S3 概念理解應用分析

S3和弟弟生活起居是依靠單親母親打零工獨立撫養和照顧，母親的 工時長因此無法督促該生的課業，督導該生課業學習依靠學校教師的教 導，個性外向活潑，喜愛與人接觸和聊天。而研究者與數學教師(班導師) 討論S3數學的學習情況，數學教師指出S3數學理解力差也很被動，回家 的數學作業都不寫，依此除了利用課餘時間進行一對一的教學，S3亦參 加每週兩節課後的數學補救教學，加強S3的教學都是教師先解題並說明 給該生看後，再換該生說明如何解題，但是該生的說明比較像是回想解 題過程，並不像真的了解每一步驟的意義，因此常常斷斷續續需要教師 提醒，並常停頓下來問教師對不對，因此，數學教師的教學是要S3重複 的練習類似題，讓S3熟練計算。因此，認為研究者的教學過程，要求該 生自己先思考作答還要向同學舉例說明，對於該生會有困難。

一、概念理解應用的表現

(一)等積異形中若面積相等則認為周長亦相等之概念 「面積都是16cm²的平面圖形，周長一定相等」的敘述，前測中S3 作答時誤解題意，經由研究者說明知道題意後，認為敘述正確，理由是：

感覺題目的敘述句型與課本講述重點的句型類似。前測作答時，S3解讀 題意為：面積16(cm²)的平面圖形，它的周長數值也會是16(cm)，判斷正 確的依據亦是類似課本重點說明的敘述方式，請該生嘗試畫圖舉例說明 周長、面積為何一樣，S3表示不會舉例。

「冬至家庭日-大廚風味餐」，S3認為「面積相等的兩個圖形，周長 一定相等」的敘述不對，憑感覺認為敘述「怪怪的」而下結論。小組論 證的過程，讀出寫的內容後就聽S1、S2間討論卻未有任何提問，教學活 動結束前，在小組共識處寫上：看起來不一樣，見圖4-3-1圖右。晤談時，

S3表示有聽S1和S2的「講話」，但忘記同學說了什麼，研究者拿S2的學習 單請S3試著回想S2說了什麼，S3僅能讀出S2所寫的內容後，卻無法解釋 S2為什麼這樣寫，指著S2在小組共識的所畫的圖例說：這兩個(圖形)看

起來不一樣，見圖4-3-1圖左。與該班數學教師討論後認為：小組論證的 方式不同於數學課堂教師解釋題意、呈現解題步驟、重述說明與寫練習 題的方式，對S3來說，同儕間的討論像日常的對話，S1解釋的過程中S2 會提問，接著就得出結論，兩人已經形成共識，還有S3自身數學學習落 後加上被動思考的習慣，要跟上同儕的思考有所困難，因此僅能專注在 結論是否和同儕一致。

S2的 S3的

圖4-3-1 S2、S3解題之對照圖

「設計學校植物園」學習單上，S3畫出長(m)寬(m)分別為：2m3m、

6m1m、3m2m的長方形，將獲得的面積也紀錄在周長(鉛筆)，同前測 的晤談，S3認為平面圖形的面積與與周長相等，圖4-3-2。

圖4-3-2 S3解題之圖片檔1

小組論證中S3僅聽S1、S2間討論雖仍未有任何提問，更正學習單紀 錄的周長數值見圖4-3-2。S3在晤談時表示『周長是算圖形外面「邊」的 長度再加起來；面積是算裡面的格子有幾格』。S1與S2的對話如下：

S2：(點數自己畫的長(m)寬(m)為2(m)3(m)的長方形)這個1、1、1、1、

1，啊！我沒有把它加起來，我把它加起來…，等於10(周長)，然後…

這個就這樣等於6(面積)。

S1：(檢視並指著S2畫的長方形周長)這裡是2和3我把它加起來，乘以2。

S2：沒關係啦！2加2加3加3(拿起筆寫2+2+3+3=10)…。

S1：寫6就好了(指S2算的長方形面積)，面積為什麼是1乘6？

S2：它有6格，繼續…(另兩個長(m)寬(m)為6(m)1(m)、3(m)2(m) 長方形周長數字修改為6+6+1+1=14、3+3+2+2=10，並邊說邊寫)。

在「愛心」單元活動學習單，S3 畫出與愛心圖形面積(12cm²)相同長 (cm)寬(cm)為 6(cm)2(cm)的長方形，晤談時說明如何計算長方形的周 長與面積，及發現長方形與愛心圖形在周長(16cm)都相同。小組論證中，

