數學學習成就高中低學生在小組論證的表現

研究者參考並改編相關文獻與教學活動，將學生學習周長與面積概 念常出現的六個迷思概念安排在四個教學主題，分析小組編號 G2 中數 學學習成就高(S1)、中(S2)、低(S3)學生在小組論證中，提出論證內容包 含的論證元素差異及論證貢獻度表現。

六種迷思概念中，研究者考量「周長與面積概念混淆，計算周長得 到面積」、「周長與面積概念混淆，計算面積得到周長」兩者概念，在教 學活動情境設計或題目呈現皆要求學生求出一平面圖形的周長與面積，

以瞭解學生是否有周長與面積概念的混淆，在小組概念論證過程中求周 長與面積的概念會同時出現在對話內容，因此在分析學生使用論證元素 差異時，將兩者概念合併探討，以切合實際小組論證運作情形。

一、 國小五年級不同數學學習成就學生周長與面積概念，在 小組論證提出論證內容包含論證元素的差異性

不同數學學習成就學生在小組論證中，提出論證內容中包含的論證 元素，主要差異在於「反駁」的論證元素以及對論證活動的影響。

研究者以 Toulmin(1958)提出論證元素的定義，分析編號小組 G2 數 學學習成就高(S1)、中(S2)、低(S3)學生在各節次小組論證過程提出論證 內容包含的論證元素，S1、S2、S3 在 16 節次提出論證內容中，數學學 習成就高學生(S1)在小組論證過程有 7 節次提出包含「反駁」論證元素 的論證內容，高於數學學習成就中學生(S2)的 3 個以及數學學習成就低 學生(S3)的 2 個。分析小組成員提出包含「反駁」論證元素的對話及該 節次教學後晤談，S1、S2、S3 提出的「反駁」論證元素動機以及論證活 動的影響也有差異。

摘述 S1 提出「反駁」的內容：一、提出 S2、S2 求圖形面積與周長 的計算方式「沒有效率」，S2 修改算式回應 S1，S3 在教學活動後晤談向 研究者表示要利用課餘複習學過圖形的面積與周長公式。二、先提出 S3

「假設」圓心角 360〫不是圓周長 360 公分，再以反問方式反駁 S3 題目 的愛心圖形周長有 369 公分嗎，使教學者(研究者)在教學活動進行中，

發現 S3 面對求不熟悉圖形(複合圖形)的周長發生前測將角度與周長概念 混淆的情形。三、提出 S3 畫出「小圓」與「大圓」舉例說明「周長相等 的兩個圖形，面積一定相等的」不合理，使教學者(研究者)在教學活動 後的晤談，發現 S3 會有認為平面圖形周長等於面積的模式。四、反駁 S2 認為以「2 倍周長的棉繩」圍出的愛心圖形面積也是「原」愛心的 2 倍，提出周長和面積意義不一樣，在後續的班級論證中幫助 S2 發現想法 的錯誤。五、先反駁 S2、S3 將「4 倍面積」的平行四邊形分割為 4 等分 得出其周長是「原」平行四邊形的 4 倍，再提出在「4 倍面積」平行四 邊形內部的「原」平行四邊形「邊」不能算入周長，S2 發現錯誤並向 S1 再次確認因為只能算入「4 倍面積」平行四邊形外圍「邊」的長度所 以只有 2 倍，S3 向 S1 確認分割 4 等分的方式是否可行。六、反駁提醒 S3 紀錄的長方形面積數值不符合題意「4 倍面積」的要求，S3 立即修改 更正。七、提出 S2 在計算面積過程的錯誤，S2 立即修改。

S1 提出包含「反駁」論證元素的論證內容，在論證活動過程產生下 述影響：一、提供建議促進 S2、S3 更有效率的計算的方式，引起 S3 複 習求平面圖形面積與周長的公式。二、幫助教學者瞭解學生在概念理解 應用的混淆：S3 在，(1)周長與角度兩者概念在理解應用發生混淆。(2) 平面圖形周長等於面積的情形。三、提醒成員解題過程發生的錯誤：(1) 告知 S2 在測量「2 倍周長」愛心圖形過程忽略周長與面積意義的不同。

