國小六年級比、比值與成正比單元之電腦化二階段診斷評量工具之發展

全文

(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：施淑娟教授. 國小六年級比、比值與成正比單元之電腦化二階段診斷評量工具之發展. 研究生：曹秀如撰中華民國一 ○ ○ 年六月.

(2) 謝辭當穿上碩士畢業服的那一刻，我知道這兩年的研究所課程已劃下句點，心中真是五味雜陳，喜悅的是，這七百多天來挑燈夜戰、犧牲假期的日子，終於有了甜美的果實；不捨的是，要與同窗兩年的碩士班同學揮手道別。而能順利完成本篇論文，要感謝的人實在太多了。首先要感謝的是指導教授施淑娟博士，在論文撰寫的過程中，施老師總是不厭其煩的給予我細心的指導和叮嚀，一字一句的修改校正，施教授陪伴我們這群研究生度過無數個在研究室的夜晚，也因為有施教授的督促與鞭策，我才能夠順利完成論文。此外，也要感謝口詴委員吳慧珉教授、楊晉民教授在論文發表時，給予詳細的指導與建議，讓論文的內容能更臻於完整。感謝陳金世逸教授、劉好教授、林炎全教授、林原宏教授、易正明教授、吳德邦教授、黃一泓教授、鄭博文教授在研究所兩年的課程當中，用心的教導，讓學生真的獲益良多。謝謝研究所的同學們玉華、怡雯、靜惠，在論文的撰寫的過程中，多虧有妳們的扶持與鼓勵，幫助我解決困難，我才能一一克服難題。也感謝測統所的智為學長、育隆學長，對於我提出問題，總是耐心的為我解答。感恩中正國小前任的劉校長及現任的陳校長、主任，在我進修期間給予我的鼓勵和打氣，以及四年級同學年的老師們，能體諒我要到中教大進修，有時開會必頇請假。有您們的包容及幫忙，我才能安心的完成論文。謝謝好友瑞蘭、淳瑀、帅予在我進修期間，給予我的支持與加油，聽我訴說心裡的壓力，讓我有勇氣面對與克服所有的挑戰。最後感謝我的家人，能包容我在這段期間的忙碌，疏於照顧了家人，但你們總說沒關係，你們是我最溫暖的臂膀，給予我無限的愛和力量。千言萬語訴不盡對你們的感謝，衷心謝謝陪伴我的每一個人，有您們真好！. 秀如. 謹誌. 民國一百年六月. １.

(3) 摘要本研究以國小六年級數學能力指標 6-n-09『能認識比和比值，並解決生活中的問題。』、及 6-n-10『能理解正比的意義，並解決生活中的問題。』為例，以知識結構來編製「比、比值、成正比」二階段診斷詴題，並結合貝氏網路，建置電腦化二階段診斷測驗，最後評估其應用成效。透過預詴 285 位六年級學生修正迷思概念及數學概念，建立測驗信、效度，並探討不同的二階段詴題與貝氏網路結合模式之診斷成效，找出較佳的診斷模式。從而建置出電腦化二階段診斷測驗。正式施測對象為台中縣市、南投縣國小六年級學生，在四所學校，共抽取十個班級，共 303 位學生，採電腦化二階段診斷測驗。. 研究成果如下： 1.電腦化二階段診斷評量工具的 Cronbach α 值為 0. 76，帄均難度為 0.5161，帄均鑑別度為0.5333，優於一階段診斷評量工具的Cronbach α 值。 2. 根據紙筆二階段測驗作答結果，二階段詴題之貝氏網路的帄均辨識率為0.9127，優於一階段詴題的0.8172。顯示結合二階段詴題的貝氏網路診斷模式可有效提升診斷正確率。 3. 根據紙筆二階段測驗作答結果，比較本研究所建立二種二階段貝氏網路診斷模式之成效，顯示以二階段聯合判斷的結果，進行貝氏網路認知診斷可獲得較佳的診斷結果。 4.根據電腦化二階段測驗作答結果，二階段詴題之貝氏網路的帄均辨識率約為0.9465，優於一階段詴題的0.9028。顯示在電腦施測介面下結合二階段詴題的貝氏網路診斷模式仍可有效提升診斷正確率。此外，二種二階段貝氏網路診斷模式之成效，亦為以二階段聯合判斷的結果，可獲得較佳的診斷成效。 5. 紙筆二階段測驗與電腦化二階段測驗之貝氏網路診斷模式成效比較結果排序具有一致性。. i.

(4) 6.六年級學生答對率小於35％的數學概念，包括「透過同類量間的倍數關係，算出比值」，「能列出含有未知數的比例式，並解題」、「判斷兩數量關係是否成正比」、「能找出成正比(或比值相同)的兩數量之關係並解題」、「給定兩組成正比的數量能將其轉為關係圖」、「能判別成正比的兩組數量之關係圖」、「依據兩數量成正比的關係圖，求未知數」。 7.六年級學生出現比率高於 50％的迷思概念為：「比值概念不清—將求比值誤以為求比」、「轉換整數比時計算上的錯誤—十進位位數錯誤」、「比例項錯置」、「比例式公式背錯」、「未能判斷兩變量成正比例時，其所有對等關係具有相同比值」、「不知兩變量成正比例時，其關係圖為過原點的一直線」。 8. 學生接受電腦化二階段診斷測驗之問卷分析，結果顯示：學生對於「我很容易就學會操作這個電腦測驗系統，不會覺得有困難。」的選項滿意度較高，顯示使用本研究之電腦測驗方式，學生在使用操作上沒有太大的困難。關鍵詞：比、比值與成正比、貝氏網路、二階段測驗、電腦化診斷測驗。. ii.

(5) Abstract In this research, the two-tier diagnostic test of “Ratio, Proportion and Direct Proportion” unit was developed using knowledge structure, and Bayesian network was integrated to establish the computerized two-tier diagnostic test later. Finally, the effectiveness of paper-and-pencil two-tier diagnostic test and computerized two-tier diagnostic test were evaluated. There were 285 students participating in the paper-and-pencil two-tier diagnostic test. The results of test were used to correct two-tier multiple choice items, establishing the reliability and validity of the test, and combined students’ responses in two-tier test with three different Bayesian modules to assess the effectiveness of the combined diagnosis models. Next, the optimal combined diagnosis model was used to construct the computerized two-tier diagnostic test. The computerized version of two-tier test was administered to 303 sixth grade students from Taichung County, Taichung City and Nantou County. The research results were shown below: 1. The Cronbach α of the computerized two-tier test was 0.76, it was better than the computerized one-tier test with the Cronbach α was 0. 71. 2. The combined diagnosis model that integrating two-tier test with Bayesian network could effectively increase the diagnostic accuracy. 3. In the paper-and-pencil two-tier diagnostic test, combining binary scoring in the two-tier joint judgment result to Bayesian network model got better diagnosis result. 4. In the computerized two-tier diagnostic test, combining binary scoring in the two-tier joint judgment result to Bayesian network model also got better diagnosis result. 5. In paper-and-pencil two-tier diagnostic test and computerized two-tier diagnostic test, the identification rates of three combined diagnosis models were in the same order. 6. Less than 35% of the students possessed the following mathematic concepts: using the multiplication relationship between similar numbers to calculate the ratio; determining whether any two numbers are in direct proportion; finding the relationship between two direct proportional numbers or two numbers of the same ratio and solving problem; drawing the relation chart for two sets of direct proportional numbers; determining the relation chart for two sets of direct proportional numbers and finding the unknown number from the relation chart of two direct proportional numbers. 7. More than 50% of the students made those six misconceptions described as the following: unclear about the proportion concept - mistake ratio for proportion; calculation mistake when converting integer ratio- mistake in decimal digits; proportional misplacement; wrong proportional formula; unable to determine the same ratio relation when two variables are in direct proportion; and unaware the relation chart will be a straight line that iii.

(6) runs through the origin if two variables are in direct proportion. 8. According to the analysis of the questionnaires that were done by students who received computerized two-tier diagnostic test, the result showed that students have no difficulty in using the computerized two-tier test developed in the research. Keywords: “Ratio, Proportion and Direct Proportion”, Bayesian network, two-tier test, computerized diagnostic test. iv.

(7) 目錄第一章緒論-----------------------------------------------------1 第一節問題背景與研究動機-----------------------------------1 第二節研究目的---------------------------------------------3 第三節待答問題---------------------------------------------4 第四節名詞解釋---------------------------------------------4 第五節研究限制---------------------------------------------7 第二章文獻探討-------------------------------------------------9 第一節比、比值與成正比教材及迷思概念-----------------------9 第二節貝氏網路---------------------------------------------25 第三節二階段詴題-------------------------------------------32 第四節電腦化診斷測驗---------------------------------------40 第三章研究方法-------------------------------------------------51 第一節研究流程---------------------------------------------51 第二節研究對象---------------------------------------------58 第三節研究工具---------------------------------------------58 第四節資料收集與分析---------------------------------------74 第五節建置二階段詴題之貝氏網路診斷模式---------------------75 第四章研究結果與討論-------------------------------------------82 第一節電腦化二階段診斷測驗的詴題分析-----------------------82 第二節二階段詴題之貝氏網路診斷模式對診斷成效之影響---------90 第三節電腦化二階段診斷測驗所呈現之數學概念和迷思概念發生率-101 第四節學生對於電腦化二階段診斷測驗的意見-------------------109 第五章結論與建議-----------------------------------------------111. v.

