研究工具

本研究之主要研究工具包括分析軟體與自編之數列組型測驗。分析軟體中使 用了林原宏、Bart、黃國榮（2006）所研發的廣義多元計分次序理論軟體，用以 繪製受試者反應的概念階層結構；而統計套裝軟體 SPSS 12.0 則用以進行獨立樣 本 t 檢定、單因子變異數分析、多變量的統計分析。本節茲將研究工具中數列組 型測驗的部分加以說明。

壹、測驗編製的依據

研究者結合了數列組型教材與研究中最常討論的「固定數列」、「線性數列」，

並依據 Hargreaves et al.（1998）指出 7 至 11 歲的學童可以成功發現數列組型的 說法，考慮線性和二次數列為內容，並在分析九年一貫課程的教材後，加入等比 數列的題材, 最後參酌 Holzman et al.（1983）研究中提到數字系列測驗題目所涉 及的認知成份來發展試題，並據此了解個體對於「數列組型」的答題情形。本測 驗共計 10 題，採二元計分方式計分，滿分為 10 分。為避免猜測的效應，試題以 填充題的方式呈現。受試者要能夠順利解題，必須從給定的數列中推論其數字間 可能隱藏的關係，然後利用這個關係，發展出正確的數字。

貳、試題編製的步驟

數列組型的試題包含了「組型」與「數字」兩個層面。研究者先參考 Holzman et al.（1983）對數列完成問題所提出的認知歷程，分析在線性數列和二次數列 上包含的「分類」、「理解關係」、「檢查映射」三個認知成份。並參考各研究中 提到會影響數列組型題目難度的因素，架構出七個數列組型的概念屬性，以完 成各類「組型」的設計。最後在各種不同的「組型」下，置入適當的數字以完 成整份測驗的編製。以下即為測驗編製的步驟：

一、決定字串數目：Holzman et al.（1983）指出, 數列作業是由字串（string）所 組成，本研究的測驗題目選取一個字串以及兩個字串兩類，分別發展出「單 一數列」和「複合數列」兩個概念屬性。單一數列是由一個字串組成，其形 如：

a

1

a

2

a

3L；複合數列由二個字串組成，它的結構如：

a

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3L 當數列是由單一字串所組成，其週期即為 1；當數列是由兩字串所組成時，

其週期為 2。數列由愈多字串組成，它的週期長度就愈長。辨認週期長度同 時包含了排序（sorting）與組合（grouping）兩個並行的程序，它所涉及分 類（classification）的能力，是數學推理的基礎（Burton, 1985）。在本研究中

若數列是單一字串

M 組成，其組型表示法為

₁ [

M ；若為二個字串

₁]

M 、

₁

M 所

₂ 組成，其組型表示為[

M

₁,

M

₂]。

二、決定運算規則：在數列中，同一字串的數字間隱含著變化關係。這些變化關 係包含了加、減、乘、除以及沒有變化的運算規則。由於數列題目中並沒要 求由左而右來解題，因此以數列：2468( )為例，受試者可用等加 2 的方式 求出最後一項為 8+2=10；也可以視數列為由右到左等減的結果，因而採

8 2 )

( − = 的思考方式求出答案。在運算規則中，乘法和除法、加法和減法是 可逆的，故研究中把運算關係分成數字不變的「固定」關係、結合加減運算 的「差距」關係和結合乘除運算的「倍數」關係。研究者的目的在於瞭解受 試者對於數字間運算規則的辨識，這部分涉及了數字間「理解關係」的認知 能力。為表示數列組型中各元素的運算規則，研究者將運算符號放置於組型 中字串的前面。如：一個字串

M 數字存在加法關係的單一數列

₁ 2468…，其 組型表示法為[+(2)]；

M 字串為減法關係，

₁

M 字串為除法關係的複合數列

₂

L 6 7 12 10 24

13 ，其組型表示法為[−(3),÷(2)]。

三、決定關係的階層：Holzman et al.（1983）研究發現了規則的複雜度會影響數 列測驗題目的難度。規則的複雜程度代表了數字的關係內還有關係。以數列 3 5 8 12 17 為例，可以發現兩兩數字間的差數依序為：2, 3, 4, 5。而兩個差數 之間又存在每次遞增的關係（＋1）。換言之，此時在數字間的「關係」中尚 存有「關係」。研究者定義這類關係較複雜的數列，其試題的概念屬性為「高 階」；反之，若題目如：3691215L從數列中直接可看出關係者（每項都差 3），概念屬性定義為「低階」。要發現數列的階層關係需透過映射簡單的「差 數」、「倍數」關係去檢查各項之間的變化。受試者若只是把兩數間找到的「差

