數列組型的意義

壹、組型（pattern）

組型（pattern），是指重覆出現有規則性的圖案、動作、聲音或事件；

辨識組型就是辨識呈現於感官的一個重覆性刺激（Burton, 1985）。仔細觀察在我 們的自然界中，處處都隱藏著規律的關係。舉凡晶體中原子排列的結構、四季的 輪替、花布上圖案的排列等…這些呈現規律的方式有時是以圖像，有時是以數 字，有時是以抽象的關係，甚至思維的方式存在。透過歸納這種存在於物件間規 律的關係不但能讓我們瞭解事物的結構，更能利用其規律來掌握事物將來的變 化。然而，對於這種能代表規律意思的語詞“pattern＂，國內至今仍沒有統一的 名稱來加以詮釋。

劉秋木（1989）所編製的「數學解題行為量表」主要是用來評量受試者的解 題策略，內容有：瞭解文義、分析目標、分析條件等…共十三個解題策略。其中 就包含了評量受試者是否能找出具有規則性的策略，並將此種解題策略命名為

「尋找組型」。

周淑惠（1999）在其所著的「幼兒數學新論－教材教法」中，以「型式」一 詞來作為“pattern＂的譯詞。她說明了「型式」不僅限於視覺，它可以是聽覺的、

肢體動作的、甚至是自然現象的規則變化。在數學思考的基本過程中，「型式」

包含了延伸、探索、創造三類。由於完成「序列」的問題必須察覺到前後元素間 有規律性的關係，並從原來的邏輯排列順序去延伸答案，所以「序列」也是型式 的一種。

而「胚騰」是曹亮吉（2003）對於“pattern＂的音譯。取其英文單字的諧音 並考量「胚」有簡單、原始，卻能演繹成複雜與成熟的意涵；加上「騰」有圖案、

模板、式樣的意思。因此曹亮吉以「胚騰」當作代名詞，用來表達事物每次出現 的狀況、變化不但類似，而且有根源可尋。

過去台灣的課程對於“pattern＂一詞甚少著墨，但受到各國課程的影響，在 現行九年一貫課程中開始有比較多的關注。九年一貫課程數學領域課程綱要（教 育部，2004）就以「樣式」二字來代表同於“pattern＂的意涵，在數學學習的五 大主題中，明訂了和樣式相關的學習內容。例如：數與量部分的能力指標N-4-04 就提到要能理解等差數列的樣式、規則性及未知量；在代數主題中能力指標A-3-07 也強調要能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。

至於不同領域中，對於“pattern＂的中文翻譯多得不勝枚舉，諸如花樣、式 樣、模組、組型、圖樣、模式等…。儘管在國內，“pattern＂這個名詞是如此多 樣，我們依然可以發現「規則」和「可預測性」是“pattern＂的二個基本特色。

換言之，如果可以觀察到事物中存有規則，那它就會有“pattern＂，而這些規則 可以讓人去預測“pattern＂的作用。

研究者之目的在瞭解學童對於發現數列規律的表現。數列問題中，數字排列 的規則必須透過一組數字來發現其中的關係，加上不同的數列呈現時有其獨特的

「型 」，因此本研究中均統一採用劉秋木（1989）的用語－用「組型」來作為

“pattern＂的譯詞，以方便閱讀。

貳、數列組型（sequence pattern）

組型與序列（series）有很密切的關係（周淑惠，1999）。序列所關心的是事 物間的關係，以及將這些事物依邏輯排列順序的能力（Essa, 1992）。在同一序列 中，前後元素排列時具有規則性。有規則，就能夠進行預測。簡言之，序列本身 內具有組型關係的存在。所以要瞭解序列要必先要能夠辨認組型。因為組型是序 列的根本，而序列則是研究組型的很好題材。

從數學教育角度來看，數學就是一門研究組型的科學（黃敏晃，2000），而

數學學習的內容是脫離不了「數」、「量」、「形」的範疇。針對這些教材的內 容，李佩玟（2005）整理了Owen（1995）的看法，將組型大致的區分為三種類別：

1.重複組型（repeating patterns）：這種組型的特點在於強調某種性質的按照一定 的週期作循環和重複，這些性質可以是節奏、顏色、形狀、大小、數字等等。

例如華爾滋的節奏「碰！恰！恰！碰！恰！恰」或是交通號誌燈的閃動「綠、

黃、紅、綠、黃、紅」，它們都是以三個元素為一個週期，並向後作重複性和 循環性的排列。諸如此類均可稱之為重複組型。

2.結構組型（structural patterns）：這種組型強調結構的存在。結構意味著必須去 瞭解物件內部組成成份的關係和性質。例如，假設A×B＝10，所謂的結構組型 即在於發現在所有可能的解集合中察覺一種現象，那就是發現當A愈大，B就愈 小；反之A愈小，B就愈大的規則。其它像加法、乘法的交換律、結合律，也都 是常見的範例。

3.增長組型（growing patterns）：在Owen（1995）的分類中，將此種組型稱為序 列（sequence）。其特色是必須從已知的元素中，按其生成的規則而衍生出下一 項的元素。由於它常伴隨著運算規則而產生數量的變化，且除了文字、圖形之 外又常常以數字的方式呈現，因此特別把這種用數字排成的序列叫作數列。例 如：等差數列、等比數列、巴斯卡三角形數、費波納齊數列。

值得注意的是，心理學上所稱的序列（series）和數學領域中所提的序列

（sequence）雖然意思雷同，但英文單字表達卻不一樣，為避免困擾，確實有加 以界定、澄清之必要。在台灣九年一貫中小學數學課程綱要中，一直使用“series＂

代表了級數的意思（陳宜良、單維彰、洪萬生、袁媛，2005），所以本研究採

“sequence＂作為序列的譯詞，並捨棄量與形的序列，集中焦點於數字序列上，

探討學生在數字序列上的表現情形。

研究者並參考李佩玟（2005）和Owen（1995）的分類，考量重複組型若以數 字方式來呈現，如「5，5，5，5…」，元素間排列的關係可以當作是運算規則（ 0± 、

× 或 11 ÷ ）的結果。若是把重複組型當作增長組型的特例，同樣能符合Owen（1995）

對序列的定義。因此，研究者選擇了數字的重複組型與增長組型作為材料，統一 稱之為數列組型（sequence pattern），並依照其定義參酌其它相關文獻編製試題，

作為研究蒐集資料的工具。