貝氏網路

一、 基本概念

貝氏網路是一種結合機率理論與圖形理論，能對不確定的事物加以描述與推論的工 具（Pearl, 1988）。能夠用以表示出機率的關連性，這常用在描述許多真實世界中的 問題，包括決策支援、問題診斷、預測、自動監控、製程控制與資訊萃取等（Heckerman, Mamdani, & Wellman, 1995）

貝氏網路是機率圖形模式，可將教育測驗領域中不確定性組合成模型（Vomlel, 2004）。使用圖形模式的優點是，它能很容易而且清楚的表達變數之間的因果關係，藉 由機率來表達關係的強度，也可作為未來推論的工具。

從質的向度來看，貝氏網路是一種由節點與連結所組成的非循環的有向圖（directed acyclic graphs, DAGs），其中節點代表所欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，

透過圖形模式，我們可以很清楚了解變項間的依賴及條件獨立關係。就量的向度而言，

影響的強度可以條件機率的方式表徵，並能計算所有變項的各種狀態之聯合機率分布，

進而根據貝氏定理進行以證據為基礎的推論。

因為學生的迷思概念與數學概念常具有不穩定性，也容易造成診斷上的錯誤，希望 藉由貝氏網路其完整的機率理論做為推論學生迷思概念與數學概念的工具。

二、貝氏定理

貝氏網路是以貝氏定理為基礎所發展出來的理論，貝氏定理由Thomas Bayes 於1763 年提出，包含了條件機率(conditional probability)和樣本分割 (partition) 的概念。假設一個樣本空間U 被分割成數個子集合， U ＝{A1,A²,……,Ak}，AⁱIA^j

= φ，且AⁱU A^j = U，i≠j，若B 代表任意事件(event)，P(B)＞0，則 P(A_i|B) =

P(B) ) A

| )P(B P(A_{i i}

(2.3.1) 1.P(Aⁱ)表示先驗機率(prior probability) 2.P(B|Aⁱ)表示樣本機率(Sample probability)

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3.P(Aⁱ|B)表示後驗機率(posterior probability) 4.P(B)= P(B∩A1)+P(B∩A2)+ .. +P(B∩Ak) =



一個 DAG 圖是由頂點(vertex)的集合，V＝{X1,X2,…,Xn}；與有向邊的集合，E

＝{e1,e2,…,em}所組成，記成G(V,E)。因此一個DAG 圖包含了兩個部分：節點（頂點）

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在變數A的條件下，變數B與變數C是互相獨立的，所以P(B|A,C)=P(B|A)，

且P(C|A,B)=P(C|A)，聯合機率分佈P(A,B,C)=P(A) P(B|A) P(C|A)。一般而言，如果有n個 結點，一個變數Xi 的父節點集合表示成Pa(Xi)，聯合機率分佈即為P(A,B,C)=P(A) P(B|A) P(C|A)。一般而言，如果有n個結點，一個變數Xi 的父節點集合表示成Pa(Xi)，聯合機 率分佈即為所有條件機率的乘積，如公式2.4，所以貝氏網路又被稱為機率網路

(probability networks)：

P(X)＝P(X1,X2,...,Xn)=



 n

i 1

P(Xi|Pa(Xi)) (2.3.4) 四、貝氏網路的推論

貝氏網路由兩個元件所構成：DAG 圖和機率分配表(conditional probability table, CPT)，每一個節點都包含一個CPT，因為貝氏網路的運算有其複雜度，必頇使用電腦來 計算每一個節點的機率，本研究僅以貝氏網路的推論做為工具，其演算法不在研究探討 的範圍之內。簡單來說，如圖2-2-1 是一個省略機率的示意圖，事實上，節點A、B、C 都各含有一個CPT，以節點A代表先驗機率，節點B代表現象發生與否，包含節點A的CPT 在內，是收集證據的節點，通常稱為證據節點（劉麒峰，2004）。由節點B所收集到的 證據來推論B事件發生的原因，即為後驗機率P(A|B)，應用貝氏網路的推論，可協助學 生作診斷分析。

五、貝氏網路建立的步驟

本研究要建立貝氏網路來做推論，必頇取得研究資料後，先根據資料及專家對學科 專業知識的分析，建立一個完整的貝氏網路模型，再根據資料來進行推論。建立模型的 過程如圖2-2-2所示，分成以下三個步驟：(楊智為，2007)

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圖2-2-2建立貝氏網路模型的流程(楊智為，2007)

(一)根據研究資料，建立貝氏網路節點及連結

根據所設定的研究資料，進行學科專業知識探討與分析，建立節點與節點之間的連 線關係，其連結需符合該領域資料群體特性及專業知識，組成完整的貝氏網路結構。

(二)設定模型中節點的機率分布

計算所有可觀測節點和未觀測節點的先驗機率及條件機率分布。以觀測的資料當證 據，透過貝氏網路推論，獲得所感興趣的未觀測節點之後驗機率分布。

(三)評估後驗機率的正確性

評估模型填入這些資料是否適合，以及此後驗機率對建立模型中所要知道的節點推 論是否正確。

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（Bayesian network, BN）的優點，以發展有效 的數學學習診斷工具，並可得到更精確的測驗資

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表2-2-1貝氏網路相關文獻整理(續) 研究者

(年代)

研究主題 研究內容

戴榮輝 (2008)

以貝氏網路與知識結構為 基礎進行數位個別指導模 式教材之研發及教學成效 之探討－以國小六年級圓 周長單元為例

以國小六年級圓周長單元為例，研發可運用於個 別指導及適性補救教學之數學教材與教學媒 體，並結合以貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷 測驗，根據ㄧ對ㄧ、ㄧ對二個別指導方式，分別 設計完整的教學、評量以及補救教學活動，成為 一對ㄧ以及一對二的「數位個別指導模式」。 蘇文君

(2008)

國小六年級分數的除法單 元之數位數學教材及電腦 適性測驗研發

以知識結構為基礎，結合貝氏網路，研發一套數 位數學教材與電腦適性測驗。同時，編製以知識 結構為基礎之數位數學教材供實驗組進行教學 與補救使用。正式施測後，根據所得資料加以分 析。並利用貝氏機率統計方法，檢視在適性與全 測之作答情況下，對子技能與錯誤類型之辦識 率。

綜合上述的研究結果顯示，將貝氏網路應用於實際教育評量是可行的且具有相當的 成效，但大部分的詴題都採單一選擇題設計，在施測過程中，常會有學生猜題或資訊不 足的情形，而影響貝氏網路的辨識率。因此，本研究採用江啟明(2010)之方法以二階段 詴題的方式，提供更精確與完整的資料，作為貝氏網路診斷的推論依據。

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