還能依據邏輯推理的過程，學習去證明這些幾何定理與其相互的關係，且 瞭解證明可能不只一種，例如不必透過實體物的操作，就能證明三角形內 角和為 180 度。
5.邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次
此層次的學生能夠從公設體系中，發展建立一套定理，且能比較定理 之間的不同，甚至還能自創一套公設體系。能夠到達此層次的人並不多，
即使為專業之數學工作者亦不易達成。
根據林軍治(1992)、吳德邦(1999)、張英傑(2001)與盧銘法(1996)的研 究發現，在國小兒童幾何之van Hiele層次大部分都位於層次一、層次二與 層次三中。而劉好(1998)進一步說明，國小高年級的學童，其思考層次大 約在層次二與層次三間之過渡時期，可以藉由適當的觀察學習及實際驗 證，分析圖形構成要素與圖形性質，因此本研究的對象之幾何思考層次大 多數為層次二至三。
(二) van Hiele 幾何思考層次之特性
van Hiele(1986)認為幾何思考層次具有某些固定的特性。而
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Crowley(1987)將這些幾何思考層次特性分為五個性質(吳德邦，1998)，茲 分述如下：
1.次序性(sequential)
幾何思考層次發展是循序漸進的，每一概念的層次植基於前一個層次 的概念基礎，學生必須充分學習該層次之概念、知識、能力，方能推進到 下一個概念層次的學習。
2.提升性(advancement)
層次的提升，有賴於教學的過程，而非個體年齡的成長或成熟。所以 教學方法可能促成層次的發展，亦可能成為層次發展的阻礙。
3.內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)
在幾何思考層次中，前一個層次的隱藏元素，是下一個層次的顯現因 素。意即先前層次的內在性，成為下一個層次的外在性(林軍治，1992)。
Clements and Battista(1992)的解釋為對某些概念的瞭解，可能在該層次尚未 明顯，但到了下一層次，則可明確瞭解。
4.語言獨特性(linguistic)
學生在不同的思考層次中，有不同的語言符號與其專屬的關連系統。
因此，在某一層次中符合的語言，到了下一層次，就可能必須經過修正。
5.不適合性(mismatch)
根據思考層次中的語言獨特性，處於不同思考層次的人，彼此無法溝 通、相互瞭解，若教學者的教學設計、語言符號的使用，與學習者並未處 於同一層次，則教學成效不佳，學生亦難以理解。
二、Piaget 認知發展理論(cognitive development) 與兒童幾何發展理論 Piaget, Inhelder and Szeminska(1960)根據長期對兒童的觀察，認為個體 的認知發展是不斷的同化與調適歷程，個體的成長都必須經歷此歷程，成 長的快慢可能因為個人或文化背景不同而有差異，但其發展順序不會改 變，每一階段的發展都是後一階段發展的基礎，可分為：約為出生至 2 歲
感覺動作期(sensorimotor period)、2 至 7 歲的前運思期(preoperational period)、7 歲至 12 歲的具體運思期(concrete operational period)和 12 歲以上 的形式運思期(formal operational period)四個階段，隨著階段的不同，其認 知運作能力也有所不同。
Piaget and Inhelder(1967)更進一步從認知發展的觀點研究兒童的幾何 發展，認為兒童對空間的理解並非僅是知覺，需要透過感覺－動作(sensori motor)等操作活動，將他們對圖形、物體及其在空間移動等觀察、操作所 產生的認知(perception)，形成內在的心理表徵(黃幸美，2010)，進而組織 成操作系統。可分為三階段：拓樸幾何概念時期(topological concepts or structure)、投影幾何概念時期(projectire geometry)與歐幾里德幾何概念時期 (euclidean geometry)。本研究對象為國小五年級學童，依據Piaget的分類，
分別屬於具體運思期與歐幾里德幾何概念時期。
三、Duval 幾何圖形認知瞭解
Duval (1995)認為圖形經由實物、心像、認知圖形組織、及語言文字的 操弄、陳述、推理歷程，可以幫助我們達到瞭解(appprehesion)，藉以解決 原先不易解決的幾何問題。而這些瞭解可以分為四類，分述如下(吳德邦、
馬秀蘭、藍同利，2006)：
(一) 知覺性瞭解(perceptual apprehension)
只要一個圖形被提出，必定喚起個體知覺性的瞭解及至少一個關於其 他的瞭解，一個可被察覺的圖形和僅呈現於視網膜上的圖形最大的差別在 於圖形組織的原則，以及圖像所帶給視覺者的暗示。個體可以區別或辨認 圖形中的子圖形(sub-figure)，例如正方形能以對角線分割出兩個直角三角 形，但這些子圖形未必完全建立在原圖形的結構上。
(二)構圖性瞭解(sequential apprehension)
當個體在構圖的過程中，或是描述該圖形之結構時，必須對圖形作構 圖性的瞭解，構圖性的瞭解即是在構圖的過程中，圖形的不同單位元件會
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依其特殊順序顯現，但會因繪圖工具，例如尺規等而遭受限制，若因為繪 圖工具的限制而無法表達圖形性質之間的關係，則圖形無法被瞭解。
(三) 論述性瞭解(discursive apprehension)
