第五章 結論與建議
第二節 建議
一、 教學上的建議
研究者建議教學時提供不同的題型讓學生學習，以學生 S2 為例，在 前測僅知道 S2 是參考題目例圖，並根據視覺判斷獲得「2 倍周長」的正 方形是「原」正方形面積的 4 倍，而在小組論證過程提出的論證內容，
發現 S2 認為因為是「2 倍周長」的線段所圍出的愛心，所以面積是「原」
愛心的 2 倍，忽略周長與面積兩者基本定義的不同，不同的題型因為解 題的途徑不同，學生存有的迷思概念愈容易呈現出來，愈有機會澄清迷 思概念。
另一方面，包含數種可能答案或數種的解題方式；或是不確定因素 的題目，會比單一正確答案或學生已知的數種解題方式更適合數學論證 活動。以「愛心」教學主題中，要求學生畫出與愛心圖形「周長」或「面 積」相同的長方形，因為有數種可能長乘寬組合的長方形，使學生在小
組論證過程中，從成員說明中發現「周長(面積)相同的圖形，面積(周長) 不一定一樣」，除此之外，因為學生還未學習在愛心圖形中圓形的「圓面 積」公式，學生無法以面積公式直接得到 2 倍愛心圖形面積(不確定因 素)，使學生在伴隨猜測下應用已習得周長與面積概念的過程而呈現其迷 思概念。而在「平面圖形」單元，因為是學生熟悉的規則圖形，在小組 論證過程著重在確認答案與面積公式使用的正確性，而較少的機會發掘 學生迷思概念。
在本研究中周長與面積概念論證活動發現，提供「數學模型」或要 求學生先畫出圖形並記錄周長與面積的題型，在小組論證中小組論證貢 獻度表現來看，顯著提高數學學習低成就學生(S3)與小組成員對話，因 此，教學者可以透過「數學模型」實際操作紀錄方式，幫助數學學習低 成就學生(S3)參與小組論證。
二、對於研究的建議
本研究嘗試以 Toulmin(1958)提出論證架構具備的論證元素，分析學 生在小組論證過程中所提出論證內容，所包含的論證元素。進一步瞭解 數學學習成就高、中、低學生的小組論證貢獻度表現。因為既往未有相 關研究文獻可供參考，研究者將論證元素「宣稱」、「資料」、「論據」、「理 論支持」、「反駁」、「限制條件」在計算小組論證貢獻度時，使每個論證 元素佔的權重相同。
研究分析小組論證過程學生的對話內容，發現當學生提出包含「反 駁」論證元素的對話內容，並成為小組論證議題開始討論時，「回應者」
提出更完整的說明以補充或支持自己的想法，可能促使出現包含「論 據」、「理論支持」論證元素的對話內容，亦可能發生「回應者」概念理 解的轉變，研究者認為包含「反駁」論證元素的論證內容在小組論證過 程對學生數學概念理解改變有相當程度的影響力。研究者建議欲以「小 組論證貢獻度」作為瞭解學生論證過程表現之一的參考依據時，「反駁」
論證元素在計算公式權重應調升以更能符合實際表現。
第三節 省思
本研究以論證活動進行周長與面積概念教學時發現：提供具體操作 物或圖例的題型在小組論證進行時，將有助於學生提出說明與解釋，而 且學生在小組論證中不只是概念理解的改變，亦有解題策略的改變，例 如：數學學習低成就學生會學習小組成員在學習單作答與說明時，以透 過畫圖舉例解釋想法。
另一方面，研究者亦發現學生對題意的了解也是論證活動中重要的 環節之一，即使小組論證活動進行前，學習單習寫時研究者已先與班級 學生討論題意，但對題意的不完全瞭解對論證活動進行仍有發生，後續 的研究可將學生對題意的瞭解列入觀察因素。
研究者亦發現數學學習成就高、中、低學生在小組論證貢獻度與提 出論證內容元素差異關係較小，與學生概念理解應用的差異較有關係。
小組論證貢獻度表現與小組論證過程主要對話者有關，較少參與對話的 學生，反應在小組論證貢獻度較低。學生提出論證內容包含論證元素的 差異在於提出「反駁」的動機與後續影響，相關的論證元素「宣稱」、「資 料」、「論據」、「理論支持」在本研究學生表現差異較小。另一方面，小 組論證貢獻度與概念轉變和參與對話者與論證議題形成有關，例如數學 成就學習高學生提出數學成就低學生解題說明包含迷思概念，進而形成 議題與討論，主要對話的二人，在論證貢獻度表現較高，亦反應數學學 習高成就學生較多的概念轉變。
研究者設計教學主題「愛心」時，學習單中要求學生求出愛心圖形 的面積與周長的過程，學生會面對包含在愛心圖形中，還未學習的圓形 概念，包含：圓周率、圓周長、圓面積，本意是讓學生在不能使用公式 的情形下，透過測量的方式獲得愛心圖形的周長與面積，在小組論證中，
學生發表如何進行測量方法，以瞭解學生對於周長與面積概念理解的情 形。其中，圓周率為除不盡的小數，如何畫出與愛心相同的周長與面積
的長方形或正方形呢？乃是研究者，在教學過程要求學生以測量方式獲 得愛心面積後，以最接近的整數值代表該愛心的面積。以線段量出愛心 圖形的周長值後，亦以最接近的整數值代表該愛心的周長。以精確求出 圖形面積與周長觀點來看，此教學活動設計並不周延，有興趣採取論證 活動進行周長與面積概念學習之研究者，未來在設計教學活動時，應多 做更縝密的思考。
