比、比值與成正比教材及迷思概念

第二章 文獻探討

本章將針對比、比值與成正比教材、貝氏網路、二階段詴題、及電腦化測驗等相關 文獻進行分析整理。

第一節 比、比值與成正比教材及迷思概念

由於本研究將進行「比、比值與成正比」電腦化二階段診斷測驗編製，以下將針對

「比、比值與成正比」 概念進行分析。

一、 比、比值與成正比概念

民國82年的數學課程標準，在高年級的目標列入「比、比值、比例的初步認識」及

「理解數量的簡易變化關係」(教育部，1993)。九年一貫國小數學領域的能力指標也列 入N-3-15：能在情境中理解比、比例(包括正比例與反比例)、比值、比率(百分率、ppm) 的意義(教育部，2001)。由以上二次課程的修訂可以發現，大家都認為比例這方面的課 程十分重要，而且應讓學生在高年級階段才學習比例相關的課程 (翁宜青，2003)。

（一）比的意義

兩組數量存在的對應關係是多樣的，比則是用來描述兩個量X與Y存在有某一種特 定倍數關係的一種表示法；或是並置的兩量具有對應關係的紀錄（國立編譯館，2000）。

所以，要用比來描述兩量的關係時，兩量必頇存在有某種特定意義的對應關係，兩數量 的比才有意義。。用數學符號Ａ：Ｂ來代表兩個數量A和B之間的對等關係時，此對等 關係稱為「比」。稱為比的前項，Ｂ稱為比的後項。例如：15顆廢電池可以換一枝原子 筆，可以記為「15：1」。

Lamon(1995)認為組成比的數量之間，在相同的情況下數量間是具有「共變性」，而 比與比之間的關係則保有「不變性」。舉例來說，「在便利商店中，18 張貼紙可以換 1 條吊飾，現在我們有 54 張貼紙，可以換幾條（3）吊飾？」從這樣的問題，我們知道貼 紙數量：吊飾的比是 18:1 與 54：3，這兩個比例關係的比值都是 18，是「不變的」；但 是當我們將 18 張貼紙變成至 54 張貼紙時，為了要維持貼紙數與吊飾數不變的比例關係

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（比值是 18），原本的 18 就變為 54，也就是「3」隨著「54」共變以維持比值是「18」

的等價關係。這種比例關係中前後項相關且隨著變動，就是前後項「共變的」關係。

(二)比值的意義

兩個數量A和B的對應關係，從數學的觀點，比值是一個數量對另一個數量，量化的 結果，表示為

B

A；從情境的觀點，是兩個數量對應關係所賦予的意義。國內教科書定義

比值的意義，大多數都將A：B的比值記錄為 B

A。 Lamon(1999)認為比值是任意的兩個

度量（測度）空間(measure space)所合成的一種量數(measure)。劉祥通（2004）建議現 行國小數學教材應將比值的定義縮小，也就是定義比值為兩個相同度量空間下的對照 值，以避免在比值的教學活動下，而混用了比率的例子，也就是將Lamon 的比值範圍縮 小為與比率帄行地位的相同度量空間下合成的量數，且他也在教材與教學上建議，比值 應先安排，而後比率。劉祥通（2004）定義比值為兩個相同度量空間下的對照值，

Lamon(1999)則將比值定義為任意兩個度量空間(measure space)所合成的一種量數。能 力指標的「比值」主要採取Lamon 的觀點,，視比值是一種建立在兩個變項之間的關係

（洪志成，2004）。

(三)成正比

一般認為學習比例相關課程應在國小高年級之後，但Bar(1987)發現，以年帅兒童 的比例推理能力，可以解決某些簡單的比例問題。Lo 與Watanabe(1997)也認為學生不 一定要先具備乘除法的概念，即可解比例問題。而某些學者(Schorn,1989；Van den Brink

& Streefland,1979；Clark & Kamii,1997)也認為，年帅的孩童亦能解決簡單的比和比例問 題。由此可知，比例推理能力是人們早期就具備的數學能力，然而年歲稍長，面對比例 相關問題時，卻令學生感到棘手。另一方面，學生的運算技巧提升之後，雖提供更有效 的解題策略，但是卻失去了用比例推理解題的簡潔與美感(陳建州，2007)。

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（四）學生的先備知識 1. 因數與倍數的觀念

在判斷成相等比的問題如「A：B＝C：D」A和B的關係或A和C的關係是否成整數倍時，

或一個數是否為另一個數的倍數時，因數和倍數是必要的概念，也是學生重要的先備知 識。當要找出最簡單整數比時，需要有能力判斷前後兩項是否互質，因此，因數、倍數、

互質都是解決比例問題的前置經驗。Lo 與Watanabe(1997)強調因數與倍數是解比例問 題的重要知識基礎。

國內學者亦強調，因倍數是學生解比與比值之基礎知識，例如劉祥通、周立勳(1999) 指出因數問題是向內探討組成一個正整數的單位量，倍數問題是向外探討一個正整數為 單位量可以產生哪些正整數，解比與比值需要先做除法再做乘法，其實就是解因數與倍 數的問題。

2.乘除法情境的應用：

Vergnaud(1988)提出乘除法問題是比例問題的一個特例，若「1個蛋糕給b個人吃，

那麼c個蛋糕可以給多少人吃？」這是一個乘法的問題；如果改成「a 個蛋糕給1 個人 吃，那麼c 個蛋糕可以給多少人吃？」則又變成除法問題了。又若是「a個蛋糕給b個人 吃，那麼c個蛋糕可以給多少人吃？」這是一個比例問題。由此可知，解比例問題若能 瞭解乘法與除法適用的情境，對解題是非常有幫助的。乘法是單位量數已知的運用，除 法則是用於求取單位量數。比例問題被認為是單位量數除以單位量數的概念，被認為是 乘除的上位概念(魏宗明、劉祥通，2003)。

