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互動式電子白板應用於國小數學教學之成效-以國小五年級幾何單元為例

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Academic year: 2021

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系 國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授:林 原 宏 博士. 互動式電子白板應用於國小數學教學 互動式電子白板應用於國小數學教學 之成效- 之成效-以國小五年級 以國小五年級幾何 五年級幾何單元 幾何單元為例 單元為例. 研究生:張 舋 今 撰. 中華民國. 一○○ 年 六 月.

(2) 摘要 本研究旨在探討互動式電子白板(interactive white board, IWB)應用於國小五 年級數學認識多邊形以及三角形、平行四邊形與梯形面積等幾何單元教學之成 效,並應用S-P表(student problem chart)與次序理論(ordering theory)分析學童之學 習類型與試題階層結構圖。為達到研究目的,本研究採用準實驗設計,研究對象 為臺中市某國民小學五年級兩個班級學生,分別為實驗組30人,控制組29人,實 驗組接受互動式電子白板融入教學,控制組接受傳統教學法,研究時間共14節 課。茲將本研究結果分述如下: 1. 將單元成就測驗結果以共變數分析之後,接受互動式電子白板融入教學的學 生,其學習成效顯著優於接受傳統教學法之學生。 2. 依據S-P表學生學習表現類型分析,接受互動式電子白板融入教學的學生,其 學習情況優於接受傳統教學法之學生,且學習情況穩定的學生較多。 3. 依據S-P表與次序理論分析各類型學生的試題階層結構圖後,學生對於需進行 切割重組之複合圖形概念上,以長方形複合圖形表現最佳,平行四邊形複合 圖形次之,梯形複合圖形表現最不理想;且實驗組對於長方形複合圖形與平 行四邊形複合圖形之抽象思考優於控制組。 4. 依據試題階層結構圖,教師能藉此瞭解學生在試題通過率方面的表現,且提 供教師瞭解概念試題間的先備後續關係,故試題階層結構圖能提供教學者課 程設計及補救教學的參考。 本研究之結果與發現,可幫助教師了解五年級學童幾何單元概念間的階層結 構,以及實施補救課程之參考。最後研究者根據研究結果對未來研究提出相關建 議。. 關鍵字: 關鍵字: 互動式電子白板、S-P 表、次序理論、幾何圖形. i.

(3) ii.

(4) Abstract The purpose of this research is to investigate the learning effects of mathematics instruction in Understanding of the polygon, triangle area, parallelogram area and trapezoid area by IWB for fifth graders. The student problem chart(S-P chart) and ordering theory are used to analyze the learning types and hierarchical structures of items. Based on the quasi-experimental design of teaching, the subjects were fifth graders from two different classes in an elementary school in Taichung city. One class was assigned as the experimental group and the other was control group. The design of 14 hours of teaching, and traditional teaching strategies are applied in the control group while the IWB were incorporated in the experimental group. The results of this study are as follows. 1. As the result from covariance analysis, students’ learning effect of IWB group is significantly better than that of traditional teaching method. 2. According to S-P chart regarding students’ learning type, it appears that the learning condition with IWB is better than that of traditional teaching, and there are more students who learn steadily. 3. According to S-P chart regarding students’ learning type, students have best performance of the rectangle, have general performance of the parallelogram, trapezoid of the least satisfactory on complex graphic. 4. Analyzing with the S-P chart and ordering theory for students’ learning types within a single teaching section which were presented in the hierarchical order structure frameworks for test bank, they provide ideas for teachers and teaching material writers when they design curriculums and assistance teaching programs. Based on the results of this study, the findings of this study may be helpful for teachers to understand the conceptual structures of geometry for fifth graders, and as. iii.

(5) references for remedial instruction or group teaching. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided.. Key words: interactive white board(IWB), student problem chart, ordering theory, Geometric figure.. iv.

(6) 目錄 第一章 緒論………………………………………..…………… 1 第一節. 研究背景與動機..…………………………………………. 1. 第二節. 研究目的…..………………………………………………. 4. 第三節. 研究範圍與限制…..………………………………………. 4. 第四節. 名詞解釋..…………………………………………………. 5. 第二章 文獻探討…………………….……….…………….……… 7 第一節. 互動式電子白板與相關研究……………………………... 第二節. 幾何與面積概念………………………………………… 17. 7. 第三節 S-P 表與相關研究……………………………………….. 24. 第四節. 36. 次序理論與相關研究……………………………………. 第三章 研究方法…………………………………… …………… 43 第一節. 研究設計…………………………………………………. 43. 第二節. 研究對象…………………………………………………. 48. 第三節. 研究工具………………………………………………… 49. 第四節. 資料處理與分析………………………………………… 57. 第四章 結果與討論…………………………………….………… 59 第一節. 教學成效分析…………………………………………… 59. 第二節 S-P 學生學習表現之學生類型分析….…………………. 62. 第三節. 各類型學生在多邊形之試題階層結構分析…………… 65. 第四節. 各類型學生在平行四邊形與三角形面積之試題階層 結構分析…………………………………………………. 76. 第五節 各類型學生在梯形面積與應用之試題階層結構分析…. 88. 第五章 結論與建議…....……………………………….………. 105. 第一節. 結論……………………………………………………. 105. 第二節. 建議……………………………………………………. 106. v.

(7) 參考文獻……………………………………………………………. 109. 附錄…………………………………………………………………. 119. 附錄一. 著作使用授權書………………………………………. 119. 附錄二. 多邊形教學活動設計…………………………………. 120. 附錄三. 多邊形課堂教學簡報…………………………………. 133. 附錄四. 三角形與平行四邊形面積教學活動設計……………. 134. 附錄五. 三角形與平行四邊形面積課堂教學簡報……………. 144. 附錄六. 梯形面積與應用教學活動設計………………………. 145. 附錄七. 梯形面積與應用課堂教學簡報………………………. 156. 附錄八. 多邊形單元成就測驗試卷……………………………. 158. 附錄九. 三角形與平行四邊形面積單元成就測驗試卷………. 159. 附錄十. 梯形面積與應用單元成就測驗試卷…………………. 161. vi.

(8) 表目錄 表 2-1-1. Beauchamp 的五階段架構…………………………….................... 14. 表 2-1-2. 陳惠邦電子白板應用層次………………………............................ 15. 表 2-2-1. 面積相關能力指標…………………………………….................... 24. 表 2-3-1. 受試者原始答題資料表………………………………………….... 25. 表 2-3-2. 受試者得分高低排序表…………...……………………..………... 26. 表 2-3-3. 試題答對人數多寡排序表…………...……………….…………... 27. 表 2-3-4. S 曲線與 P 曲線分佈圖…………...……………….…………….... 28. 表 2-3-5. 受試者原始答題資料表…………...…………………….………... 29. 表 2-3-6. 受試者正規化資料表…………...……………….………………... 30. 表 2-3-7. 受試者合計得分高低排序表………………...……..……………... 30. 表 2-3-8. 試題合計得分高低排序表. …………...…………………...…….. 31. 表 2-3-9. S 曲線與 P 曲線分佈圖……………..…………………………….. 31. 表 2-4-1. 二元計分試題 i 與試題 j 的答題人數列聯表……………..………. 36. 表 2-4-2. 多元計分試題 i 與試題 j 的答題人數列聯表……………………... 38. 表 3-1-1. 研究設計……………..…………………………………………….. 48. 表 3-2-1. 本研究樣本人數..………………………………………….………. 49. 表 3-3-1. 多邊形單元成就測驗預試之難度、鑑別度與信度分析…………. 50. 表 3-3-2. 平行四邊形與三角形面積單元成就測驗預試之難度、鑑別度與 信度分析表…………………………………………..……….……. 51. 表 3-3-3. 梯形面積與應用單元成就測驗預試之難度、鑑別度與信度分析 表…………………………………………..………………….……. 52. 表 3-3-4. 多邊形單元成就測驗試題之雙向細目表..………………….……. 54. 表 3-3-5. 平行四邊形和三角形的面積單元成就測驗試題之雙向細目表... 55. 表 3-3-6. 梯形的面積與應用單元成就測驗試題之雙向細目表………...…. 56. vii.

