研究工具

立論證活動規範。改編 LaSaracina 和 White(1999)教學活動設 計，一開始根據班級共識的梯形特徵繪製梯形圖形，接著以 此教學活動改編 Moyer(2001)，在排列桌子與安排座位的限制 條件下，學生操作馬賽克以代表桌子的不同排列方式，紀錄

改編 Hopkins (1996)，植物園形狀須是長方形或正方形及最少 經費購買圍籬的限制條件下，學生操作代表植物生長所需空 間的馬賽克，觀察紀錄周長的變化，透過紀錄與觀察使學生 感受「相同面積不同形狀的圖形，周長可能不同」並提出解 釋。將觀察學生如何應用教學活動一相關的學習經驗作為發 展經驗，本活動中暫不介入「周長相同不同形狀的圖形，面

積可能不同」的概念。

改編 Hartweg K. (2003)，要求學生運用已經學過的相關知識 和測量技巧獲得愛心圖形面積與周長。教學者以題目敘述建

說明後，小組成員開始討論以形成小組的共識(可能有數種解釋或解題方

表 3-4-3

面面俱到梯形學習單設計內容

(一)小朋友，請用你的話將「梯形」的特徵寫下來。

【說明】：根據學生寫下的梯形特徵，瞭解其對梯形定義的認識。此步驟是「題 二」論證活動的起點，作為論證過程中向同儕提出說明的初步參考。在小組論 證活動，學生提出想法在同儕間形成共識後，板書於黑板上。

(二)請根據你寫下來的「梯形」特徵，先在下圖的方格紙中畫出「梯形」，再 向同學解釋為什麼你畫的圖形就是「梯形」？

【說明】：要求學生畫下「梯形」並不難，但要向同儕解釋為什麼畫出的圖形 是梯形，能促使學生思考所學習梯形的「定義」。當同儕不認同或不確定其繪 出圖形是梯形時，學生可能會提出在「題一」描述梯型特徵的資料作進一步的 說明或解釋，可能包含進一步的論據或理論支持他所繪出的圖形是梯形，或因 認同儕提出論據與理論支持而改變其原有想法，而回到題一修正其對梯形定義 的認識，最終在小組中達成對梯形定義的共識。

(三)小朋友，你會算長方形的面積嗎？你是怎麼算的？

【說明】：根據個別學生寫下的內容，瞭解其對長方形面積的認識。此步驟是

「題四」論證活動的起點，作為論證過程中向同儕提出說明的初步參考。

(四)想想看，下圖的梯形面積要怎麼求？請使用你學過的「長方形」面積知識，

得到這個梯形圖形的面積。先將做法紀錄下來，再說明給大家知道。

【說明】：經由本題以「長方形」面積知識得梯形面積限制條件的方式，瞭解 學生如何應用習得的「長方形」知識應用在圖形切割、拼湊，要求學生將作法 紀錄紙筆寫下，作為說明與解釋的初步依據，當同儕不認同或不確定作法正 確，學生可能會提出在「題三」長方形面積知識的資料作進一步的說明或解釋，

可能包含進一步的論據或理論支持作法的正確性，或因認同儕提出論據與理論 支持而改變其原有想法，而回到「題三」修正長方形面積的定義或公式，最終 在小組中達成此題數種應用以長方形面積為基礎透過切割、拼湊得到梯形面積 的共識。

(五)小朋友，還有沒有不同的做法？

【說明】：促使學生思考其它切割、拼湊求出「題四」梯形面積的方式，除了 做為小組論證活動學生的說明與解釋，透過論證活動前的晤談，研究者亦可選 擇值得討論的作法，作為班級討論的議題。

(六)請將「梯形圖卡」描繪在下圖的方格紙上。請使用你學過的長方形面積知 識，得到這個梯形圖形的面積。先將做法紀錄下來，再說明給大家知道。

【說明】：題一到題四是學生在晨間導師時間習作，因為學生在回憶舊經驗與 應用習得的數學知識需要時間思考，利用晨間習作，讓學生能形成初步的參考 資料以供論證活動進行時的輔助說明，幫助論證活動時的提出疑問以及進一步 的解釋，也為了能課堂論證活動效率的進行，而本題所需的數學知識及運用技 能，在題一到題五的活動進行，學生已經練習，因此題五是導師在課堂上發下

「梯形圖卡」讓小組學生直接操作與進行活動，觀察學生如何運用題一到題四 的學習經驗與形成的共識，進行題五的活動，形成小組共識。

本研究正式實施教學活動中的論證議題是常見學生在學習面積與周 長概念時常出現的迷思概念，有：一、等積異形中若面積相等則認為周 長亦相等。二、周長相等之圖形其面積也會相等之概念。三、周長與面

