第二章 文獻探討
第一節 數學論證
本節介紹數學論證的理論基礎以及數學論證的相關研究。
一、數學論證的理論基礎
研究者以論證活動進行數學教學活動以幫助學生數學概念的理解，
學生向同儕提出自己思考與推理的結果，或進一步提出論據與根據的理 由，以說服同儕接受自己的想法。當同儕要求進一步說明或提出不同的 觀點，學生便會開始檢視自己的想法進而辯護提出理由與根據，或重新 評估原解釋的有效性。像這樣經過群體對一個意見的支持或反對進行衡 量，並提供的理由或原因，討論歸納而得出共識結論的過程就是論證，
應用在數學教學就是數學論證。
研究者先介紹符號互動論，接著討論數學社會規範(sociomathematical norms)。然後，介紹如何以 Toulmins(1958)提出的論證架構包含的論證元 素應用至數學論證的課堂學習紀錄及分析課室的論證活動。
符號互動論起源於 George Herbert Mead 經由 Herbert Blumer(1969)發
展延伸，符號互動論所持的立場：個體在群體中彼此的互動歷程，必須 考量到他人的行為，在一部份會基於他人的行為而改變、放棄、保留而 修正原有的計畫，以形成個體的行為，因此個體除了試圖解讀他人的行 為，在參與互動的歷程亦會向他人解釋自己的思想(Rommetveit, 1985)。
符號互動論除了以解釋為中心，觀點之一是作為一種社會生產意義。
Blumer(1969)闡述了這一點：在課堂上論證活動的結果，是在社會互動中 產生，參與個體的個人意義和理解，在群體中互動解釋的過程形成。
課室中數學社會規範(socio-mathematical norms)建立，使學生在群體 中互動、溝通、發展共識及分享觀點，是數學課室構成的期望和義務，
包括：期望學生發展個人有意義的解決問題的辦法，解釋和證明自己的 思想和解決方案，聆聽及嘗試理解對方的解釋和解決問題的辦法，並提 出問題和誤解或不同意的情況下提出的挑戰，這些我們稱之為數學社會 規範 (Cobb & Yackel, 1996)。
社會規範(social norm)和數學社會規範間的區別是很微妙的。例如，
期望學生能理解並解釋他們的解決方案是社會規範，而學生理能解數學 概念並能提出解釋則是數學社會規範，數學社會規範在本研究是至關重 要的，因為它能幫助學生在群體互動中嘗試解釋和課堂上的數學實踐，
Yackel(2004)以參與研究計畫的一年級數學課堂教學的例子，說明學生提 出怎樣的論證是數學社會規範看作可接受的數學解釋及理由。
教師以「圓點」做為一系列教學活動的開始，目的是促進學生發展視 覺圖像，並討論較小數字數量的關係，圓點圖案在投影屏閃過幾次，如 圖 2-1-1 投影屏呈現三個圓點的樣式，每次只有幾秒鐘，學生的任務是 找出圓點的數量，並嘗試提出解釋是如何看到的。教師提問：「你怎麼看 出來的？」，學生回應：「我看著它們(圓點)」、「用眼睛(看)」、「我看到傾 斜的三個(圓點)」、「我看到了一條傾斜的線」、「我算出來的」， 學生提出 的解釋應該與數值有關。因此，回應「我看到傾斜的三個(圓點)」是可 以接受的，但「用眼睛(看)」就不是。同樣的「我算出來的」是可以接
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受的，但「我看著它們(圓點)」就不是。因此，學生課堂提出的數學解 釋須與教學活動相關，才是數學社會規範能接受的範圍。
圖 2-1-1 投影屏呈現三個圓點的樣式
資料來源：Yackel, E. (2004). Theoretical Perspectives for Analyzing Explanation, Justification and Argumentation in Mathematics Classrooms.
Journal of the Korea Society of Mathematical Education Series D : Research in Mathematical Education, 8
(1), 8接下來，學生回應教師呈現在投影屏 7 個圓點的樣式，如下圖 2-1-2。
圖 2-1-2 投影屏呈現七個圓點的樣式
資料來源：Yackel, E. (2004). Theoretical Perspectives for Analyzing Explanation, Justification and Argumentation in Mathematics Classrooms.