(9) 表 4-1-1. 「多邊形」、「平行四邊形與三角形面積」、「梯形面積與應 用」組內迴歸係數同質性檢定表…………………………..……. 60. 表 4-1-2. 「多邊形」、「平行四邊形與三角形面積」、「梯形面積與應用」 單因子共變數分析檢定摘要表………………………………….... 61. 表 4-1-3. 單因子共變數分析檢定摘要表……………………………..……. 62. 表 4-2-1. 多邊形各類型學生人數百分比………………………...…………. 63. 表 4-2-2. 平行四邊形與三角形面積各類型學生人數百分比……………... 63. 表 4-2-3. 梯形面積與應用各類型學生人數百分比………………………... 64. 表 4-3-1. 多邊形、正多邊形與其內角和之試題及其概念屬性……………. 65. 表 4-3-2. 各類型學生「多邊形、正多邊形與其內角和」試題階層結構比 較表…………………………………………………….…………... 69. 表 4-3-3. 各類型學生「多邊形、正多邊形與其內角和」試題階層次序分 析比較表………………………………………………..…………. 69. 表 4-3-4. 三角形邊長性質之試題及其概念屬性………………..…………. 70. 表 4-3-5. 各類型學生「三角形邊長性質」試題階層結構比較表…………. 72. 表 4-3-6. 各類型學生「三角形邊長性質」試題階層結構圖次序分析表…. 73. 表 4-3-7. 多邊形內角和的應用之試題及其概念屬性……………………... 73. 表 4-3-8. 各類型學生「多邊形內角和的應用」試題階層結構比較表…... 75. 表 4-3-9. 各類型學生「多邊形內角和的應用」試題階層結構圖次序分析 表…………………………………………………………………... 75. 表 4-4-1. 平行四邊形與三角形面積的求法試題及其概念屬性………….... 77. 表 4-4-2. 各類型學生「平行四邊形與三角形面積的求法」試題階層結構 比較表……………………………………………………………... 79. 表 4-4-3. 各類型學生「平行四邊形與三角形面積的求法」試題階層結構 圖次序分析表……………………………………………………... 80. 表 4-4-4. 畫平行四邊形與三角形的高試題及其概念屬性………………... 81. viii.

(10) 表 4-4-5. 各類型學生「畫平行四邊形與三角形的高」試題階層結構比較 表………………………………………………………………….... 82. 表 4-4-6. 各類型學生「畫平行四邊形與三角形的高」試題階層結構圖次 序分析表………………………………………………………….... 83. 表 4-4-7. 平行四邊形與三角形面積的變化試題及其概念屬性…………... 84. 表 4-4-8. 各類型學生「平行四邊形與三角形面積的變化」試題階層結構 比較表…………………………………………………………….. 87. 表 4-4-9. 各類型學生「平行四邊形與三角形面積的變化」試題階層結構 圖次序分析表……………………………………………………... 87. 表 4-5-1. 畫出梯形的高,理解梯形面積的求法試題及其概念屬性……... 89. 表 4-5-2. 各類型學生「畫出梯形的高,理解梯形面積的求法」試題階層 結構比較表………………………………………………………... 92. 表 4-5-3. 各類型學生「畫出梯形的高,理解梯形面積的求法」試題階層 結構圖次序分析表………………………………………………... 93. 表 4-5-4. 理解梯形面積的變化試題及其概念屬性………………………... 94. 表 4-5-5. 各類型學生「理解梯形面積的變化」試題階層結構比較表…... 96. 表 4-5-6. 各類型學生「理解梯形面積的變化」試題階層結構圖次序分析 表…………………………………………………………………... 96. 表 4-5-7. 應用面積公式,求複合圖形面積試題及其概念屬性……………. 97. 表 4-5-8. 各類型學生「應用面積公式,求複合圖形面積」試題階層結構 比較表……………………………………………………………... 100. 表 4-5-9. 各類型學生「應用面積公式,求複合圖形面積」試題階層結構 圖次序分析表……………………………………………………... 102. ix.

(11) 圖目錄 圖 2-1-1. 互動式電子白板運作原理圖…………………………………... 8. 圖 2-1-2. 雙碼理論模式…………………………………………………... 9. 圖 2-1-3. 雙碼理論之多媒體學習示意圖………………………………... 10. 圖 2-1-4. 多媒體學習衍生理論示意圖………………………………….. 11. 圖 3-3-1. 學生診斷分析圖………………………………………………... 34. 圖 3-1-1. 研究架構圖…………………………………………………….. 44. 圖 3-1-2. 研究流程圖…………………………………………………….. 47. 圖 4-3-1. 「多邊形、正多邊形與其內角和」之學生試題階層結構 圖……………………………………………………………….. 67. 圖 4-3-2. 「三角形邊長性質」之學生試題階層結構圖……………….. 71. 圖 4-3-3. 「多邊形內角和之應用」 之學生試題階層結構圖……………. 74. 圖 4-4-1. 「平行四邊形與三角形面積的求法」之學生試題階層結構 圖……………………………………………………………….. 78. 圖 4-4-2. 「畫平行四邊形與三角形的高」之學生試題階層結構圖……. 81. 圖 4-4-3. 「平行四邊形與三角形面積的變化」之學生試題階層結構 圖………………………………………………………………. 「畫出梯形的高,理解梯形面積的求法」之學生試題階層結 構圖…………………………………………………………….. 85. 圖 4-5-2. 「理解梯形面積變化」之學生試題階層結構圖……….……. 95. 圖 4-5-3. 「應用面積公式,求複合圖形面積」之學生試題階層結構 圖……………………………………………………………….. 98. 圖 4-5-1. x. 90.

(12) 第一章 緒論 本研究旨在探討互動式電子白板(Interactive whiteboard, IWB)應用於 國小五年級數學之教學成效,並應用 S-P 表(student-problem chart)與次序理 論(ordering theory)分析學童之學習類型與試題階層結構圖。本章主要在闡 述本研究之背景與動機、目的、研究之範圍限制,並針對相關名詞做明確 界定。本章共分四節:第一節為研究背景與動機;第二節為研究目的;第 三節為研究範圍與限制;第四節為名詞解釋。. 第一節 研究背景與動機 科技日新月異,利用資訊融入教學,已是時勢所趨。自 1960 年代電腦 輔助教學促成個別化教學(individualized instruction)的熱潮。電腦科技和網 際網路的普及突破傳統教室活動的時空限制,並經由促進學習者間的互動 而提升學習成效(周孝俊,2008;劉子鍵、王緒溢、梁仁楷,2002;Hiltz and Wellman, 1997)。國內教育部於民國九十七年發布之「國民中小學九年一貫 課程綱要」的基本理念裡提到,各學習領域應使用資訊科技為輔助學習之 工具,以擴展各領域的學習,並提升學習整體學習效益(教育部,2008)。 如何透過資訊融入教學,促進教學成效,並引起學生學習的興趣,已成為 教學工作者努力的目標。 隨著科技的進步,在推廣資訊融入教學的同時,強調能結合黑板與電 腦投影布幕的互動式電子白板興起,全世界的電子白板導入教室的熱潮, 舉如歐美先進國家英國、美國、澳洲、香港、新加坡與日本等,政府投入 大量資金改善教育資源,以提升教師教學與學生學習成效(蕭英勵,2007)。 而英國政府於 2002 年一月宣布投入 990 萬歐元提供每間小學一組及每間 中學三組互動式電子白板設備(包括 IWB、PC 與單槍),並進行 IWB 前 導計畫。之後,在 2003 年九月宣布「School interactive whiteboard expansion 1.