(8) 第一節結論-------------------------------------------------111 第二節建議-------------------------------------------------113 參考文獻中文部分--------------------------------------------------------117 英文部分--------------------------------------------------------123 附錄附錄一開放性詴題理由選項分析-----------------------------------126 附錄二電腦化二階段診斷測驗檢測意見問卷-------------------------134 附錄三低中高三組學生在迷思概念發生率---------------------------135 附錄四紙本二階段詴題-------------------------------------------138. vi.

(9) 圖目次圖2-2-1 貝氏網路非循環有向圖-------------------------------------24 圖2-2-2 建立貝氏網路模型的流程-----------------------------------26 圖3-1-1 研究流程圖-----------------------------------------------51 圖 3-1-2 比、比值與成正比」的知識結構圖--------------------------55 圖3-3-1 二階段詴題編製流程圖-------------------------------------58 圖3-3-2 實驗實施流程圖-------------------------------------------68 圖3-3-3 系統登入畫面---------------------------------------------69 圖3-3-4 系統歡迎畫面---------------------------------------------70 圖3-3-5 使用說明畫面---------------------------------------------70 圖3-3-6 測驗選擇的版本為二階段時的畫面---------------------------71 圖3-3-7 測驗進行畫面(一階段答案選項)-----------------------------71 圖3-3-8 測驗進行畫面(二階段原因選項)-----------------------------72 圖3-5-1 模式1之貝氏網路圖----------------------------------------76 圖 3-5-2 模式 2 之貝氏網路圖--------------------------------------78 圖3-5-3 模式3之貝氏網路圖----------------------------------------80 圖4-1-1 二階段診斷測驗報告---------------------------------------81 圖4-1-2 第一階段詴題題目-----------------------------------------82 圖4-1-3 各選項對應到之第二階段理由選項---------------------------83 圖4-1-4 班級學習狀態統計書---------------------------------------84 圖4-1-5 個別學生數學概念診斷報告---------------------------------85. vii.

(10) 表目次表2-1-1「比、比值與成正比」迷思概念相關文獻之研究--------------------15 表2-1-2 本研究之迷思概念 --------------------------------------------18 表2-2-1 貝氏網路相關文獻整理-----------------------------------------27 表2-3-1 二階段詴題範例修正圖示---------------------------------------31 表2-3-2 國小植物繁殖概念二階段例題-----------------------------------32 表2-3-3 國中光學概念二階段例題---------------------------------------32 表2-3-4 數常識之二階段測驗-------------------------------------------34 表2-4-1 電腦化診斷測驗相關文獻---------------------------------------44 表3-1-1 本研究數學概念一覽表-----------------------------------------52 表3-3-1 開放性詴題刪除詴題之後的α值分析-----------------------------59 表3-3-2 比、比值與成正比開放性詴題難度及鑑別度分析表-----------------60 表3-3-3 詴題設計示例-------------------------------------------------65 表3-3-4 紙筆二階段測驗刪除詴題後的α值-------------------------------66 表3-3-5 紙本二階段診斷測驗之預詴詴題分析-----------------------------67 表3-5-1 二階段詴題聯合判斷之二元計分結果-----------------------------79 表4-1-1 電腦化一階段測驗刪除詴題後的α值-----------------------------86 表4-1-2 電腦化測驗難度、鑑別度一覽表(一階)---------------------------82 表4-1-3 電腦化二階段診斷測驗刪除詴題後的α值-------------------------88 表4-1-4 電腦化測驗通過率、鑑別度一覽表〈二階〉-----------------------88 表4-2-1 模式1之貝氏網路辨識率(紙筆)----------------------------------90 表4-2-2 模式2之貝氏網路辨識率(紙筆)----------------------------------91 表4-2-3 模式3之貝氏網路辨識率(紙筆)----------------------------------93 表 4-2-4 三種不同模式的貝氏網路辨識率之比較-(紙筆)---------------------94. viii.

(11) 表4-2-5 模式1之貝氏網路辨識率(電腦化)----------------------------------95 表4-2-6 模式2之貝氏網路辨識率(電腦化)----------------------------------96 表4-2-7 模式3之貝氏網路辨識率(電腦化)----------------------------------97 表 4-2-8 不同模式的貝氏網路辨識率之比較(電腦化)-------------------------99 表4-2-9 紙筆與電腦化二階段詴題之貝氏網路診斷成效分析-------------------99 表4-3-1 利用模式2診斷數學概念一覽表------------------------------------101 表4-3-2 電腦化二階段診斷測驗之迷思概念診斷結果一覽表-------------------106 表4-4-1 電腦化二階段診斷測驗之意見調查---------------------------------108 表4-4-2 電腦化二階段診斷測驗之問卷分析---------------------------------109. ix.

(12) 第一章緒論本研究旨在以國小六年級『比、比值與成正比』單元，結合二階段詴題（two-tier test）、貝氏網路（Bayesian network, BN）以及知識結構理論，來發展電腦化二階段診斷測驗。並透過實際施測修正詴題，評估此電腦化二階段診斷評量在診斷數學概念與迷思概念的成效，以及學生對於此種電腦化二階段診斷評量之意見。本論文共分五章：第一章為緒論，第二章為文獻探討，第三章為研究方法，第四章為研究結果與討論，第五章為結論與建議。逐一進行說明如下。. 第一節問題背景與研究動機在知識爆炸，資訊傳播一日千里的時代，教學的工作不能只是照本宣科，相對地教學評量方式也產生了很大的改變。美國國家研究院（National Research Council, NRC, 1996）指出，好的評量方法，除了要能測量出學習者的學習現況外，同時也應該提供學習者學習缺失的診斷訊息，以利教學者進行有效的補救教學。如此，評量方法與教學歷程的結合，才能讓教學活動更完善。亦即評量的目的應是在促進學生的學習表現，而不只是計算成績，評量不只是確認學習的情形，而是促進學習的深度。因此，近年來許多學者一再呼籲，評量方法應該與認知心理學所獲得的實質理論相結合，也就是從事所謂的認知診斷評量，才能讓評量真正發揮其最大的效益（塗金堂，2003）。影響所及，國內九年一貫的數學課程，在評量的實施重點部分，強調教師在教學中應探討學生容易犯錯的原因。針對全班評量結果的共通錯誤，可能反映教師本身教學上的疏失，並可據以改進。全校評量或全國檢測之結果，則可能反映課程綱要的問題（教育部，2008）。因此，如何發展更快速準確的診斷評量工具，協助教師與學生了解學習上的優勢和盲點，進而實施補救教學，是一值得探討的重要課題。基於診斷評量的重要性，近年來，已有許多的學者投入診斷評量工具的研發，依循著認知診斷評量的評量歷程，發展出多種不同的認知診斷評量模式。例如：許多的測驗專家其實早已注意到電腦化測驗對於受詴者能力的瞭解，可以有更豐富的潛力，許多 1.

(13) 傳統紙筆測驗所不能測量的資料，都可以藉由電腦化測驗來獲得（Mill , Ward , Potenza, & Fremer ,2002），也因此對於受詴者表現的解釋能提供新的訊息。如以知識結構為基礎之適性化診斷測驗系統，首先需建立知識結構，並依據此知識結構作為適性測驗的選題策略，期望能提供學生一個適性測驗立即的成績回饋，給學生個別化、量身訂作的補救教學，讓學生知識的建構能有最好的效果。黃珮璇、王暄博、郭伯臣、劉湘川（2006）的研究顯示：以知識結構為主的國小數學科電腦化適性診斷測驗具強韌性，即電腦化適性診斷測驗系統之成效在廣泛應用於各單元或其它相關主題時，依然存有良好的表現。近年來針對學生迷思類型的診斷，貝氏網路的預測力和診斷功能在教育診斷測驗的研究中一再地被證實（施淑娟，2006；吳玫君、施淑娟、許天維、陳淑勤，2008；周雅釧，2009;吳怡松，2010;江啟明，2010）。郭伯臣與曾彥鈞（2007）所開發之以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗（Bayesian Network Based Adaptive Testing，簡稱 BNAT），即為結合知識結構與貝氏網路的測驗帄台，不但能縮短測驗時間，並有效節省測驗題數，也能診斷學生的迷思概念，以利教師進行適性化補救教學。綜合以上研究結果顯示，將貝氏網路應用於實際教育評量是可行的且具有相當的成效。因此本研究，採用貝氏網路作為開發電腦化二階段診斷測驗系統之診斷模式。然而貝氏網路的相關研究中，大部分的電腦測驗都只採用單一階段選擇題型進行設計，在測驗時常會發生猜測、學生的錯誤類型不在選項設計中等現象，導致貝氏網路因為測驗資料的誤差，降低其辨識效果（江啟明，2010）。因此，江啟明（2010）採用由 Treagust(1988, 1995)及Harrison與Treagust(1998)所提出的二階段詴題，來改善上述缺失。二階段詴題是一種選擇題型的評量工具，在題目中，第一階段的事實選項包含了學生對內容的回答，而第二階段的理由選項則是對第一階段的回答所秉持的理由，其選項設計來自對學生所作的預詴結果、教師教學的經驗、以及專家學者的研究。此種題型可改進單一階段選擇題型的問題，有效減低選擇題猜題的情形發生。根據江啟明（2010）的研究結果發現將此題型與貝氏網路結合，可藉由測驗資料誤差之降低，有效提升貝氏網路診斷的正確率。然而，在江啟明（2010）編製的電腦化測驗中，缺乏適性診斷功能， 2.