Journal of the Korea Society of Mathematical Education Series D : Research in Mathematical Education, 8
(1), 8部分學生回應：「7 個(圓點)，因為我看到了三個、一個、還有三個」，
並未進一步解釋如何得到總數 7，似乎理所當然的認為他們提出的解釋 是充足的，而其他學生會立即知道，3+1+3= 7。然而，班上部分同學需 要以計數的方式來解決這個問題，因此學生自身對概念理解的程度和提 出怎樣的解釋才是充分的是有關係的。
另一方面，我們需要分析工具用以分析學生所提出的論述，關於論 證的分析工具，Toulmin(1958)是早期提出論證架構及論證元素的學者，
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在其著作《The Uses of Argument》書中提出的論證架構及論證元素，並 非應用在數學教育，因此，研究者先整理、歸納並引述 Toulmin 在 2003 版本提出的論證架構和著作中的舉例，及論證元素的定義。Toulmin(2003) 呈現的論證架構如圖 2-1-3，其論證架構是五個論證元素組成的：宣稱 (Claim)、資料(Data)、論據(Warrant)、理論支持(Backing)、限制條件 (Qualifiers)、反駁(Rebuttal)(Toulmin, 2003, p. 97)。論證架構中論證元素的 定義說明如表 2-1-1，其著作中的舉例說明，如圖 2-1-4。
圖 2-1-3 論證架構及論證元素
資料來源：Toulmin, S. E. (2003).
The uses of argument
(Updated Ed.)(p.97).Cambridge : Cambridge University Press.
表 2-1-1 論證元素定義
論證元素 定義
宣稱 Claim (C)
論證者依據資料(Data)與論據(Warrant)，形成自己認為是正確的 宣稱。
資料 Data (D)
與論證者的宣稱有直接關係的資料，而當宣稱受到質疑，資料 (Data)是論證者所訴諸作為宣稱的基礎。
論據
Warrant (W)
以資料(Data)為基礎，說明宣稱是適當的和合法的。資料(Data) 與論據(Warrant)的區辨：前者訴諸明確，後者是隱含的，屬於 一些大原則、約定成俗之常規。Toulmin(2003)著作中的舉例，
如圖 2-1-4，論證者以一名在百慕達出生男子的資料作為基礎，
宣稱他大概是英籍人士，是因為相關的法律給予論證者這樣的 論據。
D So,Q,C
Since W
On account of B
Unless R
理論支持 Backing(B)
包括法律規定、定律或原理等。賦予論據(Warrant)權威的支 持，Toulmin (1958)指出：「論證的有效與否，有很大的程度取 決於推論依據背後的理論支持 B (Theory backing)。」
Toulmin(2003)著作中的舉例，如圖 2-1-4，根據頒布的“成文 法”載有條文訂明，在合適親子關係的英國殖民地出生的人，
應享有英國公民權。論證者憑藉成文法中包含這一規定適用於 支持論據。
限制條件 Qualifiers (Q)
限制條件(Qualifiers)是論據(Warrant)的效力範圍，反駁條件 (Rebuttal)是指出何種情況下(例外的條件)，論據(Warrant)將欠 妥而予作廢。Toulmin(2003)著作中的舉例，如圖 2-1-4，論證者 必須確鑿男子沒有改變他出生的國籍條件下(Qualifiers)，這名 男子“大概”是英國籍。
反駁 Rebuttal(R)
宣稱(Claim)可能被推翻的事實或證明，Toulmin(2003)著作中的 舉例，如圖 2-1-4，這名男子他的雙親是外國籍，或這名男子 已經入美國籍。
圖 2-1-4 論證架構及論證元素的舉例
資料來源：Toulmin, S. E. (2003).
The uses of argument
(Updated Ed.)(p.97).Cambridge : Cambridge University Press.