一、中文文獻
王選發(2002)。國小六年級學童面積學習之研究(未出版之碩士論文)。
國立臺中師範學院，臺中市。
吳梅英(譯)(2004)。義大利麵與肉丸子(面積與周長的祕密) (原作者：
Burns, Marilyn)。臺北市：遠流。(原著出版年：1997)
呂溪木(1985)。從國際科展看我國今後科學教育發展的方向。科學教育 月刊，64，13-19。
李心燦(譯) (1989)。數學發現(原作者：Polya, G.)。台北：九章。(原著 出版年：1962)
李調棟(1994)。國小四年級學童對面積問題自發性之解題類型研究。臺 北市：東園國小。
林福來、黃敏晃、呂玉琴(1992)。師院新生的初等數學能力。國教學報，
4，1-21。
林福來、譚克平、吳家怡、陳創義、林佳蓉、郝曉青、陳英娥、楊凱琳、
林政輝、李宜芬、梁蕙如、高智馨 (民 90)。青少年的數學概念學習 研究─子計劃十四：青少年數學論證能力發展研究(1/3)。台北：國 科會專題研究計劃成果報告 NSC 89-2511-S-003-103.
林政輝(2002)。國中生討論數樣式關係時表達理由能力之成長探究(碩 士論文)。取自：http://ndltd.ncl.edu.tw/cgi-bin/gs32/gsweb.cgi?o=dnclc
dr&s=id=%22090NTNU0479012%22.&searchmode=basic
高敬文(1989)。我國國小學童測量概念發展之研究。省立屏東師範學院 初等教育研究，1，183-219。
高敬文、黃金鐘(1988)。我國國小學童測量概念發展之研究(II)。
行政院國家科學委員會專題研究成果報告(編號：NSC76-0111-S153- 01)，未出版。
國立教育研究院籌備處(2006)。國小數學教材分析－幾何。台北縣：教 育部台灣省國民學校教師研習會。
國家教育研究院(2012)。國民小學數學教師手冊(第五冊)。台北：國家教 育研究院。
國家教育研究院(2012)。國民小學數學教師手冊(第六冊)。台北：國家教 育研究院。
國家教育研究院(2012)。國民小學數學教師手冊(第七冊)。台北：國家教 育研究院。
國家教育研究院(2012)。國民小學數學教師手冊(第八冊)。台北：國家教 育研究院。
國家教育研究院(2012)。國民小學數學教師手冊(第九冊)。台北：國家教 育研究院。
國家教育研究院(2012)。國民小學數學教師手冊(第十冊)。台北：國家教 育研究院。
國立編譯館(1998)。國民中學教學教師手冊第三冊。台北市：國立編譯 館。
康木村、柳賢(2005 年 12 月)。國二學生在數樣式單元論證能力之研究。
「中華民國第二十三屆科學教育學術研討會」發表之論文，國立高 雄師範大學。
張英傑、周菊美(譯) (2005)。中小學數學科教材教法(原作者：John A. Van De Walle )。臺北市：五南。(原著出版年：2001)
張景媛(1994)。數學文字題錯誤概念分析及學生建構數學概念的研究。
台灣師範大學教育心理與輔導學系教育心理學報，27，175-200。
教育部 (2003)。國民中小學九年一貫課程綱要：數學學習領域。臺北市：
教育部。
許嵐婷(2003)。國小五年級面積概念之教學研究(未出版之碩士論文)。
國立臺中師範學院，臺中市。
陳人豪(2011)。國小高年級學童面積與周長概念之錯誤類型研究(未出版 之碩士論文)。國立臺中教育大學，臺中市。
陳宜靜、郭汶朱(2000)。國小高年級學童周長概念之研究。學生學術論 文年賽優勝作品專輯，87 學年度(下)，387-453。
陳英娥(2002)。教室中的數學論證之研究。教育研究資訊，10(6)，111–
132。
陳英娥(2003)。國二學生在商高定理的論證。中學教育學報，10，183-217。
曾千純(2001)。數學學習不利學生面積概念的診斷與補救教學(未出版 之碩士論文)。國立臺南師範學院，臺南市。
曾千純、謝哲仁 (2003)。面積概念的診斷與電腦動態化補救教學。南師 學報，37，41-61。
葉明達、林冠群、陳彥廷(2007)。數學論證的判讀歷程及其教學設計。
科學教育研究與發展季刊，48，89-106。
戴政吉(2001)。國小四年級學童長度與面積概念之研究(未出版之碩士 論文)。國立屏東師範學院，屏東市。
譚寧君(1995)。面積概念探討。國民教育，35，14-19。
蘇琬淳(2004)。資訊科技融入國小五年級數學教學成效之研究－以面積 與周長為例(未出版之碩士論文)。國立台北師範學院，台北市。
二、英文文獻
Baturo, A., & Nason, R. (1996). Student teachers' subject matter knowledge within the domain of area measurement.