(14) 學生無法在受詴後觀看自己的診斷報告，如單元分數、答題情形、迷思概念及正解…等。有鑑於此，本研究期望以電腦化二階段診斷測驗來診斷學生的迷思概念與數學概念，讓施測後，老師可查看全班的診斷報告，學生也都可以觀看個人的診斷報告書，幫助教師在診斷學生的數學概念與迷思概念時，能更省時且有效率。. 而在研究內容方面，本研究將聚焦於比、比值與成正比概念的診斷。選定此單元主要是基於比例概念的建立是學習高等數學的重要基石，學童若缺乏對於比例概念的理解，不僅會造成數學概念基礎的不穩固，也會影響其後續在高等數學方面的學習 (Lamon, 1994；Lesh, Post, & Behr, 1988) 。此外相關文獻亦發現，國小學童在此重要概念的建立上具有許多的學習困難。例如：黃寶彰（2003)在六、七年級學童在比與比例基礎題的表現研究中，指出六、七年級的學生在「求比」、「求比值」、「比值的意義」三個部分的答對率皆不到六成，顯示學童在這三個部分也有學習上的困難，其中以「求比值」最為嚴重。而在眾多文獻中也顯示(陳敏華，1998；侯美玲，2002；翁宜青，2003；莊玉如，2005；陳曉琪，2006；周雅釧，2009 )，學生在學習比、比值與成正比單元課程，常有錯誤類型或迷思概念的發生，造成學習的困難，在教學上特別需要加以診斷和補救。因此本研究以國小數學第三階段能力指標『6-n-09能認識比和比值，並解決生活中的問題。』及『6-n-10能理解正比的意義，並解決生活中的問題。』作為發展電腦化二階段診斷評量工具的範圍，並評估二階段詴題與貝氏網路診斷模式結合之成效。期使能更有效診斷學生「在比、比值與成正比」的數學概念與迷思概念，以作為後續補救教學的參考。. 第二節研究目的本研究主要根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對能力指標 6-n-09、6-n-10，以知識結構來編製「比、比值、成正比」二階段診斷詴題，並結合貝 3.

(15) 氏網路，建置電腦化二階段診斷測驗，最後評估其應用成效。主要的研究目的如下：壹、編製國小六年級「比、比值與正比」單元之電腦化二階段診斷測驗。貳、在紙筆施測與電腦化施測兩種介面下，探討結合二階段詴題對貝氏網路診斷模式診斷成效之影響。參、探討學生在「比、比值與成正比」電腦化二階段診斷測驗中所呈現之數學概念和迷思概念的發生率。肆、探討學生對於實施電腦化二階段診斷測驗之意見。. 第三節待答問題 1.1國小六年級「比、比值與正比」單元之電腦化二階段診斷測驗之詴題分析是否優於一階段診斷測驗？ 2.1根據紙筆二階段測驗之二元計分結果，結合二階段詴題對於貝氏網路診斷模式診斷成效是否造成影響？ 2.2根據電腦化二階段測驗之二元計分結果，結合二階段詴題之貝氏網路診斷模式對診斷成效之影響？ 2.3兩種不同施測介面下，不同貝氏網路診斷模式診斷的正確率是否有一致性？ 3.1六年級學生在「比、比值與成正比」電腦化二階段診斷測驗所呈現之數學概念哪些次數較少？ 3.2探討六年級學生在「比、比值與成正比」電腦化二階段診斷測驗所呈現之迷思概念哪些次數較多？ 4.1學生對於實施電腦化二階段診斷測驗之意見有多少比例呈現無意見以上？. 第四節名詞解釋一、比與比值當我們要表示兩數量的對等關係時，我們就會用「比」來表示。例如：要表示數量 A和數量B的對等關係時，就用數學符號「：」來表式成「A：B」。其中A稱為比的前項， 4.

(16) B稱為比的後項。另外「A：B」中將前項除以後項所得的商稱為「比值」，比值通常以分數的形式表示，也可用小數或整數來表示。二、正比觀察兩組數量之變化關係，如果有固定比值就稱為兩個量成正比。成正比的兩個量，若一個量變成原來幾倍另一個量也會變成原來的幾倍。例如：一斤香蕉價格35元，二斤70 元，以此類推價格與重量成正比，有固定比值為35。而年齡問題歲數逐年增加，有一定的差，並非固定比值，所以不是成正比。三、二階段測驗二階段詴題的評量工具，是由Treagust（1988, 1995）及Harrison與Treagust(1998) 所提出，根據題目作為評量學生是否能對某方面概念理解的依據。是一種選擇題型的評量工具，在題目中，第一階段的事實選項包含了學生對內容的回答，而第二階段的理由選項則是對第一階段的回答所秉持的理由，其選項設計來自對學生所作的預詴結果、教師教學的經驗、以及專家學者的研究。四、電腦化診斷測驗電腦化測驗是以電腦來輔助編製測驗、施測、計分、分析、報告結果、與解釋，它不僅能夠節省測驗編製和施測的時間，更能夠做到精確估計考生的實力或潛在特質 (余民寧，2002) 。本研究所編製的電腦化診斷測驗，是以二階段測驗，每一題都分為二個階段，皆為單選題的形式。學生在完成第一階段的作答後，系統會根據學生的作答反應，自動選擇對應的第二階段理由選項。電腦再根據學生所選的理由選項，從而分析學生在「比、比值與成正比」單元之數學概念與錯誤類型，並將所得之訊息完整地呈現。此乃本研究所言之電腦化診斷測驗。五、貝氏網路貝氏網路是一種以貝氏定理為基礎，由節點和連結組成具有方向性且非循環的有向圖(directed acycle graph, DAG)，其中節點代表欲研究的變項，連結代表變項間的相 5.

(17) 互關係，其影響程度的強度則藉由條件機率的方式來表達(施淑娟，2006)。本研究以貝式網路為電腦診斷測驗之推論工具，協助教師分析診斷出學生的迷思概念及是否具備數學概念。六、迷思概念（Misconception）迷思概念一詞最早見於Science Education 期刊中（Hancock，1940）。Driver et al.（1985）認為迷思概念是學生接受了正式科學概念學習後，因不當之同化而產生之概念。這些概念隱含了錯誤且與當今科學知識無法相容，甚至衝突。學生在學習之前已存在一些先備的知識，這些知識的特徵是個人的、穩固不易改變的、與專家之概念不同的等特性。這些學生早已擁有、先入為主的概念，如與專家所定義概念不同可稱為迷思概念。學生在學習時會帶著這些迷思的概念，用自己的想法學習，故其影響甚鉅 (徐士敦，2010) 。七、數學概念概念的力量在於它可以統合並聯繫各種不同經驗或經驗的分類（Skemp, 陳澤民譯，1995），而學生的解題表現往往需要倚賴概念的理解。所以學生的解題表現乃依據本身對概念的同化與調適；概念又可從各種學習經驗的累積、統整進而增長。本研究之數學概念乃是分析「比、比值與成正比」單元，學童所需達到的能力指標，將比、比值與成正比分成17個概念。17個概念如下：概念1：在情境中，用「比」表示兩數量間的對應關係，並以「:」的符號來記錄。概念2：透過比，知道兩數量的倍數關係。概念3：利用比的前項除以後項的商表示比值。概念4：透過同類量間的倍數關係，算出比值。概念5：從不同類量求比值。概念6：能透過擴分、約分找出相等的比。概念7：能找出最簡單整數比。概念8：從相等的比中，找出最簡單整數比。 6.

(18) 概念9：將小數、分數的比化成最簡單整數比。概念10：利用簡單比例式找出相等的比。概念11：能列出含有未知數的比例式，並解題。概念12：成正比的定義。概念13：判斷兩數量關係是否成正比。概念 14：能找出成正比(或比值相同)的兩數量之關係並解題。概念15：給定兩組成正比的數量能將其轉為關係圖。概念 16：能判別成正比的兩組數量之關係圖。概念17：依據兩數量成正比的關係圖，求未知數。. 第五節研究限制壹、研究對象因受限於人力、時間、資源…等因素，本研究採立意抽樣的方式。第一次開放性紙筆二階段測驗對象為台中縣市的國民小學六年級，已完成六年級『比、比值與成正比』數學課程的學童，在兩所學校，抽取四個班級，共抽118名學生來進行施測，採紙筆二階段測驗方式，主要在蒐集學生的迷思類型；正式預詴為台中縣市國小六年級，共三所學校，抽取十個班級，共抽取285位學生來進行施測，採紙筆二階段診斷測驗方式。正式施測為台中縣市、南投縣國小六年級學生，在四所學校，共抽取十個班級，共303位學生，採電腦化二階段診斷測驗。因研究對象僅限於中部縣市的學生，且研究樣本皆為方便取樣，並非隨機取樣，外在效度受到限制，所以本研究所得結果不宜做過度推論。貳、研究內容本研究依國小六年級數學能力指標6-n-09「能認識比和比值，並解決生活中的問題」、6-n-10「能理解正比的意義，並解決生活中的問題。」，以知識結構基準，來編製『比、比值與成正比』單元詴題，主要參考康軒版的課程內容，作為開發電腦化二階段診斷測驗之參考資料，除上述之外其他內容不在本研究範圍之內。. 7.

