第五 第五
第五節 節 節 節 各類型學生在 各類型學生在 各類型學生在 各類型學生在梯形 梯形 梯形面積 梯形 面積 面積 面積與應用 與應用 與應用 與應用 之試題階層結構分析
之試題階層結構分析 之試題階層結構分析 之試題階層結構分析
本研究教學單元之教學重點為「畫出梯形的高，理解梯形面積的求 法」、「理解梯形面積的變化」、「應用面積公式，求複合圖形面積」，應用 第二節的 S-P 表的學習狀況分析，可知 A 類型的學生有 22 人，A’ 類型的 學生有 2 人，B 類型的學生為 12 人，B’ 類型的學生有 12 人，C 類型的學 生有 7 人、C’ 類型的學生為 4 人。本節旨在就該類型與教學重點畫出試題 階層圖。
壹 壹 壹
壹、、、、畫出梯形的高畫出梯形的高畫出梯形的高，畫出梯形的高，，，理解梯形面積的求法理解梯形面積的求法理解梯形面積的求法理解梯形面積的求法之之之試題階層分析之試題階層分析試題階層分析 試題階層分析
在「畫出梯形的高，理解梯形面積的求法」範圍內，共有五題，其中 屬於概念知識的是第一、二題，程序知識的為第三、四(一)、四(二)題。
89
一、各類型學生於「畫出梯形的高，理解梯形面積的求法」之表現分析各 類型的試題階層如圖 4-5-1 所示：
圖 4-5-1 「「「「畫出梯形的高畫出梯形的高畫出梯形的高畫出梯形的高，，，，理解梯形面積的求法理解梯形面積的求法理解梯形面積的求法」理解梯形面積的求法」」」之學生試題階層結構圖之學生試題階層結構圖之學生試題階層結構圖之學生試題階層結構圖
(一)階層分析
根據圖 4-5-1 所示，A 類型學生之試題階層結構分為兩個階層，第一 階層為概念知識○1 ○2 與程序知識○3 ○4 ，第二階層僅有程序知識○5 。
A’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第一階層是概念知識○1 與 程序知識○3 ○5 ，第二階層有概念知識○2 ，第三階層為程序知識○4 。
A 類型學生試題階層結構圖 A’類型學生試題階層結構圖
B 類型學生試題階層結構圖 B’類型學生試題階層結構圖
C 類型學生試題階層結構圖 C’類型學生試題階層結構圖
91
B 類型學生之試題階層結構分為兩個階層，第一階層包括概念知識○1
○2 與程序知識○3 ，第二階層為程序知識○4 ○5 。
B’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第一階層是概念知識○1
○2 ，第二階層包括程序知識○4 ，而程序知識○5 位於第三階層。
C 類型學生之試題階層結構分為四個階層，第一個階層包括概念知識
○1 ○2 ，第二階層為程序知識○3 ，第三階層為程序知識○4 ，第四階層只有程 序知識○5
。
C’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第一個階層有程序知識
○3 ，第二階層為概念知識○1 ○2 ，第三階層包括程序知識
○
4○
5。
(二)次序分析
如圖 4-5-1 所示，A 類型學生之試題階層結構分為兩個階層，程序知 識○5 是概念知識○1 ○2 與程序知識○3 ○4 之後續概念。
A’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第一階層概念知識○1 與程 序知識○3 ○5 是第二階層之概念知識○2 的先備基礎，而第三階層程序知識○4 則是第二階層之概念知識○2 之後續概念。
B 類型學生之試題階層結構分為兩個階層，第一階層概念知識○1 ○2 與 程序知識○3 是第二階層程序知識○4 ○5 之先備基礎。
B’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第二階層包括程序知識○4 是第一階層概念知識○1 ○2 之後續概念，同時也是第三階層程序知識○5 之先 備基礎。