Educational Studies in
Mathematics, 31
, 235-268.Blumer, H. (1969).
Symbolic interactionism
. Engelwood Cliffs, NJ:Prentice-Hall.
Booth, L. R. (1988). Children's difficulties in beginning algebra. In A. F.
Coxford & A. P. Shulte (Eds.),
The Ideas of Algebra K-12
(pp.20-32).Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Booth, L.R.(1984). Child-method in secondary mathematics. Educational studies in Mathematics,12,29-41.
Bright, G.W. (1976). Estimation as Part of Learning to Measure.
National Council of Teachers of Mathematics Yearbook
.Krummheuer, G. (1995).
The ethnology of argumentation
. In P. Cobb & H.Bauersfeld (Eds.). The emergence of mathematical meaning : Interaction in classroom cultures (pp. 229–269). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Cobb, P., & Yackel, E. (1996). Constructivist, emergent, and sociocultural perspectives in the context of developmental research.
Educational Psychologist, 31
, 175-190.Cobb, P., Wood, T., &Yackel, E. (1993). Discourse, mathematical thinking, and classroom practice. In E. Forman, N. Minick, & C. Stone (Eds.),
Contexts for learning: Sociocultural dynamics in children's development
(pp.91-119). New York: Oxford University Press.
De Bock, D.,Verschaffel, L., ＆ Janssens, D.(1998). The predominance of the linear model in secondary school students’solutions of word problems involving length and area of similar plane figures.
Educational Studies in
Mathematics, 35
, 65-83.Dembo, Y., Levin, I., & Siegler, R. S. (1997). A Comparison of the Geometric Reasoning of Students Attending Israeli Ultraothodox and Mainstream Schools.
Developmental Psychology, 33
(1), pp.92-103.Denzin(1978).
The research act: A theoretical introduction to sociological methods
. New York: McGraw-Hill.Dickson, L., Brown, M., & Gibson, O. (1984).
Children Learning Maths: A Teacher's Guide to Recent Research
. London: School Council.Douek, N., & Scali, E. (2000). About argumentation and conceptualization. In T.
Nakahara & M. Koyama (Eds.), The proceedings of the 24th conference of the international group for the psychology of mathematics education Vol. 2 (pp.249-256). Japan: Hiroshima University.
Driver, R., Newton, P., & Osborne, J. (2000).
Establishing the norms of
scientific argumentation in classrooms. Science Education, 84
(3), 87-312.Fitzgerald, W. M. & Shroyer, J.(1979).
A Study of the Teaching and Learning of Growth Relationships in the 6th Grade
. Final Report. ERIC Documents ED 197964.Hopkins H. H. (1996). Picket Fences.
Teaching Children Mathematics, 2
(2), 86-90.Hartweg K. (2003). Picasso Masterpiece & Responses to the Have a Heart Problem.
Teaching Children Mathematics, 9
(6), 342-346.James J. Hirstein(1981). The Second National Assessment in Mathematics : Area and Volume,
Mathematics teachers, May
,704-708.LaSaracina, B. A., & White, S. K. (1999). The Restless Rectangle and the Transforming Trapezoid.
Teaching Children Mathematics, 5
(6), 336-37.Maurer, S. B. (1987). New Knowledge about Errors and new Biews about Learners: What They Mean to Educations and More Educators Would Like to Know.In. H.
Schoenfeld (Ed.),
Cognitive Science and mathematics Education
(pp. 165-187).N. J.: LEA.
Moyer, P. S. (2001). Using representations to explore perimeter and area.
Teaching Children Mathematics, 8(1), 52-59.
National Council of Teachers of Mathematics(2000).
Principles and Standards for School Mathematics
. Reston, VA: NCTM.Patton, M. Q. (2002) . Utilization-focused evaluation (U-FE) checklist. Western
Patton, M. Q. (2002) . Utilization-focused evaluation (U-FE) checklist. Western