以上述一年級的論證活動為舉例說明，如何以 Toulmins(2003)論證元
限制條件 Qualifiers (Q) 所以，推測，
反駁 Rebuttal(R) 他的雙親是外國籍，或這名男 子已經入美國籍。
因為 除非
基於
理論支持 Backing(B) 頒布的“成文法”載有條文訂明，
在英國殖民地出生的人，應是英國 公民(籍)
為「宣稱」，是因為出現三個、一個和三個(圓點)的「資料」，對於無法 立即知道為什麼三個、一個和三個得到總共是七個(圓點)結論的學生，
須進一步提出 3+1+3=7 的「論據」，或進一步提出是基於計數總和為理論 支持。
在論證活動中，當一名學生向同儕提出不同的宣稱，研究者在進行 論證分析時必須納入其他論證活動參與者提出的解釋，以這樣的意義 上，論證的本質是群體的，是參與論證活動成員之間的互動產生，
Toulmins 的論證元素有益於紀錄論證活動進行時，學生向同儕說明解題 或嘗試說服的過程，所提出論述包含的論證元素有哪些，進一步分析學 生在論證活動前、後概念理解的差異。
二、國外數學論證的相關實徵性研究
Yackel, Rasmussen 和 King(2001)以大學二年學生為研究對象進行一系 列的課堂教學實驗，教學者在課堂教學開始時先對班級學生簡短聲明在 數學論證活動的期望，接著進行相關的數學議題討論。本研究中教師提 供學生的建議多是明確或暗示教學者對學生參與論證活動時的期望，教 師使用的話語如下：「好吧，你可以向我們解釋…，為什麼它是 1/14 倍」、
「其他人怎麼看？」、「你在想什麼？」、「所以讓我們把這個問題…」、「所 以你的問題是…」、「我聽到你說什麼…」，教學者試圖使用這些言詞促進 課堂數學社會規範的建立，以影響學生在參與論證活動的過程，提出與 數學議題相關的解釋及討論。
學生學習如何在課室中提出解釋與論證是在數學論證活動重要的層 面，《學校數學的原則與標準》一書中提出建議：當教師鼓勵學生提出自 己的想法，接受同儕對這些想法進行評價，就提供了學生發展數學論證 的機會(NCTM，2000)。教師幫助學生知道「如何」及「何時」作出數學 論證，是課室論證過程中重要的部分。教師和學生共同建立數學課室中 解釋與論證數學想法的「規範」，經過實施一段時間，學生學習傾聽彼此 的想法，對於同儕提出的想法不能理解時進行發問，並解釋和論證彼此
間的想法。教師的角色不僅是促進學生解釋與說明他們數學想法的討 論，當教師認為必要的時候，在課室中發起「關於數學討論的討論(talks about talking about mathematics)”」(Cobb, Wood, & Yackel,1993)。在這樣 的數學溝通過程，教師和學生可以一同討論：在數學課室中，可以「如 何」以及「何時」解釋自己的想法，一方面幫助學生學習溝通自己的想 法，在一方面，傾聽和尊重同學的想法。
教師可使用多種策略幫助學生解釋他們的想法。舉例來說：鼓勵其 他學生思考一名學生使用的解題方式，鼓勵學生們進行提問並發表意 見，之後，請學生解釋同學的解題方式「這樣合理嗎？」以做為繼續討 論同學想法的提示。與此同時，教師幫助該名學生考慮同學所提的問題 和建議，該名學生可能會進一步解釋其想法。這樣，教師促成了數學課 室的討論，學生有機會解釋他們的想法，並回答同學的問題。學生們藉 由澄清問題、做出反駁或解釋和證明想法的合理性 (Whitenack &
Knipping, 2002)，幫助學生解釋和證明自己的想法，這就是對自己的解決 方案進行論證。在某些情況下，學生可能不知道如何對同儕想法進行數 學論證。例如：學生不知道如何表達，特別是自己新的想法或尚不完全。
除此之外，學生可能不知道如何應對同儕的反駁或澄清問題。因此任課
除此之外，學生可能不知道如何應對同儕的反駁或澄清問題。因此任課