(13) (SWE)」計畫,從 2003 到 2004 年提撥了 2500 萬歐元的經費預算用於支 援中小學採購互動式電子白板設備,同時成立了「National whiteboard netbook」 ,該計畫的進行讓 IWB 在教育討論及相關研究上成為眾所矚目的 焦點(周孝俊,2008;Beauchamp, 2004)。 在國內的部份,教育部自 96 年度起推行互動式電子白板進入教室之 資訊教育政策,期能追上世界先進各國之資訊融入教學之列。於 2007 年 開始透過「建置 E 化學習環境」計畫重點補助各縣市重點學校進行電子白 板教學實驗,作為後續電子白板大量推廣之政策參考依據(蕭英勵,2007)。 除補助縣市與學校發展 E 化專科教室,推動資訊融入教學外,也將互動式 電子白板列入資訊教育競賽項目之一(陳惠邦,2006)。 藉由 IWB 設備的功能,不僅保持傳統黑板的功能,使師生不需再忍受 粉筆灰,教師也可以輕易呈現數位化之教學媒體及教材,提升學生學習動 機,學生也可以輕易上台發表數位作品,進行報告。除此之外,教師可以 站在電子白板前,進行數位化教學,與學童進行互動;免除以往必須埋首 於電腦前,只能以聲音與學童交流的困境。 但以 IWB 進行教學,並非僅是黑板更換為電子白板的差異。隨著學習 科技的發展,現今注重如何把科技當作學習工具,學生利用這些工具發展 知識,也就是學生將工具當作學習伙伴(learning partner),由「從科技學 (learning from technology)」轉變成「用科技學(learning with technology)」(張 國恩,2008)。學校在導入 IWB 時,關鍵因素在技術支援、教師專業發展、 教學資源與數位內容各方面,而教師除了具備充分的 ICT(information & communications technology)應用的經驗與創新教學的意願外,還面臨教學 「主觀理論」的改變、對課程的重新規劃與設計等,都是學校與教師在導 入 IWB 於教學過程中需要面臨的挑戰(陳惠邦,2006)。也就是說,推動 IWB 融入教學並不只是硬體的改變,而是教學觀念的扭轉,與教師自我成長的 激勵。教學者如何在教學現場應用電子 E 化工具整合相關資訊進行教學, 2.

(14) 也成為教學者必須面對的問題。 在現行九年一貫課程中,學童自第二階段(國小三、四年級)開始認識 面積的常用單位,並能做面積的比較和計算,理解正方形與長方形的面 積;第三階段(國小五、六年級)學童則運用切割重組,理解三角形、平行 四邊形與梯形的面積公式(教育部,2008)。由此可知透過操作、切割與重 組,可幫助學童理解面積公式。但依研究者在目前課堂的傳統教學上,往 往使用習作附件中的圖卡讓學童操作練習,因圖卡面積不大,學童操作不 易;教師的示範教學又因範例圖卡有限,無法擴及習作上其他複合圖形, 讓中低成就的學童對於複合圖形,不但無法透過切割操作成另一個簡單的 圖形,甚至難以理解,淪於公式的背誦與數字的計算。 互動式電子白板,除了有一般投影屏幕功能外,教師或學生能直接以 手代替滑鼠或鍵盤在 IWB 上書寫、轉換軟體、操作搬移項目,而寬大的 投影幕,能讓學生清晰看到教學演示過程(梁芯佩、吳韋陵、翁嘉隆,2010)。 在本研究中,透過圖片的操作,可以讓學童理解平面幾何圖形如多邊形內 角和與平行四邊形、三角形、梯形面積公式,還能夠透過切割重組等動作, 具體理解複合圖形如何轉換為簡單圖形,提升學習成效。 但國內關於IWB的教學效果研究,多以評量考試總分分析教學成果, 較少以單元表現之學習類型分析進行研究。本研究使用準實驗研究法,期 望以量化方式探討應用IWB於國小五年級數學教學「多邊形」、「平行四 邊形與三角形面積」以及「梯形面積與應用」之成效,再應用S-P表分析學 生之學習類型,瞭解學生學習情形。並結合次序理論之資料分析方法,分 析學童在「多邊形」、「平行四邊形和三角形的面積」與「梯形面積」單 元表現之試題階層結構圖,利用概念間的順序性與結構性圖形,分析學生 概念結構,提供教師補救教學之參考。. 3.

(15) 第二節 研究目的 本研究旨在探討互動式電子白板應用於國小五年級數學之教學成 效,並分析學童之學習類型與知識結構圖。為達到研究目的,研究者設計 電子白板的實驗研究,比較實驗組與控制組的效益與差異。教學結束後, 利用次序理論,探討不同組別學生的試題概念結構的差異。 對於教學活動後的單元成就測驗結果,利用S-P表和次序理論之資料分 析方法,應用莊宗霖、林原宏(2007)研發的診斷導向之補救教學即時服務 系統,分析學童在小數除法及分數除法表現之學習類型與試題階層圖,以 提供補救教學之參考。本研究之研究目的臚列如下: 一、 探討國小五年級「多邊形」 、「平行四邊形和三角形的面積」與「梯 形面積與應用」等幾何單元課程中,運用傳統教學與 IWB 教學模式 下之教學成效。 二、 應用 S-P 表,分析國小五年級學童於「多邊形」、「平行四邊形和三 角形的面積」與「梯形面積與應用」等幾何單元學習表現之學習類 型。 三、 應用次序理論,分析國小五年級學童於「多邊形」、「平行四邊形和 三角形的面積」與「梯形面積與應用」等幾何單元學習表現之試題 階層結構圖。. 第三節 研究範圍與限制 本研究以臺中市某國小九十八學年度五年級兩個班級為研究對象, 進行準實驗研究。以研究者自編之「多邊形」 、 「平行四邊形和三角形面積」 及「梯形面積與應用」學習成就測驗卷為評量工具,探討實驗組與控制組 於實驗結束後之學習成效。並應用佐藤隆博(Takahiro Sato)提出的的 S-P 表,分析學童學習類型,再應用 Airasian and Bart 於 1973 年提出的次序理 論,分析學童之試題階層結構圖。研究之範圍與限制如下所述,故研究結 4.

(16) 果不宜過度推論解釋。. 壹、研究對象與教學者的限制 本研究係以臺中市某國小五年級兩個班級的學生為研究對象。實驗組 教學者乃依據本研究之教學活動設計,應用本研究之教學素材實施「多邊 形」 、「平行四邊形和三角形的面積」與「梯形面積與應用」等幾何單元教 學,其他應用 IWB 的教學方式並非本研究探討範圍。. 貳、教學時間的限制 本研究之教學活動係依據九十八學年度南一版第九冊五年級上學期 「多邊形」 、「平行四邊形和三角形面積」與「梯形面積與應用」等幾何單 元教材而設計,除「平行四邊形和三角形面積」單元教學時數為四節外, 「多邊形」與「梯形面積」單元教學時數均為五節,本研究教學時間總計 為十四節。. 參、教學範圍的限制 本研究實驗組之教學活動設計、教學素材以及學習測驗卷係以九十八 學年度南一版五年級上學期「多邊形」 、 「平行四邊形和三角形的面積」與 「梯形面積」共三單元教材為範圍而設計,其他出版商版本之相關教材並 未列入本研究之範圍。基於以上因素,本研究結果無法廣泛推論至其他年 級學生或其他學習領域。. 第四節 名詞解釋 本節將與本研究相關的名詞如「國小五年級學童」 、 「國小五年級數學 教學成效」 、 「傳統教學法」 、 「面積概念」 、 「互動式電子白板融入教學」等, 進一步做出說明與解釋。. 壹、 國小五年級學童 本研究所指的國小五年級學童是九十四學年進入臺中市某國小就讀 5.

(17) 一年級,九十八學年就讀五年級,且成為本研究準實驗研究法之研究對象 的學童。. 貳、 國小五年級數學教學成效 教學成效是指教師教學後,學生的學習測驗成績(蔡小玲,2008)。本 研究中所指的國小五年級數學教學成效,是指台中市某國小五年級學童接 受研究者所編製的「多邊形」 、「平行四邊形和三角形的面積」與「梯形面 積與應用」三單元單元成就測驗成就試卷之學習成就表現。若學童分數越 高,則成效越高;反之,則成效越低。. 參、傳統教學法 本研究所指傳統教學法係指教師利用教室內傳統黑板,配合出版商提 供的教具,例如情境掛圖、圖卡等,進行教學。. 肆、面積概念 本研究中所指的面積概念指的是該研究單元所教授的單元內容,包括 平行四邊形、三角形與梯形面積公式由來,為圖形畫高,運用面積公式處 理簡單或複合圖形的計算。. 伍、互動式電子白板融入教學 本研究中所指之互動式電子白板融入教學,是教師教學過程中,全程 以互動式電子白板取代黑板進行授課,作為學習內容與學習素材的媒介, 且依照單元活動適切運用相關軟體、簡報與電子教具。. 6.

