第四章 研究分析與討論
第二節 S2 概念理解應用分析
S2主要照顧者是奶奶，數學教師(班導師)認為該生數學理解能力在 班上屬於中間，數學課堂專心聽課但少發問，屬於安靜的學生。雖然在 數學領域未參加校內、校外的課後輔導(英語有)，但自己會完成數學回 家作業，自己會訂正錯誤的，不須教師特別叮嚀，教師講解過的題目考 試如果有出類似題，該生都會算。數學教師認為，該生在國語文表達能 力佳，向同學解釋數學的作法，應該不難。
一、概念理解應用的表現
(一)等積異形中若面積相等則認為周長亦相等之概念
S2對於前測試題關鍵句「面積都是16cm2的平面圖形，周長一定相 等」，僅以感覺判斷此敘述是正確的。「冬至家庭日-大廚風味餐」學習單 題目中提示學生「可以舉例說明」，S2在晨間習寫嘗試畫出兩種由4個1 平方公分所組成的4平方公分，發現彼此的周長不一樣。課堂的小組論證 中贊成S1的想法，並紀錄了兩個面積均為12cm2、周長不同(16cm、14cm) 的長方形，見表4-2-1。
「設計學校植物園」的教學活動，S2畫出長(m)寬(m)分別為：
2m3m、6m1m、3m2m的長方形，紀錄圖形的周界是由幾個1公分相 加後所得出的周長數值。S2在習寫學習單過程，專注在如何獲得周長，
因此學習單寫：畫出來再將周長相加。在小組論證中解釋過程亦如此，
對話如下：
S2：(點數自己畫出長(m)寬(m)為2m3m的長方形)這個1、1、1、1、
1，啊！我沒有把它加起來，我把它加起來…，等於10(周長)，然 後…這個就這樣等於6(面積)。
S1：(檢視S2畫的長方形周長)這裡是2和3我把它加起來，乘以2。
S2：沒關係啦！2加2加3加3(拿起筆寫2+2+3+3=10)…
S1：寫6就好了(指S2算的長方形面積)，面積為什麼是1乘6？
S2：它有6格，繼續，將2第二個第三個圖形數字修改為6+6+1+1=14
3+3+2+2=10(邊說邊寫)…
S2在學習單畫出相同面積不同形狀的三個長方形，再紀錄周長與面 積數值的過程，以及本次教學活動該小組論證主要在討論S1發現解決設 計學校植物園相同面積最小周長的方式，見圖4-2-1左下方框至此未連結 前面「冬至家庭日-大廚風味餐」教學活動發現的：面積相同、周長不同 的長方形，在該堂課的班級分享中他組有發表上述的發現，見圖4-2-1中 方框處。
圖4-2-1 小組共識分享圖片檔1
「愛心」單元教學活動，要求學生畫出與愛心圖形(面積12 cm2、周 長16cm)面積相同的長方形，再比較兩者的周長數值。S2畫出一個面積與 周長數值均與愛心圖形相同，長(cm) 寬(cm)為62的長方形，S2發現 相同面積的長方形周長和愛心圖形一樣。小組論證S1以她所畫的長方形 向S2及S3解釋：雖然你們畫的長方形，周長數值和愛心圖形一樣，可是，
我畫得長方形周長比愛心周長小，所以並沒有一樣(指不一定一樣)。教 學活動結束的晤談，S2曾提及S1畫的長方形周長數值和愛心不一樣。
S2在後試題關鍵句「面積都是20cm2的平面圖形，周長一定相 等。」，判斷其敘述是錯誤的。S2在晤談時，研究者請S2進一步說明，而 S2畫出兩個由6個1平方公分組成6cm2，周長同為14cm的圖形，見圖4-2-2，
不過仍強調「別的圖形可能面積一樣，但周長可能不一樣」。
圖4-2-2 S2解題之圖片檔1
S2在教學活動前認為「面積都是16cm2的平面圖形，周長一定相等」，