C 類型學生之試題階層結構分為四個階層，第一個階層概念知識○1 ○2 是第二階層程序知識○3 之先備基礎，而第二階層程序知識○3 、第三階層程 序知識○4 與第四階層程序知識○5 則依序為先備基礎及後續概念關係
。
C’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第一階層程序知識○3 是第 二階層概念知識○1 ○2 的先備基礎，第三階層程序知識○4 ○5
則是
概念知識○1○2 之後續概念
。
二、各類型學生「畫出梯形的高，理解梯形面積的求法」試題階層結構之
93
(二)次序分析表 表 4-5-3
各類型學生 各類型學生 各類型學生
各類型學生「「「畫出梯形的高「畫出梯形的高畫出梯形的高，畫出梯形的高，，理解梯形面積的求法，理解梯形面積的求法理解梯形面積的求法」理解梯形面積的求法」」試題階層結構圖次序」試題階層結構圖次序試題階層結構圖次序試題階層結構圖次序 分析表
分析表 分析表 分析表
階層 A 類型 A’類型 B 類型 B’類型 C 類型 C’類型 第四
階層
○
5第三
階層
○
4○
5○
4○
4○
5 第二階層
○
5○
2○
4○
5○
3○
4○
3○
1○
2 第一階層
○
1○
2○
3○
4○
1○
3○
5○
1○
2○
3○
1○
2○
1○
2○
3 由表4-3-6可知，概念知識○1 ○2 與程序知識○3 ○4 ○5，於各類型學生試題 階層結構圖中，均存有先備後續概念關係。但針對其階層與次序性，其中 有相似處，亦有不同處：除了 A 類型以外，其餘各類型學生之概念屬性為「梯形面積公式」的 概念知識○2 與概念屬性為「梯形變化型態面積計算」的程序知識
○
4均存有 先備後續關係，且概念知識○2 為程序知識○
4之先備基礎。除了 B 類型以外，其餘各類型學生之概念屬性為「畫出梯形的高」的 程序知識○3 與概念屬性為「梯形面積計算」的程序知識
○
5 均存有先備後續 關係，且程序知識○
5為程序知識○3 之後續概念，而從表 4-5-2 可知，B’、C 與 C’類型的學生的程序知識○
5之試題通過率不佳，若教學者欲就此概念進 行補救教學，則必須從程序知識○3 著手。對於A’與C’類型的學生而言，概念知識○2 為程序知識○3 之後續概念；
但對於B’與C來說，概念知識○2 為程序知識○3 之先備基礎；且A與B類型的 學生之概念知識○2 與程序知識○3 均位於同一階層，由此可知不同學習類型 的學生，其認知結構各有不同。
貳貳
貳貳、、、、理解理解理解梯形面積的變化理解梯形面積的變化梯形面積的變化梯形面積的變化之之之試題階層分析之試題階層分析試題階層分析試題階層分析
在「理解梯形面積的變化」範圍內，共有兩題，其中屬於後設認知知
識的是第五題，概念知識的為第六題。
表 4-5-4
理解梯形面積的變化 理解梯形面積的變化 理解梯形面積的變化
理解梯形面積的變化試題及其概念屬性試題及其概念屬性試題及其概念屬性試題及其概念屬性
題號 概念
代碼 試題 概念
屬性
五 ①
已知直線 A 和直線 B 互相平行，下列四種圖形的面積，請由大 到小排列：
（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ）
理 解 三 角 形 與 四 邊 形 面 積 的
變 化
六 ②
看圖回答下列問題：
（1）算出上面圖形的面積各是多少平方公分？
甲：( )平方公分 乙：( )平方公分 丙：( )平方公分 丁：( )平方公分 戊：( )平方公分 己：( )平方公分
⑵比較甲、乙、丙、丁、戊、己各圖面積大小時，發現：
①不同的梯形當高相等時，上、下底的和越長，面積也 ( )。（填入越小越小越小越小、越大越大越大越大或相等相等相等相等）