(18) 第二章 文獻探討 本章共分五節,探討與本研究相關的理論與研究。第一節介紹互動式 電子白板軟體與其理論背景,並呈現與互動式電子白板融入教學相關研 究;第二節探討幾何與面積概念;第三節介紹 S-P 表的理論、編製方法與 相關應用研究;第四節探討次序理論及相關研究。. 第一節 互動式電子白板與相關研究 互動式電子白板與相關研究 壹、互動式電子白板 一、互動式電子白板 互動式電子白板是由裝有感應配備的白板、感應筆以及白板所附帶的 互動式電子白板教學編輯系統軟體所組成,連結電腦、投影機而運作(陳惠 邦,2006)。互動式電子白板相當於大型觸控螢幕,使原本只能顯示電腦投 影螢幕變成能寫、能畫的電腦操作介面,兼有黑板與多媒體教學系統的雙 重優勢(黃郁婷,2010;楊淑蘭,2009;劉正山,2008)。教師可利用手或 感應筆直接於屏幕上書寫、搬移、切割、旋轉、圈點、繪圖等,教師可站 在台前直接與學童進行互動。而Smith, Higgins, Wall and Miller(2005)的研 究也指出,「互動性」也就是電子白板最主要的優勢,透過互動性,IWB 才能變成促進教學最好的工具。 如圖 2-1-1 所示,電腦利用 USB 連接線與互動式電子白板連接,透過 單槍投影機將電腦影像投射於互動式電子白板上,運用互動式電子白板相 關軟體,使互動式電子白板能配合電腦作定位,不但能與電腦同步,還能 以手指或觸控筆模擬滑鼠的功能,在電子白板上進行移動、開啟檔案、儲 存等功能。而其他相關硬體,例如印表機、電子顯微鏡、掃描器與數位相 機等,也可以透過電腦與單槍投影機,直接投影於互動式電子白板上進行 7.

(19) 顯示,建構一個 E 化教學環境。. 圖 2-1-1 互動式電子白板運作原理圖(修改自:陳惠邦,2006) 互動式電子白板運作原理圖 二、互動式電子白板融入教學理論基礎 互動式電子白板融入教學在教育心理學上的理論基礎有二,分別為雙 碼理論(dual-coding theory, DCT)與多媒體學習衍生理論(generative theory of learning),茲分述如下: (一)雙碼理論 雙碼理論由 Paivio(1986)提出,認為人類不只有一套接受訊息的處理 系統,而是在整體的認知系統下,有語文(verbal)與非語文(nonverbal)兩套 具有關連性又獨立處理不同類別資訊的子系統。語文系統在接受處理視 覺、聽覺等形式的語文刺激後,將這些語文編碼(verbal codes)以語文元 (logoens)為單位,儲存於文字記憶區中。非語文系統則處理所有語文刺激 以外的視覺化資訊,將這些圖片、影像資訊編碼後,以意像元(imagens)為 單位儲存於圖像記憶區中。 語文與非語文兩套認知系統獨立運作,但可透過參照鏈結(referential connection)彼此互動,如圖2-1-2所示,個體可以利用參照鏈結檢索語文與 8.

(20) 非語文系統兩者內的資訊,對資訊加以思考判別。Schmitt, Tavassoli and Millard(1993)的研究也指出,訊息是否能被有效處理並記憶之關鍵,即為 語文編碼、圖像編碼與參照鏈結三者間建立的品質。雙碼理論的觀點便是 強調學習者必須同時使用語文編碼、圖像編碼與參照鏈結來有效處理資 訊,提升學習效果。而Paivio(1986)認為個體在進行學習時,圖像系統相較 於語文系統對於資訊有更好的處理能力,當個體看到一個圖片時,會將圖 像自動轉換成語文方式來處理,但看到文字時,卻不會把它轉換成圖像方 式。 圖像刺激. 語文刺激. 感官系統 具像連結. 圖像系統. 語文系統. 參照 鏈結. 語文元. 意像元. 語文的回應 圖 2-1-2. 圖像的回應 雙碼理論模式(Paivio,1986) 雙碼理論模式. 根據雙碼理論,許多研究學者也提出相關研究,Mayer and Sims (1994) 提出雙碼理論之多媒體學習示意圖,如圖 2-1-3 所示,當個體接收到語文 與非語文資訊時,會分別輸入認知系統中的工作記憶區,分別透過語文意 像、圖像意像與參照鏈結運作或產生關連,進而提升學習成效。Najjar(1996) 的研究也指出,多媒體內容有助於提升學習者學習情況,特別是圖文並 9.

(21) 陳、以圖配文的多媒體,其效果優於純文字呈現的資訊。 互動式電子白板可以在同時間呈現圖像、文字與聲音等多媒體訊息, 不同形式的訊息進入工作記憶區後,透過師生互動,運用電子白板觸控的 特性,進一步理解文字,操弄圖形,產生參照鏈結,藉以提昇學習成效。 工作記憶區 語文意像 參照鏈結 非語文(圖像) 呈現方式. 學習成效. 語文呈現方式. 圖像意像. 長期記憶區 圖 2-1-3 雙碼理論之多媒體學習示意圖(Mayer and Sims, 1994) 雙碼理論之多媒體學習示意圖 (二) 多媒體學習衍生理論 Mayer(1997)結合 Paivio(1986)的雙碼理論與 Wittrock(1990)的學習衍生 理論(generative theory of learning),提出多媒體學習衍生理論,指出好的多 媒體輔助系統能夠協助學習者建立下列三種訊息處理過程,如圖 2-1-4: 1. 選擇(selecting):當學習者接觸到兼具語文與圖像資訊時,可以選擇相 關語文或圖像建立語文或圖像資料庫,分別儲存於語文或圖像工作記憶 區中。 2. 組織(organizing):學習者在接觸訊息的過程中,能在語文或圖像工作記 憶區中,分別組織相關語文或圖像資料庫。這個組織的過程就是將短期 記憶中的內容整理為一個連貫的整體。Mayer(1997)稱組織後的語文或 圖像資料庫為情境模型(situational model),分為語文和心像情境模型。 3. 整合(integratiog):當學習者建立語文和心像情境模型後,必須建立兩者 間的連結,即為整合階段,亦即 Paivio(1986)雙碼理論中之參照鏈結。 10.

(22) 因上述三個訊息處理過程發生於工作記憶區,有容量之限制,因此多 媒體學習理論學者認為,若能利用多媒體系統輔助學習者善用工作記憶區 來選擇、組織、整合等處理歷程,將可有效提升學習效果(蔡嘉景,2009)。 互動式電子白板可善用其相關軟體,例如放大鏡、遮罩燈、彈出式視 窗、螢光筆劃記協助學童處理訊息,讓學童將注意力聚焦於訊息本身,並 幫助學童自訊息中針對語文或圖像進一步進行組織、整合等歷程,提升其 學習效果。. 語文. 選擇. 語文 資料庫. 組織. 語文情境模型. 整合 圖像. 選擇. 圖像 資料庫. 組織 心像情境模型. 圖 2-1-4 多媒體學習衍生理論示意圖 1997) 多媒體學習衍生理論示意圖(Mayer, 示意圖 三、互動式電子白板的優點 根據國內外陳惠邦(2008)與 Smith et al. (2005)的相關研究,互動式電 子白板對於教學現場有諸多優點,整理如下: (一)彈性與變通性(flexibility and versatility) Ball(2003)的研究指出互動式電子白板與其軟體功能,例如註記、翻轉 圖片、保存檔案、移動與焦點呈現,為教學帶來彈性與變通性。教學者可 以將所有的功能整合在互動式電子白板軟體與簡報中,應用於各教學領 域,不受教具或教學資源的限制。 (二)結合多媒體與多元感官型態教學(multimedia/multimodal presentation) IWB 具有多媒體整合的功能(梁芯佩、吳韋陵、翁嘉隆,2010),教學 者可以執行各種相關軟體與多媒體資源,以配合課程與教學的需要。學習 者用觸覺在互動式電子白板上移動、翻轉、切割物件,標註重點;教學者 11.