3. 分數概念

Kieren(1980)將分數分成五個面向：部分-整體(part-whole)、商數(quotient)、測 度(measure)、比值(ratio)、運算子(operator)。若對於分數的概念瞭解並不清楚，只 停留在部分-整體的觀點，則無法用分數表示彼此的倍數關係，甚至不瞭解可以用分數 表示除不盡的概念(楊錦連，1999)。由此看來，分數概念的不完整會影響學生解決比例 問題。

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二、影響學童比、比值與成正比問題表現之因素 (一) 情境本身

學童解兩組數量的關係問題習慣把焦點關注在數字之間的關係，學生沒有從真實 情境中去考慮情境的干擾因素。解比例問題時，忽略真實情境的因素不只是學生，對於 成年人也一樣，例如Van Dooren、De Bock、Evers與Verschaffel(2006)的研究提到 Cramer、Post與Currier給33位職前教師解題，如「康康和芳芳兩兄妹的車速保持一樣快，

但是芳芳的車先起跑。當芳芳的車已經跑完了9圈，康康的車才跑完3圈，當芳芳的車跑 完15圈時，康康的車幾圈？」，結果發現有32位教師是以數字成倍數關係來解題。導致 這樣的現象，可能是來自於學校的解題經驗，在學校，學生都只是解正規的數學問題，

教師從來不曾提供機會讓學生遇到不符合真實情境的數學問題。相關的研究也發現，學 生以比例方法解不可類推的情境問題的情況隨著年級增加而更嚴重，Van Dooren等人

（2006）指出有30％的三年級學生，51％的六年級學生以比例方法解不可類推的情境問 題，因此，學生在學習比與比值概念前，有必要先讓學生知道解相等的比之問題前，需 要考慮題目情境的真實性 (林碧珍，2010) 。

(二) 語意結構

依據Lamon（1993）分析四種比的情境語意結構（良好合成的量數、部分-部分-整 體、關係的集合、放大/縮小），發現：不同語意結構是影響學童解成比例問題使用策 略的重要因素。對學童而言，最容易的問題為兩量具有的對應關係為關係的集合，也就 是人為約定的關係，其次為部分-部分-整體關係，然後為良好合成的量數，放大縮小為 最難的題型。而根據陳竹村、林淑君與陳俊瑜（2002），則將比的兩量所具有的對應關 係，歸為四類：交換問題、組合問題、母子問題、密度問題。因此，綜合以上研究所述，

將比例問題的主要語意類型分述如下：

（1） 母子關係：是當兩量其中一量為另一量的部分量時，也就是，部分量與整體量所 存在的對應關係稱之為母子關係，例如：四年二班30位學生中，12位女生和全班 人數的比為12：18。

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（2） 組合關係：是兩量都為整體量的部分量時，此兩量所存在的對應關係稱之為組合 關係，例如：四年二班中12位女生和18位男生，男女生人數的比為18：12。

（3） 交換關係：將兩個量以人為訂出規則，使這兩個量具有相同的價值，可以進行交 易。例如：「10張點券換1杯飲料」，點券和飲料存在著兌換的關係，而記為「10：

1」。

（4） 密度關係：是當兩個量描述同一物件的不同性質時，兩量的關係存在著對應關係 即為密度關係。例如：「1立方公分的水重1公克」，立方公分和公克都是描述水 的體積和質量的性質，1立方公分和1公克兩個量所存在的對應關係，其意義為密 度。

（5） 伸縮問題︰一個量數會隨另一個量數改變，兩個量數之間有固定比值，當一量數 增加，另一量數也依固定比例增加。這種問題又叫做放大和縮小的例子。

如︰一樹高5公尺，影子有1公尺長，身高120公分的大力於同一時間站在樹下，

大力的影子約有多長？

針對上述比例問題情境，楊錦連（1999）的研究顯示：從五、六年級學生的解題 困難度，由簡單到困難的排列依序為：交換和組合問題、密度和母子問題、伸縮問題。

雖然不同的語意結構會影響學生解比例問題，但是學童的解題策略會依不同的語意結構 轉換選用（莊玉如，2005；郭佩儀，2007；Jeong, Levine, & Huttenlocker,2007;

Steinthorsdottir, 2006），例如，在熟悉的買賣情境中，學童能以單價法解題，但在濃度 時學童則轉為使用加法策略。Lo and watanabe(1995)也強調，兒童在常見和熟習的生活 環境中，能發展出複雜的比例解題策略。

(三)未知數位置

未知數的位置也是影響學童解兩組數量相等的比的重要影響因素。在Lamon（1993）

的四種情境語意結構中，每一種語意結構也依未知數的位置不同，而有難易度的差別。

依「A：B＝C：D」四項式中的未知數X，若X在比例式中的第三或第四項，如「A：B

＝C：X」或「A：B＝X：D」對學童比較容易，因為是由一組具有對應關係的兩量來決

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定第二組量，亦即：可以利用學生學過的擴分或約分的舊經驗，求出已知分數之等值分 數，再求出X值。反之，若未知數X在比例式中的第一或或第二項，「X：B＝C：D」或

「A：X＝C：D」，屬於需要用到逆向思考才能成功解題，需要的認知負擔比較大，因 此比較困難。

(四)數字類型

(四)數字類型