在後測晤談強調「別的圖形可能面積一樣，但周長可能不一樣」。S2在前 測憑感覺判斷敘述的對錯，後測晤談嘗試透過舉例來說明敘述的錯誤，
雖然舉例不能說明自己的想法「別的圖形可能面積一樣，但周長可能不 一樣」是成立的，不過在小組及班級論證活動中同儕發表發現「面積相 同的圖形，周長不一樣相同」的想法，影響S2並建立概念。
而與S2的晤談及教學錄影中，發現S2在寫學習單及教學活動進行 中，相當重視以驗算檢視答案的正確性，而學習單題目設計則有二種以 上的可能，該生忽略其它的可能性，例如：面積12cm2的長方形，其長(cm)
寬(cm)除了62以外，還有34，僅驗算前者長方形數值是否正確，未 再進一步考慮其它的形狀，專注於計算的S2在後測雖想透過舉例說明題 目敘述的錯誤，但未去思考其它種可能，也因過於專注於驗算數字的過 程，並未能連結同學在論證活動中曾經提及以及自己曾經發現的例子，
亦可能S2教學活動中不若S1「有目的」想找出例子「面積12cm2的圖形，
周長不一樣相同的例子」，因此S2無法舉例說明自己的說法是成立的。
表4-2-1
S2在等積異形中若面積相等則認為周長亦相等晤談紀錄
教學 活動
單元題目 S2概念理解應用
前測
娜美說：「面積都是16cm2 的平面圖形，周長一定相 等」你覺得她的說法對 嗎？請寫出你的想法。
晤談：
面積都是16cm2的平面圖 形，周長一定相等。
冬至 家庭
阿綱說：「面積相等的兩個 圖形，周長一定相等。」
日-大
面積並不一定會相等。
晤談中，請該生具體的說明，S2嘗試畫圖舉例說明「兩個周長數值 相同，但是面積不同的兩個圖形」成立，但是S2在多次嘗試未果後放棄。
與S2畫圖形的方式有關，S2先畫出不同形狀的圖形，然後將圖形切割成 數個1平方公方，然後試圖透過加減1平方公分的面積來調整兩個圖形的 周長，目的是使兩個圖形周長相等，不過每次的加、減1平方公分，圖形 的周長就必須要重新計數，試二、三次後，S2就將原來畫的圖形擦掉重 畫，反覆數次的過程中反而得到了一組形狀不同但是面積和周長都相同 的情況，S2改口：「好吧！周長相等的兩個圖形，面積可能相等，但也可 能不一定相等。」見表4-2-3。
當S2有先入為主的概念，即便無法提出舉例支持概念的成立，又或 得到可能推翻概念的例子時，仍會選擇保留原有概念成立的可能性，在 小組論證中，S1提出兩個圖形周長相等但面積不相等的例子，如圖 4-2-2，因為能支持她的想法，因此立即的贊成S1的說法。
圖4-2-3 S2解題之圖片檔2
在愛心的教學活動，S2畫出與愛心圖形相同面積(12cm2)，長(cm) 寬(cm)為62的長方形發現兩個圖形周長數值皆相同，S2寫學習單過 程，專注在如何畫出和愛心圖形相同周長的長方形及驗算數值是否正 確，未考慮可能存在的其它圖形，小組論證中，S1有意找出各種可能，
發現周長與愛心相同而面積比愛心小，長(cm) 寬(cm)為71的長方形 其，並形成小組共識發表於黑板上，如圖4-2-4右。S2在後測認為由60公 分的繩子圍成五個圖形中，僅有周長的數值在五個圖形中是一樣的，推
測可能是在論證過程先前以「語意」推測的「先入為主」的想法獲得S1 提供的證據支持，強化其想法是對的，S2並未能進一步提供證據說明概 念成立的合理性。
圖 4-2-4 S2 解題之圖片檔 3 表4-2-2
S2在周長相等之圖形其面積也會相等晤談紀錄
教學 活動
單元題目 S2概念理解應用
前測