數」或「倍數」關係直接套用在「答案前一項」和「答案」的關係，那他只 能成功解決「低階」的等差或等比問題；反之，若受試者把初級的關係逐項 檢查推論，會發現低階的關係並不能把數列規則一般化，那他才有可能去調 適自己的認知結構，繼而發現高階數列的規則。因此，這裡所牽涉的認知能 力即為「映射檢查」。在本研究中，只取階差為一的試題來代表高階的概念 屬性。存在階層關係的組型，對數列中的每個元素其每次變化的量都在改 變，因此在組型的表示法必須另設一個變數 n 來表示階差的變化量。如單一 數列235812L，其每項差數為1234L，第一項的差數為 1，往後差數的項 次中，又每次變化量又多 1，這種組型就表示為[+(1+1

n

)]；若以複合數列

L 17 8 11 5 7 3 5

2 為例，我們可以看出字串

M （

₁ 235812L）首項的差數為 1，階差為 1，字串

M （

₂ 571117L）首項差數為 2，的階差為 2，此時數列 組型表示法為[+(1+1

n

),+(2+2

n

)]。

四、決定數字的變化量：在 Holzman et al.（1983）也提到數列中數值的大小會影 響受試者解決數列題目的答題表現。為減少計算能力影響答題表現，所有的 運算關係（+、−、×、÷）的變量都控制在（ 3± 之間。 ）

五、決定數列的首項以控制數字大小：試題經過先前的編製步驟，數列試題已能 呈現其代表的組型，最後再配合運算關係的變量，給予各個組型一個適當的 起始數字，讓數列中的每一個數值大小皆控制在四位數以內，以期能夠符合 教育部在九年一貫數學課程分年細目中4− n−02的說明，「熟練加、減、乘、

除直式計算，是四年級的重要教學目標。原則上位數不應設限，但也不要過 於繁瑣。」

從上述數列組型測驗編製步驟可知，本測驗試題的認知歷程包含了「分類」、

「理解關係」、「映射檢查」三個向度。三個向度下分別建構出「單一數列」、「複 合數列」，「固定」、「差距」、「倍數」，「低階」、「高階」共七個試題的概念屬性，

再按照這些不同的概念屬性完成了各種數列組型，填上適合的數字以完成初次測

表 3-4 試題難度

項目

P P

H

P

_L （

P

_H +

P

_L）/2

1 0.895 1.000 0.705 0.853 2 0.263 0.527 0.045 0.286 3 0.664 0.964 0.159 0.562 4 0.888 1.000 0.727 0.864 5 0.507 0.927 0.045 0.486 6 0.763 0.891 0.477 0.684 7 0.921 1.000 0.773 0.887 8 0.454 0.836 0.023 0.430 9 0.480 0.909 0.023 0.466 10 0.487 0.909 0.045 0.477

二、鑑別度

試題的鑑別度（discrimination）指的是能夠區別高低能力學習者作用的程度，

若高分組的答對率表示為

P ，低分組之答對率表示為

_H PL，以d =P_H −P_L的數值表 示該試題的鑑別指數（item discrimination index）。另外，使用點二系列相關係數 rxy（point biserial correlation）來考驗試題得分與測驗總分的同質性，或以t檢定 的方式來考驗高、低分組在試題表現上的差異性都能呈現鑑別度的概念。本測驗 中以相關係數來作為監測試題鑑別度的依據，而試題的分析如表3-5所示。

表 3-5 試題鑑別度

題號 d rxy

t 值

1 0.295 0.464^∗∗∗ 4.264^∗∗∗ 2 0.482 0.481^∗∗∗ 6.424^∗∗∗ 3 0.805 0.675^∗∗∗ 13.121^∗∗∗ 4 0.273 0.413^∗∗∗ 4.016^∗∗∗ 5 0.882 0.724^∗∗∗ 18.116^∗∗∗ 6 0.414 0.489^∗∗∗ 4.744^∗∗∗ 7 0.227 0.391^∗∗∗ 3.556^∗∗∗ 8 0.813 0.657^∗∗∗ 14.730^∗∗∗ 9 0.886 0.752^∗∗∗ 19.591^∗∗∗ 10 0.864 0.734^∗∗∗ 16.553^∗∗∗

001

<.