(2)提醒 S2、S3 切割出 4 個「原」面積的平行四邊形過程，觀察的是面 積非周長，圖形內部的「邊」不再是周長。(3)提醒 S3 解題不符合題意 的要求。

摘述 S2 提出「反駁」的內容：一、S2 提出 S3 測量愛心圖形面積的 過程，僅點數將未滿 1 平方公分的格子合併成幾個完整的 1 平方公分，

卻忽略愛心圖形內部 4 個完整的 1 平方公分。二、指出 S1 獲得「2 倍周 長」愛心的面積是「原」愛心面積的 4 倍，超過她與 S3 認為應該是 2

倍的結論差太多，認為不合理。三、呼應 S1 提出 S3 畫出的「大圓」和

「小圓」周長很明顯不一樣，並不符合題意「周長相等的兩個圖形，面 積一定相等的」要求。

從上述，S2 提出包含「反駁」論證元素的論證內容，在論證活動過 程產生下述影響：一、提醒 S3 解題過程的錯誤，促使 S3 再次檢視比對 解題步驟(論據)與點數愛心圖形 1 平方公分格數目(資料)。二、促使 S1 在教學活動後再次檢視自己學習單的計算過程並確認結論為 4 倍，雖然 S2 提出反駁的立論點是她與 S3 的結論相同，而 S1 得出的結論差異太 大。三、重述 S1 的反駁，使 S3 再次檢視自己的舉例是否合乎題意，雖 然 S3 錯誤解讀題意及認為平面圖形的周長等同於面積，使 S3 認為自己 是正確的。

摘述 S3 提出「反駁」的內容：一、「冬至家庭日-大廚風味餐」以擺 設桌子及座位招待來賓的情境，複習面積(點數桌子數)與周長(點數座位 數)概念的兩個論證活動，S3 在 S1 說明過程提出兩次的反駁，先是對 S1 在學習單題目圖形「邊」的長度數值如何獲得提出反駁，因為 S3 以畫圈 點數座位數的方式獲得周長數值；S1 先以尺測量圖形「邊」的長度再測 量。接著，是對周長計算方式的反駁，S3 先點數畫圈的數目，再以「被 乘數乘數=畫圈數目」的「相乘」計算方式呈現，發現自己與 S1 將邊 長數目「相加」計算方式不同而提出反駁。二、表示聽不懂 S1 將愛心圖 形切割為兩個半圓形與三角形估測圖形面積的方式。三、對 S1 反駁 S2

「周長跟面積又沒有一樣」時，支持 S2 反駁 S1 提出「周長變大 2 倍，

面積也變大乘以 2」。

S3 提出包含「反駁」論證元素的動機及影響：一、S1 計算的方式和 他不一樣，所以當下提出「反駁」。研究者認為 S3 意指的「反駁」包含

「提問」，因為 S1 獲得圖形周長與面積作法和他不同，S3 認為「S1 說得 很快」，沒有時間思考，所以直接對算法的不同直接提出反駁，S3 提出 的反駁促使 S1 進一步提出解釋。二、S3 提出「反駁」是認為要支持與 自己答案相同的 S2，即使他與 S2 的立論點(論據)不同。在此次小組論證 過程產生「干擾」，因為 S1 對 S2 提出的「周長跟面積又沒有一樣」意旨

