的方式來描述數型規 則。一般而言，學生口頭解釋的能力比寫書面解釋的能力好。學生在不同問題上 能到達階段四的比例都不同，可見情境的數學結構應會影響學生的歸納的能力。 而處理二次數列組型問題對學生而言，明顯比處理線性數組型問題還困難。在教 材的地位上，他們認為數列組型的活動雖然無法解決所有代數學習上的問題，但 對某些學生即將進入代數學習的領域，數列組型的活動至少可提供一個較有意 義，且較好的方法。 Bishop（2000）認為應從具體、遞迴到方程式中發展序列。解決序列問題需 要推理策略，其涉及的學習活動的成分有歸納和符號化，且試題的結構有線性和 非線性之分。因此他以23名七、八年級的學生為訪談研究對象，探討學生在線性 幾何規律問題方面的解題策略，發現學生的解題表現共有四個解題層次： 1.層次一：學生利用具體操作和點數計算，將具體的樣式規律模式化，此時還不 能察覺序列中的數量關係，只能在簡單的題目中使用符號。 2.層次二：學生能察覺數量之間似乎有某種關係，但卻錯誤地用比例導出此關係。 3.層次三：學生可以聚焦在序列中的遞迴關係，在察覺前、後項時能發現規律與 算式關係。 4.層次四：學生能用符號解釋數量關係，能發現數列中該數在數列中的位置有對 應關係，並進一步將數量關係以代數形式來呈現。 顏杏宜（2002）利用教學訪談方式，蒐集 6 位國小二年級的學生在經過計算 機情境進行累加累減的活動及察覺整數變化規律後進行實際解題時的資料。這些 統計後的資料顯示計算機有助察覺數字變化的規律。其中，學生容易察覺累十規 律，但累九與合十的規律需要由他人引導。學習過累十規律的受試者在實際解題 上，其解題方法明顯和沒學習過的不同。 洪明賢（2003）在探討國中生2516人對不同結構的數形規律之察覺情形，其 中對於數列組型的研究主要包含了0至3階差的等差數列和等比數列，研究結果顯
示： 1.九成以上國中生可以察覺自然數列、單調數列、奇數數列、等差數列中數字的 關係。 2.等差數列中不論數字是遞增或是遞減對學生而言是屬於同難度的。 3.同階差的數列，乘除的問題比加減問題還要難。 4.等比數列比等差數列難，國中生的無法察覺等比數列的比例約二成。 5.複合數列的表現不如單一數列。 6.階差為3的數列解題成功率很低。 李美蓮（2003）探討一位國二學生在一階、二階等差數列的表現情形。在沒 有進行教學前，學生能一階等差上的數字具有差距的關係，但卻不能將各項差距 關係作歸納，在結合圖形序列與數列後，學生就能夠順利的進行歸納各項的關 係。在二階數列表現上，不論是數字或幾何的形式，教學介入前，學生都沒有辦 法歸納。在教學介入後，嘗試以列表方式去觀察數字變化並聯結圖形，則學生可 以進行歸納。 陳亮君（2005）研發電腦化的測驗及對應於此測驗的學習輔具，研究九年一 貫課程六、七年級的學生，共 632 人在數列組型察覺能力的表現。研究結果發現， 七年級的學生其表現優於六年級；在性別上，男女生無顯著差異；在資優班的學 生表現優於一般生；而實驗組在實施電腦輔具的教學後，發現組型能力的表現優 於控制組。 翁慈青（2007）的研究主要在探討國小五年級學童在數形規律問題的自然想 法與解題策略。透過教學佈題引導，幫助學童察覺規律的特性，進而發展描述、 延伸與歸納出規律探究能力。並瞭解研究對象在教學後，其規律探究能力的改變 情形： 一、教學前，從學童自發性的解題想法觀之 1.忽略數列中的數量關係或是只注意數列中的部分關係，以致於錯誤的察覺其規
律。 2.察覺等比數量關係的數列難度高於等差數量關係的數列。 3.缺乏通則化的規律探究能力。 三、教學後，從學童解題表現的改變情形觀之 1.規律探究能力的提升。 2.在通則化等比數列上有數學概念不足之限制。 根據以上各研究者的研究結果，可以整理出表2-5。 表 2-5 各學者對數列組型解題表現的研究比較表 研究者 研究對象 數列組型 研究結果
Lee and Wheeler
（1987） 15-16歲 線性、二次 策略的使用影響解題 Stacey（1989） 8-13歲 線性 運算能力影響解題 MacGregor and Stacey（1993） 12-15歲 線性、二次、 遞迴 要從關鍵問題來瞭解學生的表 現 Hargreaves et al. （1998） 7-11歲 等差、二次、 費波納齊 學生解題策略多樣，且有固著 現象 10歲可能是二次數列的發展關 鍵
Orton and Orton
（1999） 10-13歲 線性、二次、 遞迴 組型概念的發展是有層次的 Bishop（2000） 13-14歲 線性、非線性 解題有四層次 顏杏宜（2002） 8歲 累十 利用計算器教學有助學生解題 洪明賢（2003） 12-15歲 階差為0-3的 等差、等比 不同組型影響試題難度 李美蓮（2003） 13歲 一階、二階等差 數列表徵的形式會影響解題 陳亮君（2005） 11-12歲 線性、二次 電腦輔助教學有助學生解題 翁慈青（2007） 10歲 等比、等差 教學前後學生表現不同 從上述的研究中，我們可以發現不管在國外還是國內，從幼稚園到高中階 段，一直都有許多人企圖去瞭解學生的發現組型表現情形。這些研究的結果有的 指出學生解題表現的策略是多樣，有些說明解題表現具有層次性，有些顯示教學
