數列組型的相關研究

對於數列組型的相關研究，以往除了有採取智力觀點的計量分析外，還有以 瞭解受試者認知成分為目的研究取向。在認知成分分析的研究中，研究方法多以 質性為主，利用晤談的方式來進行資料蒐集；但也有不少研究強調按照題目所涉 及的認知成分來設計試題，並進行量化分析 以驗證受試者的認知歷程、解題策 略及反應在試題上的特質，這類的研究皆屬於認知成分分析的領域。本節即按照 心理計量分析與認知成分分析的研究取向對於數列組型的相關研究進行探討。

壹、心理計量分析的角度

早期的心理測驗，把推理能力視為智力的重要特質（林軍治，1985；黃幸美，

1994；Sternberg & Gardner , 1983）。然而要進行推理思考必需對某些已知的跡象，

按照邏輯的原則，循序推導出可能的結果。因此邏輯思維的能力也就左右著智力 方面的表現。Piaget and Inhelder（陸有銓、華意蓉譯，1989）將「序列」列為邏 輯思維的重要內容。其後的學者更將序列完成問題編製成為智力和成就測驗的一 部分。當然，以數字為主的序列，同樣代表著序列完成問題的其中一種類型，於 是就廣泛地被心理計量學者編製，並著眼在分析不同群體在智力或性向測驗上的 差異。其中常見的測驗如表2-1所示。

表 2-1 常見包含數列組型試題的智力、性向測驗

性向與成就測驗中、發現小學的男女生在數學能力方面並沒有明顯差異。但在小 學階段後，男生在數學能力的表現則持續增加；Kamat（1967）以修訂的比納-西 蒙量表測驗了當地的中小學生，發現男生智力普遍優於女生；張春興和陳李綢

（1997）認為男生在數學推理方面的表現優於女生的傾向；Moir and Jessel（洪蘭 譯，2000）也指出，男生的智商在十四歲和十六歲之間開始爬高，而女生的智力 發展則平穩下來，甚至有些下降。兩者最大的差異，是在數學和科學性向方面。

從以上的研究中，可以發現關於年齡、性別對於智力的關係各學者的研究結 果並不一致。姑且不論研究的結果顯示年齡、性別這二變項是否影響智力的表 現，象徵推理能力的數列組型試題通常只是包含於智力、性向測驗中的子測驗。

我們既無法用智力表現的總能力來詮釋受試者在數列組型測驗這方面的反應，也 無法在過去研究結果中，將對於「年齡、性別對於智力影響」的結論概括到對於 數列組型的表現。因此，到底受試者在年齡、性別這兩個背景變項下，對於數列 組型的解題有無差異之情形？假使有差異，那會是屬於質的，還是量的呢？此方 面的問題確實是有值得去探討之處。

貳、從認知成分分析的角度

一、解題的認知歷程

數列組型問題的發展早期來自於序列的完成測驗，而這類的試題通常出現在 心理計量中，且以文字或數字來呈現（Pellegrino, 1985）。Simon and Kotovsky

（1963）首先針對 Thurston 基本心理力測驗（PMAT）中的文字序列完成測驗進 行了認知成分分析。他們對受試者解題的歷程進行研究，最後提出一個解決文字 序列問題的認知歷程模型。在這歷程中共包含了四個基本成份，分別是「關係偵 測」、「發現週期」、「完成組型描述」、「推論」。研究指出，受試者主要是 藉由各元素間是否存有「同一物」、「往前」、「往後」三個關係來發現序列的 規則。

爾後，Holzman、Pellegrino and Glaser（1983）更將這四個成份的認知過程應 用到以數字為主的序列完成測驗（如圖 2-1），進行解題的認知歷程研究。

以下就舉實際的例題來簡述四個認知過程：

26 18 25 15 24 12

• 23 正確答案：21，27 1.關係偵測（relation detection）：解題的第一階段，受試者會掃描序列中二個或

多個元素所假設的生成關係。在例題中，受試者可能會掃描並先建立232425… 這數列中的關係為 1+ 的假設。

2.發現週期（discovery of periodicity）：此階段中，受試者需使用關係提供的資訊，

抽離出序列週期長度。週期長度的發現需經由檢查重複元素的間距或鄰接的元 素關係規則中斷的間距。（如11 11 12 12 13 13，重複的間距為 2，所以週期為 2；

例題中，數字每跳過一個位置，就能維持+1的規律。換言之每二個元素運算規 則就會中斷一次，所以週期是2）。每當受試者開始發現的關係不是以規律間隔 重複，那麼原先假設的規則就會被摒棄並重新尋找關係。

3.完成組型描述（completion of pattern description）：此階段，受試者會確認週期 內其它元素的關係規則，並定義它們的規律到整個數列。例題中，去除前面23 24 25…這組數字後，剩下其它的數字是12 15 18，數字間維持+3的規律。這種規律 就好像

M 數列每加一項就+1，

₁

M 數列每加一項就+3。Holzman et al.（1983）

₂ 把數列的組成分別記為

M

₁[+1(

M

₁)]和

M

₂[+3(

M

₂)]。最後把此數列組型結合，完

整的描述成：[

M

₁,+1(

M

₁);

M

₂,+3(

M

₂)]。

4.推論（extrapolation）:完成序列建基於組型的描述，空格中的每個答案是獨立且 可以應用規則產生答案。例題中，第一個空格屬12 15 18的循環，因此應用+3 規則來產生21。而第二空格規則是+1，推論到循環中，就可以產生27這個答案。