(23) 以電子白板直接觸碰利用網際網路搜尋資料,播放多媒體影音檔案,豐富 學習者的視覺與聽覺,吸引學生的注意力,幫助學生抽象思考。在 Levy(2002)的研究晤談中顯示,使用互動式電子白板的教師認為,使用互 動式電子白板比其他資訊設備更容易運用其他多媒體,讓教學更具多樣性 與豐富性。但 Goldman(2003)指出,互動式電子白板呈現多元感官資訊並 無法達到教學效果。陳惠邦(2008)認為需配合教材內容與講解、學生前後 經驗的連結與學生學習方式之配合,才能達到教學目的。 (三)突破時間與空間的限制 Fletcher(2006)表示,透過互動式電子白板的錄影功能,能將教師的教 學活動存成數位檔案,可上傳到網路空間,供學生下載複習功課使用,突 破空間與時間的限制,學生在家即可複習上課內容。 (四)提高教學效能(efficiency) 互動式電子白板結合黑板與投影屏幕,可延續教學者邊講解、邊書寫 的授課習慣,不必往來於黑板與電腦之間,增加教學的連貫性,有助於與 學生互動,幫助學生集中注意力。Kennewall(2005)與 Smith et al. (2005)都 指出,互動式電子白板的創造性與展示效果,相較於教室其他資源,更能 吸引教師與學生的注意力。教學者在數學教學中,使用互動式電子白板能 快速展示圖形,節省佈題時間,加快教學步調(Ball, 2003)。 (五)提高學習動機 教學媒體確實在教學上,具有多項功能:能使教學具體化,標準化、 能引起學生學習的興趣、增加學習印象及節省教學時間等功能(引自林清 章,1998)。運用電子白板的圖片展示、色彩標註或是播放多媒體的功能, 以生動的方式呈現豐富教學內容,有助於在教學過程中保持學生注意力, 提升學習動機(郭毅玲,2010;Glover, Miller, Averis and Door, 2005)。Hall and Higgins(2005)的研究指出,互動式電子白板能幫助學生主動參與教學 活動提高學習動機。國內研究也顯示,互動式電子白板對於提升學生對於 12.

(24) 學習之動機,有顯著成效(王曉璿、許美惠、黃銘智,2010;林儀惠,2008; 周孝俊,2008)。 三、互動式電子白板應用上的限制 互動式電子白板應用上有其限制,茲整理各學者提出之互動式電子白 板融入教學中可能遇到的困境,分述如下(陳惠邦,2006;蕭英勵,2007; Smith et al., 2005): (一)互動式電子白板設備價錢昂貴,維護不易。 (二)目前研究多指出互動式電子白板能引起學童學習興趣,但這些調查實 驗研究觀察期僅一年左右,是否只是因為教室中的新設備產生新奇效 應,尚待時間更長期觀察研究(陳惠邦,2006)。 (三)互動式電子白板造成的反光性,教室內視覺死角的限制,教師站立於 白板前的陰影遮蔽,都會造成學生視力負擔。 (四)教學者教學方式與教學信念的改變:互動式電子白板著眼其互動性, 但Smith (2001)指出教學者在課堂時間的掌握上,若是過於依賴與學童 在電子白板上的互動,可能導致教學進度落後,學童對教學活動也會 產生厭煩。 (五)教師專業發展不足:在互動式電子白板的推動上,不僅只有電子白板 相關設備的提供,教師對於教學活動的自我成長與進修發展,也是需 要教師團隊與社群協同進行與支持,避免教師因對於硬體不熟悉、教 學資源的準備而感到力不從心,對於互動式電子白板敬而遠之。 四、互動式電子白板的應用層次 IWB 融入教學並非教學者將授課的黑板改成互動式電子白板的硬體 改變,若教學者仍執著於過去傳統的講述教學,而忽略媒材之多元,學生 之互動,仍舊以教師為中心的授課模式,則將 IWB 融入教學的美意將大打 折扣。為了讓 IWB 教學發揮最大功效,則教學者的教學方式與學生的學習 方式,在使用互動式電子白板時,將經歷一段轉變過程(郭毅玲,2010)。 13.

(25) 以下將學者對於互動式電子白板的應用層次整理如表 2-1-1 與表 2-1-2 示 之。 (一) Beauchamp(2004)的研究 由表 2-1-1 可知,Beauchamp(2004)認為教師在利用互動式電子白板 時,所面臨的層次轉變中,主張教師應位於第一線的主導地位,循序漸進 的引領整個導入過程。教師應利用互動式電子白板操作、自編教學媒材, 並且在導入過程中,以教材引領學生熟悉如何操作互動式電子白板,以學 生學習為最重要考量,最終兩者皆具備建構教學活動之能力,互動式電子 白板不僅是教師教學的輔具,也應是學生學習的利器。 表 2-1-1 Beauchamp(2004)的五階段架構 的五階段架構 階段 時期 師生表現 黑板/白板交替時期 階段 由教師操作互動式電子白板,僅操作書寫、 (Black/whiteboard 一 畫圖以及電子白板自身提供的功能。 Substitute) 教師利用網路資源、電腦圖庫來自編教材, 階段 練習期 並將使用過的檔案留存;學生能簡易操作電 二 (Apprentice User) 子白板的基本功能。 教師已熟悉電子白板使用技巧,能放大、縮 階段 小、切換檔案,並且能使用圖片、聲音等資 開創期 三 源;學生能到電子白板前選取工具輸入內容 (Initiate User) 到白板中。 教師能在電子白板中加入從前學習過的內 容,提供班級學生使用,亦可使用影片、聲 階段 進階期 音檔案以及其他同事開發之教材;學生對於 四 (Advance User) 電子白板運作自如。本階段著重學生的學 習,而非科技設備。 階段 師生在電子白板的操作上都已具備高層次使 互相促進期 五 (Synergistic User) 用能力,師生皆能建構有意義之教學活動。 (二) 陳惠邦(2006)的研究 由表 2-1-2 可知,陳惠邦(2006)主張教師在導入互動式電子白板教學的 過程中,不但應居於主導地位,更應以教師為中心,善用互動式電子白板 14.

(26) 的優勢,強調並應用其軟體功能優點,搭配網路提供的資源,設計良好教 學活動,建立師生互動學習平台。 表 2-1-2 陳惠邦(2006)電子白板應用層次 電子白板應用層次 陳惠邦 層次 內容 層次 一 層次 二 層次 三 層次 四. 表現 將電子白板視為黑板,進行板書講 代替傳統黑板的展示或教 解;或視為螢幕,以電腦或投影機播 學呈現功能 放教學媒材。 以教師為主導的媒體操作 教師透過電子白板操控電腦,開啟相 平台 關檔案或多媒體進行講述教學。 教師應用電子白板軟體功能,如圖像 以教師為中心的展示平台 化、動態化等;或應用電子白板資料 庫中的教材、遊戲等進行教學。 教師應用電子白板相關軟體功能,以 師生互動學習平台 及其資料庫中相關教學素材,搭配網 路教學資源,設計教學活動。. 五、互動式電子白板融入教學之相關研究 互動式電子白板是近年來教學現場常使用的教學媒體工具之一,應用 的範圍十分廣泛,包括數學領域、自然與生活科技領域、語文領域、特殊 教育等,皆能利用互動式電子白板的優點輔助學生學習(林儀惠,2008;林 宜樺、林原宏,2010;黃郁婷,2010;梁芯佩、吳韋陵、翁嘉隆,2010)。 以下就有關互動式電子白板之相關實證研究加以整理如下: (一)提升學習成效方面 Carson(2003)以互動式電子白板結合遊戲軟體,於中學數學科進行教 學,研究顯示能夠提升學生的學習成效,且能夠在活動中,提早發現學生 在學習上的錯誤並予以糾正。 林儀惠(2008)以互動式電子白板融入國小五年級面積單元教學,研究 結果顯示接受互動式電子白板融入教學的學生,其數學成就測驗優於接受 傳統教學的學童。 陳秀雯(2008)利用準實驗研究方法,發現實驗組學生在接受互動式電 子白板融入教學之後。其分數與面積單元的學習成效,優於一般黑板教學 15.