在解題表現上有所助益，更有表達了某些時期是發展特定組型的關鍵期。在進行 研究時，受試者所使用策略可以藉由試題的得分加上半結構性的訪談窺知，然而 以往必須經由晤談的方式才能得知的認知層次性，在實務研究上卻常常顯得曠日 費時。應用次序理論分析的優點，在於以過去認知成分研究的基礎來發展試題， 並結合計量的方式獲得這些試題的階層結構，具有經濟且較質性研究更嚴謹的特 點。因此，本研究採用次序理論來分析瞭解學童在數列組型表現的階層結構關係。
第三節 次序理論及其相關研究
壹、次序理論
Bart and Krus（1973）所提出的次序理論可用於二元計分（dichotomous）的 試題，研究者可以根據作答資料所呈現出來的列聯表，計算出試題的先備 （precondition）條件或彼此間次序性的關係。Bart and Krus（1973）的次序理論 中，以二元計分的試題i 和試題 j 為例，將答對（以1表示）和答錯（以0表示）人 數作出列聯表，如表2-6所示（林原宏，2005）。 表 2-6 二元計分次序理論的試題i 和試題 j 作答人數之列聯表 試題 j 總和 1 0 1 n11 n10 n1• 試題i 0 n01 n00 n0• 總和 n•1 n•0 n=n11+n10 +n01+n00 列聯表中的資料顯示出受試者對於試題 i 和試題 j 的反應組合共有（1,1）、 （1,0）、（0,1）、（0,0）四種。其中，答錯i 題卻答對 j 題的反應並不符合「試 題i為試題j的先備條件」。換言之，若我們希望試題i成為試題j的先備絛件， 則n01
所代表的數值是愈小愈好。Bart and Krus（1973）因此定義了衡量係數（n /01 n）， 此係數的範圍是0≤（n01/n）≤1，並以ε（0<ε <1）當作閾值（threshold）來決定試 題 i 和試題 j 是否有次序關係（林原宏、黃國榮，2005）。 1.若（n /01 n）<ε ，表示試題 i 為試題 j 的先備條件，即試題i與試題j有次序關係， 此時以rij =1表示，繪圖時以箭頭由 i 指向 j （i→ ）表示之。 j 2.若（n /01 n）≥ε，表示試題i不是試題j的先備條件，即試題 i 與試題 j 沒有次序關 係，此時以rij =0表示，繪圖時i 沒有指向 j 。
一般而言，ε 大小的選定由研究者視需要而訂，但Bart and Krus（1973）建
議取ε =.2作為容忍水準的上限。
然而Bart and Krus（1973）所提出的次序理論卻受限於只能對二元計分的資 料進行分析，因此林原宏、Bart和黃國榮（2006）以二元計分模式的次序理論為 基礎，將其擴展為廣義多元計分的次序理論模式。其分析步驟為： 1. 假 設 試 題 i 和 試 題 j 的 計 分 點 數 分 別 為C 和i C ， 且 以j k =0,1,L,(Ci −1)和 ) 1 ( , , 1 , 0 − = Cj l L 表示，且受試總人數表示如表2-7所示，其中
∑ ∑
− = − = = 1 0 1 0 i j C k C l kl n n 。 表 2-7 廣義多元計分次序理論的試題i和試題j的答題人數之列聯表 試題 j 1 − j C Cj −2 K 1 0 總和 1 − i C n(Ci−1)(Cj−1) n(Ci−1)(Cj−2) K n(Ci−1)1 n(Ci−1)0 n(Ci− )1• 2 − i C n(Ci−2)(Cj−1) n(Ci−2)(Cj−2) K n(Ci−2)1 n(Ci−2)0 n(Ci− )2• M M M K M M M 1 n1(Cj−1) n1(Cj−2) K n11 n10 n1• 試題i 0 n0(Cj−1) n0(Cj−2) K n01 n00 n0• 總和 n•(Cj−1) n•(Cj−2) K n•1 n•0 n2.無法滿足「試題 i 指向試題 j 」的次數可記為： 1 1 , ' − < − ∀ =
∑∑
j i k l kl C l C k n n and 0≤k ≤(Ci −1)，0≤l ≤(Cj −1) 3.定義「試題 i 指向試題 j 」的衡量係數為n' n，n' n的範圍是0≤(n' n)≤1，n' n 若愈小，表示試題i 可能為試題 j 的先備條件。 4.根據閾值ε (0<ε <1)決定試題間的次序關係，若(n' n)<ε，表示試題i 為試題 j 的先備條件，即試題 i 與試題 j 有次序關係，此時以rij =1表示，以圖繪i → 表j 示；若(n' n)≥ε，表示試題i 不是試題的 j 先備條件，即試題i 與試題 j 沒有次序 關係，此時以rij =0表示，圖繪中i 沒有指向 j 。 林原宏、Bart、黃國榮（2006）把試題i 和試題 j 的計分點數相等(Ci =Cj)的 情形稱之為為齊一型計分，而在Ci =Cj =2時，即為常見的二元計分試題。故 Bart and Krus（1973）所定義的二元計分就是林原宏（2007）所提出廣義多元計分之 特例。貳、相關研究