∗

∗

∗ p

三、信度

本測驗的信度採用

Cronbach' s α

係數，作為本測驗卷內部一致性之估計方 法。預試結果得到整份測驗的α值為.793，若以整份測驗共10道試題的數量來看，

是為信度尚可的測驗。

為進行測驗試題品質的控制，根據上述有關試題項目的描述可以整理出表 3-6。

表 3-6 數列組型測驗項目分析

題號 刪除此題後的

α

係數 備註 題號 刪除此題後的

α

係數 備註

1 0.786 保留 6 0.788 保留

2 0.791 修改 7 0.791 保留

3 0.763 保留 8 0.767 保留

4 0.791 保留 9 0.750 保留

5 0.755 保留 10 0.753 保留

總測驗的α係數=.793

綜合以上述表3-4、表3-5、表3-6，可以看出試題2的難度指數為0.286，對受 試者而言此題目是屬於比較困難的題目。而試題7的難度指數為0.684，則是屬於 比較容易的試題。再從鑑別度來看，試題7的鑑別度數值為0.391，是鑑別度比較 低的試題。故測驗第2、7題的編製是有值得探討的空間。最後，信度分析中的α 係數顯示出，刪除任何一題目皆不能增加整份測驗的信度，加上研究者考量測驗 中的每一題都代表著不同的數列組型，為了能夠完整呈現研究中樣本的知識結 構，所以決定不把任何題目作刪除，直接考慮修改第2和第7題可行性。對照表3-3，

試題編製的設計，試題2的組型是[−(2+3

n

)]。為降低試題的難度，研究者從文獻 探討中找出可以不改變試題的架構且能夠降低試題難度的因素，其中以改變「數 字的變量」最為可行。因此將原試題的組型改成[−(2+2

n

)]，並重新決定數列題 目為363430 2416( )。至於第7題，其組型為[(0)]，代表的題目是固定數列

) ( 5 5 5 5

5 。此種組型的數列並無法藉由其它因素來增加試題的難度，故在正式 的測驗中將予以保留。

四、效度

（一）內容效度

在內容效度方面， Holzman et al.（1983）認為解決不同數列問題取決於「過 程向度」和「知識內容向度」。研究者以這兩個向度下的因素製成雙向細目表3-7，

以作為考驗內容效度的依據。

表 3-7 考驗試題效度的雙向細目表

知識內容向度

過程向度 固定 加、減 乘、除

無階差（位員=0） 4,7 1,6 3,5

有階差（位員=1,2,3） 2,10 8,9

（二）專家效度

在測驗編製的過程，研究者保持與一位台中教育大學數學教育所教授、四位 台中縣國小從事數學教學實務工作、一位高雄市高中數學教師，其服務年資都十 年以上，共同討論試題編製是否得宜，並提供有關測驗工具的修改建議，以期能 使本研究工具具有良好的專家效度。

肆、測驗的實施及計分方式

本測驗以團體方式實施，測驗時間訂為 20 分鐘。測驗主要目的在藉由國小 高年級生對於數列組型試題的解題反應，進行學生在測驗上與數列組型問題概念 上的分析。

在數列組型測驗的比較分析上，採用獨立樣本 t 檢定和變異數分析來比較不 同背景學生在數列組型測驗問題的表現差異。其計分方式以試題為單位，受試者 若能反應出正確的答案，便得 1 分，反之則為 0 分，滿分為 10 分。

在概念分析上，數列組型問題涉及「分類」、「理解關係」、「映射檢查」三個

nl

在文檔中 國小高年級學生在數列組型問題之表現分析及概念階層結構探討 (頁 46-55)