(19) 參、研究工具為配合電腦化二階段診斷測驗，正式施測的題型皆為選擇題，並未包含多元的題型，且部分選項的誘答選項較少，無法囊括學生的所有迷思概念。學生在進行電腦化二階段診斷測驗時，每作答完1題，進行到下一題時，就無法回到上一個畫面修正答案，此部分亦可能造成測量誤差。. 8.

(20) 第二章文獻探討本章將針對比、比值與成正比教材、貝氏網路、二階段詴題、及電腦化測驗等相關文獻進行分析整理。. 第一節比、比值與成正比教材及迷思概念由於本研究將進行「比、比值與成正比」電腦化二階段診斷測驗編製，以下將針對「比、比值與成正比」概念進行分析。一、比、比值與成正比概念民國82年的數學課程標準，在高年級的目標列入「比、比值、比例的初步認識」及「理解數量的簡易變化關係」(教育部，1993)。九年一貫國小數學領域的能力指標也列入N-3-15：能在情境中理解比、比例(包括正比例與反比例)、比值、比率(百分率、ppm) 的意義(教育部，2001)。由以上二次課程的修訂可以發現，大家都認為比例這方面的課程十分重要，而且應讓學生在高年級階段才學習比例相關的課程 (翁宜青，2003)。（一）比的意義兩組數量存在的對應關係是多樣的，比則是用來描述兩個量X與Y存在有某一種特定倍數關係的一種表示法；或是並置的兩量具有對應關係的紀錄（國立編譯館，2000）。所以，要用比來描述兩量的關係時，兩量必頇存在有某種特定意義的對應關係，兩數量的比才有意義。。用數學符號Ａ：Ｂ來代表兩個數量A和B之間的對等關係時，此對等關係稱為「比」。稱為比的前項，Ｂ稱為比的後項。例如：15顆廢電池可以換一枝原子筆，可以記為「15：1」。 Lamon(1995)認為組成比的數量之間，在相同的情況下數量間是具有「共變性」，而比與比之間的關係則保有「不變性」。舉例來說，「在便利商店中，18 張貼紙可以換 1 條吊飾，現在我們有 54 張貼紙，可以換幾條（3）吊飾？」從這樣的問題，我們知道貼紙數量：吊飾的比是 18:1 與 54：3，這兩個比例關係的比值都是 18，是「不變的」；但是當我們將 18 張貼紙變成至 54 張貼紙時，為了要維持貼紙數與吊飾數不變的比例關係 9.

(21) （比值是 18），原本的 18 就變為 54，也就是「3」隨著「54」共變以維持比值是「18」的等價關係。這種比例關係中前後項相關且隨著變動，就是前後項「共變的」關係。 (二)比值的意義兩個數量A和B的對應關係，從數學的觀點，比值是一個數量對另一個數量，量化的結果，表示為. A ；從情境的觀點，是兩個數量對應關係所賦予的意義。國內教科書定義 B. 比值的意義，大多數都將A：B的比值記錄為. A 。 Lamon(1999)認為比值是任意的兩個 B. 度量（測度）空間(measure space)所合成的一種量數(measure)。劉祥通（2004）建議現行國小數學教材應將比值的定義縮小，也就是定義比值為兩個相同度量空間下的對照值，以避免在比值的教學活動下，而混用了比率的例子，也就是將Lamon 的比值範圍縮小為與比率帄行地位的相同度量空間下合成的量數，且他也在教材與教學上建議，比值應先安排，而後比率。劉祥通（2004）定義比值為兩個相同度量空間下的對照值， Lamon(1999)則將比值定義為任意兩個度量空間(measure space)所合成的一種量數。能力指標的「比值」主要採取Lamon 的觀點,，視比值是一種建立在兩個變項之間的關係（洪志成，2004）。 (三)成正比一般認為學習比例相關課程應在國小高年級之後，但Bar(1987)發現，以年帅兒童的比例推理能力，可以解決某些簡單的比例問題。Lo 與Watanabe(1997)也認為學生不一定要先具備乘除法的概念，即可解比例問題。而某些學者(Schorn,1989；Van den Brink & Streefland,1979；Clark & Kamii,1997)也認為，年帅的孩童亦能解決簡單的比和比例問題。由此可知，比例推理能力是人們早期就具備的數學能力，然而年歲稍長，面對比例相關問題時，卻令學生感到棘手。另一方面，學生的運算技巧提升之後，雖提供更有效的解題策略，但是卻失去了用比例推理解題的簡潔與美感(陳建州，2007)。. 10.

(22) （四）學生的先備知識 1. 因數與倍數的觀念在判斷成相等比的問題如「A：B＝C：D」A和B的關係或A和C的關係是否成整數倍時，或一個數是否為另一個數的倍數時，因數和倍數是必要的概念，也是學生重要的先備知識。當要找出最簡單整數比時，需要有能力判斷前後兩項是否互質，因此，因數、倍數、互質都是解決比例問題的前置經驗。Lo 與Watanabe(1997)強調因數與倍數是解比例問題的重要知識基礎。國內學者亦強調，因倍數是學生解比與比值之基礎知識，例如劉祥通、周立勳(1999) 指出因數問題是向內探討組成一個正整數的單位量，倍數問題是向外探討一個正整數為單位量可以產生哪些正整數，解比與比值需要先做除法再做乘法，其實就是解因數與倍數的問題。 2.乘除法情境的應用： Vergnaud(1988)提出乘除法問題是比例問題的一個特例，若「1個蛋糕給b個人吃，那麼c個蛋糕可以給多少人吃？」這是一個乘法的問題；如果改成「a 個蛋糕給1 個人吃，那麼c 個蛋糕可以給多少人吃？」則又變成除法問題了。又若是「a個蛋糕給b個人吃，那麼c個蛋糕可以給多少人吃？」這是一個比例問題。由此可知，解比例問題若能瞭解乘法與除法適用的情境，對解題是非常有幫助的。乘法是單位量數已知的運用，除法則是用於求取單位量數。比例問題被認為是單位量數除以單位量數的概念，被認為是乘除的上位概念(魏宗明、劉祥通，2003)。 3. 分數概念 Kieren(1980)將分數分成五個面向：部分-整體(part-whole)、商數(quotient)、測度(measure)、比值(ratio)、運算子(operator)。若對於分數的概念瞭解並不清楚，只停留在部分-整體的觀點，則無法用分數表示彼此的倍數關係，甚至不瞭解可以用分數表示除不盡的概念(楊錦連，1999)。由此看來，分數概念的不完整會影響學生解決比例問題。 11.

(23) 二、影響學童比、比值與成正比問題表現之因素 (一) 情境本身學童解兩組數量的關係問題習慣把焦點關注在數字之間的關係，學生沒有從真實情境中去考慮情境的干擾因素。解比例問題時，忽略真實情境的因素不只是學生，對於成年人也一樣，例如Van Dooren、De Bock、Evers與Verschaffel(2006)的研究提到 Cramer、Post與Currier給33位職前教師解題，如「康康和芳芳兩兄妹的車速保持一樣快，但是芳芳的車先起跑。當芳芳的車已經跑完了9圈，康康的車才跑完3圈，當芳芳的車跑完15圈時，康康的車幾圈？」，結果發現有32位教師是以數字成倍數關係來解題。導致這樣的現象，可能是來自於學校的解題經驗，在學校，學生都只是解正規的數學問題，教師從來不曾提供機會讓學生遇到不符合真實情境的數學問題。相關的研究也發現，學生以比例方法解不可類推的情境問題的情況隨著年級增加而更嚴重，Van Dooren等人（2006）指出有30％的三年級學生，51％的六年級學生以比例方法解不可類推的情境問題，因此，學生在學習比與比值概念前，有必要先讓學生知道解相等的比之問題前，需要考慮題目情境的真實性 (林碧珍，2010) 。 (二) 語意結構依據Lamon（1993）分析四種比的情境語意結構（良好合成的量數、部分-部分-整體、關係的集合、放大/縮小），發現：不同語意結構是影響學童解成比例問題使用策略的重要因素。對學童而言，最容易的問題為兩量具有的對應關係為關係的集合，也就是人為約定的關係，其次為部分-部分-整體關係，然後為良好合成的量數，放大縮小為最難的題型。而根據陳竹村、林淑君與陳俊瑜（2002），則將比的兩量所具有的對應關係，歸為四類：交換問題、組合問題、母子問題、密度問題。因此，綜合以上研究所述，將比例問題的主要語意類型分述如下：（1）母子關係：是當兩量其中一量為另一量的部分量時，也就是，部分量與整體量所存在的對應關係稱之為母子關係，例如：四年二班30位學生中，12位女生和全班人數的比為12：18。 12.