(27) 的學生,但教師之教學設計活動必須強調學生的學習,並以適當的教學策 略來促進學生學習。 林宜樺(2010)利用電子白板的概念構圖教學,探討國小六年級自然與 生活科技領域之教學成效,發現高分組比中分組學童對於概念改變情形進 步顯著,其他組別則無明顯不同,而低分組的學生進步情形良好。在紙筆 測驗成績方面,高分組比中分組學童學習成效顯著,其他組別則無明顯不 同。 (二)提升學習動機方面 Edwards, Hartnell and Martin (2002)運用互動式電子白板中的應用軟 體,例如量角器、放大鏡顯示等融入教學,發現教學中若能搭配遊戲軟體, 能夠提升學生對於學習的動機與興趣,讓教學內容的呈現更多樣化。 Amolo(2006)以 26 名五年級學生為研究對象,運用電子白板融入社會 科教學,發現互動式電子白板能提高學生對於學習的興趣與專注力。 陳彥至(2007)研究互動式電子白板融入國小數學領域幾何部分、線對 稱圖形、柱體與椎體等三單元,發現使用互動式電子白板能提升學習氣 氛,利用電子白板內建的軟體工具,如尺規、幾何繪圖工具能提升學童學 習注意力;而電子白板的其他功能,例如拖曳圖片、旋轉、縮放檔案,能 讓學童更瞭解幾何抽象概念。 黃國禎(2008)歷經兩學期的行動研究實施歷程,發現互動式電子白板 能引起學童學習動機,改善學童數學學習態度,提升教師教學效率。 周孝俊(2008)進行互動式電子白板融入自然科領域教學,研究結果顯 示接受互動式電子白板融入教學的學生,其學習成就優於接受傳統教學的 學童,且對於高分組與低分組的學生,有明顯的成效;而電腦遊戲結合互 動式電子白板也能吸引小朋友注意力與提高學習動機。 王曉璿等人(2010),探討互動式電子白板融入教學對於國小四年級學 童角度測量概念之學習效益,發現互動式電子白板能提升學童之學習成 效,也能增進學童之學習動機。 16.

(28) 綜合以上研究發現,互動式電子白板融入教學不但能提升學童之學習 成效,對於增進學童之學習動機,也有所助益,但互動式電子白板只是教 學的輔助工具,教學者仍須自我進修與提升,搭配良好的教學策略,才能 更加發揮互動式電子白板其功能,提升教學成效。. 第二節 幾何與面積 幾何與面積概念 與面積概念 壹、幾何概念 幾何概念 美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics, NCTM, 1991)認為幾何是研究空間中的形狀和空間關係,可以幫助人類以有條理的 方式表現和描述生活的世界。幾何所探討的主要對象,是物體的結構和形 狀的特性與變化(劉好,1998)。而張英傑(2001)進一步指出,學童對於幾何 概念的歷程發展是循環不斷的,學童透過雙眼,看到形式、圖形、物體移 動和幾何形體,均使學童產生刺激和線索,使學童由記憶中提取相關的幾 何舊經驗,進一步與新資訊進行重整,組成新的幾何形體概念。 以下就學童幾何概念發展歷程有關的研究,敘述如下: 一、van Hiele 理論 (一) van Hiele 幾何思考層次理論 荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦,於 1957 年提出幾何思考層次理論。 依據 van Hiele(1986)的分類,分為層次一至層次五(吳德邦,1999、1998、 2004),茲分述如下: 1.層次一:視覺的(visual)層次 此層次的學生,主要透過視覺觀察具體實物的整體輪廓而辨認形體。 若視覺差異不大的圖形,則可以透過移動或旋轉等方法來辨認。雖然此層 次的兒童能夠依據物體外觀而說明形狀,但並不了解圖形之真正定義,亦 無法就圖形性質或組成要素進行分析。 17.

(29) 2.層次二:描述的(descriptive)層次 此層次的學生,具有豐富的視覺辨認經驗,不但能透過外觀輪廓辨認 圖形特徵,還能依據所觀察到的結果分析幾何圖形的構成要素,並進而發 現圖形間共同的性質,且能透過這些性質或構成要素來辨認圖形,但無法 分辨或解釋不同圖形之間的關係。 3.層次三:理論的(theoretical)層次 此層次的學生能夠清楚瞭解幾何圖形的構成要素,也能分辨不同圖形 之間的關係,並且能進一步探索各種幾何圖形的內在屬性與包含關係,例 如此層次的學生已經能夠瞭解正方形屬於長方形的一種。 4.層次四:形式邏輯的(formal logic)層次 此層次的學生能夠運用邏輯去分析、思考、解釋名詞、定理或定義, 還能依據邏輯推理的過程,學習去證明這些幾何定理與其相互的關係,且 瞭解證明可能不只一種,例如不必透過實體物的操作,就能證明三角形內 角和為 180 度。 5.邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次 此層次的學生能夠從公設體系中,發展建立一套定理,且能比較定理 之間的不同,甚至還能自創一套公設體系。能夠到達此層次的人並不多, 即使為專業之數學工作者亦不易達成。 根據林軍治(1992)、吳德邦(1999)、張英傑(2001)與盧銘法(1996)的研 究發現,在國小兒童幾何之van Hiele層次大部分都位於層次一、層次二與 層次三中。而劉好(1998)進一步說明,國小高年級的學童,其思考層次大 約在層次二與層次三間之過渡時期,可以藉由適當的觀察學習及實際驗 證,分析圖形構成要素與圖形性質,因此本研究的對象之幾何思考層次大 多數為層次二至三。 (二) van Hiele 幾何思考層次之特性 van Hiele(1986)認為幾何思考層次具有某些固定的特性。而 18.

(30) Crowley(1987)將這些幾何思考層次特性分為五個性質(吳德邦,1998),茲 分述如下: 1.次序性(sequential) 幾何思考層次發展是循序漸進的,每一概念的層次植基於前一個層次 的概念基礎,學生必須充分學習該層次之概念、知識、能力,方能推進到 下一個概念層次的學習。 2.提升性(advancement) 層次的提升,有賴於教學的過程,而非個體年齡的成長或成熟。所以 教學方法可能促成層次的發展,亦可能成為層次發展的阻礙。 3.內因性與外因性(intrinsic and extrinsic) 在幾何思考層次中,前一個層次的隱藏元素,是下一個層次的顯現因 素。意即先前層次的內在性,成為下一個層次的外在性(林軍治,1992)。 Clements and Battista(1992)的解釋為對某些概念的瞭解,可能在該層次尚未 明顯,但到了下一層次,則可明確瞭解。 4.語言獨特性(linguistic) 學生在不同的思考層次中,有不同的語言符號與其專屬的關連系統。 因此,在某一層次中符合的語言,到了下一層次,就可能必須經過修正。 5.不適合性(mismatch) 根據思考層次中的語言獨特性,處於不同思考層次的人,彼此無法溝 通、相互瞭解,若教學者的教學設計、語言符號的使用,與學習者並未處 於同一層次,則教學成效不佳,學生亦難以理解。 二、Piaget 認知發展理論(cognitive development) 與兒童幾何發展理論 Piaget, Inhelder and Szeminska(1960)根據長期對兒童的觀察,認為個體 的認知發展是不斷的同化與調適歷程,個體的成長都必須經歷此歷程,成 長的快慢可能因為個人或文化背景不同而有差異,但其發展順序不會改 變,每一階段的發展都是後一階段發展的基礎,可分為:約為出生至 2 歲 19.

(31) 感覺動作期(sensorimotor period)、2 至 7 歲的前運思期(preoperational period)、7 歲至 12 歲的具體運思期(concrete operational period)和 12 歲以上 的形式運思期(formal operational period)四個階段,隨著階段的不同,其認 知運作能力也有所不同。 Piaget and Inhelder(1967)更進一步從認知發展的觀點研究兒童的幾何 發展,認為兒童對空間的理解並非僅是知覺,需要透過感覺-動作(sensori motor)等操作活動,將他們對圖形、物體及其在空間移動等觀察、操作所 產生的認知(perception),形成內在的心理表徵(黃幸美,2010),進而組織 成操作系統。可分為三階段:拓樸幾何概念時期(topological concepts or structure)、投影幾何概念時期(projectire geometry)與歐幾里德幾何概念時期 (euclidean geometry)。本研究對象為國小五年級學童,依據Piaget的分類, 分別屬於具體運思期與歐幾里德幾何概念時期。 三、Duval 幾何圖形認知瞭解 Duval (1995)認為圖形經由實物、心像、認知圖形組織、及語言文字的 操弄、陳述、推理歷程,可以幫助我們達到瞭解(appprehesion),藉以解決 原先不易解決的幾何問題。而這些瞭解可以分為四類,分述如下(吳德邦、 馬秀蘭、藍同利,2006): (一) 知覺性瞭解(perceptual apprehension) 只要一個圖形被提出,必定喚起個體知覺性的瞭解及至少一個關於其 他的瞭解,一個可被察覺的圖形和僅呈現於視網膜上的圖形最大的差別在 於圖形組織的原則,以及圖像所帶給視覺者的暗示。個體可以區別或辨認 圖形中的子圖形(sub-figure),例如正方形能以對角線分割出兩個直角三角 形,但這些子圖形未必完全建立在原圖形的結構上。 (二)構圖性瞭解(sequential apprehension) 當個體在構圖的過程中,或是描述該圖形之結構時,必須對圖形作構 圖性的瞭解,構圖性的瞭解即是在構圖的過程中,圖形的不同單位元件會 20.