周長與面積意義的不同，並非指「2 倍周長」的愛心其面積是「原」愛 獻度為 42.5%，其百分比例高於 S2(28.3%)、S3(27%)，見表 4-4-1。

表 4-4-1

為零，此與研究者預期有所差異。

將 S3 在兩個節次小組論證貢獻度為 0 的數值，計入 16 節次小組論 證貢獻度的平均值，理應使 S3 的平均小組論證貢獻度與 S2 的差距會更 大，實際上平均值 S3(26.9%)略少於 S2(28.4%)小組論證貢獻度。兩項因 素使得 S3 在平均小組論證貢獻度拉近 S2 的差距：一、分析小組論證內 容 S1、S2 與 S3 間的對話，S3 所提出的解題說明或想法出現較多次的迷 思概念，亦提供給小組論證的議題，S3 與成員間數學對話的次數就會增 加，也使得對話內容包含的論證元素次數增加，因而提升了 S3 的小組論 證貢獻度百分比。二、雖然 S3 提出的解題說明顯得不清楚完整並包含較 少的論證元素，但因在成員的進一步提問下，促使 S3 必須再度說明，亦 提升 S3 小組論證互動的對話頻率與論證貢獻度表現。

在前測分析 S2 周長與面積的迷思概念少於 S3，提出解題過程出現 迷思概念的情形也少於 S3，除此之外，相較於 S3 提出解題說明出現的

「明顯的錯誤」，使得後續小組論證議題集中在 S3 所提出的錯誤，S2 出 現的錯誤反而易被忽略，因此 S2 與成員發生對話的頻率少於 S3。另一 方面，當 S3 說明的解題方法出現錯誤時，相較於 S1 能立即回饋提出問 題或反駁，而 S2 則需要時間思考，使得小組論證對話內容集中在 S1 與 S3，此時 S2 成為小組論證過程的「聽眾」，使得 S2 在說明解題過程較 S3 清楚完整且包含較多的論證元素，因為上述原因使得論證貢獻度僅略 高於 S3。

(一)等積異形的不同圖形，認為面積相等周長亦相等的概念 論證活動教學初期提供教具供學生操作紀錄，與提示學生先畫出圖 例，再進行解題的題型，相較於根據題目敘述要求學生寫出想法，有助 益學生在小組論證中提出的論證內容較完整且包含的論證元素較多元，

能提升數學學習成就中(S2)、低(S3)學生小組論證貢獻度表現。

「冬至家庭日-大廚風味餐」要求學生對題目關鍵句敘述「面積相等 的兩個圖形，周長一定相等」寫出想法；寫「設計學校植物園」學習單

時，研究者提供「馬賽克」教具讓學生在解題過程依題意實際排列與紀

在進行周長與面積關係概念理解教學活動的前測與教學前的晤談，

S1 在探討六個周長與面積概念中並未表現出迷思概念，在小組論證的過 程除了提出完整清楚說明解題方法，並對於 S2、S3 的迷思提出反駁，因 此 S1 在小組論證貢獻度理應高於 S2、S3。實際小組論證貢獻度表現不 總是高於 S2、S3，而是決定於 S2、S3 面對 S1 提出的反駁如何提出說明 或是 S2、S3 同意 S1 的說法並改變原有的想法而向 S1 確認的過程。

在「冬至家庭日-大廚風味餐」小組論證中 S1 對 S3 認為題目關鍵 字敘述寫「怪怪的」反駁提出「你是隨便亂寫」，因 S3 僅是寫下對題目 敘述的「感覺」並沒有任何的依據，因此無法形成議題產生後續的討論。

在「設計學校植物園」學習單紀錄的例圖提供 S2 對於 S1 認為 S2 求圖形 面積與周長的計算方式「沒有效率」提出反駁時，形成議題後進行解題 方法修改算式的輔助，這給予了 S2 說明想法與改變想法的機會。學習單 紀錄的例圖除了提供學生說明解題方法的輔助，也給予同儕檢視解題方 法合理性的依據，研究者摘述「愛心」教學活動小組論證中小組成員對 話內容如下：

S1：我的跟你們不一樣，我的長方形長 4 公分、寬 3 公分，面積長乘寬

S1：我的跟你們不一樣，我的長方形長 4 公分、寬 3 公分，面積長乘寬