(24) （2）組合關係：是兩量都為整體量的部分量時，此兩量所存在的對應關係稱之為組合關係，例如：四年二班中12位女生和18位男生，男女生人數的比為18：12。（3）交換關係：將兩個量以人為訂出規則，使這兩個量具有相同的價值，可以進行交易。例如：「10張點券換1杯飲料」，點券和飲料存在著兌換的關係，而記為「10： 1」。（4）密度關係：是當兩個量描述同一物件的不同性質時，兩量的關係存在著對應關係即為密度關係。例如：「1立方公分的水重1公克」，立方公分和公克都是描述水的體積和質量的性質，1立方公分和1公克兩個量所存在的對應關係，其意義為密度。（5）伸縮問題︰一個量數會隨另一個量數改變，兩個量數之間有固定比值，當一量數增加，另一量數也依固定比例增加。這種問題又叫做放大和縮小的例子。如︰一樹高5公尺，影子有1公尺長，身高120公分的大力於同一時間站在樹下，大力的影子約有多長？針對上述比例問題情境，楊錦連（1999）的研究顯示：從五、六年級學生的解題困難度，由簡單到困難的排列依序為：交換和組合問題、密度和母子問題、伸縮問題。雖然不同的語意結構會影響學生解比例問題，但是學童的解題策略會依不同的語意結構轉換選用（莊玉如，2005；郭佩儀，2007；Jeong, Levine, & Huttenlocker,2007; Steinthorsdottir, 2006），例如，在熟悉的買賣情境中，學童能以單價法解題，但在濃度時學童則轉為使用加法策略。Lo and watanabe(1995)也強調，兒童在常見和熟習的生活環境中，能發展出複雜的比例解題策略。 (三)未知數位置未知數的位置也是影響學童解兩組數量相等的比的重要影響因素。在Lamon（1993）的四種情境語意結構中，每一種語意結構也依未知數的位置不同，而有難易度的差別。依「A：B＝C：D」四項式中的未知數X，若X在比例式中的第三或第四項，如「A：B ＝C：X」或「A：B＝X：D」對學童比較容易，因為是由一組具有對應關係的兩量來決 13.

(25) 定第二組量，亦即：可以利用學生學過的擴分或約分的舊經驗，求出已知分數之等值分數，再求出X值。反之，若未知數X在比例式中的第一或或第二項，「X：B＝C：D」或「A：X＝C：D」，屬於需要用到逆向思考才能成功解題，需要的認知負擔比較大，因此比較困難。 (四)數字類型數字類型是指「A：B＝C：D」中A和B的關係或A和C的關係是整數倍或非整數倍。 A和B及C是否成整數倍，可以分為四種類型：（1）A和B及A和C都成整數倍關係。如： 2：6＝8：a（2）僅A和B成整數倍關係。如：2：6＝9：a（3）僅A和C成整數倍關係。如： 2：5＝8：a（4）A和B及A和C都非成整數倍關係。2：5＝9：a 許多研究者以這四類型問題針對國小四到六年級學生進行研究，發現：學生解整數倍的問題比非整數倍問題容易成功，不管是國內或國外的研究，結果都相當一致（莊玉如，2005；郭佩儀，2007；劉祥通，2004；Karplus,Pulos, & Stage, 1983; Ruiz & Lupianez, 2009; Van Dooren, et al., 2006）。三、比與比值錯誤類型與迷思概念迷思概念（misconception）的產生通常是與一般正式的知識相違背，而數學教育的迷思研究，可以幫助了解學生的想法，藉由提供教學經驗者可以幫助學生發展並接受新概念（Graeber, 1993）。張新仁（1992）指出數學教學研究上，分析學生數學的「迷思概念」或計算過程的「錯誤類型」，被視為數學診斷教學及補救教學的可行方法。學生在解小於 1 的有理數乘除法文字題時，往往會有「乘變大」、「除變小」的迷思概念（Fischbein, Deri, Nello, & Marino, 1985; Graeber, 1993），同時也會有除法是大數除以小數（Hart, 1981）的迷思存在。在劉祥通（2004）的研究中發現，「只有大於1的比值才可稱為倍」的迷思影響了學生的比值，以致於解比例關係問題失敗。例如面對「甲繩長是10公分，乙繩長是5公分，請問乙繩的長度是甲繩的多少倍？」，雖然我們知道利用10公分當基準量求出兩數量的關係，但是由於學生對小於1 的比值也可稱為倍的不熟悉，因此導致他無法回答乙繩是甲繩的多少倍。此外，劉祥通（2004）同時 14.

(26) 也指出比值構念的認識有賴「基準化」能力的建立，在他的研究中發現小琪在求「一枝毛筆的長度是19 公分，一枝鉛筆的長度是15 公分，請問鉛筆的長度是毛筆的幾倍？」的比值問題時，犯了「大數除以小數」的迷思，將15÷19 誤以19÷15 解題，無法以較大的數當作基準量。為了深入了解學生在「比、比值與成正比」單元所產生的迷思概念，以作為本研究編製「比、比值與成正比」診斷測驗之依據，研究者將國內有關「比、比值與成正比」單元之錯誤類型相關研究整理如下表2-1-1。表2-1-1「比、比值與成正比」迷思概念相關文獻之研究. 作者 (年代). 研究主題. 林福來、郭國中生比例的汾派、林光賢 (1985) 概念發展. 研究對象國中生. 研究摘要學生常見的迷思概念如下： 1.加法策略(常見的一種策略，約占總人數 1/4 左右) 2.資訊誤留. 3.忽略資訊. 4.加減法(數型) 5.比例項錯置李芳樂 (1993). 數學錯誤成因五六年級學生常見的迷思概念如下：的探討。. 1.文字題受多餘訊息影響 2.計算錯誤 3.不當逆轉及運算. 陳敏華. 國小六年級兒. 六年級. 根據無參數詴題反應理論的分析顯示，兒童對於模型所包含. (1998). 童比和. 的十三個子概念之理解度，由易到難依序為：比感、比的意. 比例概念初探. 義、部分─部分比（總量固定）、比的等價、異類量並置、部分─全體比（總量固定）、共變性（質的推理）、部分─部分比（總量不固定）、部分─全體比（總量不固定）、相對性思考、比值比較、分割、比單位的使用。. 15.

(27) 表2-1-1「比、比值與成正比」迷思概念相關文獻之研究(續) 作者 (年代). 研究主題. 研究對象. 研究摘要. 侯美玲. 六年級兒童學. 六年級. 學童在等值十倍數擴分的表現較好，其次是約分，最差的是. (2002). 約分後再擴分。比例式的數值型態轉換，仍是大部分學童的學習障礙，如：分數、小數。. 習比值與比例概念之研究. 黃寶彰. 六、七年級學六七年級學學童在比與比例主要的學習困難是在應用比和比值解決有. (2003). 童數學學習困. 童. 難部分之研究翁宜青一位國小三年. 關的問題（如身高問題）、應用比例來解題及判斷比的大小（如組合問題、濃度問題、身高問題及交換問題等）。. 三年級. (2003) 級學生解簡單. 解決比例問題的失敗策略，除了一般數學問題中較為常見的忽略問題部份資訊、任意的運算、誤解題意、數字計算錯誤. 式比例問題之. 之外，最常出現的是「加法策略」。. 研究莊玉如國小四年級學（2005）童比例問題解. 四年級. 1.未受過比例單元教學的學童，其解題表現依數字關係之不同，呈現多元策略。在整數倍問題上，學生傾向於以「單價. 題表現之研究. 法」或「倍數法」、「異於一為單位之單價法」策略解題；而在非整數倍問題上，出現較大的個別差異，除了「單價法」策略外，尚出現「公因數法」、「公倍數法」及「自定參考點」等有效或有限制的策略，以及無效的策略解題，如「加法策略」及「比較餘數」的策略。此外，不論數字關係為何，單價法是學生最常用的解題策略。. 張育萍、一位國小五年劉祥通級學生對比值（2005）問題的解題表現. 五年級. 學生常見的迷思概念： 1.指認「基準量」失敗，並有單位的迷思。 2.對面積與體積的比值問題存有單位的迷思。 3.求比值比較量大於基準量。. 16.

(28) 表 2-1-1「比、比值與成正比」迷思概念相關文獻之研究(續) 作者. 研究主題. 研究對象. 研究摘要. 陳曉琪. 以貝氏網路為. 六年級. (2006). 基礎之能力指. 無法分辨同向反向相向之速率追趕問題之解決. 標測驗編製及. 最簡單整數比認知不足未化至最簡。. (年代) 比和比值混淆. 補救教學動畫製作-以六年級數學領域「比和比值」相關指標為例周雅釧 (2009). 國小六年級「比與比值」單元之適性診斷測驗與教材研發。. 六年級. 1.加法策略：認為等比式中的前、後項的「增加」量會相等。 2.資訊誤留：解決第二題時卻保留了第一題的數據，而產生混用的現象。 3.忽略資訊：解題時，忽略某些重要資訊，以簡化解題時的困難。 4.加減法策略：僅具有大小概念，對未知項的處理僅隨意加減，不按比例增減。 5.比例項錯置：等比式中，前、後項不相對應。. 由上表「比、比值與成正比」迷思概念相關研究可知，學生在比、比值與成正比單元的迷思概念，有許多種類型，教學者於教學過程中，老師應適時提醒學生，以期提高效率；而命題的過程，則可以將這些迷思概念作為參考，以期能更正確的測出學生的比值觀念是否完整正確。研究者以上述常見之迷思概念為依據，並蒐集資深教師的教學經驗，也諮詢專家學者的意見，整理並定義出本研究之迷思概念，如表 2-1-2 所示，其說明如下：. 17.