(32) 依其特殊順序顯現,但會因繪圖工具,例如尺規等而遭受限制,若因為繪 圖工具的限制而無法表達圖形性質之間的關係,則圖形無法被瞭解。 (三) 論述性瞭解(discursive apprehension) 若光憑知覺性的瞭解,無法使所有人對圖形之幾何概念達到共同的理 解,必須起源於圖形的命名與假設。圖形所代表的性質,不能完全依靠繪 圖呈現,在所有的幾何表徵中,對於其幾何性質的辨認必須透過敘述,歷 經一段演繹的過程來決定這圖形表現什麼,論述性瞭解可以在知覺性瞭解 不變的情況下而改變。 (四)操弄性瞭解(operative apprehension) 當個體觀察一個圖形時,可以透過操作圖形得到解題的靈感,而個體 以不同方式,例如分解組合、放大縮小、平移旋轉等更改圖形之後,便可 以獲得操弄性理解,增加洞察力。可以透過心靈抽象操作,亦可以實物變 動,使圖形具有啟發的功能,得到證明的步驟或解題靈感。 而在學生學習幾何知識來說,Duval(1998)則認為應有三種認知過程, 分別是:視覺(visualization)過程、作圖(construction)過程以及進行論說的推 理(reasoning)過程。 本研究期望能依照認知與幾何發展階段,兼顧學生的思考層次,設計 適當的教學方式,並配合互動式電子白板的相關應用軟體,讓學生透過操 作、重組、切割等動作,獲得操弄性理解,並能進一步運用抽象操作處理 複合圖形問題。. 貳、面積概念 一、兒童面積概念 譚寧君(1995)指出「面積」指的是對某一特定區域的覆蓋程度,亦即 被覆蓋面的大小,屬於測量的教材,但一般人往往將重點放在圖形的辨 認,或分解或合成,以不同公式計算以求解,忽略量感的培養與量概念的 建立,應瞭解各種量均具備可比較、保存、分割、合併等性質。 21.

(33) 依據 Piaget et.al. (1960)針對兒童幾何概念的研究,認為面積概念有兩 大重點,面積保留概念與面積測量概念: (一)面積保留概念 保留概念由 Piaget 首先提出,指的是兒童在某特殊經驗因素(如重量、 容積等)的狀態經可觀察的改變後,仍能了解其不變性(B.Inhelder & J.Piaget,1958) 。譚寧君(1998)指出保留概念指的是當兒童面對物體的某種 轉換時,如位置的移動,方向的轉動,形狀的改變或切割活動,能瞭解其 原來特質能保留不變的認知能力。Piaget et.al. (1960)認為此種能力並非一 蹴可幾,也無法透過教學活動而建立,而是累積多次經驗逐步形成。皮亞 傑發現,若兒童要具有保留概念,其思考程序應具備認同、補償、反轉自 如的逆轉力及穩定的理解力。兒童常利用三種論證來支持其保留判斷,以 下分述之(葉啟村、葉淑慧、曾建勳,2004): 1.同一性(identity) 指兩個刺激物外形原本相同,在轉變的過程中,既無增加也未減 少,故兩個刺激物仍然相同。 2.可逆性(reversibility) ,意即逆轉性(negation) 指刺激物雖經過改變,但兒童能循相反的方向思考,發現刺激物若還 原,則還是相同物體。 3.補償性(compensation) ,意即相互性(reciprocity) 兒童認為每個刺激物有兩個測量的向度,一個向度的改變,必然為另 一個向度的補足,故兩者雖然外型不一樣,但兩者仍然相同。 而關於面積保留概念又分為兩個層次: 1.基本面積保留概念 此層次代表任何封閉範圍內面的大小,不因位置改變而有不同(譚寧 君,1995)。亦即圖形即使經過旋轉、平移等活動,面積大小將不會改變。 2.互補面積保留概念 此層次表示在面積相等的兩個面上,減去形狀雖不同但面積相同的兩 22.

(34) 塊小平面後,其所剩的面積仍然相等,亦即等量減等量結果相等(譚寧君, 1995)。Piaget(1960)研究發現,必須先具備基本面積保留概念,才能發展 出互補面積保留概念。 (二)面積測量概念 譚寧君(1995)指出,面積測量的基本概念即在探索封閉範圍內的覆蓋 情形,其又可分為三個層次: 1.基本面積概念 此層次表示在給定的平方單位格內點數單位面積的個數,兒童可透過 點數及合成活動,算出面積的大小。若平方單位格個數非整數格時,即形 成面積的補償關係。 2.單位面積概念 單位面積概念透過各個不同單位量的覆蓋或拼湊而成,瞭解面積相同 和形狀可能不同的等積異形概念,亦可透過切割活動進行等積異形的比較 活動,但僅以視覺切割活動就能進行比較的能力,必須透過豐富的實際切 割活動後,才能形成切割的心像。 3.直線測量面積概念 直線測量包括單位在數學上的相乘關係,一般所謂的面積公式均屬此 範疇。 (三) 九年一貫課程 九年一貫課程面積相關能力指標 貫課程面積相關能力指標 數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段:第一階段為國小一至 二年級,第二階段為國小三至四年級,第三階段為國小五至六年級,第四 階段為國中一至三年級。另將數學內容分為「數與量」 、 「幾何」 、 「代數」、 「統計與機率」 、 「連結」等五大主題。前四項主題的能力指標以三碼編排, 其中第一碼表示主題,分別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」 、 「幾何」、 「代數」和「統計與機率」四個主題;第二碼表示階段,分別以 1、2、3、 4 表示第一、二、三、四階段;第三碼則是能力指標的流水號,表示該細 項下指標的序號(教育部,2008)。 23.

(35) 表 2-2-1 面積相關能力指標 代號. 能力指標內容. N-1-10. 能認識容量、重量、面積(不含常用單位). N-2-21. 能認識面積常用單位,並能做面積之比較與計算。. N-2-22 S-2-08. 能理解正方形和長方形的面積與周長公式. N-2-26. 能做量的簡單估測. N-3 -22 S-3-06. 能運用切割重組,理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公 式。. N-3-23. 能理解圓面積與圓周長的公式,並計算簡單扇形面積。. N-3-25 S-3-11. 能計算正方體和長方體的表面積。. S-2-02. 能透過操作,將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。. S-2-04. 能透過平面圖形的組成要素,認識基本平面圖形。. S-2-05. 能透過操作,認識簡單平面圖形的性質。. 第三節 第三節 S-P 表理論與相關研究 壹、S-P 表的意義 過去的試題分析僅針對試題難易度與鑑別度,而測驗分析只分析試卷 之信效度,無法對於學生的作答反應資料(response data)進行進一步的分 析,所謂的作答反應組型指的是學生在試卷上針對每道試題作答結果的原 始資料組合而成的一個向量(余民寧,2002)。1975 年,日本學者佐藤隆博 首先提出 S-P 表,又稱學生問題表,是一種將學生的作答反應情形「圖形 化」的分析方法,目的是在獲得每位學生的作答反應資料,診斷學生的學 習成效與試題的恰當性 (游森期、余民寧,2006)。可避免學生的答對總分 相同,而作答反應組型(reponse pattern)卻不同的現象,能更進一步瞭解其 作答反應組型之意義,診斷其學習困難,提供學生學習過程缺失與學習類 型,教師也能獲得命題良窳與教學得失等相關訊息,能改進教學措施,提 24.