若光憑知覺性的瞭解，無法使所有人對圖形之幾何概念達到共同的理 解，必須起源於圖形的命名與假設。圖形所代表的性質，不能完全依靠繪 圖呈現，在所有的幾何表徵中，對於其幾何性質的辨認必須透過敘述，歷 經一段演繹的過程來決定這圖形表現什麼，論述性瞭解可以在知覺性瞭解 不變的情況下而改變。
(四)操弄性瞭解(operative apprehension)
當個體觀察一個圖形時，可以透過操作圖形得到解題的靈感，而個體 以不同方式，例如分解組合、放大縮小、平移旋轉等更改圖形之後，便可 以獲得操弄性理解，增加洞察力。可以透過心靈抽象操作，亦可以實物變 動，使圖形具有啟發的功能，得到證明的步驟或解題靈感。
而在學生學習幾何知識來說，Duval(1998)則認為應有三種認知過程，
分別是：視覺(visualization)過程、作圖(construction)過程以及進行論說的推 理(reasoning)過程。
本研究期望能依照認知與幾何發展階段，兼顧學生的思考層次，設計 適當的教學方式，並配合互動式電子白板的相關應用軟體，讓學生透過操 作、重組、切割等動作，獲得操弄性理解，並能進一步運用抽象操作處理 複合圖形問題。
貳 貳 貳
貳、、、、面積概念面積概念面積概念 面積概念 一、兒童面積概念
譚寧君(1995)指出「面積」指的是對某一特定區域的覆蓋程度，亦即 被覆蓋面的大小，屬於測量的教材，但一般人往往將重點放在圖形的辨 認，或分解或合成，以不同公式計算以求解，忽略量感的培養與量概念的 建立，應瞭解各種量均具備可比較、保存、分割、合併等性質。
依據 Piaget et.al. (1960)針對兒童幾何概念的研究，認為面積概念有兩 大重點，面積保留概念與面積測量概念：
(一)面積保留概念
保留概念由 Piaget 首先提出，指的是兒童在某特殊經驗因素（如重量、
容積等）的狀態經可觀察的改變後，仍能了解其不變性（B.Inhelder &
J.Piaget，1958）。譚寧君(1998)指出保留概念指的是當兒童面對物體的某種 轉換時，如位置的移動，方向的轉動，形狀的改變或切割活動，能瞭解其 原來特質能保留不變的認知能力。Piaget et.al. (1960)認為此種能力並非一 蹴可幾，也無法透過教學活動而建立，而是累積多次經驗逐步形成。皮亞 傑發現，若兒童要具有保留概念，其思考程序應具備認同、補償、反轉自 如的逆轉力及穩定的理解力。兒童常利用三種論證來支持其保留判斷，以 下分述之(葉啟村、葉淑慧、曾建勳，2004)：
1.同一性(identity)
指兩個刺激物外形原本相同，在轉變的過程中，既無增加也未減 少，故兩個刺激物仍然相同。
2.可逆性(reversibility) ，意即逆轉性(negation)
指刺激物雖經過改變，但兒童能循相反的方向思考，發現刺激物若還 原，則還是相同物體。
3.補償性(compensation) ，意即相互性(reciprocity)
兒童認為每個刺激物有兩個測量的向度，一個向度的改變，必然為另 一個向度的補足，故兩者雖然外型不一樣，但兩者仍然相同。
而關於面積保留概念又分為兩個層次：
1.基本面積保留概念
此層次代表任何封閉範圍內面的大小，不因位置改變而有不同(譚寧 君，1995)。亦即圖形即使經過旋轉、平移等活動，面積大小將不會改變。
2.互補面積保留概念
此層次表示在面積相等的兩個面上，減去形狀雖不同但面積相同的兩
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塊小平面後，其所剩的面積仍然相等，亦即等量減等量結果相等(譚寧君，
1995)。Piaget(1960)研究發現，必須先具備基本面積保留概念，才能發展 出互補面積保留概念。
(二)面積測量概念
譚寧君(1995)指出，面積測量的基本概念即在探索封閉範圍內的覆蓋 情形，其又可分為三個層次：
1.基本面積概念
此層次表示在給定的平方單位格內點數單位面積的個數，兒童可透過 點數及合成活動，算出面積的大小。若平方單位格個數非整數格時，即形 成面積的補償關係。
2.單位面積概念
單位面積概念透過各個不同單位量的覆蓋或拼湊而成，瞭解面積相同 和形狀可能不同的等積異形概念，亦可透過切割活動進行等積異形的比較 活動，但僅以視覺切割活動就能進行比較的能力，必須透過豐富的實際切 割活動後，才能形成切割的心像。
3.直線測量面積概念
直線測量包括單位在數學上的相乘關係，一般所謂的面積公式均屬此 範疇。
(三) 九年一九年一九年一貫課程九年一貫課程貫課程面積相關能力指標貫課程面積相關能力指標面積相關能力指標 面積相關能力指標
數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段：第一階段為國小一至 二年級，第二階段為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四 階段為國中一至三年級。另將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、
「統計與機率」、「連結」等五大主題。前四項主題的能力指標以三碼編排，
其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、
「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼表示階段，分別以 1、2、3、
4 表示第一、二、三、四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細 項下指標的序號(教育部，2008)。
表 2-2-1
面積相關能力指標 面積相關能力指標面積相關能力指標 面積相關能力指標
代號 能力指標內容
N-1-10 能認識容量、重量、面積(不含常用單位)
N-2-21 能認識面積常用單位，並能做面積之比較與計算。
N-2-21 能認識面積常用單位，並能做面積之比較與計算。