研究動機

第一節 研究動機

在數學學習上，許多哲學家、數學家和數學教育家相信組型（pattern）

是很重要的（Davis, 1984; Mottershead, 1985; NCTM, 1989; Reys, Suydam, &

Lindquist, 1984）。廣義來說，組型就是一種規律。因為數學本身具有結構性，且 數學的結構性可以藉由尋找組型和關係中觀察得到，所以瞭解到規律的脈動就能 幫助我們瞭解數學的結構與意涵。Steen（1990）認為，經由數學上的方法，使我 們認識事物中的規律、了解資料，及做小心的推理，所以數學是訓練學生思考與 溝通、表達、推理與判斷的學門。黃敏晃（2000）也提到數學所追求的目的即在 於找到一些規律來探討事物的變化的模式，進而預測未來變化。這些種種強調組 型學習與未來生活息息相關的說法，和新課程裡所揭櫫的重要精神，也就是培養 學生「帶著走」能力有著異曲同工之妙。

在數學教學上，英國的教育科學部（Department of Education and Science, 1987）建議教學者應鼓勵學童去尋求隱含在數學內的組型。因為藉由在數字、幾 何和測量上的樣式能幫助學童瞭解數學主題間的聯結關係。在進行關係聯結時能 夠孕育出一種數學的思考，這種思考方式會奠定更多抽象思維學習的基礎

（NTCM, 1989）。在傳統的數學課程中，「算術」處理的是具體的數目，而「代 數」處理的就是抽象的符號。若沒有給學生足夠的前置經驗，在以算術為基礎的 課程在轉化為以抽象代數想法或理解為主的學習過程裡，學生普遍都會感到困難

（Booth, 1988）。Schoenfeld and Arcavi（1988）也表達了相同的看法，他們表示，

教學者應要求學生利用觀察和口語表達來概述組型，並以此歷程來當作計算和代 數階段的過渡的學習課程。因此，給予要求某些活動，例如在數學課程上，可以 廣泛的提供利用歸納法所產生的組型探索活動（DES, 1983）。在此類的探索活

動中，我們可以藉此訓練學童進行歸納並找出規律。Jones（1993）認為「歸納」

是很重要的，因為歸納是代數的核心，且尋求組型正是形成歸納的必需步驟。

近年來，給學生機會去操作組型的教材地位漸漸被視為代數學習的重要前 奏，所以紛紛受到許多國家政府部門的重視。英國的教育部（Department for Education, 1995）就建議學生應被教導「尋求結果中的組型」與「探討數列」；

美國的NTCM（2000）也建議應把代數視為從學齡前開始的一連串課程，因此在 針對學校數學教育所訂定的指導原則及標準中，期望學前到十二年級，教師必須 要讓全部的學生都能夠瞭解組型概念。而學前到小學二年級的孩童必須能夠做 到：排序、分類以及按照物件的形狀大小、數量，或其他屬性來排列順序；進一 步還要能夠辨識、描述，延伸各種不同的組型規則，像是音階的順序、圖形的排 列規則、簡單的數字規則，並且能夠將這些呈現方式轉換成不同的排列方式；最 後，要能夠分析重複性的規則組型以及瞭解不斷增長的規則組型是如何產生的。

NTCM在建議的課程中一再強調了「瞭解組型」的重要，並認為歸納數字情境可 以聯結以數與計算為要素的學內容和代數等抽象性的數學知識；我國教育部，在 經過九年一貫課程的改革後，也開始重視到有關組型中規律認知、數列規則和表 達關係的學習（Lin & Yang, 2004）。因此課程綱要中學習的四個階段都明訂有和 組型相關的活動（教育部，2004）。其中在「數與量」、「代數」的能力指標上 提到了要能夠辨識規則數列與理解數量關係。這些種種的跡象都顯示著數列的學 習活動是尋求組型的一個很好題材。

至於兒童在數列組型的認知情況為何？哪些背景因素會左右著他們在數列 組型的表現？這些問題都曾受到了許多學者的關注。Uhr（1973）認為與組型的 相關活動涉及高度的思考推理能力，Piaget and Inhelder更將「序列」列為邏輯思 考的重要內容（陸有銓、華意蓉譯，1989）。因此以數字為主的序列（簡稱數列）

問題，就常被用來衡量受試者的心理能力中邏輯推理表現。Piaget認為兒童會隨 年齡增長而產生智力發展，這種發展不只是量的增加，還有質的變化（張春興，

1994）。許多相關的研究也顯示年齡愈大的學生在數學推理問題的表現愈佳

（Hubbs-Trait, 1986; Marlovits, 1995; Ward & Overton, 1990）；然而在不同性別的 研究中，有些研究者認為男女性的表現無差異（Bitner-Corvin, 1989; Nolan &

Brandon, 1984），但也有研究顯示在數學推理表現上男性優於女性（王文伶，

2006；Bendow & Stanley, 1983）。儘管過去許多的研究對於年齡、性別乃至智力 表現等背景變項，提到了會影響心理能力的表現。然而，這些研究都著重於受試 者在測驗的整體表現或對特定向度（如邏輯、數學、空間等智力）的個別描述，

對於瞭解個體在測驗中概念間的關係性研究卻付之闕如。就因材施教及進行補救 教學的觀點來看，瞭解不同學生的思維方式是教學成功與否的關鍵之一，因此對 於數列組型問題相關概念的表現情形是否會受年齡、性別和智力等背景變項的影 響，確實值得研究。

在國內外，除了以傳統智力測驗中「數字推理」來了解學生的智力表現外，

其它尚累積不少和數列組型相關的研究（林世華、葉嘉惠，1999；林政輝，2002；

李美蓮，2003；李佩玟，2005； Bishop, 2000; Hargreaves, Shorrocks-Taylor, &

Threllfall, 1998; Holzman, Pellegrino, & Glaser, 1983; Lee & Wheeler, 1987; Lin &

Yang, 2004; Orton & Orton, 1999）。這些研究在對象的選擇上雖然各個年齡層都 有，但主要還是分布在國中階段，對於以國小為對象的部分少有描述。而在研究 方法上，過去的研究大致上可以區分成心理計量分析與認知成分分析二個取向。

傳統心理計量分析把發現數列組型的能力視為智力的一部分，並利用受試者在標 準化紙筆測驗上的差異表現來區別智力的高低，著重在解釋不同個體或不同群之 間的差異性；認知成分分析取向則是藉由測驗後的結果，分析受試者的認知策略 和歷程，「晤談」就是其常採用研究方法。然而傳統的心理計量方式難以窺見學 生的概念結構，認知成分取向所採用的晤談方式曠日又費時。Bart and Krus（1973）

所提出的次序理論（ordering theory），曾被用來分析兒童運思表現的次序性（Bart

& Mertens, 1979; Bart & Read, 1984）。它具有省時又適於呈現樣本資料的次序階

層結構的特性，研究者欲藉此特點，當作本研究的研究方法，用來分析國小高年 級學生數列組型測驗之次序階層結構。

綜合上述，本研究欲以國小高年級學生在數列組型問題的表現進行分析，並 比較及呈現不同背景變項（年級、性別、能力）的學生在數列組型問題之概念階 層結構特色。