圖 2-1 數字系列完成測驗之歷程圖 資料來源：出自Holzman et al. (1983:604）

發現週期 關係偵測

否

否 否

是 是 開始

確認數字關係

結束 找到週期長度

確認掌握未 知位置的週

期

應用符合的關 係完成答案 檢查答案

在週期內 位置 在規則的間隔

中關係是否重 複或中斷

在週期內是 否能確定所 有位置的關

係

是否發 現空格 相對應 的位置 完成組型描述

推論

Sternberg and Gardner（1983）利用訊息處理論的認知觀點，提出系列完成問 題的認知歷程模式。他們將認知歷程中所涉及的認知成分區分為七個項目，分別 是：編碼（encoding）、推論（inference）、映射（mapping）、應用（application）、

比較（comparison）、驗證（justification）、反應（response）。研究中以受試者 在解決「

A B C D

：

E

1或

E

2」之選擇性的系列問題時為例，要求受試者去進行解 題並加以觀察。在認知歷程裡的「編碼」是指將數列中的 A

、 B 項次的數字輸入

到工作記憶中；「推論」是指發現隱含在二元素，如 A與 B 或 B 與 C 之間存在的 關係；「映射」則是指發現組與組間的關係，也就是將

A

− 關係與

B B

− 關係相

C

互作比對，以期找到兩組之間的共同關係；「應用」則是套用組間共同關係的規 則，以符合 D 項次的答案，並建構一個預定想法；「比較」就是將先前的想法與 心中理想的答案在各個屬性上作比較與配對，以期在

E 與

₁

E 兩個選項中找出正確

2

的答案；此階段中若預定想法能與任一選項作完全的配對，受試者即可直接作反 應；反之若無法作完全的配對，則會先透過驗證的動作，重新在兩個選項間選出 較佳選擇，最後再作反應。其所提認知歷程如圖2-2：

圖 2-2 系列完成測驗訊息處理歷程

資料來源：出自 Sternberg and Gardner (1983:102）

Lin and Yang（2004）以分層隨機抽樣的方式，抽取台灣地區1181個七年級生，

1105個八年級生，探討七、八年級生他們在學校未學習過的線性和二次數字組型 上的表現情形。研究中將數列組型推理測驗按照四種試題的成分編製。這四種試 題成分別代表理解（understanding）、歸納（generalizing）、符號（symbolizing）、

和檢驗（checking）的內容。

研究結果發現，在線性數列和二次數列上，有三分之一以上的學生都能夠正 確解題，而且隨著年齡增大，線性或二次數列組型的解題成功比例都上升；但找

（I為預定想法）

是 否

編碼A

編碼B

推論A→B

編碼C

推論B→C

映射（A，B）（B，C）

編碼E1

應用D→I 編碼D

編碼E2

比較（I，E₁）（I，E₂）

是否預備答案的 屬性都和I 符合

證明

反應

不出組型人數的比例卻沒有隨著年齡增加而有減少的跡象。青少年對於解決數列 組型問題的理解、歸納、符號化的認知成分具有一直線的階層發展關係。認知成 分中的「檢驗數列組型」並不在此直線發展的關係中，而是從「理解－歸納－符 號」的直線關係旁產生分枝的情況。研究的結果並說明了儘管大部分學生都能處 理四種成份的試題，但學生對於線性數列反應出來的認知結構圖2-3，和二次數列 反應出來的認知結構圖2-4卻呈現著不同的意義和階層關係。

圖 2-3 線性幾何數列認知成分階層圖 資料來源：出自Lin and Yang（2004: 463）

圖 2-4 二次幾何數列認知成分階層圖 資料來源：出自Lin and Yang（2004: 464）

李佩玟（2005）考量處於算術思維轉化到代數思維、及具體操作轉化到抽象 表徵之過渡時期的學生，因為他們曾經經驗過一些察覺樣式的活動，且現階段的 學習經驗也正在處理辨識組型關係的問題特徵，所以特別挑選六年級學童作為實 驗受試者，並以Sternberg and Gardner（1983）的認知歷程為基礎，建立了數列樣

理解 歸納

檢驗線性幾何數列組型 符號

理解 歸納

檢驗線性幾何數列組型 符號

式的認知歷程模式（圖2-5），並藉由操弄不同數列試題的因素，探討學生表現。

圖 2-5 六年級學童數列推理流程圖 資料來源：出自李佩玟（2005：73）

否

否 數字編碼

遞增或遞減 增減混合 有數字重複

數串內鄰近數字階差的計算

（利用＋－或×÷之運算）

階差是否 固定或為 計數數列

階差是否有循環

尋找週期

是否能找到週期 間的共同關係

發現數列樣式

套用樣式規則解題

書寫答案

將數列分成多個數串

表數字特性 表解題運作 表決策

表常態 表非常態 單位化

計算與推論

映射

否

單位化

映射

1.以對答題正確率的結果，驗證了發現數列樣式階段中「單位化」、「計算與推 論」、「映射」建立了國小學童發現數列樣式的認知歷程模式。

2.以解題紀錄與錯誤類型分析，發現國小學童在解決數列推理時，大多數受試者 均能採用鄰近或分群策略來解題，少部分的人能夠使用代數的解題策略。

3.建議六年級學童解決數列推理的數學教材或早期代數的經驗活動中，除了提供 簡單的等差數列及等比數列之組型內容，還可以納入兩個數串所組成的複合數

3.建議六年級學童解決數列推理的數學教材或早期代數的經驗活動中，除了提供 簡單的等差數列及等比數列之組型內容，還可以納入兩個數串所組成的複合數

在文檔中 國小高年級學生在數列組型問題之表現分析及概念階層結構探討 (頁 19-40)