S1 以長(cm)寬(cm)為 3(cm)4(cm)的長方形為例，說明長方形與愛心圖 形面積雖相同，但(長方形)周長(14cm)比愛心圖形(16cm)，所以面積相同 的不同形狀圖形，彼此的周長不一定一樣，S3、S2 認同 S1 的解釋並在 班級論證中黑板呈現共識內容見圖 4-3-3，其中 G3 組形成共識與 S3 舉例 相同，在班級論證結束後，研究者歸納各組的發現歸納：面積相同的不 同形狀圖形，彼此的周長不一定一樣。

圖4-3-3 小組共識分享圖片檔3

後測題目敘述：面積都是20cm²的平面圖形，周長一定相等。S3將題 意解讀為「面積20cm²的平面圖形，它的周長數值也會是20cm」情形下，

亦認為敘述正確：作答時畫梯形(上底、下底5cm，高2cm)舉例說明，卻 忽略梯形「邊」的長度數值的不合理，根據S3標示的數值其實是矩形並 非是梯形，晤談時嘗試以圖例梯形解釋面積20cm²的圖形，周長數值也是 20cm的說法成立，忽略梯形面積計算公式(上底+下底)高÷2中除以2，

以為舉例的梯形面積是20cm²，其實是10cm²。想要說明梯形的周長是20 公分，卻未標示斜邊的長度，S3嘗試以梯形為例說明陳述的合理性，雖 未達到預期目標，但仍覺得「面積20cm²的平面圖形，它的周長數值也會 是20cm」說法成立。

經研究者解釋題意，S3表示說法說法不正確，研究者考慮S3原舉例的 梯形在面積、上底與下底數值不合理、未標示斜邊長度的因素，建議S3 以他熟悉的圖形舉例說明，S3畫出長(cm)寬(cm)為4(cm)5(cm)、

10(cm)2(cm)的長方形，再計算並紀錄兩個長方形的面積與周長數值，

S3告訴研究者周長分別為等於18(cm)和24(cm)，一個超過20(cm)一個沒有 20(cm)，因此這題的說法是錯誤的，見圖4-3-4。

圖4-3-4 S3解題之圖片檔2

相較於前測S3以「類似於課本重點陳述的句型」的感覺進行判斷，在 後測晤談經研究者解釋題意、建議以熟悉圖形舉例說明的輔助，S3能舉 例說明「面積20cm²的平面圖形，它的周長數值也會是20cm」說法不成立。

亦發現S3在獨立解題時，舉例的幾何圖形特徵的不合理見圖4-3-4方框 處：1.長方形的兩組對邊等長(長、寬)；鄰邊不等長，而S3忽略他畫的長 方形標示邊的長度數值的不合理(鄰邊等長；對邊不等長、長度比例不合 理)，在教學活動學習單的習寫中，卻沒有這樣的情形，經由研究者的提 醒S3表示標示錯誤(研究者請S3保留原例不做修改)，但可能在S3獨立解 題時亦有可能發生這樣情形，影響S3的解題過程思考。上述，S3在等積 異形的不同圖形，認為面積相等周長亦相等晤談紀錄見表4-3-1。

表4-3-1

畫出60°的角並標示出角的範圍，並進一步詢問：「以一條相同的繩子圍 起來的這幾個圖形，為什麼角度會一樣？」S3想到銳角三角形的角度比 正方形90°的直角小於是更改為不一樣。詢問：「邊長為什麼相同？」S3 想一想說：「不會一樣，因為三角形有三個邊，正方形有四個邊，所以三 角形的邊會比正方形的邊長來的長。」晤談的過程S3會想到不成立的例 子，以判斷選項的正確性。因為原有作答的選項已被刪除，S3停頓思考 說：「周長相同，因為是用同一條繩子圍出來的，所以正方形、長方形、

三角形、平行四邊形和梯形的周長會一樣。」研究者詢問：「面積是否相 同？」S3回答形狀不一樣；所以面積不會一樣，但未能再進一步說明。

關於S3晤談時表現，研究者與S3的數學教師討論，教師認為與該題 是選擇題的題型有關，因為S3在測驗時若碰到選擇題，往往會憑直覺猜 測答案，不會去思考，因此在晤談中詢問S3時，他才開始進行思考。