(29) 表2-1-2本研究之迷思概念代號. 迷思概念. M1-1. 比的概念不清─比的前後項錯置（前後項與題意顛倒）. M1-2. 比的概念不清─大數：小數或小數：大數. M1-3. 比的概念不清─將求比誤以為求比值（比與比值表徵混亂）. M2. 誤解題意（部分-部分 vs.部分-全部）. M3. 忽略資訊（只選擇能夠處理的部份來解題）或資訊誤留. M4. 減法策略（前項減後項，或後項減前項）. M5. 加法策略群（前項與後項同加或同減）. M6-1. 比值概念不清—後項÷前項. M6-2. 比值概念不清—分子與分母錯置. M6-3. 比值概念不清—小數（部分）÷大數（全部）或大數÷小數. M6-4. 比值概念不清—前項的倒數或後項的倒數. M6-5. 比值概念不清—先出現的÷後出現的. M6-6. 比值概念不清—將求比值誤以為求比（比與比值表徵混亂）. M6-7. 比值概念不清—比值一定是小於 1 的分數. M7. 轉換整數比時計算上的錯誤—十進位位數錯誤﹝小數﹞. M8. 相等比概念不清—前後項未等量乘除（性質：前後項同乘/除ㄧ個不為 0 的數，比值不變）. M9. 相等比概念不清—倒數策略（誤認為前項倒數比後項倒數與前項比後項為相等比）. M10-1. 最簡單整數比概念不清—比的前項或後項是 1 或其中一項是最小的. M10-2. 最簡單整數比概念不清—比的前、後項分別找最小因數. M10-3. 最簡單整數比概念不清—只取到整數，未化至最簡. M10-4. 最簡單整數比概念不清—前項與後項有整數倍關係. M10-5. 最簡單整數比概念不清—比的前項或後項是質數. M11. 比例項錯置. M12. 等倍同差策略. M13. 比例式公式背錯. M14 例題：. 未能判斷兩變量成正比例時，其所有對等關係具有相同比值. 甲：時間（分）乙：路（公尺）. 20. 3. .5. 4. 6. 7.. 180. 200. 240. 60. 4 0. 57 1/7. 0. 60. 60. 路程比時間（公尺/分）. 0 60 誤判甲、乙兩變動的量成正比例關係。. 18.

(30) 表2-1-2本研究之迷思概念(續) 代號. 錯誤類型不知兩變量成正比例時，其關係圖為過原點的一直線. M15. 誤判以下為正比例關係圖. M16. 無意義的加減乘除. M17. 不知道答案，所以隨便選一個。. 迷思概念說明如下： (1) 比的概念不清─比的前後項錯置（前後項與題意顛倒）例：飲料 2 箱可換 3 張折價券，折價券張數和飲料箱數的關係，用「比」怎麼記？  2：3.  3：2. . 3 2  2 3. 應記為 3：2，因為認為飲料是前項，折價券是後項，所以記成 2：3。 (2) 比的概念不清─大數：小數或小數：大數例：飲料 2 箱可換 3 張折價券，折價券張數和飲料箱數的關係，用「比」怎麼記？  2：3.  3：2. . 3 2  2 3. 應記為 3：2，但認為 3 是大數， 2 是小數，所以記成 2：3。 (3)比的概念不清─將求比誤以為求比值（比與比值表徵混亂）  29：1. 下列哪個比和 119：91 相等？ 68：52. . 68 52. . 128 100. 應為 68：52，結果將算式記為 119：91＝119÷7：91÷7＝68：52 ＝. 68. ，所以. 52. 比是. 68. 。. 52. (4)誤解題意（部分-部分 vs.部分-全部）例：媽媽去市場買了 5 顆蘋果、8 顆橘子及 3 顆水梨。橘子的個數是蘋果的個數的幾倍？. 19.

(31) . 8 3. . 8 5. . 5 8. . 8 16 8 16. 8 5. 應為，結果記為橘子有 8 顆，所有的水果共有 16 顆，用 8 除以 16，得到倍。 (5)忽略資訊（只選擇能夠處理的部份來解題）或資訊誤留. 例：爸爸身高的 9 倍是媽媽身高的 10 倍，爸爸對媽媽身高的比值應該如何表示？ 9 10. . 10 9. 應為. 10 10 ，結果記為因為爸爸比媽媽高，所以比值用10÷9＝。 9 9.  9：10.  10：9. (6)減法策略（前項減後項，或後項減前項）  20：16. 例：下列選項中，哪一個與「12：8」具有相等的比？ 24：16  8：4.  4：8. 應為 24：16，結果記為 12：8＝12－8：8＝4：8。 (7)加法策略群（前項與後項同加或同減）  20：16. 例：下列選項中，哪一個與「12：8」具有相等的比？ 24：16 4.  8：.  4：8. 應為 24：16，結果記為 12：8＝12＋8：8＋8＝20：16。 (8)比值概念不清—後項÷前項例：哥哥和妹妹的體重比為 5：4，比值是多少呢？. 5 4. . 4 5. . 5 4. 1 5  4 9 4 5. 應為，結果記為比為 5：4，比值為後項除以前項，所以是 4 除以 5，得到。 (9)比值概念不清—分子與分母錯置例：哥哥和妹妹的體重比為 5：4，比值是多少呢？. 5 4. . 5 4. 4 5.  4 5. 應為，結果記為比為 5：4，後項當分子，前項當分母，所以是。 (10)比值概念不清—小數（部分）÷大數（全部）或大數÷小數 20. 1 5  4 9.

(32) 例：小小彬用 30 元買了 6 枝免削鉛筆，那買鉛筆的錢和鉛筆的枝數的比值是多少？. 1 5.  5.  6 . 1 6. 1 應為 5，結果記為比值就是小數除以大數，也就是 6 除以 30，答案是。 5 (11)比值概念不清—前項的倒數或後項的倒數例：小小彬用 30 元買了 6 枝免削鉛筆，那買鉛筆的錢和鉛筆的枝數的比值是多少？. 1 5.  5.  6 . 1 6. 應為5，結果記為比30：6，比為後項倒數，所以比值是. 1 。 6. (12)比值概念不清—先出現的÷後出現的例：媽媽去市場買了 5 顆蘋果、8 顆橘子及 3 顆水梨。橘子的個數是蘋果的個數的幾倍？. 8 3. . 8 5. . 5 8. . 8 16. 8 5. 應為，結果記為因為題目先出現 5 顆蘋果再出現 8 顆橘子，所以用 5 5 8. 除以 8 得到倍。 (13)比值概念不清—將求比值誤以為求比（比與比值表徵混亂）例：爸爸身高的 9 倍是媽媽身高的 10 倍，爸爸對媽媽身高的比值應該如何表示？ 應為. 10. 9 10. . 10 9.  9：10.  10：9. ，結果記為 9×爸爸的身高＝10×媽媽的身高，爸爸的身高：媽媽的. 9. 身高＝10：9。 (14)比值概念不清—比值一定是小於1的分數例：爸爸身高的 9 倍是媽媽身高的 10 倍，爸爸對媽媽身高的比值應該如何表示？ 應為. 10 9. 9 10. . 10 9. ，結果記為只有.  9：10.  10：9. 9 是小於 1 的分數，故選此答案。 10 21.

(33) (15)轉換整數比時計算上的錯誤—十進位位數錯誤﹝小數﹞ 例：請將「0.7：0.49」化為最簡單整數比？ 1：7.  10：7.  7：49.  70：49 應為 10：7，結果記為 0.7：0.49=7：49=1：7。 (16)相等比概念不清—前後項未等量乘除（性質：前後項同乘/除ㄧ個不為 0 的數，比值不變)。例：下列選項中，哪一個與「12：8」具有相等的比？ 24：16 8：4.  20：16. .  4：8. 應為 24：16，結果記為 12：8＝. 1 1 ×288： ×128＝24：16。(未等量乘)。 8 12. (17)相等比概念不清—倒數策略（誤認為前項倒數比後項倒數與前項比後項為相等比）。例：下列選項中，哪一個與「12：8」具有相等的比？ 24：16 8：4.  20：16. .  4：8. 應為 24：16，結果記為 12：8＝. 1. 1. ×288： ×128＝24：16。 8. 12. (18)最簡單整數比概念不清—比的前項或後項是1或其中一項是最小的例：請找出「最簡單整數比」？ 17：51. . 2 ：1  10：6 4.  2：3. 應為 2：3，結果記為後項是 1，所以已經是最簡單整數比。 (19)最簡單整數比概念不清—比的前、後項分別找最小因數例：請找出「最簡單整數比」？ 17：51. . 2 ：1  10：6 4.  2：3. 應記為 2：3，理由應是 2 與 3 的最大公因數為 1，所以是最簡單整數比，結果選為 2 與 3 的最小因數是 1，所以是最簡單整數比。 (20)最簡單整數比概念不清—只取到整數，未化至最簡例：請找出「最簡單整數比」？ 17：51. 22. . 2 ：1  10：6 4.  2：3.