②不同的梯形，當上、下底的和相等時，高越長，面積也 ( )。（填入越小越小越小越小、越大越大越大越大或相等相等相等相等）
理 解 梯 形 面 積 的 變
化
一、各類型學生於「理解梯形面積的變化」之表現分析各類型的試題階層 如圖 4-5-2 所示：
95
圖 4-5-2 「「「「理解梯形面積的變化理解梯形面積的變化理解梯形面積的變化理解梯形面積的變化」」」之學生試題階層結構圖」之學生試題階層結構圖之學生試題階層結構圖之學生試題階層結構圖
(一)階層分析
根據圖 4-5-2 所示，A、B、B’與 C’類型學生之試題階層結構皆分為一 個階層，且後設認知知識
○
1與概念知識○
2位於同一階層，且各自獨立。
A’與 C 類型學生之試題階層結構分為兩個階層，第一個階層為概念知 識
○
2，第二階層為後設認知知識○
1。
(二)次序分析
根據圖 4-5-2 所示，A、B、B’與 C’類型學生之試題階層結構皆分為一 A 類型學生試題階層結構圖 A’類型學生試題階層結構圖
B 類型學生試題階層結構圖 B’類型學生試題階層結構圖
C 類型學生試題階層結構圖 C’類型學生試題階層結構圖
個階層，且各自獨立，互無關係。
97
一、各類型學生於「應用面積公式，求複合圖形面積」之表現分析各類型 的試題階層如圖 4-5-3 所示：
圖 4-5-3 「「「「應用面積公式應用面積公式應用面積公式應用面積公式，，，求複合圖形面積，求複合圖形面積求複合圖形面積」求複合圖形面積」」之學生試題階層結構圖」之學生試題階層結構圖之學生試題階層結構圖 之學生試題階層結構圖 (一)階層分析
根據圖 4-5-3 所示，A 類型學生之試題階層結構分為四個階層，第一 個階層包括程序知識○3 與後設認知知識○5 ○6 ，第二階層為程序知識○2 ，第 三階層有程序知識○1 ○7 ，第四階層為後設認知知識○4 。
A 類型學生試題階層結構圖 A’類型學生試題階層結構圖
B 類型學生試題階層結構圖 B’類型學生試題階層結構圖
C 類型學生試題階層結構圖 C’類型學生試題階層結構圖
99
A’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第一階層有程序知識○1 與 後設認知知識○4 ○5 ○6 ，第二階層包括程序知識○2 ○7 ，第三階層為程序知識
○3 。
B 類型學生之試題階層結構分為四個階層，第一個階層為後設認知知 識○5 ，第二階層有程序知識○1 ○6 ○7 ，第三階層有程序知識○2 ○3 ，第四階層 為後設認知知識○4 。
B’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第一階層有程序知識○3 ， 第二階層包括程序知識○1 ○2 ○6 ○7 ，第三階層為後設認知知識○4 ○5 。
C 類型學生之試題階層結構分為四個階層，第一個階層為程序知識
○7 ，第二階層為程序知識○3 ○6 ，第三階層有程序知識○1 ○2 與後設認知知識
○5 ，第四階層為後設認知知識○4 。
C’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第一個階層包括程序知識
○1 與後設認知知識○5 ，第二階層為程序知識○6 ○7 ，第三階層有程序知識○2
○3 與後設認知知識○4 。
(二)次序分析
根據圖 4-5-3 所示，A 類型學生之試題階層結構分為四個階層，第一 個階層程序知識○3 與後設認知知識○5 ○6 是第二階層程序知識○2 之先備基 礎，第四階層後設認知知識○4 是第三階層程序知識○1 ○7 之後續概念，但程 序知識○1 並無其他先備基礎。
A’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第二階層程序知識○2 ○7 是
A’類型學生之試題階層結構分為三個階層，第二階層程序知識○2 ○7 是