S3在晨間寫「冬至家庭日-大廚風味餐」學習單，因不懂題目「周長 相等的兩個圖形，面積一定相等」的敘述，因此空白，研究者說明題意 後，請S3盡可能寫出自己的想法，S3畫了2個面積大小不同的圓，表示「小 圓」與「大圓」彼此的面積一看就知道不一樣，所以，2個圖形面積不同。

研究者指著「小圓」與「大圓」確認：「這兩個圓形彼此的周長是否一樣？」

S3說：「這兩個圓的周長相等，但是面積不一樣。」見圖4-3-5，研究者 考慮晤談是為了瞭解學生在教學活動前的概念應用情形，為避免向S3進 一步確認「小圓」與「大圓」彼此間的周長相同的理由，可能發生的教 學以致發生概念改變，因此結束本題的晤談。

圖4-3-5 S3解題之圖片檔3

觀察小組論證的教學錄影發現：S3 僅關心自己的結論是否相同於 S1 和 S2，當知道自己的結論和小組成員相同，就認為是對的，即使 S1 告訴他：「你在亂寫，這兩個圓形的周長也不一樣。」S3 仍不在意。教 學活動後的晤談，S3 仍認為自己知道「周長相等的兩個圖形，面積不一 定相等」的原因，推測與題意「無關」的舉例可能有其它原因。直至「設 計學校植物園」教學活動中，知道 S3 之前認為平面圖形的周長和面積兩 者相等及錯誤解讀題目有關，研究者進一步以「冬至家庭日-大廚風味餐」

學習單詢問得知：1. S3 認為平面圖形的周長與面積兩者數值相同，例 如：面積 16cm²的平面圖形，其周長亦是 16cm。2.教學活動前的晤談在 研究者說明題意後，S3 仍錯誤解讀，題目敘述「周長相等的兩個圖形，

面積一定相等」解讀為「(在)周長(值)(和面積相等的)兩個圖形(指各自的 周長與面積相同)，(這兩個圖形彼此的)面積一定相等。)。「大圓」、「小 圓」是指 2 個分別在周長和面積相等的兩個圓形，比較「大圓」、「小圓」

的面積，得到面積不同的結論。S3 在解讀題意時，似乎常出現解讀錯誤 的情形。

「愛心」單元教學活動，S3 畫出長(cm)寬(cm)為 6(cm)2(cm)的長 方形，發現其周長(16cm²)與面積(12cm²)均與愛心圖形相同。S1、S2 晨間 在學習單舉例亦是相同，很快在小組達成共識，並未進一步找出可能存 在與愛心圖形周長相同，面積不同的長方形，對話內容如下：

S3：(指著學習單所畫長(cm)寬(cm)為6(cm)2(cm)的長方形說明)這兩 個上、下的長是6；左、右的寬是2，是不是(向S1、S2確認)…那個周 長是這4個相加(意指長方形的4個邊)等於16，面積不是長乘寬啊！6 乘2等於12，然後這個愛心圖形面積(值)和長方形一樣，周長(值)也 一樣。

S1：它(確認S3學習單的長方形)的長和寬是6(公分)和2公分？

S3：對！換妳(S1)說。

S1：我畫出來的是長6公分、寬2公分的長方形。

S3：還不是一模一樣！

S1：周長是括號6+2乘以2…等於8乘2…等於16。然後，它的長和寬是6 公分和2公分，然後面積一樣。

S2：面積(是)長乘寬…6乘2…等於12。

S3：同意了。

S1：長是6公分、寬是2公分。

S2：我們好了，我們都一模一樣。

在小組共識班級分享中，編號G2與G3兩小組得出相同的共識見圖 4-3-6方框處，G1小組以長(cm)寬(cm)為7(cm)1(cm)的長方形舉例，獲 得周長與愛心圖形(16cm)相同的長方形，面積比愛心(12cm²)小，研究者 請學生觀察各組在黑板發表內容再與學生討論歸納：相同周長的兩個不 同形狀圖形，彼此的面積不一定相同。

在小組共識班級分享中，編號G2與G3兩小組得出相同的共識見圖 4-3-6方框處，G1小組以長(cm)寬(cm)為7(cm)1(cm)的長方形舉例，獲 得周長與愛心圖形(16cm)相同的長方形，面積比愛心(12cm²)小，研究者 請學生觀察各組在黑板發表內容再與學生討論歸納：相同周長的兩個不 同形狀圖形，彼此的面積不一定相同。