(34) 應記為 2：3，理由應是 2 與 3 的最大公因數為 1，所以是最簡單整數比，結果選為 10：6，因為 10 與 6 都是整數，所以是最簡單整數比。 (21)最簡單整數比概念不清—前項與後項有整數倍關係例：下列哪個選項為「52：20」、「39：15」、「65：25」的「最簡單整數比」？  2.6：1.  3.6：1.  8：5.  13：5. 應記為 13：5，即將每個比都除以兩數的最大公因數，也就是最簡單整數比，結果選為 8：5，(前項－後項) ÷後項再化至最簡。 (22)最簡單整數比概念不清—比的前項或後項是質數例：請將「0.7：0.49」化為最簡單整數比？ 1：7.  10：7.  7：49.  70：49 應為10：7，結果理由為因為7是質數，所以10：7是最簡單整數比。 (23)比例項錯置例：120 公尺的繩子可繞學校花圃 15 圈，若要繞 36 圈，則需多少公尺長的繩子？  50.  141.  246.  288. 應記為 15：120＝36：□，□＝120×36÷15＝288，結果記為 15：36＝□：120 所以□＝120÷36×15＝50。 (24)等倍同差策略例：120 公尺的繩子可繞學校花圃 15 圈，若要繞 36 圈，則需多少公尺長的繩子？  50.  141.  246.  288. 應記為 15：120＝36：□，□＝120×36÷15＝288，結果記為 36＝15×2＋6，所求＝ 120×2＋6＝246。 (25) 比例式公式背錯例：120 公尺的繩子可繞學校花圃 15 圈，若要繞 36 圈，則需多少公尺長的繩子？  50.  141.  246.  288. 應記為 15：120＝36：□，□＝120×36÷15＝288，結果記為 15：36＝120：□ 23.

(35) 所以□＝15×120÷36＝50。 (26) 未能判斷兩變量成正比例時，其所有對等關係具有相同比值例題：甲：時間（分）. 2. 3. 3.5. 4. 6. 7.5. 乙：路程（公尺）. 120. 180. 200. 240. 360. 4 0. 路程比時間（公尺/分）. 60. 60. 57 1/7. 60. 60. 60. 甲乙並未有相同比值,誤判甲、乙兩變動的量成正比例關係。 (27)不知兩變量成正比例時，其關係圖為過原點的一直線以下的圖皆非成正比圖，但誤判以下為正比例關係圖。. (28)無意義的加減乘除柯南下午在公園測量影長，他的身高 120 公分，測量到的影長是 60 公分，若廁所的高度 2 公尺，同一時間測量到的影長會是幾公分？  400 公分.  140 公分  100 公分. 應記為 60÷120＝.  1 公分. 1 1 ,比值均為，結果選為因為約分後變成 1。 2 2. (29)不知道答案，所以隨便選一個。每題都有此選項，要確認學生是否因猜題而答對。. 24.

(36) 第二節貝氏網路一、基本概念貝氏網路是一種結合機率理論與圖形理論，能對不確定的事物加以描述與推論的工具（Pearl, 1988）。能夠用以表示出機率的關連性，這常用在描述許多真實世界中的問題，包括決策支援、問題診斷、預測、自動監控、製程控制與資訊萃取等（Heckerman, Mamdani, & Wellman, 1995）貝氏網路是機率圖形模式，可將教育測驗領域中不確定性組合成模型（Vomlel, 2004）。使用圖形模式的優點是，它能很容易而且清楚的表達變數之間的因果關係，藉由機率來表達關係的強度，也可作為未來推論的工具。從質的向度來看，貝氏網路是一種由節點與連結所組成的非循環的有向圖（directed acyclic graphs, DAGs），其中節點代表所欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，透過圖形模式，我們可以很清楚了解變項間的依賴及條件獨立關係。就量的向度而言，影響的強度可以條件機率的方式表徵，並能計算所有變項的各種狀態之聯合機率分布，進而根據貝氏定理進行以證據為基礎的推論。因為學生的迷思概念與數學概念常具有不穩定性，也容易造成診斷上的錯誤，希望藉由貝氏網路其完整的機率理論做為推論學生迷思概念與數學概念的工具。. 二、貝氏定理貝氏網路是以貝氏定理為基礎所發展出來的理論，貝氏定理由Thomas Bayes 於1763 年提出，包含了條件機率(conditional probability)和樣本分割 (partition) 的概念。假設一個樣本空間U 被分割成數個子集合， U ＝{A1,A2,……,Ak}，AiIAj = φ，且AiU Aj = U，i≠j，若B 代表任意事件(event)，P(B)＞0，則 P(A i |B) =. P(A i )P(B | A i ) P(B). (2.3.1). 1.P(Ai)表示先驗機率(prior probability) 2.P(B|Ai)表示樣本機率(Sample probability) 25.

(37) 3.P(Ai|B)表示後驗機率(posterior probability) K. 4.P(B)= P(B∩A1)+P(B∩A2)+ .. +P(B∩Ak) =  P(An) P(B|An) (2.3.2) n 1. 由公式2.1.1 和2.1.2，貝氏定理可改寫成 P(A i |B)=. P(A i )P(B | A i ). (2.3.3). k.  n 1. P(A n )P(B | A n ). 由公式2.1.3 可以看出，先驗機率已知時，給定樣本機率，可以推測後驗機率。貝氏網路即利用這樣的特性，結合經驗值（先驗機率），並從訓練樣本獲得的樣本機率來得到較為理想的統計數據。貝氏網路利用過去的經驗（先驗機率）做為分析的依據之一，較之傳統只由樣本數統計的分析方法，具有樣本數較少的優勢（黃雅鳳，2006）。三、圖形理論一個 DAG 圖是由頂點(vertex)的集合，V＝{X1,X2,…,Xn}；與有向邊的集合，E ＝{e1,e2,…,em}所組成，記成G(V,E)。因此一個DAG 圖包含了兩個部分：節點（頂點）和有向邊，其中每一個節點代表一個事件，是隨機變數；節點間的有向邊，則表示變數間的關連性。Pearl(1988)將建構的貝氏網路圖中之節點和有向邊用因果關係來表示，如圖2-2-3，節點A稱為節點B和節點C的父節點(parent)，而節點B和節點C 稱為節點A的子節點(child)，以有向邊由變數A指向變數B、變數C，表示變數A有影響變數B和變數C 的因果關係，其影響程度則以條件機率來表示，因此貝氏網路又被稱為因果網路(causal networks)。圖2-2-1 貝氏網路非循環有向圖. A. B. C. 26.

(38) 在變數A的條件下，變數B與變數C是互相獨立的，所以P(B|A,C)=P(B|A)，且P(C|A,B)=P(C|A)，聯合機率分佈P(A,B,C)=P(A) P(B|A) P(C|A)。一般而言，如果有n個結點，一個變數Xi 的父節點集合表示成Pa(Xi)，聯合機率分佈即為P(A,B,C)=P(A) P(B|A) P(C|A)。一般而言，如果有n個結點，一個變數Xi 的父節點集合表示成Pa(Xi)，聯合機率分佈即為所有條件機率的乘積，如公式2.4，所以貝氏網路又被稱為機率網路 (probability networks)： n. P(X)＝P(X1,X2,...,Xn)=  P(Xi|Pa(Xi)). (2.3.4). i 1. 四、貝氏網路的推論貝氏網路由兩個元件所構成：DAG 圖和機率分配表(conditional probability table, CPT)，每一個節點都包含一個CPT，因為貝氏網路的運算有其複雜度，必頇使用電腦來計算每一個節點的機率，本研究僅以貝氏網路的推論做為工具，其演算法不在研究探討的範圍之內。簡單來說，如圖2-2-1 是一個省略機率的示意圖，事實上，節點A、B、C 都各含有一個CPT，以節點A代表先驗機率，節點B代表現象發生與否，包含節點A的CPT 在內，是收集證據的節點，通常稱為證據節點（劉麒峰，2004）。由節點B所收集到的證據來推論B事件發生的原因，即為後驗機率P(A|B)，應用貝氏網路的推論，可協助學生作診斷分析。五、貝氏網路建立的步驟本研究要建立貝氏網路來做推論，必頇取得研究資料後，先根據資料及專家對學科專業知識的分析，建立一個完整的貝氏網路模型，再根據資料來進行推論。建立模型的過程如圖2-2-2所示，分成以下三個步驟：(楊智為，2007). 27.

(39) 圖2-2-2建立貝氏網路模型的流程(楊智為，2007). (一)根據研究資料，建立貝氏網路節點及連結根據所設定的研究資料，進行學科專業知識探討與分析，建立節點與節點之間的連線關係，其連結需符合該領域資料群體特性及專業知識，組成完整的貝氏網路結構。 (二)設定模型中節點的機率分布計算所有可觀測節點和未觀測節點的先驗機率及條件機率分布。以觀測的資料當證據，透過貝氏網路推論，獲得所感興趣的未觀測節點之後驗機率分布。 (三)評估後驗機率的正確性評估模型填入這些資料是否適合，以及此後驗機率對建立模型中所要知道的節點推論是否正確。. 28.

