研究背景與動機

在此章首先說明本研究的背景動機與目的；再界定研究中的名詞；

最後說明研究的範圍與限制。

第一節 研究背景與動機

九年一貫課程綱要中，數學內容「連結」主題強調學生解題能力的 培養，須從教師在編撰教材時，考慮數學內部概念的連結，以幫助學生 明白數學概念是怎樣相互連結成一整體的，在教學活動中，鼓勵學生透 過觀察問題、分析問題、嘗試提出解題的策略，重視在同儕溝通中，以 一般語言與數學語言說明情境與問題，以不同的角度呈現或解釋解題過 程，或是反駁解答的合理性(教育部, 2003)。美國數學教師協會頒布的「學 校數學的原則與標準」中過程標準(Process)中推理與證明標準期望學前 幼稚園(prekindergarten)到十二年級的教學內容使學生能夠：(1)認識到推 理與證明是數學學習的基本內容；(2)提出推理並調查；(3)發展並評價數 學論證和證明；(4)選擇並使用各種推理和證明的方法(National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2000)。因此，論證是數學教學中重要的 一環。課程理念的實踐，數學教師應提供學生論證的機會，使學生檢視 彼此使用的解題策略與步驟的合理性，互相比較提出論據的理由與根 據，以促進學生對數學概念的理解與應用，期許學生解題能力的提升。

傳統的數學課室教學，常見教師將數學概念與解題劃分：教師先教 數學概念再示範解題，接著提供學生類題，要求學生以習得的數學概念 進行解題，這樣的教學方式發現，有學生認為解題是記憶數學公式與操 作解題步驟，因此面對解題並非是應用習得的數學概念，而是進行解題 腳本的演練，進行運算以得到正確的答案，因此解題表現呈現僵化的解 法(Schoenfeld,1985)。提供類題供學生練習僅能顯示正確或錯誤的兩極化 反應，對於回答正確的學生，教師是否能確定該名學生完全理解？對於 回答錯誤的學生，教師亦無法從其作答得知其學習狀況，此為傳統數學

課室教學的缺點。反觀，教師若能在課堂中提供學生論證的機會，不僅 關注結果，並重視解題的歷程，不只要求學生回應答案是什麼，還要解 釋為什麼，要能提出依據的數學概念與使用的解題策略；當學生指出同 儕答案錯誤而提出反駁時，能說出理由；當同儕解釋不夠完備，能幫助 補齊條件；當同儕解題步驟不全時，能幫助添補步驟，學生從論證過程 養成伴隨著答案能提供論證和理由的習慣，學生能體會答案的推理過程 不亞於答案本身，將數學學習從死記硬背轉變到做數學，在論證的過程 提供教師瞭解學生對數學概念理解的程度，幫助教師掌握學生學習的狀 況(林冠群，2007；張英傑、周菊美，2005)。

美國數學教師協會頒布的「學校數學的原則與標準」中橫跨學前幼稚 園至十二年級的測量標準，指出測量概念是在生活中普遍應用，提供學 生學習和應用數學的機會，透過測量能夠幫助學生在算術、幾何學、統 計學和函數的學習，期望從幼稚園到八年級的學生能夠選擇適當類型的 測量屬性(長度、周長、面積、重量、時間、角度、體積、表面積)；發 展、理解和能夠決定測量使用公式；測量單位的理解以及單位大小如何 影響測量；理解及選擇操作測量的儀器；測量系統的公制和慣用制 (NCTM，2000)。其中，中年級數學教材介紹周長與面積概念，是呈現給 學生規則形狀的多邊形(regularly shaped figures) ，如：正方形、長方形，

當這些規則形狀的周長與面積公式同時介紹時，學生很容易產生困惑，

因為推導正方形與長方形的周長和面積公式的程序十分地相似，發現學 生藉由記憶公式和以數字帶入公式的方式掩飾自己的不理解，學生知道 須以圖形邊長的數字代入公式中使用以獲得正確答案，卻不能區辨周長 與面積公式，因為學生不清楚測量的屬性以及理解公式的意義 (Moyer, 2001)。另一方面，在周長與面積兩者概念間關係，亦可能形成周長相同 的兩個圖形，就會有相同的面積(Dembo, Levin, & Siegler, 1997)，或認為 該圖形的周長愈長，面積就會越大(譚寧君，1995)的迷思概念，研究者 試圖從編寫教材開始，並在教學活動中提供學生論證的機會，試圖瞭解

學生在周長與面積概念發展與理解的情形。

關於周長與面積概念的學習，學生先認識簡單的平面圖形與立體圖 形，長度測量與單位認識(公分、公尺)及比較長度(長短、高矮)與圖形大 小的比較。以正方形與長方形為切入點學習平面圖形周長與面積的概念 及公式解題應用，再進一步學習平行四邊形、三角形、梯形、箏形、菱 形、圓形平面圖形的周長與面積的概念及公式的解題應用。再延伸至立 體圖形正方體、長方體、角柱、圓柱、圓錐表面積與體積的概念及公式 應用。由此看來，周長與面積概念，承續長度測量概念與平面圖形概念，

連貫各種平面圖形周長、面積概念及立體圖形表面積與體積概念，扮演 中樞的重要位置(國立教育研究院籌備處，2006)。

研究者以學生在學習周長與面積概念的過程常出現的六個迷思概念 設計教學活動，探討學生在周長與面積概念學習過程出現迷思概念的可 能原因，及比較學生在論證活動前、後概念理解的差異。考慮學生口語 表達的能力，以五年級一班 9 名學生為教學對象，為瞭解及比較數學學 習成就高、中、低學生在論證活動中提出論述內容的差異、對論證活動 的貢獻度，根據學生上學期數學領域成績以 S 形進行編組(編號 G1、G2、

G3)，3 人一組共 3 組，以 G2 小組為觀察對象，進行該組數學學習成就 高、中、低學生的個案研究，以 Toulmin(1958)提出完整論述內容包含的 論證元素，根據論證元素的定義分析學生提出論述內容所包含的論證元 素，比較 G2 小組中數學學習成就高、中、低學生在論證活動中提出論 述內容的差異性，及對論證活動的貢獻度。