積概念混淆，計算周長得到面積。四、周長與面積概念混淆，計算面積 得到周長。五、周長變大 n 倍，面積亦會變大 n 倍。六、面積變大 n 倍，

周長亦會變大 n 倍。常見學生周長與面積迷思概念與相對應教學活動呈 現於表 3-4-4

表 3-4-4

常見學生周長與面積迷思概念與相對應教學活動

      教學單元  周長與面積迷思概念 

冬至家庭日 大廚風味餐

設計學校

植物園  愛心  平面  圖形  等積異形中若面積相等則認為周

長亦相等         

周長相等之圖形其面積也會相等        

周長與面積概念混淆，計算周長

得到面積         

周長與面積概念混淆，計算面積

得到周長         

周長放大 n 倍，面積數值亦放大

n 倍         

面積放大 n 倍，周長數值亦放大

n 倍         

教學活動情境有學生校園的生活經驗，透過「馬賽克」、「棉繩」具 體物的操作，或要求學生依題意先畫出平面圖形再紀錄周長與面積數值 的方式，幫助學生在論證活動依據操作或觀察圖例、數值提出解釋。研 究者蒐集學生學習單紙筆紀錄、晤談紀錄及小組論證活動的資料，分析 學生在論證活動前後概念理解的差異。另外，教學活動三愛心，其情境 不同於學生在數學課本教材已習得的圖形知識：長方形、三角形…等，

愛心圖形中兩個半圓的組成，圓面積是在六年級才接觸，研究者以蒐集 學生面對不熟悉的情境，如何以習得的觀念或技術解決問題情境，並提 出解釋說明。

二、資料的蒐集與分析

(一)初步的資料編碼

本研究質性資料的蒐集與分析同時進行。資料初步分析的進行，研 究者按時間先後次序進行轉譯與編碼工作。蒐集的資料：學習單的學生 紙筆紀錄、個別學生晤談錄音和教學活動錄影謄錄為文字檔，將資料依 照「種類-日期-對象」原則編碼。例如：資料為 2012 年 11 月 05 日，教 學活動主題一， S1 學生個別晤談的一段紀錄，編碼會以「個別晤談 -121105-A1-S1」表示，質性資料編碼轉錄對照表如下表 3-4-5：

表 3-4-5

質性資料編碼轉錄對照表

編碼方式 代表意義

學習單 121105-A1-S1 2012 年 11 月 05 日，S1 生，教學活動一的學習單 晤談 121105-A1-S1 2012 年 11 月 05 日，S1 生，教學活動一後的個別晤談 錄影 121105-A1-S1 2012 年 11 月 05 日，S1 生，教學活動一的錄影錄音

(一)半結構式個別晤談

實施論證活動教學研究前、後的前測、後測，與每節次實施論證活 動前、後以學生學習單紀錄內容，研究者與班級學生進行個別晤談。前、

後測晤談的目的，是瞭解學生在實施論證活動教學研究前、後，學生在 周長與面積概念理解的差異。每節次論證活動前以學生在晨間導師時間 習寫學習單內容進行晤談，目的是瞭解學生在該節次論證活動前的數學 概念理解情形，對於學生提出解題的說明與解釋不給予對或錯的回覆，

該節次論證活動後的晤談，是瞭解學生在論證活動過程如何發生數學概 念的轉變。一方面比較學生在該節次論證活動前、後數學概念理解的差 異，並與實施論證活動過程的晤談紀錄交叉比對，以推測學生概念理解 的演進。

晤談問題設計如下表 3-4-6，主要聚焦學生在前、後測及學習單上習 寫內容的解說，因考慮到五年級學生將口語的表達轉換為文字紀錄有困

難，須要透過晤談對學生想法做進一步的了解，論證活動後的晤談問題

陳宜靜等，1990；許嵐婷，2003；王選發，2002）。將試題區分為「基本

Baturo & Nason（1996）；

Dembo et al.（1997）

認為周長放大 n 倍面積亦放大 n

11  改編自許嵐婷（2003） 

平行四邊形面積與周長公式的迷

(三)論證元素分析

本研究中，學生在小組論證活動的過程，提出的論述內容可能包含 的論證元素，是以 Toulmins (1958)在著作「The Uses of Argument」提出 完整論證架構包含的論證元素，對論證元素定義做詮釋，以對學生發言 的論述內容進行判斷分析包含哪些論證元素的規準，為求解讀的正確 性，研究者與指導教授針對論證元素判斷規準與實例，如下表 3-4-6 論 證元素判斷規準與實例就專家效度做出討論，以並作為研究者與二位高 年級數學教師對學生論述內容包含哪些論證元素判斷與討論的依據，以 進一步比較本研究中研究對象數學學習成就高(S1)、中(S2)、低(S3)學生 提出論述內容包含論證元素的差異並提供小組論證貢獻度計算的基礎。

分析學生在論證活動中提出論述內容出現哪些論證元素，目的是供 研究者後續資料分析之用，在本研究不會告知學生論證架構及論證元素。

論證元素的分類有益於紀錄和分析在論證活動中學生在數學的概念演 進，亦提供了一種方式來呈現在論證活動過程共識的形成隨著時間的推 移發生的變化。論證內容元素編碼依照「研究對象－種類」進行編碼，

資料的編碼如表 3-4-8。

表 3-4-8

論證元素編碼

編碼代號 論證元素

S1-C S1 提出宣稱(Claim)

S1-D S1 提出支持宣稱的資料(Data)

S1-W S1 提出可以支持宣稱為合理性的論據(Warrant)。

S1-B S1 提出支持論據的數學理論(Backing)。

S1-Q S1 提出在限制條件(Qualifiers)成立的情形宣稱為正確的。

S1-R S1 提出反駁(Rebuttal)。

本研究中，考慮學生是數學知識概念的學習者，因此在論證活動中

本研究中，考慮學生是數學知識概念的學習者，因此在論證活動中