羅賓說用一條50cm的繩子分 別圍出正方形、長方形、三角 形、平行四邊形和梯形，而且 繩子都剛好用完，請問五個圖 形中哪些值會相同。（請填寫代 碼）（甲）角度（乙）邊長（丙）
周長（丁）面積
晤談：
誤把邊長當作周長，其實，周 長和面積相等，理由是因為用同一 條繩子圍出來的，所以周長和面積 會相等。
冬至 家庭 日-大 廚風 味餐
里包恩說：「周長相等的兩個圖 形，面積一定相等」。你覺得他 們說法對嗎？為什麼？先將想 法寫下來，再說明給大家知 道，可以舉例說明。
學習單：
不對，因為面積相等的兩個圖 形，周長不一定相等；所以，周長 相等的兩個圖形，面積也不一定會 相等。
晤談：
5cm)，算式：5593=675，見圖4-2-5。
圖 4-2-5 S2 解題之圖片檔 4 表4-2-3
S2在周長與面積概念混淆計算周長得到面積晤談紀錄
教學 活動
單元題目 S1概念理解應用
前測
晤談：
認為周長是：邊邊的長，將邊 邊的長相加。
分析：
忽略封閉圖形具有周界的前提。
學習單：
正確標示平方公分板平面圖形的 周界，並正確數周長的數值。
求平面圖形(正方形、長方 形、直角三角形、平行四邊 形、梯形)的周長數值。
晤談分析：
S2認為使用周長公式可求出 圖形周長，但該生使用公式為自己 創造，並未正確與周長概念的認知 相連結。
周長
1. 上列4個平面圖形，哪些具有
「周長」？
2. 什麼是周長？請將想法寫下 來。
教學活動後晤談：
認為周長是：圍成圖形的線段。
冬至
S2對周長圖形的基本概念，在經過小組論證後，S2寫下自己對周 長的看法：線一定要連起來，注意到周長必須以封閉圖形為前提。「冬至 家庭日-大廚風味餐」教學活動設計，以數座位的方式帶入測量周長的過 程，S2應用這樣的概念將圖形的邊長相加總獲得周長，但S2認為其周長 的數值是用公式算出來的，見圖4-2-6。研究者推測，S2理解的周長概念 和求平面圖形周長，兩者的「周長」概念彼此獨立，將「邊邊的長相加」
的周長概念應用於平方公分板平面圖形周長點數相加，而「周長公式」
與「面積公式」是用以求平面圖形的周長的，可能是因為平方公分板平 面圖形周長點數的經驗未能順利銜接至平面圖形周長的計算有關，因此 兩者概念對S2而言是分開的。
圖 4-2-6 S2 解題之圖片檔 5
在「設計學校植物園」中，S2在紀錄100平方公尺能排列出正方形或 長方形的三種組合，紀錄周長的數值時，該生未強調「周長公式」，而是 延續上一個教學活動的經驗，將圖形周界的長度加總如圖4-2-7。
圖4-2-7 S2解題之圖片檔6
S2測量「愛心」圖形的面積和周長時，在做法明確的說明測量面積 和周長過程的差異，說明周長是用尺、繩子圍出愛心圖形後再測量繩子 的長度，測量愛心圖形周長的過程，未將周長與面積的計算混淆，見圖 4-2-8。
圖4-2-8 S2解題之圖片檔7
經過「設計學校植物園」、「愛心」教學活動的引導，測量周長的過 程應用並強調周長的意義：平面圖形周界的長度。在「平面圖形」求正 方形、長方形、直角三角形、梯形的周長不再執著於公式，而是應用周 長概念計算平面圖形的周界的長度，周長數值的計算過程因該生習慣心
經過「設計學校植物園」、「愛心」教學活動的引導，測量周長的過 程應用並強調周長的意義：平面圖形周界的長度。在「平面圖形」求正 方形、長方形、直角三角形、梯形的周長不再執著於公式，而是應用周 長概念計算平面圖形的周界的長度，周長數值的計算過程因該生習慣心