在Bart and Krus（1973）提出次序理論後，相關的應用研究主要在探討認知 學習的發展情形。例如：Bart and Airasian（1974）以次序理論分析具體運思期和 形式運思期的次序性關係，研究結果支持了具體運思期是形式運思期的前置階 段；Bart, Frey and Baxter（1979）利用5個物理和數學的作業題目來分析不同受試 群，並呈現出不同群在作業中所反應出來的次序階層結構；Bart and Mertens （1979）應用次序理論去探究皮亞傑形式運思期中基模的階層結構。研究發現同 一基模中，有些試題是具有等價關係的。雖然反應出來的組型不同，但可看出此 時期基模階層結構之特徵；林原宏、游森期（2006）更延續次序理論的特點，應 用於柳橙汁濃度測驗的解題規則之階層結構分析。
由於次序理論具有能夠呈現有次序、有結構事物的特點，因此被不少實證性 研究所採用。以數學學習心理的角度來看，學生的認知不但有階段性而且具有結 構性。因此，研究者欲以次序理論應用在數列組型試題上，藉由受試者的反應， 進行概念階層結構的分析。
第三章 研究方法和步驟
本研究以國小五、六年級的學生為研究對象，以自編之數列組型測驗來探討 學生對於數列組型題目的反應情形。本章將依次說明研究架構、研究樣本、研究 工具、研究程序、資料處理等五個部份。第一節 研究架構
本研究根據研究之目的，以及在進行文獻探討之後提出了研究的架構，其架 構圖如圖3-1所示。 圖 3-1 研究架構 年級 五年級 六年級 數列組型測驗 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ × ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 高階 低階 倍數 差距 固定 複合 單一 資料統計分析 性別 女生 男生 解題表現 次序理論之階層結構分析 能力組別 低分組 中分組 高分組第二節 研究樣本
本研究之研究對象為國小高年級學童，限於人力、時間等因素限制，樣本選 取的方式採立意取樣。受試者取自台中市七所學校，台中縣十所學校，每間學校 五年級與六年級各取一班，共三十四個班級進行施測。剔除資料不全或明顯亂答 的樣本後，所得的有效樣本人數為1063人。其人數來源如表3-1： 表 3-1 樣本人數來源 樣本人數 五年級 六年級 小計 地區 學校代碼 女生 男生 女生 男生 A國小 16 16 16 18 66 B國小 15 18 15 18 66 C國小 12 19 12 11 54 D國小 21 11 21 13 66 E國小 16 15 13 15 59 F國小 15 17 18 16 66 G國小 14 18 16 15 63 H國小 15 16 17 16 64 I國小 14 15 16 15 60 台中縣 J國小 14 13 15 18 60 小計 152 158 159 155 624 K國小 15 16 17 18 66 L國小 17 15 12 15 59 M國小 15 17 13 19 64 N國小 17 18 16 20 71 O國小 13 15 13 19 60 P國小 16 18 15 16 65 台中市 Q國小 13 15 12 14 54 小計 106 114 98 121 439 總計 258 272 257 276 1063在學生基本資料分布狀況，以年齡、性別、數列組型測驗三項資料，作為本 研究學生背景主要的依據，各項資料的分佈情形如表3-2所示： （一）年級組別：五年級530人（49.9％），六年級533人（50.1％） （二）性別：男生548人（50.6％），女生515人（48.4％）。 （三）能力組別：按所有受試者對於數列組型測驗的總分由高至低排序，分別求 出前33%、後33%觀察的分數，並依臨界分數將學生在數列組型測驗的得 分區分為低、中、高三組。「低分組」387人（36.4％），「中分組」160 人（15.1％），「高分組」516人（48.5%）。 表 3-2 基本資料統計 變項名稱 組別 次數 百分比% 五年級 530 49.9 年級組別 六年級 533 50.1 女 515 50.6 性別 男 548 48.4 低分組 387 36.4 中分組 160 15.1 能力組別 高分組 516 48.5