(36) 升教育品質(余民寧,2002)。Takeya(1980)與 Tatsuoka(1984)的研究顯示, 此方法適合小樣本數的班級人數進行形成性評量之測驗資料分析。 余民寧(2002)指出 S-P 表可以求得測驗題本與全體受試者的差異係數 (discrepancy coefficient)與同質性係數(homogeneity coefficient),也可以求得 個別試題的試題注意係數(caution index for item,簡稱 CP)及以及個別學生 的學生注意係數 (caution index for student,簡稱 CS)等指標,來判斷不尋 常之反應組型,提供學習診斷訊息,提供教師作為改進教學及學習輔導策 略之參考。. 貳、S-P 表的編製 S-P 表的製作步驟,以範例說明之(修改自余民寧,2002): (一)受試者原始答題資料表 假設有一份 N (i=1,2,…, N )位學生在 M(j=1,2,…,M)個二元計分試題上 的作答反應資料,經過答對給 1,答錯給 0 的評分後,得到一份 N×M 之原 始得分資料矩陣,以下記錄 10 位受試者在 10 道試題上的作答反應情形, 如表 2-3-1。 表 2-3-1 受試者原始答題 受試者原始答題資料表 答題資料表 試題. 受試者. 總分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 8. 2. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 2. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 7. 4. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 6. 5. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 5. 6. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 4. 7. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 10. 8. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 9. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 7. 10. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 3. 答對人數. 6. 7. 10. 8. 8. 6. 2. 4. 2. 3. 56. 25.

(37) (二)將總分依高低,由上至下排序: 將得到的原始答題資料依總分高低,由上至下排序。若遇到學生總分 相同之情形,則依照該名學生之反應組型中,所有未答對的試題之答對人 數總和,依照由小至大的順序,由上而下排列;若學生之總分相同,未答 對的試題之答對人數和亦相同,則隨機排序。例如:3 號與 9 號學生之得 分相同,則比較其未答對試題之答對人數和,3 號學生之未答對試題之答 對人數和為 2+4+2=8,9 號學生之未答對試題之答對人數和為 2+4+3=9, 則 3 號學生排於 9 號學生之上。 表 2-3-2 受試者得分高低排序 受試者得分高低排序表 得分高低排序表 試題. 受試者. 總分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 7. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 10. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 8. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 7. 9. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 7. 4. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 6. 5. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 5. 6. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 4. 8. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 10. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 3. 2. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 2. 答對人數. 6. 7. 10. 8. 8. 6. 2. 4. 2. 3. 56. (三)再將試題答對人數由多至少,由左至右依序排列 依照每道試題答對人數及反應組型由多至少,由左至右依序排列。若 遇到答對人數相同的試題,則依照各試題未答對人數的總分之和,按照由 小至大的順序,由左而右排列。以 4、5 題為例,第 4 題之未答對人數總 分和為 3+2=5,第 5 題未答對人數總分和為 4+2=6,故第 4 題排列於第 5 題之左。 26.

(38) 表 2-3-3 試題答對人數多寡排序表 試題答對人數多寡排序表 試題. 受試者. 總分. 3. 4. 5. 2. 1. 6. 8. 10. 9. 7. 7. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 10. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 8. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 7. 9. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 7. 4. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 6. 5. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 5. 6. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 4. 8. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 10. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 3. 2. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 2. 答對人數. 10. 8. 8. 7. 6. 6. 4. 3. 2. 2. 56. (四)繪製 S 曲線與 P 曲線 將學生總分與試題答對人數依序排列後之資料矩陣,依照每位學生總 分,由左至右數與該名學生總分相同之試題個數,在其右邊畫一垂直分界 線,依總分高低循序畫出與每位學生總分相對應的垂直分界線,並加以連 接,便形成一條階梯曲線,稱為「S 曲線」 ;再依據每道試題答對人數,由 上而下數與該到試題答對人數相同之學生個數,在其下方畫出一條水平分 界線,依每道試題答對人數多寡循序畫出與每位學生人數相對應的水平分 界線,加以連接便得到一條階梯曲線,稱為「P 曲線」 ,即為完整的 S-P 表。. 27.

(39) 表 2-3-4 S 曲線與 P 曲線分佈圖 試題. 受試者. 總分. 3. 4. 5. 2. 1. 6. 8. 10. 9. 7. 7. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 10. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 8. 3. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 7. 9. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 7. 4. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 6. 5. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 5. 6. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 4. 8. 1. 1. 0. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 10. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 3. 2. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 2. 答對人數. 10. 8. 8. 7. 6. 6. 4. 3. 2. 2. 56. (虛線為 S 曲線,實線為 P 曲線) 若 S 曲線以左或是 P 曲線以上全部出現 1 時,且 S 曲線與 P 曲線完全 疊合,稱做「完美量尺」反應組型,代表無「不尋常或異常反應組型」(違 背常理的作答反應),但實際作答測驗反應並不太可能出現完美量尺反應, 所以,當 S 曲線與 P 曲線分離時,即為不完美量尺反應組型(余民寧,2002)。. 貳、多元計分 S-P 表的編製 二元計分 S-P 表應用於許多研究中,但在許多測驗實際情形中,往往 並不僅有非對即錯的二元計分題,亦有依據受試者答題情形分段給分的多 元計分試題。因此,林原宏(2009)將 S-P 表分析理論應用於多元計分模式, 稱為多元計分 S-P 表(polytomous student-problem chart analysis theory, PS-P chart)。本研究單元成就測驗採用部分題組試題,適用於多元計分 S-P 表。 多元計分 S-P 表的編製如下(修改自林原宏,2009): (一)受試者原始答題資料表 假設有一份 N(i=1,2,…,N)位學生在 M(j=1,2,…,M)個多元計分試題上的 作答反應資料矩陣,其計分點數的依據為答題的組合,例如計分點數 3, 28.

(40) 則代表得分為 0、1 或 2,答錯為 0 分,部分答對得 1 分,2 分為滿分。依 據受試者答案而全部或部分給分後,得到受試者原始得分資料矩陣,以下 記錄 10 位受試者在 10 道試題上的多元計分作答反應情形,如表 2-3-5。 表 2-3-5 受試者原始答題 受試者原始答題資料表 答題資料表 計分 點數. 試題 總分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2. 4. 5. 3. 4. 2. 4. 3. 2. 3. 1. 1. 3. 4. 2. 2. 1. 3. 2. 1. 2. 21. 2. 0. 2. 1. 0. 3. 1. 2. 1. 1. 2. 13. 3. 1. 1. 3. 1. 3. 1. 1. 2. 1. 2. 16. 4. 1. 3. 3. 2. 2. 1. 3. 2. 0. 1. 18. 5. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 5. 6. 0. 3. 2. 2. 2. 1. 2. 2. 1. 2. 17. 7. 0. 2. 2. 1. 2. 1. 1. 1. 0. 2. 12. 8. 1. 2. 3. 2. 1. 1. 1. 2. 1. 1. 15. 9. 1. 3. 3. 1. 1. 1. 2. 2. 0. 1. 15. 10. 1. 3. 4. 2. 3. 1. 2. 3. 1. 1. 21. 總分. 7. 22. 25. 13. 20. 10. 17. 18. 6. 15. 153. 受試者. (二)將作答反應資料進行正規化運算,使其數值介於 0 至 1 之間。 將受試者作答反應資料之試題得分進行正規化運算,將受試者於每道 試題所得之總分,除以該試題之滿分,即為該試題正規化運算後之總分。 將正規化運算後總分除以受試者於每道試題所得之總分,即得到該題原始 分正規化後之每一計分點數之正規化分數,再將受試者每道試題正規化後 之得分相加,即為該受試者之答題總分,其值介於 0 至 1 之間,參看表 2-3-6。以第 3 題為例,所有受試者之得分總分為 25 分,該題的計分點數 是 5,即代表滿分為 4,將總分 25 除以滿分 4 分之後,得到該題正規化運 算後之總分為 6.25。將總分 6.25 除以該試題所有學生之原始總分 25,可 知每一計分點數的正規化分數為 0.25,1 號學生原始得分為 4,則每一計 分點數的正規化分數為 0.25×4=1,即得到該名學生於該試題正規化後的分 29.

參考文獻

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