(40) 據以上步驟，取得一個完整而且最合適的貝氏網路模式後，便可依據此貝氏網路模式來進行推論。本研究將根據相關研究結果，採二元資料輸入值，及動態決斷值選取法（許雅菱，2005；郭伯臣、李俊儀、許雅菱、林文質，2005）來獲得較佳之辨識率。三、貝氏網路在教育測驗上之應用近年來貝氏網路運用在教育測驗及補救教學的情況相當普遍，其相關文獻整理如表2-2-1。表2-2-1貝氏網路相關文獻整理研究者 (年代). 研究主題. 研究內容. 江啟明. 二階段詴題之貝氏網路與結合二階段詴題（two-tier test）與貝氏網路. (2010). 電腦化測驗研發. （Bayesian network, BN）的優點，以發展有效的數學學習診斷工具，並可得到更精確的測驗資料作為貝氏網路診斷模型的推論證據，來診斷學生是否具備某種子技能與錯誤類型。. 吳怡松. 結合知識結構與貝氏網路以「國民中小學九年一貫課程綱要─數學領域第. (2010). 之資訊融入教學模式發展四階段」中的「等差數列單元」為研究領域，分與探討－以國二等差數列析本單元之能力指標及相關文獻，建立等差數列為例. 單元之專家知識結構，編製一套結合知識結構與貝氏網路之資訊融入教材與補救教材，並以此套教材及貝氏網路適性測驗系統為工具，進行資訊融入數學教學及補救教學之設計。. 周雅釧. 國小六年級「比與比值」單以「知識結構」與「貝氏網路」為基礎的電腦化. (2009). 元之適性診斷測驗與教材適性診斷測驗，設計一套完整的「比與比值」教研發。. 學、評量以及補救教學模式，進而透過準實驗研究設計，評估學生實驗教學後的學習成效。. 29.

(41) 表2-2-1貝氏網路相關文獻整理(續) 研究者. 研究主題. 研究內容. (年代) 何秀芳. 國小五年級「線對稱圖形」以國小五年級「線對稱圖形」單元為內容，編製. (2009). 單元教材與電腦化適性診一套以知識結構為基礎的教材，包括教學教材、斷測驗. 媒體與補救教材，並建立結合貝氏網路之電腦適性診斷測驗。將受詴者分成兩組進行教學實驗一組使用研究者編製的教學教材與補救教材，一組使用現有的教科書與補救方式，比較分析所得到的結果。. 林孟儒. BNAT模式於國小高年級. (2009). 應用文教學之運用-以讀書驗模式在國小高年級語文教學上的適用性與應報告為核心. 主要在探究以貝氏網路為基礎的電腦化適性測. 用成效。故需編製語文教材，並將教材建置成電腦化適性測驗進行線上施測，再進行個別化補救教學，以了解其成效，並分析學習風格與適性測驗之相關性。. 陳金葉. 資訊融入異分母分數加減以建立資訊融入國小五年級數學領域「異分母分. (2009). 單元教學對國小五年級學數的加減及分數數線」單元的完整教學模式為目生學習成效與動機之影響的，透過結合知識結構及貝氏網路等理論，進行自編教材、補救教材、教學媒體及電腦化適性診斷測驗之研發。. 白曉珊. 以知識結構及貝氏網路為建立一套以知識結構和貝氏網路為基礎之數學. (2008). 基礎之數學教材及電腦適教材與電腦適性測驗，提供教師進行數學教學與性測驗. 補救教學使用，以期能達到「因材施測」與「因材施教」之效果。. 30.

(42) 表2-2-1貝氏網路相關文獻整理(續) 研究者. 研究主題. 研究內容. (年代) 戴榮輝. 以貝氏網路與知識結構為以國小六年級圓周長單元為例，研發可運用於個. (2008). 基礎進行數位個別指導模別指導及適性補救教學之數學教材與教學媒式教材之研發及教學成效體，並結合以貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷之探討－以國小六年級圓測驗，根據ㄧ對ㄧ、ㄧ對二個別指導方式，分別周長單元為例. 設計完整的教學、評量以及補救教學活動，成為一對ㄧ以及一對二的「數位個別指導模式」。. 蘇文君. 國小六年級分數的除法單以知識結構為基礎，結合貝氏網路，研發一套數. (2008). 元之數位數學教材及電腦位數學教材與電腦適性測驗。同時，編製以知識適性測驗研發. 結構為基礎之數位數學教材供實驗組進行教學與補救使用。正式施測後，根據所得資料加以分析。並利用貝氏機率統計方法，檢視在適性與全測之作答情況下，對子技能與錯誤類型之辦識率。. 綜合上述的研究結果顯示，將貝氏網路應用於實際教育評量是可行的且具有相當的成效，但大部分的詴題都採單一選擇題設計，在施測過程中，常會有學生猜題或資訊不足的情形，而影響貝氏網路的辨識率。因此，本研究採用江啟明(2010)之方法以二階段詴題的方式，提供更精確與完整的資料，作為貝氏網路診斷的推論依據。. 31.

(43) 第三節二階段詴題在傳統紙筆測驗中，較常使用的是選擇題或是非題的形式，這些方式容易進行大規模施測，節省時間，這些形式的紙筆測驗有固定且客觀的評分標準，而且科學教師較願意在課堂上運用這些研究成果，因為若使用晤談方式，不僅耗時，而且教師需要受過相當的訓練(Treagust,1986)。但是採用選擇題的最大缺點是不知道學生為什麼要選取這個答案，學生可能是真正了解題目所要測詴的概念，也可能是猜對的。針對以上缺點，有學者提出二階段詴題(Treagust, 1986 & 1988; Tan, Treagust, Goh, & Chia, 2002) 解決這個問題。二階段診斷測驗彌補了傳統紙筆測驗的缺失，除了幫助教師瞭解學生在概念學習的狀況外，亦提供了診斷學生的迷思概念及錯誤類型（Treagust, 1988,1995）。李浩然（2003）利用二階段診斷測驗分析國一學生對於分數乘除法之運算錯誤概念類型；柳賢（2001）針對高一學生進行開放式二階段診斷測驗後提出，透過此方式教師可以真正瞭解學生是否真正明白所學的知識及概念；陳忠雄（2003）與賴潔芳（2004）皆利用二階段診斷測驗分析高中學生對於三角函數之學習錯誤概念類型；蕭志芳（2003）利用二階段診斷測驗探究國小三至六年級學童之時間概念。以上研究均指出二階段診斷測驗確實較一般傳統紙筆測驗更能評斷出學童數學迷思概念及錯誤類型，並建議教師善加採用，由此可知，利用二階段診斷測驗作為數學科之學習診斷工具已成一趨勢。(葉俊谷，2007)以下分別對二階段詴題的實施方式、二階段詴題編製步驟及優點來進行說明。一、二階段詴題的實施方式 Treagust（1987）提出二階段測驗，用以診斷中學生有關光合作用與呼吸作用的概念。第一階段的詴題為領域範圍中的學習內容，而第二階段則是關於作答的理由或進一步的推理，因為一般傳統測驗的困難在於如何對學生的作答做出合理的解釋，意思就是說傳統測驗只能知道學生答對或答錯，而不能知道學生答錯的原因及其偏離的程度為何，而二階段詴題則可針對學生的作答進行更深入的探討。Wang(2004)便利用二階層診. 32.

(44) 斷工具探討學生對於植物與人類的內部循環系統的概念想法，並分析迷思概念的成因；邱美虹（2006）所主持的科學概念學習研究中也利用二階層診斷工具來探討學生對於微觀粒子的概念，並針對微觀粒子的教學提出建議，因此，在教學時間以及人力耗費的考量下，使用二階層紙筆診斷工具來診斷大量學生的概念，會是比較恰當的方法。表2-3-1所呈現的即為Treagust(1987)二階段詴題的範例。表2-3-1 二階段詴題範例修正圖示例題：植物的呼吸作用發生於何種部位？（1）只有在根部細胞。（2）在每一種植物細胞。（3）只在有葉細胞。我選擇這個答案的理由是因為：（a）所有活的細胞皆需要能量賴以為生。（b）只有葉細胞具有特殊氣孔藉以換氣。（c）只有根部有小氣孔可以呼吸。（d）只有根部需要能量報收水分。. 研究者根據吳能州（2003）所作的二階段詴題分類，將二階段詴題的各種題型介紹如下：一、第一階段詴題與第二階段詴題皆為單選之型態. 33.

(45) 表2-3-2 國小植物繁殖概念二階段例題題目、甘薯的繁殖方式只能有一種嗎？ (. ) 1.是 2.否. 做答的理由： 1.甘薯除了利用莖繁殖之外，也可以利用孢子繁殖 2.甘薯除了利用根繁殖之外，還可以利用種子繁殖 3.甘薯只能利用根繁殖 4.甘薯只能靠種子繁殖註：取自二階段測驗與傳統測驗在迷思概念上之效益比較－以國小植物繁殖概念為例，黃國慶，民95，國立台南大學測驗統計研究所碩士論文。二、其中一階段為單選題型，另一階段為複選題型表2-3-3國中光學概念二階段例題題目：假設在一個毫無光線的房間裡，有一本書放在桌上，請問這個房間內的「貓」能夠看見這本書嗎（這本書無法自行發光）？ □（A）可以. □（B）不可以. □（C）不ㄧ定. 理由是：（可複選） □（1）即使在黑暗中，只要讓貓的眼睛適應環境，就可以看到東西。 □（2）因為貓的眼睛有夜視鏡的功能，所以看的到。 □（3）貓的視力優於人，即使在沒有光線的情況下也可以看的到。 □（4）貓的眼睛會發亮，發出的光照到書本，所以貓可以看的到書。 □（5）因為光沒有照到書本，書沒有反射光線進入貓的眼睛，所以貓看不到書。 □（6）若書是淺色的，貓就看的到，因為和黑暗的房間形成對比；若書是深色的，貓就無法看的到。 □（7）其他 34.